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x-अक्ष पर किसी भी बिंदु का y-मान शून्य होता है, अतः बिंदु \((7,0)\) का y-समन्वय \(0\) है। इसलिए उस बिंदु पर \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 7 x-निर्देशांक है, परंतु फलन का मान नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी बिंदु \((a,0)\) पर यदि ग्राफ x-अक्ष को काटे तो तुरंत लिखें \(p(a)=0\)। / Any point on the x-axis has y-coordinate zero, so at the point \((7,0)\) the function value is \(0\). Therefore \(p(7)=0\). Option B (7) confuses the x-coordinate with the function value; option C (−7) and D (1) are just incorrect numerical choices. Exam tip: For intersection \((a,0)\) with the x-axis always record \(p(a)=0\).
A. \(x=0\) बहुपद का शून्यक है/\(x=0\) is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ बिंदु (0,0) पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद p(x) के लिए p(0)=0 होगा, अतः \(x=0\) निश्चित रूप से एक शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि डिग्री \(0\) होने का मतलब स्थिर (constant) बहुपद p(x)=c (जहाँ c≠0) है जो x-अक्ष को नहीं काटेगा; शून्य बहुपद p(x)=0 की डिग्री परिभाषित नहीं मानी जाती। विकल्प C गलत है क्योंकि केवल यह सुनिश्चित होता है कि 0 एक शून्यक है, पर यह नहीं बताता कि अन्य सभी शून्यक भी 0 हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी बहुपद का ग्राफ फ़ंक्शन होता है और यह y-अक्ष के समानांतर (vertical line) नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु \((a,0)\) पर x-अक्ष को काटना हमेशा दर्शाता है कि \(p(a)=0\)। / If the graph meets the x-axis at (0,0) then for the polynomial p(x) we have p(0)=0, so \(x=0\) is certainly a root. Option B is false because degree 0 means a nonzero constant p(x)=c (c≠0), which cannot cross the x-axis; the zero polynomial is a special case whose degree is not regarded as 0. Option C is false because only one root (0) is guaranteed, not that every root equals 0. Option D is false because a graph parallel to the y-axis would not represent a function of x (and cannot be the graph of a polynomial). Exam tip: whenever the graph crosses x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(p(a)=0\).
A. ग्राफ \(x\)-अक्ष को \((2,0)\) पर छेदता है/The graph intersects the \(x\)-axis at \((2,0)\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(2)=0\) का अर्थ है कि \(x=2\) पर फलन का मान \(y=0\) है, अर्थात् बिंदु \((2,0)\) ग्राफ पर स्थित है। यह वही परिभाषा है जिससे यह पता चलता है कि \(2\) एक शून्य (zero) या x-इंटरसेप्ट है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर आने का अर्थ \(x=0\) होता है, न कि \(x=2\)। विकल्प C सिर्फ किसी क्वाड्राटिक के शीर्ष का दावा करता है; \(p(2)=0\) से शीर्ष का स्थान नहीं मिलता। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=2\) एक पूर्ण ऊर्ध्वाधर रेखा होगी जिसमें हर संभव \(y\) मान आएंगे, जबकि \(p(2)=0\) केवल एक बिंदु बताता है। परीक्षा टिप: सामान्य नियम — यदि \(p(a)=0\) तो बिंदु \((a,0)\) ग्राफ का x-इंटरसेप्ट है; बहुलकता (multiplicity) से पता चलता है कि क्या ग्राफ उस बिंदु पर कटता है या छुकर लौटता है। / \(p(2)=0\) means that at \(x=2\) the function value is \(y=0\), so the point \((2,0)\) lies on the graph. Thus 2 is a zero of the function and corresponds to the x-intercept. Option B is wrong because the y-axis corresponds to \(x=0\), not \(x=2\). Option C is irrelevant: a single equation \(p(2)=0\) does not determine a vertex location. Option D is incorrect because \(x=2\) as a vertical line would contain all \(y\) values, whereas \(p(2)=0\) specifies only the single point \((2,0)\). Exam tip: remember that \(p(a)=0\) always gives the x-intercept \((a,0)\); multiplicity of the root tells you if the graph crosses or merely touches the axis.
