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यदि किसी बहुपद का मान \(p(a)=0\) है तो बिंदु \((a,0)\) x-अक्ष पर होता है क्योंकि x-अक्ष पर y‑समन = 0 होता है। यहाँ केवल \(p(2)=0\) दिया है, अतः \((2,0)\) x-अक्ष पर है। \(p(1)<0\) और \(p(3)>0\) केवल फलन के संकेत (negative/positive) दर्शाते हैं, वे शून्य नहीं हैं; इसलिए \((1,0)\) या \((3,0)\) सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: कोई बिंदु x-अक्ष पर तभी होगा जब उस x‑मान पर फलन का मान शून्य हो। / A point \((a,0)\) lies on the x-axis exactly when the polynomial satisfies \(p(a)=0\) (y = 0). Here only \(p(2)=0\), so \((2,0)\) is the x-intercept. The facts \(p(1)<0\) and \(p(3)>0\) give signs of the function (negative/positive) but are not zeros, so \((1,0)\) and \((3,0)\) are incorrect. Quick exam tip: check for equality to zero to identify x-axis points, not inequalities.
x-अक्ष पर कटान बिंदु शून्यक (roots) होते हैं, यहाँ शून्यक 3 और 12 हैं। उनका अंकगणितीय औसत \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\) है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A (15) केवल 3 और 12 का योग है; विकल्प D (36) उनका गुणनफल है; विकल्प B (9) किसी ग़लत गणना या संख्या के गलत पढ़ने से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी द्विघात के शून्यकों α और β का औसत \\(-\frac{b}{2a}\\) से भी शीघ्र ज्ञात किया जा सकता है। / The x-intercepts are the zeros (roots) 3 and 12. The arithmetic mean is \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\), so option C is correct. Option A (15) is the sum 3+12; option D (36) is the product 3×12; option B (9) is an incorrect result from a miscalculation or misreading. Exam tip: For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the average of the two roots equals \(-\frac{b}{2a}\).
A. \(x=11\) एक वास्तविक शून्य है और इसकी गुणता सम (even multiplicity) है।
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर छूता है तो उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है, अतः \(x=11\) एक शून्य (root) है. और यदि ग्राफ अक्ष को छूता है पर कटता नहीं है तो उस शून्य की गुणता सम होती है (जैसे गुणा 2,4,...). विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है मान 0 होना; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे अन्य x-मानों को शून्य घोषित करते हैं जो दिए हुए चित्र से समर्थित नहीं हैं. परीक्षीय संकेत: ग्राफ का अक्ष को छूना = सम गुणता (कोई साइन परिवर्तन नहीं), अक्ष को पार करना = विषम गुणता (साइन बदलता है)। / If the graph touches the x-axis at a point, the polynomial value there is 0, so \(x=11\) is a root. Touching without crossing indicates the root has even multiplicity (2,4,...). Option B is incorrect because touching implies f(11)=0; options C and D claim different x-values as zeros which are not supported. Exam tip: touching (no sign change) ⇒ even multiplicity; crossing (sign change) ⇒ odd multiplicity.
दिए गए बिंदुओं के अनुसार बहुपद के शून्यक \(a\) और \(-a\) हैं। इनका योग है \(a+(-a)=0\)। ध्यान रखें कि \(2a\) या \(-2a\) देख कर दूरी या द्विगुणित मान से भ्रम हो सकता है — पर शून्यकों का बीजीय (algebraic) योग है 0। परीक्षा टिप: यदि जड़ें ±a के रूप में सममित हों तो उनका योग हमेशा 0 होता है। / From the intercepts the roots are \(a\) and \(-a\). Their sum is \(a+(-a)=0\). Note that choices like \(2a\) or \(-2a\) confuse algebraic sum with total distance; the algebraic sum of opposite numbers is zero. Exam tip: symmetric roots of the form ±a always cancel and sum to 0.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-समन्वय बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं ",-1", "2" और "4"। अतः गुणनफल \\((-1)\times2\times4=-8\\) होता है। सबसे निकटभ्रष्ट विकल्प C (8) केवल संख्याओं का गुणन सही है पर् चिन्ह गलत है; A और D स्पष्ट अंकगणितीय गलतियाँ हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर दिए गए x-समन्वयों को सीधे गुणा करें, और ऋणात्मक चिह्न का ध्यान रखें। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -1, 2 and 4, so the product is \\((-1)\times2\times4=-8\\). The closest distractor C (8) results from ignoring the negative sign; A and D are simple arithmetic mismatches. Exam tip: multiply the x-intercepts (including their signs) to get the product of zeros.
A. x = 3 शून्यक है पर x = 7 नहीं/x = 3 is a zero but x = 7 is not
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root/zero) का अर्थ है वह x‑मान जहाँ p(x) का मान शून्य हो। यहाँ p(3)=0 दिया है, अतः x=3 बहुपद का शून्यक है। परन्तु p(7)=4 है, जो शून्य नहीं है, अतः x=7 शून्यक नहीं। नज़ारीय अर्थ: ग्राफ़ x=3 पर x‑अक्ष को छूता/काटता है, पर x=7 पर बिंदु (7,4) x‑अक्ष से ऊपर स्थित है। गलत विकल्पों का संक्षेप: B उल्टा है (गलत क्योंकि p(3)=0 है), C और D भी गलत हैं क्योंकि p(7) = 4 ≠ 0। परीक्षीय सुझाव: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा p(a) की मान को 0 से सीधे जाँचें। / A zero (root) means p(a)=0 at that x‑value. Since p(3)=0, x=3 is a root. Because p(7)=4 (not 0), x=7 is not a root. Geometrically, the graph meets the x‑axis at x=3, whereas the point (7,4) lies above the x‑axis. Why others are wrong: B reverses the facts, C is false because p(7)≠0, and D is false because x=3 is indeed a zero. Exam tip: always substitute the x‑value into p(x) and check if the result is exactly 0.
x-अक्ष के परकीय बिंदु शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -10 और 0 हैं। उनका गुणनफल (-10) × 0 = 0 होगा क्योंकि किसी भी संख्या का 0 से गुणनफल 0 होता है. निकटवर्ती विचलन: 100 विकल्प तब गलत है जब कोई |−10|×|−10| मानकर भूल कर देता है। परीक्षा टिप: यदि आलेख origin (0,0) पर कटता है तो 0 एक शून्यक जरूर है। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -10 and 0, so their product is (-10) × 0 = 0 because any number multiplied by 0 equals 0. Closest distractor: 100 is wrong; it would arise only if one mistakenly multiplied 10 by 10. Exam tip: if the graph passes through the origin (0,0), 0 is always one of the roots.
शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य हो और समीकरण \(p(x)=0\) पूरा हो। \(p(x)=x^2-1\) के लिए \(p(\pm1)=1-1=0\), अतः बिंदु (-1,0) और (1,0) ग्राफ़ पर शून्यक हैं। परन्तु \(p(0)=0^2-1=-1\), अतः बिंदु (0,-1) में y = -1 है और यह शून्यक नहीं दर्शाता। निकटतम भ्रामक विकल्प D गलत है क्योंकि वह कहता है कि दोनों (-1,0) और (1,0) शून्यक नहीं हैं—वास्तव में दोनों शून्यक हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a,b) की जाँचना हो तो p(a) निकालें; यदि p(a)=0 और b=0 हों तो वह शून्यक है। / Zeros (roots) occur where the graph has y = 0, i.e., where \(p(x)=0\). For \(p(x)=x^2-1\), \(p(\pm1)=1-1=0\), so (-1,0) and (1,0) are zeros. But \(p(0)=0^2-1=-1\), so (0,-1) has y = -1 and is not a zero. The closest distractor D is wrong because it claims both (-1,0) and (1,0) are not zeros, whereas both actually are. Exam tip: to test a point (a,b), compute p(a); if p(a)=0 (and b=0 on the graph) then it's a zero.