A. वह बिंदु बहुपद का शून्यक है और उसकी बहुगुण्यता सम (even multiplicity) है/That point is a zero of the polynomial with even multiplicity (touching root)
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को केवल छूता है तो उस बिंदु पर बहुपद का मान y = 0 होता है और आस-पास के x के लिए फलन का चिह्न नहीं बदलता। यह व्यवहार तभी होता है जब वह शून्यक की बहुगुण्यता सम (even) हो — उदाहरण के लिए बहुगुण्यता 2 पर ग्राफ स्पर्श करके लौटता है। विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है y=0 होना, केवल 'करीब' होना नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि विषम बहुगुण्यता पर ग्राफ अक्ष को काटकर पार कर जाएगा (चिह्न बदलता है)। विकल्प D भी गलत है — एक स्थिर बहुपद (degree 0) x-अक्ष को छू कर लौटने जैसा सामान्य व्यवहार नहीं देता सिवाय शून्य बहुपद के, जो विशेष स्थिति है। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर स्पर्श करते समय सबसे पहले शून्यक की बहुगुण्यता (multiplicity) देखें — सम होने पर स्पर्श, विषम होने पर कटना। / If the curve merely touches the x-axis at a point, the function value there is y=0 and the sign of the polynomial does not change on either side of the point. That occurs when the root has even multiplicity (e.g. multiplicity 2), so the graph is tangent to the axis. Option B is wrong because touching means the value is exactly zero, not just near zero. Option C is wrong because an odd-multiplicity root causes a sign change and the graph crosses the axis. Option D is incorrect — a degree‑0 polynomial is constant and does not produce a typical touch‑and‑return x‑intercept except in the degenerate zero polynomial case. Exam tip: determine the multiplicity of the root — even multiplicity gives touch (tangent), odd multiplicity gives crossing.
\(p(x)=x^2-hx\) को गुणनखण्डित करने पर \(p(x)=x(x-h)\) प्राप्त होता है। x-अक्ष के कटान उन x मानों पर होते हैं जहाँ \(p(x)=0\), अर्थात् \(x=0\) और \(x=h\)। इसलिए कटान बिंदु (0,0) और (h,0) हैं। नज़दीकी विचलन (option B) गलत है क्योंकि वह \(x=-h\) को शून्य मानता है — ऐसा केवल तब होगा जब मूल बहुपद में साइन उल्टा होता। परीक्षा टिप: x-अक्ष कटान पाने के लिए बहुपद को शून्य के बराबर कर के सामान्य कारक निकालें (common factor)। / Factorising \(p(x)=x^2-hx\) gives \(p(x)=x(x-h)\). The x-intercepts are the x-values for which \(p(x)=0\), i.e. \(x=0\) and \(x=h\). Hence the intercepts are (0,0) and (h,0). The closest distractor (option B) is wrong because it presumes \(x=-h\) is a root, which would only occur if the sign of the linear term were reversed. Exam tip: set the polynomial equal to zero and factor out the common x to find roots quickly.
ग्रह के x-अक्ष पर छेदन बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ फलन का मान शून्य होता है। \(p(x)=x^2-ex\) को गुणन करके लिखें: \(x^2-ex=x(x-e)\)। इसलिए \(p(x)=0\) तभी जब \(x=0\) या \(x=e\)। अतः x-अक्ष के छेदन बिंदु \((0,0)\) और \((e,0)\) हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प B में -e गलत है क्योंकि गुणनखंड से -e नहीं आता; विकल्प D में \((0,e)\) x-अक्ष पर नहीं है (y≠0)। परीक्षा टिप: सामान्य गुणक (common factor) निकालकर शून्य के नियम का प्रयोग करें। / X-intercepts occur where the function value is zero. Write \(p(x)=x^2-ex\) as \(x^2-ex=x(x-e)\). So \(p(x)=0\) when \(x=0\) or \(x=e\). Hence the x-intercepts are \((0,0)\) and \((e,0)\). About distractors: option B is incorrect because the factorization does not give \(-e\); option D is wrong because \((0,e)\) does not lie on the x-axis (y≠0). Exam tip: always factor out the common factor and apply the zero-product property.