B. यह शून्यकों को नहीं बदलता/It does not change the zeros
Explanation
Simple Explanation
यदि हम \(p(x)=3(x+4)(x-2)\) के शून्य खोजें तो शून्य वही होंगे जहाँ \((x+4)(x-2)=0\), अर्थात् \(x=-4\) और \(x=2\)। गैर-शून्य स्थिर गुणक (यहाँ \(3\)) को दोनों पक्षों से विभाजित करने पर समीकरण \(p(x)=0\) के हल नहीं बदलते। इसलिए शून्यकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। निकटतम भ्रम (विकल्प A): स्थिर गुणक केवल फलन के मानों को स्केल करता है, शून्यकारकों को नहीं। परीक्षा टिप: शून्य जानने के लिए सीधे \(p(x)=0\) रखें और कारकों को शून्य के बराबर मानें। / Zeros are solutions of \(p(x)=0\). For \(p(x)=3(x+4)(x-2)\), setting \(p(x)=0\) gives \((x+4)(x-2)=0\), so zeros are \(x=-4\) and \(x=2\). A nonzero constant multiplier (3) scales the polynomial values but does not change where it becomes zero. Why A is wrong: multiplying the polynomial by 3 does not multiply the roots. Exam tip: always set \(p(x)=0\) and solve the factor equation to find zeros quickly.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु का x-समन्वय शून्यक होता है। यहाँ प्रतिच्छेदन बिंदु (-5, 0) है, इसलिए शून्यक -5 है। "पार करना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणांक विषम (आम तौर पर 1) है। विकल्प A गलत है क्योंकि संकेत नकारात्मक है; विकल्प C गलत है क्योंकि 0 y-मान है न कि x-मान; विकल्प D गलत है क्योंकि कोई अन्य विकल्प सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर बने बिंदु का x-मान ही शून्य बताता है — चिह्न बदलने से बचें। / The x-coordinate of an x-axis intersection is the zero. Since the intersection is at (-5, 0), the real zero is -5. The fact that the curve crosses there indicates an odd multiplicity (typically 1). Option A is wrong because it ignores the negative sign; C confuses the y-value (0) with the x-value; D is incorrect because a valid zero is given. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept and keep its sign unchanged.
यदि \(p(a)=0\), तो \(x=a\) पर फलन का मान शून्य होता है, अतः बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होता है। यहाँ \(p(-2)=0\) और \(p(3)=0\) होने पर क्रमशः बिंदु \((-2,0)\) और \((3,0)\) ग्राफ पर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह x‑समन्वय 0 मानकर y‑मूल्यों को पहले और दूसरे समन्वय के स्थान पर उल्टा डालता है; विकल्प C और D दोनों में समन्वय और मान बदल दिए गए हैं और इसलिए गलत हैं. टिप: शॉर्ट‑हैंड में याद रखें — शून्य देने वाला x‑मान पहले समन्वय में और शून्य हमेशा y‑समन्वय होता है। / If \(p(a)=0\), then at \(x=a\) the function value is zero, so the graph contains the point \((a,0)\). Given \(p(-2)=0\) and \(p(3)=0\), the corresponding points are \((-2,0)\) and \((3,0)\). Option B is the closest distractor: it mistakenly treats the zeros as y‑coordinates at \(x=0\). Options C and D swap or pair coordinates incorrectly, so they are not points where the polynomial equals zero. Exam tip: the x‑value that makes the polynomial zero is the first coordinate; the y‑coordinate is 0.
B. आलेख (0,5) से गुजरता है/The graph passes through (0,5)
Explanation
Simple Explanation
यदि आलेख (0,5) से गुजरता है तो उस बिंदु पर y का मान 5 है, यानी
\(p(0)=5\). चूँकि शून्यक का अर्थ होता है कि उस x-मूल्य के लिए y=0 हो, यहाँ \(y\neq0\) है इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। नज़दीकी विकर्शक गलत क्यों है: आलेख का (0,0) से गुजरना या \(p(0)=0\) लिखना स्पष्ट रूप से यह दर्शाते हैं कि \(p(0)=0\), अतः वहां \(x=0\) शून्यक होगा। परीक्षा-सूत्र: y-अक्ष पर बिंदु (0,k) में k=0 तब ही हो तो x=0 शून्यक है — अन्यथा नहीं। / If the graph passes through (0,5) then the y-value at x=0 is 5, i.e. \(p(0)=5\). A zero at x=0 requires the value to be 0, so here \(x=0\) is not a zero because \(y\neq0\). Why the nearest distractor is wrong: passing through (0,0) or stating \(p(0)=0\) explicitly means \(p(0)=0\), so in those cases x=0 would be a zero. Exam tip: check the y-value at x=0 — if it is 0 then x=0 is a root, otherwise it is not.
बहुलक के शून्य वे x‑मान हैं जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता/छूता है, यानी y = 0। दिए गए बिंदुओं में केवल (−3, 0) और (8, 0) की दूसरी निर्देशांक शून्य है, इसलिए वही शून्यक दिखाते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि (0,4) का y = 4 ≠ 0; विकल्प A और D भी गैर‑शून्य y वाले बिंदु शामिल करते हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को चुनते समय उसका दूसरा निर्देशांक (y) अवश्य देखें — y = 0 होना चाहिए। / Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis, i.e. y = 0. From the given points only (−3, 0) and (8, 0) have y = 0, so they are the zeros. Option C is incorrect because (0, 4) has y = 4 ≠ 0; options A and D include points with nonzero y. Exam tip: always check the second coordinate — zeros occur where y = 0 (x‑intercepts).
x-अक्ष पर कटान के बिंदु ही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यकों का योग सीधे उन x-मूल्यों को जोड़कर मिलता है: \(-2+1+5=4\)। विकल्प A (8) तब गलत होगा जब कोई अभ्यर्थी मात्र मानों के परिमाण जोड़ दे (\(|-2|+|1|+|5|=8\)), जो सही नहीं है क्योंकि संकेत (-) महत्वपूर्ण है। परीक्षा-सुझाव: जोड़ते समय हर शून्य का संकेत ध्यान से लें; सिर्फ x-मूल्यों को जोड़ें, y-संयोजन को नहीं। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial, so sum the x-values: \(-2+1+5=4\). Option A (8) is incorrect—someone might have added absolute values (2+1+5=8), which ignores the negative sign. Exam tip: always keep the signs of the zeros while summing; only use the x-coordinates of intercepts.
\(x^2-2x\) को गुणा करके लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)\). जब किसी गुणनखंड का गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक गुणनखंड शून्य होगा, अतः \(x=0\) या \(x=2\). विकल्प B गलत है क्योंकि \(p(1)=1-2=-1\) शून्य नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(-2)=4+4=8\) शून्य नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=0\) को अनदेखा करता है। टिप: x-अक्ष पर कटने के लिए \(p(x)=0\) लिखकर बहुपद को फैक्टर करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)\). The x-intercepts satisfy \(p(x)=0\), so \(x=0\) or \(x=2\). Option B is incorrect because \(p(1)=1-2=-1\) (not zero); option C is incorrect because \(p(-2)=4+4=8\) (not zero); option D is incomplete because it omits \(x=0\). Exam tip: set \(p(x)=0\) and factor out the common term to find zeros quickly.
A. आलेख \((0,-3)\) से गुजरता है/The graph passes through \((0,-3)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p(0)=-3\), तो बहुपद का y-अक्ष पर छेदन बिंदु \((0,p(0))\) होता है, अतः आलेख निश्चित रूप से \((0,-3)\) से गुजरेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) तभी शून्यक होगा जब \(p(0)=0\), परन्तु यहां \(p(0)\neq0\)। विकल्प C गलत है क्योंकि x-अक्ष पर छेदन पॉइंट उस x पर होता है जहाँ \(p(x)=0\); हमें \(p(-3)\) का मान नहीं दिया गया। विकल्प D भी सिद्ध नहीं किया जा सकता—बहुपद के शून्यक अन्य x‑मूल्यों पर हो सकते हैं। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु \(x=a\) के लिए \(p(a)\) देखकर तय करें कि वह शून्यक है (\(p(a)=0\)) या y‑intercept (\(p(a)\neq0\))। / Given \(p(0)=-3\), the y-intercept of the polynomial is \((0,p(0))\), so the graph passes through \((0,-3)\). Option B is wrong because \(x=0\) would be a zero only if \(p(0)=0\), which is not the case. Option C is incorrect since the x-axis is crossed at values where \(p(x)=0\); we are not given \(p(-3)\). Option D cannot be concluded — the polynomial may have zeros at other x-values. Exam tip: evaluate \(p(a)\); if \(p(a)=0\) then x=a is a root, otherwise it gives the y-intercept value at x=a.
बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। तालिका में \(p(-5)=0\) और \(p(4)=0\) दिए हैं, अतः शून्यक \(-5\) और \(4\) हैं। शेष दिए गए: \(p(-1)=2\) और \(p(6)=9\) शून्य नहीं हैं क्योंकि उनके लिए फलन मान 0 नहीं है। परीक्षीय सुझाव: तालिका में सीधे उन पंक्तियों को देखें जहाँ फलन मान 0 लिखा हो। / A root (zero) of a polynomial is any \(x\) for which \(p(x)=0\). From the table \(p(-5)=0\) and \(p(4)=0\), so the zeros are \(-5\) and \(4\). The other entries give \(p(-1)=2\) and \(p(6)=9\), which are not zero, so options A and B are incorrect and D is false because not all given x produce 0. Exam tip: when a table lists \(p(x)\) values, locate the rows where the function value equals 0 and read the corresponding \(x\).
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ उसका आलेख x-अक्ष से मिलता है। \( (2,0) \) और \( (5,0) \) पर मिलने का अर्थ है दो अलग x-मूल्य: 2 और 5। ध्यान दें कि "स्पर्श" होने पर उस स्थान पर बहुपद की शून्यक की गुणात्मक बहुलकता सम (even) हो सकती है और "काटने" पर बहुलकता विषम (odd) हो सकती है — पर यह गुणात्मक बहुलकता अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या बदलती नहीं है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक = 2। टिप: परीक्षा में केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; गुणात्मक बहुलकता केवल आलेख का व्यवहार बताती है। / Distinct real zeros are the distinct x-values where the graph meets the x-axis. Here the graph meets at x=2 (touching) and x=5 (crossing), so there are two distinct zeros: 2 and 5. "Touching" usually indicates an even multiplicity and "crossing" an odd multiplicity, but multiplicity affects behavior, not the count of distinct zeros. Thus the answer is two. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the axis; multiplicity matters only for the shape at each root.
हर रेखीय कारक को शून्य मानकर शून्यांक निकाले जाते हैं: \(x+7=0\) से \(x=-7\) और \(x-1=0\) से \(x=1\)। x-अक्ष पर y का मान 0 होता है, अतः बिंदु \\((-7,0)\\) और \\((1,0)\\) होंगे। विकल्प A में संकेत उल्टे हैं, विकल्प B y-अक्ष के बिंदु हैं और विकल्प D अनावश्यक अवयव दे रहा है। परीक्षा टिप: प्रत्येक कारक को 0 के बराबर रखें और प्राप्त x-मूलों के साथ y=0 लिखें। / Set each linear factor to zero: \(x+7=0\) gives \(x=-7\) and \(x-1=0\) gives \(x=1\). For x-axis intercepts y=0, so the points are (-7,0) and (1,0). Option A has the signs reversed; option B lists y-axis points; option D gives unrelated coordinates. Exam tip: equate each factor to zero to find x-zeros, then pair with y=0 for the intercepts.
किसी बहुपद के आलेख में किस तरह से किसी बिंदु का अनुसंधान यह बताता है कि वह बिंदु शून्य (zero) है या नहीं? विशेष रूप से, (x)-अक्ष पर मिलना और (y)-अक्ष पर मिलना यह भिन्न क्यों होता है?
A. "(x)-अक्ष पर graph का y = 0 होता है इसलिए वहाँ \(p(x)=0\) मिलता है/On the (x)-axis y = 0 so there \(p(x)=0\) (zeros occur)"
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद के शून्यक (zeros) वे x-मूल्य हैं जिन पर बहुपद की मान y = 0 होती है। इसलिए जब आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु पर \(y=0\) और इसलिए \(p(x)=0\) होता है — यही शून्यक मिलना है। दूसरी ओर \(y\)-अक्ष पर मिलने का अर्थ है कि \(x=0\) और उस बिंदु की ऊर्ध्वाधर मान \(y=p(0)\) होती है, जो ज़रूरी नहीं कि शून्य हो। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) नहीं होता; केवल तब होगा जब \(p(0)=0\)। विकल्प C और D दोनों सामान्यीकृत गलत दावे हैं। परीक्षा टिप: शून्य ढूँढने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें; y-इंटरसेप्ट जानने के लिए \(x=0\) पर \(p(0)\) मूल्य निकालें। / Zeros of a polynomial are x-values where the polynomial's value is y = 0. Thus an intersection with the (x)-axis means y = 0 at that x, so \(p(x)=0\) — that is a root. An intersection with the (y)-axis means x = 0 and the point is \(y=p(0)\), which need not be zero. Hence A is correct. Option B is the common mistake: the y-axis intersection is not automatically a root unless \(p(0)=0\). Options C and D are overgeneralizations and false. Exam tip: set \(y=0\) to find zeros (solve \(p(x)=0\)); set \(x=0\) to find the y-intercept (compute \(p(0)\)).