यदि किसी बहुपद के ग्राफ का x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु \( (0,0) \) और \( (d,0) \) हैं जहाँ \( d\neq 0 \), तो उस बहुपद के शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के x-निर्देशांक वही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यक \(0\) और \(d\) हैं। उनका गुणनफल \(0\times d=0\)। नज़दीकी विचलन: \(d\) गलत है क्योंकि एक शून्यक 0 है; \(d^2\) तब ही सही होता यदि दोनों शून्यक \(d\) होते; \(-d\) साइन की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: यदि शून्यकों में \(0\) शामिल हो तो कुल गुणनफल अवश्य \(0\) होगा। / The x-coordinates of x-axis intersections are the polynomial's zeroes, so the zeroes are \(0\) and \(d\). Their product is \(0\times d=0\). Closest distractors: \(d\) is wrong because one factor is zero; \(d^2\) would be correct only if both zeroes were \(d\); \(-d\) is incorrect due to sign. Exam tip: if one root is \(0\), the product of roots is always \(0\).
ग्राफ के शून्यक x = 7 और x = -4 हैं। स्पर्श बिंदु भी शून्यक होता है (समान्यतः सम घातांक — multiplicity — पर स्पर्श होता है), इसलिए शून्यकों का योग 7 + (−4) = 3 है। विकल्प B (11) तब होता यदि दोनों मानों का परस्पर संकेत न लिया जाता; विकल्प D (−3) केवल संकेत उल्टा करने पर मिलता। परीक्षा टिप: ग्राफ का स्पर्श बिंदु भी शून्यक माना जाता — केवल स्पर्श या क्रॉस होने से उसके मान में कोई बदलाव नहीं आता, केवल घातांक (multiplicity) बदलता है। / The zeros are x = 7 and x = −4. A touching point still gives a zero (typically with even multiplicity), so the sum is 7 + (−4) = 3. Option B (11) would arise if you added absolute values 7 + 4 ignoring the sign; option D (−3) is the negative of the correct sum. Exam tip: count a touching point as a root — touching vs crossing affects multiplicity (shape), not the x-value of the zero.
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु x-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point also lies on the x-axis
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद y = p(x) का शून्यक वह x‑मान है जिसके लिए p(x)=0, यानी ग्राफ़ x-अक्ष (y=0) को छूता या काटता है। बिंदु (0,0) पर y का मान 0 है, अतः p(0)=0 और x=0 बहुपद का शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि (0,0) में y=0 होने से स्पष्ट रूप से p(0)=0 मिलता है; इसे केवल y‑कटान मानने या निष्कर्ष न निकाले जाने का तर्क गलत है। परीक्षा टिप: किसी दिए बिंदु को देखकर सीधे उसके y‑निर्देशांक की जाँच करें — यदि y=0 है तो उसका x शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial y = p(x) is an x-value for which p(x)=0, i.e. a point on the x-axis (y=0). The point (0,0) has y=0, so p(0)=0 and x=0 is a root. Options B and C are incorrect because the origin being on the graph directly gives p(0)=0; it is not merely a y‑intercept that excludes being a root nor is it inconclusive. Exam tip: check the y‑coordinate of the intersection — if y=0, the corresponding x is a root (here x=0).
\(p(x)=x^2-6kx+9k^2=(x-3k)^2\) है, इसलिए बहुपद का शून्यक पुनरावृत्त (double root) है और वह \(x=3k\) पर है। इसका अर्थ है कि ग्राफ x-अक्ष को केवल इस बिंदु पर स्पर्श करेगा। निकटभ्रष्ट विकल्प \(x=k\) गलत है क्योंकि \(p(k)=k^2-6k^2+9k^2=4k^2\), जो सामान्य रूप से शून्य नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद को पूर्ण वर्ग में बदलकर या विभेदक \(\Delta=b^2-4ac\) की जाँच (यहाँ \(\Delta=0\)) कर लें। / Factorising gives \(p(x)=x^2-6kx+9k^2=(x-3k)^2\), so there is a repeated (double) root at \(x=3k\); the graph therefore touches the x-axis at that x-value. The closest distractor \(x=k\) is wrong because \(p(k)=k^2-6k^2+9k^2=4k^2\), which is not zero for general k. Exam tip: look for a perfect square form or check the discriminant (here \(\Delta=0\)) to detect a tangent/double root.