काटना (crossing) और स्पर्श (touching) दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक दर्शाते हैं। काटने वाला बिंदु सामान्यतः विषम गुणांक (odd multiplicity) वाला शून्यक होता है (यहाँ x=2), जबकि स्पर्श करने वाला बिंदु सम गुणांक (even multiplicity) वाला शून्यक होता है और वह भी एक ही x-मूल्य पर केवल एक अलग शून्यक गिना जाएगा (यहाँ x=-1)। अतः अलग वास्तविक शून्यक x=2 और x=-1 — कुल 2 हैं। निकटतम विकर्षक (तीन) इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श करने से एक ही x-मूल्य पर दो अलग शून्यक नहीं बनते; गुणांक दो होने पर वह एक ही शून्यक है। परीक्षा युक्ति: अलग शून्यकों की गिनती के लिये केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; multiplicity को अलग-गिणती मत समझें। / Both a crossing and a touching point are x-axis zeros. A crossing point typically corresponds to an odd multiplicity root (here x=2), while a touching point corresponds to an even multiplicity root but still represents one distinct x-value (here x=-1). Therefore the distinct real zeros are x=2 and x=-1 — two in total. The choice 'three' is wrong because a touch (even multiplicity) does not create an additional distinct x-value. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the x-axis; multiplicity does not increase the count of distinct zeros.
x-अक्ष पर कटान बिंदु (a,0) का अर्थ है कि उस फ़ंक्शन/बहुपद का मान x=a पर शून्य है। अतः (a,0), (b,0), (c,0) से शून्यक क्रमशः a, b, c होते हैं। विकल्प A तब ही सही होगा जब a=b=c=0, जो सामान्य रूप में सत्य नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि a+0 = a आदि लिखा जा सकता है — यह सिर्फ अनावश्यक रूप है, न कि अमान्य। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए तीनों कटान बिंदु तीनों शून्य दर्शाते हैं, न कि केवल c। परीक्षा-टिप: किसी x-अक्ष कटान (α,0) से सीधे α को शून्यक समझें। / An x-intercept (a,0) means the function (or polynomial) equals zero at x=a, so the zeros are a, b and c respectively. Choice A would only be true if a=b=c=0, which need not hold. Choice C is incorrect because a+0 = a (writing it that way is valid but redundant). Choice D is wrong because all three intercepts give zeros, not only c. Exam tip: read the x-coordinate of an x-intercept (α,0) as a zero of the polynomial.
B. (0), (2) और (5) शून्यक हैं/(0), (2) and (5) are zeroes
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपद p(x) का ग्राफ बिंदु (a,0) पर x-अक्ष को काटता है, तो उस बिंदु का x-कोऑर्डिनेट a बहुपद का शून्य (root) या शून्यक होता है क्योंकि p(a)=0। यहाँ दिया गया है कि ग्राफ (0,0), (2,0) और (5,0) पर काटता है, अतः x=0, x=2 और x=5 तीनों शून्यक हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प D गलत है क्योंकि वह (0,0) को नजरअंदाज कर रहा है। परीक्षा टिप: (0,0) को अक्सर अनदेखा कर दिया जाता है — किसी भी इंटरसेप्ट को ध्यान से पढ़कर बताइए कि x-कोऑर्डिनेट शून्यक है। / If the graph of a polynomial p(x) passes through (a,0), then a is a zero of the polynomial because p(a)=0. Given intersections at (0,0), (2,0) and (5,0), the zeros are x=0, x=2 and x=5. The closest distractor (D) is incorrect because it ignores the origin (0,0). Exam tip: never skip the origin — treat (0,0) as a valid x-intercept giving the zero x=0.
B. वे परस्पर विपरीत हैं/They are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर काटने के बिंदु उस फलन के शून्यक (zeros) के x-मान देते हैं; यहाँ शून्यक -4 और 4 हैं। ये एक-दूसरे के विपरीत हैं क्योंकि 4 = -(-4)। विकल्प A गलत है क्योंकि -4 ≠ 4; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि एक शून्य धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है। परीक्षा सुझाव: यदि x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु ±a के रूप में होते हैं तो शून्यकों का योग 0 होता है और बहुपद में \(x^2 - a^2\) गुणक होगा। / The x-intercepts give the zeros of the function: here the zeros are -4 and 4. They are opposites because 4 = -(-4). Option A is incorrect since -4 and 4 are not equal; options C and D are wrong because one root is positive and the other is negative. Exam tip: zeros at ±a imply sum 0 and the polynomial has factor \(x^2 - a^2\), which helps quickly identify symmetric roots.
दूरी का अर्थ है दो बिंदुओं के बीच का सकारात्मक अंतर, यानी अनुप्रयोग में हम absolute difference लेते हैं। यहाँ दूरी = |9 - (-3)| = |12| = 12। विकल्प A (6) आम गलती है यदि कोई दूरी की बजाय मध्यबिंदु या दूरी को आधा मान लेता है। विकल्प B (9) तब आती है जब कोई केवल 9 का मान ले लेता है और -3 को नजरअंदाज करता है — यह सही तरीका नहीं है। विकल्प D (-12) गलत है क्योंकि दूरी कभी नकारात्मक नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी दो x-स्थानांकों के बीच दूरी = |x2 - x1| लिखकर तुरंत निकालें। / Distance between two zeros on the x-axis is the absolute difference of their x-coordinates. Here distance = |9 - (-3)| = |12| = 12, so option C is correct. Option A (6) could arise from mistakenly taking half the separation (confusing midpoint with distance). Option B (9) reflects ignoring the negative sign of -3 and using only 9, which is incorrect. Option D (-12) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: compute distance as |x2 - x1| to avoid sign errors.
परिभाषा के अनुसार कोई संख्या \(a\) उस बहुपद का शून्यक तभी होती है जब \(p(a)=0\)। यहाँ सीधे दिया है कि \(p(2)=0\), अतः 2 निश्चित रूप से शून्यक है। जबकि \(p(-1)<0\) और \(p(0)<0\) इन स्थानों पर फलन मान शून्य से भिन्न (ऋण) है — इसलिए \(-1\) और \(0\) शून्यक नहीं हो सकते। विकल्प 'कोई नहीं' गलत है क्योंकि \(p(2)=0\) स्पष्ट रूप से एक शून्यक दर्शाता है। परीक्षा टिप: किसी मान के शून्यक होने की पुष्टि के लिए वही दिया हुआ समीकरण देखें — केवल \(p(a)=0\) पर ही वह मान शून्यक होगा। / By definition a number \(a\) is a zero of the polynomial only if \(p(a)=0\). Here \(p(2)=0\) is given, so 2 is definitely a root. The statements \(p(-1)<0\) and \(p(0)<0\) show values that are nonzero (negative), so \(-1\) and \(0\) are not roots. 'None' is incorrect because \(p(2)=0\) explicitly gives a zero. Exam tip: to confirm a zero, look for an explicit equality \(p(a)=0\); sign information alone (positive/negative) does not prove a root.
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर पार करता है तो उस बिंदु का \(x\)-मान बहुपद का शून्य होता है (उदाहरण: \(x=-2\) पर पार करने का अर्थ \(p(-2)=0\))। उसी प्रकार जब ग्राफ किसी बिंदु पर केवल छूता है तो भी वह बिंदु शून्य देता है (\(x=3\) पर छूने का अर्थ \(p(3)=0\))। इसलिए दोनों \(x=-2\) और \(x=3\) अलग वास्तविक शून्यक हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे केवल \(-2\) या केवल \(3\) इसलिए गलत हैं क्योंकि दोनों बिंदु पर \(p(x)=0\) होता है। परीक्षा टिप: अलग शून्यक लिखते समय सभी भिन्न \(x\)-मान गिनें और यदि पूछा हो तो उनकी गुणात्मक बहुलता (odd/even) भी बताएं। / When a graph crosses the \(x\)-axis at a point, that \(x\)-value is a zero of the polynomial (e.g. crossing at \(x=-2\) means \(p(-2)=0\)). When the graph only touches the axis at a point, that point is also a zero (touching at \(x=3\) means \(p(3)=0\)). Thus both \(x=-2\) and \(x=3\) are distinct real zeros. Close distractors stating only one of the points are incorrect because both give \(p(x)=0\). Exam tip: list all distinct \(x\)-values where the graph meets the axis; check multiplicity (odd for crossing, even for touching) if required.