स्पर्श करने और काटने दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक होने का संकेत हैं; इसलिए शून्यक x-निर्देशांक 5 और -3 हैं। उन दोनों का योग 5 + (−3) = 2 है। नज़दीकी ग़लत विकल्प पर टिप्पणी: −2 केवल साइन में उलट है जबकि 8 और −8 गणना‑त्रुटि या परिमाणों का जोड़ है। परीक्षा की युक्ति: किसी बिंदु पर स्पर्श भी शून्यक माना जाता है; शून्यक की मानों को सीधे जोड़ें। / Both touching and crossing at the x-axis indicate roots; the roots (x-coordinates) are 5 and −3. Their sum is 5 + (−3) = 2. Note on distractors: −2 is a sign error, while 8 or −8 result from arithmetic or absolute-value mistakes. Exam tip: A touching point is still a root—use the x-coordinates of the intercepts to find the sum of zeros unless multiplicities are explicitly counted.
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु x-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point lies on the x-axis as well
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ़ y = p(x) किसी बिंदु (0,0) से गुजरता है तो उस बिंदु का y-मान p(0)=0 होगा, अत: x=0 एक शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,0) दोनों अक्षों पर होता है — यह सिर्फ़ y-अक्ष पर कटना नहीं कहता कि x=0 शून्यक नहीं होगा। विकल्प C बिंदु के दिए हुए निर्देशांक से टकराता है; (0,0) होने पर p(0) कोई अन्य मान नहीं ले सकता। विकल्प D अतिदर्शित है — किसी भी y-अक्ष-अन्तरछेदन से सभी x शून्यक नहीं बनते। परीक्षा-टिप: किसी भी संभावित शून्यक a के लिये सीधे \(p(a)\) पर मान लगाकर देखें; यदि \(p(a)=0\) है तो a शून्यक है। / If the graph of y = p(x) passes through (0,0), then the y-value at x=0 is \(p(0)=0\); therefore x=0 is a root (zero) of the polynomial. Option B is incorrect because the origin lies on both axes, so saying it only intersects the y-axis does not exclude x=0 being a zero. Option C contradicts the given point: if the graph goes through (0,0) then \(p(0)\) cannot be nonzero. Option D is false — intersecting the y-axis does not imply every x is a zero. Exam tip: test a candidate root a by evaluating \(p(a)\); if \(p(a)=0\), then a is a zero.
दिए गए बिंदु बतलाते हैं कि बहुपद के शून्यक \(0\) और \(a\) हैं। शून्यकों का गुणनफल सीधे उन दोनों का गुणन है: \(0\times a=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। नजदीकी विचलन जैसे \(a\) या \(a^2\) इस कारण गलत हैं कि वे शून्य को ध्यान में नहीं रखते — यदि शून्य शून्यकों में से एक है तो समूचे गुणनफल का मान शून्य ही रहेगा। परीक्षा टिप: यदि किसी बहुपद के शून्यकों में \(0\) शामिल है तो शून्यकों का गुणनफल हमेशा 0 ही होगा, गुणन में किसी भी अन्य मान का प्रभाव नहीं। / The x-intercepts show the zeros are 0 and \(a\). The product of the zeros is \(0\times a=0\). Hence 0 is correct. Closest distractors like \(a\) or \(a^2\) are wrong because they ignore the presence of the zero root — any product containing 0 equals 0. Exam tip: whenever 0 is one of the roots of a polynomial, the product of all roots is 0 regardless of the other roots or their multiplicities.
A. \(\left(\frac{5}{2},0\right),\ \left(-\frac{5}{2},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर कटबिंदु बहुपद के शून्य (zeros) होते हैं। \(p(x)=4x^2-25=0\) से, यह अंतर वर्ग (difference of squares) के रूप में लिखा जा सकता है: \((2x)^2-5^2=0\) अर्थात् \((2x-5)(2x+5)=0\)। अतः \(2x-5=0\) या \(2x+5=0\) से \(x=\pm\frac{5}{2}\)। इसलिए कटबिंदु \(\left(\frac{5}{2},0\right)\) और \(\left(-\frac{5}{2},0\right)\) हैं। नज़दीकी भूल: विकल्प B तब होगा जब कोई \(2x\) को अनदेखा कर के सीधे \(x=\pm5\) ले लेता है — यह गलत है। परीक्षा सुझाव: \(4x^2-25\) को \((2x)^2-5^2\) समझकर तुरंत गुणनखंड करें या दोनों पक्ष का वर्गमूल लेते समय \(\pm\) याद रखें और \(x\) के गुणांक से भाग दें। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Set \(p(x)=4x^2-25=0\). Recognize a difference of squares: \((2x)^2-5^2=0\), so \((2x-5)(2x+5)=0\). Thus \(2x-5=0\) or \(2x+5=0\) giving \(x=\pm\tfrac{5}{2}\). Therefore the intercepts are \(\left(\tfrac{5}{2},0\right)\) and \(\left(-\tfrac{5}{2},0\right)\). Closest distractor B arises from forgetting the factor 2 (mistakenly taking \(x=\pm5\)). Exam tip: factor as a difference of squares or take square roots remembering the \(\pm\) and divide by the coefficient of \(x\).
B. कथन गलत है क्योंकि (0,0) दोनों अक्षों पर आता है — इसलिए यदि ग्राफ (0,0) पर है तो \(p(0)=0\) और 0 शून्यक है/The statement is wrong because (0,0) lies on both axes — if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and 0 is a zero
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्रफल या बहुपद के शून्यक (zeros) वह x–मान होते हैं जिनके लिए y = 0 होता है; अर्थात् शून्यक x = a होने पर ग्राफ़ पर बिंदु (a,0) होता है। मूल बिंदु (0,0) दोनों अक्षों पर स्थित है, अतः यदि ग्राफ (0,0) पर जाता है तो \(p(0)=0\) और 0 एक शून्यक है। विकल्प C गलत है क्योंकि उससे ऐसा संकेत मिलता है कि y-अक्ष पर कोई शून्यक कभी नहीं हो सकता — पर ऐसा केवल तब गलत होगा जब बिंदु y-अक्ष के अन्य स्थानों पर हो; मूल बिंदु विशेष है। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का शून्यक खोजने के लिए देखें कि क्या ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y=0)। / A zero of a polynomial corresponds to an x-value where y = 0, i.e. an x-intercept (a,0). The origin (0,0) lies on both axes, so if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and x=0 is a root. Option C is incorrect because it wrongly asserts that no zero can lie on the y-axis — the origin is a special case where a point lies on both axes. Exam tip: to identify roots from a graph, check x-intercepts (points with y=0).
A. दोनों वास्तविक शून्यक हैं — \(x=-3\) और \(x=2\)/Both x = -3 and x = 2 are real zeroes
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है या केवल छूता है तब उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् \(p(x)=0\)। "काटना" सामान्यतः उस शून्य का विषम गुणांक (multiplicity odd) दर्शाता है और "छूना" सम गुणांक (multiplicity even) दर्शाता है। उदाहरण: \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) में \(x=-3\) पर ग्राफ काटेगा और \(x=2\) पर छुएगा; दोनों ही वास्तविक शून्यक हैं। गलत विकल्पों का कारण: B और C में केवल एक शून्यक मानें गये हैं जबकि दोनों पर \(p(x)=0\) है; D पूरी तरह गलत है। परीक्षण युक्ति: किसी बिंदु पर ग्राफ का संकेत बदलना बताता है कि वह शून्यक काट रहा है (odd multiplicity), और संकेत नहीं बदलना बताता है कि वह छू रहा है (even multiplicity). / If a polynomial's graph crosses or touches the x-axis at a point, the polynomial evaluates to zero there, i.e. \(p(x)=0\). Crossing typically corresponds to an odd multiplicity of the root, touching corresponds to an even multiplicity. For example, \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) crosses at \(x=-3\) and touches at \(x=2\); both are real zeroes. Why others are wrong: B and C claim only one zero exists though both satisfy \(p(x)=0\); D is false. Exam tip: check whether the graph changes sign at the root — sign change means crossing (odd multiplicity), no sign change means touching (even multiplicity).