शून्यक वे x‑मान होते हैं जिन पर गुणनफल का मान \(p(x)=0\) होता है। तालिका में केवल \(p(1)=0\) और \(p(5)=0\) है, इसलिए शून्यक x=1 और x=5 हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि 6 और −4 फल (output) हैं, x‑मान नहीं; विकल्प A गलत है क्योंकि \(p(-2)=6\) और \(p(3)=-4\) से वे x शून्यक नहीं हैं; विकल्प D भी गलत है क्योंकि सभी दिए x‑मानों में से केवल 1 और 5 ही शून्य बनाते हैं। परीक्षा टिप: तालिका या ग्राफ में सीधे उन x‑मानों को चुनें जिनके साथ \(p(x)=0\) लिखा हो। / Zeros of a polynomial are the x‑values for which \(p(x)=0\). From the table we have \(p(1)=0\) and \(p(5)=0\), so the zeros are x=1 and x=5. Option C is incorrect because 6 and −4 are function values (outputs), not x‑values; option A is wrong since \(p(-2)\neq0\) and \(p(3)\neq0\); option D is wrong because not every listed x gives \(p(x)=0\). Exam tip: when given a table, pick the x entries whose corresponding p(x) equals 0.
यदि \(p(a)=0\) तो बिंदु का x-निर्देशांक \(a\) और y-निर्देशांक \(p(a)=0\) होगा, इसलिए वह बिंदु \((a,0)\) है। इसी तरह \(p(b)=0\) से बिंदु \((b,0)\) मिलेगा। इसलिए आलेख x-अक्ष को बिंदुओं \((a,0)\) और \((b,0)\) पर काटता है। भ्रमित करने वाला विकल्प \((0,a)\) और \((0,b)\) इसलिए गलत है क्योंकि वे y-अक्ष पर बिंदु हैं (x=0) और उन पर पहुँचने के लिए हमें \(p(0)=a\) या \(p(0)=b\) चाहिए होता, जो दिया नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखकर x के मान निकालें; यदि कोई शून्य की पुनरावृत्ति (multiplicity) सम है तो ग्राफ़ छू सकता है, विषम होने पर काटता है। / If \(p(a)=0\), the point on the graph has x-coordinate \(a\) and y-coordinate \(p(a)=0\), i.e. the point \((a,0)\). Similarly \(p(b)=0\) gives \((b,0)\). Thus the graph meets the x-axis at \((a,0)\) and \((b,0)\). The tempting option \((0,a)\) and \((0,b)\) is wrong because those are points on the y-axis (x=0) and would correspond to values like \(p(0)=a\), which is not given. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\); note multiplicity — even multiplicity may cause the graph to touch the axis, odd multiplicity makes it cross.
बहुपद के शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ y=0 को काटता है (यानी x‑अक्ष के छेद)। दिए गए बिंदुओं में (1,0) और (4,0) x‑अक्ष पर हैं इसलिए शून्यक 1 और 4 हैं। (0,6) y‑अक्ष पर है (y=6), इसलिए 6 शून्यक नहीं है। निकटतम भ्रमित विकल्प C गलत है क्योंकि उसने 6 को भी शामिल किया जो y‑मान है न कि कोई x‑मान जहाँ y=0। टिप: शून्यक खोजते समय हमेशा बिंदु का y‑मान चेक करें — केवल y=0 वाले बिंदु दें। / Zeros (roots) of a polynomial are the x‑values where the graph meets y=0 (the x‑axis). Here (1,0) and (4,0) lie on the x‑axis, so the zeros are 1 and 4. The point (0,6) is a y‑intercept (y=6), so 6 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because it incorrectly includes 6, which is a y‑coordinate, not an x‑coordinate with y=0. Exam tip: verify y=0 for any intercept before calling its x‑value a root.