बहुपद के शून्यक वे मान हैं जिनपर बहुपद शून्य हो जाता है। गुणनखंड रूप \((x-1)(x+4)\) में शून्य प्राप्त करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखें: \(x-1=0\) से \(x=1\), और \(x+4=0\) से \(x=-4\)। बाहरी ऋण चिह्न केवल संपूर्ण मान बदलता है, शून्यक नहीं। करीबी ध्रुवीकरण (option B) गलत है क्योंकि वहाँ चिन्ह उल्टे कर दिए गए हैं। टिप: किसी बहुपद में किसी भी गैर‑शून्य समिश्र गुणांक (जैसे −1) से शून्यक प्रभावित नहीं होते—हर गुणनखंड को शून्य मानकर जड़ों को खोजें। / Zeros are values of x that make the polynomial equal to zero. From the factor form \((x-1)(x+4)\) set each factor to zero: \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+4=0\) gives \(x=-4\). The leading negative sign only multiplies the polynomial and does not change its roots. The closest distractor (option B) merely has the signs swapped, so it is incorrect. Exam tip: multiplying the polynomial by any nonzero constant does not change its zeros—solve each factor = 0 to find roots.
x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुगुणक के शून्य (zeroes) होते हैं। दो शून्य 2 और 14 हैं, अतः उनका औसत = \(\frac{2+14}{2}=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। निकटतम भ्रमित विकल्प 6 गलती से 2 और किसी अन्य संख्या का गलत औसत मानने पर आया होगा; 12 और 16 भी सही नहीं हैं क्योंकि वे 2 और 14 का माध्य नहीं हैं। परीक्षा-सूत्र: x-अक्ष के इंटरसेप्ट के x-निर्देशांकों का सरल अंकगणित माध्य लें — यही शून्यकों का औसत होता है। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeroes (roots) of the polynomial. Here the zeroes are 2 and 14, so their average is \(\frac{2+14}{2}=8\). Thus 8 is correct. The closest distractor 6 is incorrect (it is not the mean of 2 and 14); 12 and 16 are also not the arithmetic mean of the two roots. Exam tip: for two x-intercepts the average of the zeroes equals the midpoint of their x-coordinates, compute \(\frac{x_1+x_2}{2}\).
x-अक्ष पर कटान बिंदु वह बिंदु है जहाँ p(x)=0 होता है और y मान शून्य होता है। \(p(x)=3x-15\) को शून्य रखें: \(3x-15=0\) से \(x=5\) प्राप्त होता है। अतः कटान बिंदु \((5,0)\) है। निकटभ्रामक विकल्प \((0,-15)\) y-अक्ष पर कटान (y-intercept) है क्योंकि \(p(0)=-15\)। परीक्षात्मक सुझाव: रैखिक बहुपद के x-अक्ष का छेद पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और परिणाम को \((x,0)\) रूप में लिखें। / An x-intercept occurs where p(x)=0 (y=0). Set \(p(x)=3x-15=0\) which gives \(x=5\), so the x-intercept is \((5,0)\). The option \((0,-15)\) is the y-intercept because \(p(0)=-15\). Exam tip: For a linear polynomial set \(p(x)=0\) to find the x-value, then write the intercept as \((x,0)\).
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ (x)-अक्ष को दो अलग स्थानों पर काटता है तो उन दोनों काटनों के x‑मान बहुपद के दो अलग वास्तविक शून्यक दर्शाते हैं। दोहराए हुए शून्यक (multiplicity ≥ 2) पर ग्राफ सामान्यतः अक्ष को स्पर्श करता पर पार नहीं करता — इसलिए विकल्प B गलत है। विकल्प C और D व्यावहारिक रूप से असंगत हैं: कोई वास्तविक शून्यक न होने पर अक्ष पर कोई कटान नहीं होना चाहिए, और "हर बिंदु शून्यक" केवल शून्य बहुपद (identically zero) के लिए सत्य होता है। परीक्षात्मक टिप: अक्ष को काटना = समिक बहुलक का विषम गुणा‑घात (odd multiplicity) की संभावना; स्पर्श करना = समान्यतः सम गुणा‑घात (even multiplicity)। / When the graph crosses the (x)-axis at two different x-values, those x-values are two distinct real roots of the polynomial. A repeated root (multiplicity ≥ 2) typically causes the graph to touch the axis without crossing, so option B is incorrect. Options C and D are inconsistent with two crossings: no real root would give no crossings, and "every point is a zero" only holds for the identically zero polynomial. Exam tip: crossing the axis usually corresponds to a root of odd multiplicity, while touching without crossing corresponds to even multiplicity.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं \\((a), (0), (-a)\\)। इनका योग \\((a+0+(-a)=0)\\)। निकटवर्ती गलती वाले विकल्प \\((2a)\\) को चुनने वाले विद्यार्थी अक्सर \\(|a|+|a|\\) की तरह सोच लेते हैं; पर वास्तविक योग में विपरीत चिह्न मायने रखता है। परीक्षात्मक सुझाव: माता-पिता (opposite) जोड़े तुरंत शून्य कर देते हैं—विपरीत संख्याओं को जोड़ते समय उनका जोड़ शून्य होगा। / The x-intercepts give the zeros of the polynomial: the zeros are \\((a), (0), (-a)\\). Their sum is \\((a+0+(-a)=0)\\). A common wrong choice is \\((2a)\\) — that arises if one mistakenly adds absolute values or ignores the negative sign. Exam tip: pair opposite numbers first; they cancel to zero.
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए y‑मान शून्य होता है, यानी जब \,f(x)=0\, या सामान्य रूप से \(y=0\)। बिंदु (5, 0) में y=0 है, इसलिए x=5 निश्चित रूप से शून्यक है। बिंदु (2, 3) में y=3 है इसलिए x=2 शून्यक नहीं है; विकल्प d (x=0) तब ही शून्यक होता अगर ग्राफ पर (0,0) मौजूद होता। परीक्षात्मक टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y‑सहित दोनों निर्देशांकों को जाँचें — शून्यक के लिए y=0 आवश्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value for which the y‑value is zero, i.e. \(f(x)=0\) or \(y=0\). The point (5, 0) has y=0, so x=5 is definitely a zero. The point (2, 3) has y=3, so x=2 is not a zero; x=0 would be a zero only if the graph contained (0, 0). Exam tip: always check the y‑coordinate — an x‑value is a root only when the corresponding y is zero.
बहुपद का शून्यक \(x=a\) होने का अर्थ है कि \(p(a)=0\)। ग्राफ़ पर इसका मतलब है कि बिंदु \((a,0)\) मौजूद है। इसलिए \(x=9\) शून्यक होने के लिए बिंदु \((9,0)\) होना आवश्यक और पर्याप्त है। गलत विकल्पों का संक्षेप में कारण: \((0,9)\) और \((9,9)\) में y ≠ 0 है, इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते; \((-9,0)\) पर y = 0 जरूर है पर x = -9 है न कि 9। परिक्षा टिप: शून्यक की जाँच के लिए हमेशा y = 0 (x-अक्ष) देखें। / A zero \(x=a\) of a polynomial means \(p(a)=0\). On the graph this appears as the point \((a,0)\). Thus to show \(x=9\) is a zero the graph must contain \((9,0)\). Why other options fail: \((0,9)\) and \((9,9)\) have y ≠ 0 so they are not x-intercepts; \((-9,0)\) has y = 0 but x = -9, not 9. Exam tip: to test a claimed zero, check whether the point with that x-coordinate lies on the x-axis (y=0).
एक बहुपद का शून्य वही x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। दिए गए बिंदु \((r,0)\) का प्रथम निर्देशांक \(r\) है और शर्त में \(r>0\) दिया है, अतः शून्य धनात्मक होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(r>0\) के विपरीत कहता है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(r=0\) हो, जो यहाँ नहीं दिया गया; विकल्प D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर कटान का मौजूद होना शून्य के होने की प्रत्यक्ष पहचान है। परीक्षा-टिप: किसी भी x-अक्ष के कटान पर बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्य (root) होता है और उसका चिह्न उसी संख्या से मिलता है। / The root (zero) of a polynomial is the x-coordinate where its graph meets the x-axis. At the point \((r,0)\) the x-coordinate is \(r\), and since \(r>0\) the root is positive. Option A is wrong because it contradicts \(r>0\); option C would be true only if \(r=0\), which is not given; option D is incorrect because an x-axis intersection means the polynomial evaluates to zero there. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept to get the root and its sign.
शून्यक वे x-मान होते हैं जिनके लिए p(x)=0 होता है। तालिका में p(-1)=0 और p(3)=0 दिये हैं, अतः शून्यक \\(-1\\) और \\(3\\) हैं। इनका गुणनफल \\((-1)\\times(3)= -3\\) होगा। विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वहाँ चिह्न का ध्यान नहीं रखा गया; विकल्प C (0) तब ही सही होता यदि किसी शून्यक का मान 0 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: केवल उन x-मूल्यों को लें जिनके लिए p(x)=0 लिखा हो। / Zeros are the x-values where p(x)=0. From the table p(-1)=0 and p(3)=0, so the zeros are \(-1\) and \(3\). Their product is \((-1)\times(3) = -3\). Option B (3) is incorrect because it ignores the negative sign of \(-1\); option C (0) would be correct only if one of the zeros were 0, which is not the case here. Exam tip: consider only x-values that satisfy p(x)=0 when identifying zeros.
B. ग्राफ (0,0) से गुजरता है/The graph passes through (0,0)
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपद को हम p(x) मानें तो 0 वास्तविक शून्यक तभी होगा जब \(p(0)=0\)। ज्यामितीय अर्थ में यह तब होता है जब बहुपद का ग्राफ मूल बिंदु (0,0) से गुज़रता है। विकल्प C (ग्राफ (5,0) से गुजरना) केवल बताता है कि \(p(5)=0\) यानी 5 एक शून्यक है, परन्तु 0 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में x=0 रखकर तुरंत \(p(0)\) निकालें — अगर परिणाम 0 आए तो 0 शून्यक है। / If the polynomial is denoted by p(x), 0 is a real zero exactly when \(p(0)=0\). Geometrically this means the graph passes through the origin (0,0). Choice C (graph passing through (5,0)) indicates \(p(5)=0\), so 5 is a root but not 0. Exam tip: substitute x=0 into the polynomial; if \(p(0)=0\) then 0 is a root.
x-अक्ष पर दो बिंदुओं x1 और x2 के बीच की दूरी उनके x-निर्देशांकों के अंतर का परिमाण होती है। यहाँ दूरी = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13। विकल्प B (9) गलत है — यह केवल एक शून्यक का मान है, न कि दोनों के बीच की दूरी। विकल्प A (5) गलत होगा जब कोई गलती से 9 - 4 कर ले। विकल्प D (-13) गलत है क्योंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है। परीक्षा टिप: दूरी के लिये हमेशा परिमाण (absolute value) लें, यानी |x2 - x1|। / Distance on the x-axis between two points x1 and x2 is the absolute difference |x2 - x1|. Here distance = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13. Option B (9) is wrong — it is just one zero’s coordinate, not the separation. Option A (5) is a common mistake from doing 9 - 4 instead of 9 - (-4). Option D (-13) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: always use absolute value: distance = |x2 - x1|.
x-अक्ष पर कटान बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ \(p(x)=0\) अर्थात् बिंदु का स्वरूप \((a,0)\) होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(-3)=0\) और \(p(8)=0\) हैं, अतः कटान बिंदु \((-3,0)\) और \((8,0)\) हैं। विकल्प B में \((2,5)\) दिया है पर \(p(2)=5\) शून्य नहीं है, इसलिए वह x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा सलाह: हमेशा देखें कि दिया गया बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है या नहीं (यानी क्या \(p(a)=0\))। / An x-axis intersection occurs at points \((a,0)\) where \(p(a)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(8)=0\), the x-intercepts are \((-3,0)\) and \((8,0)\). Option B lists \((2,5)\), but \(p(2)=5\) is not zero, so that point is not on the x-axis. Exam tip: to find x-intercepts from function values, check which input values give \(p(x)=0\).
ग्राफ़ का किसी बिंदु पर कटना यानी वह बिंदु \\((p(x)=0)\\) का वास्तविक शून्यक है और उस शून्यक की घनत्व (multiplicity) सम संख्या नहीं (odd) होगी। स्पर्श होने का मतलब है कि शून्यक की घनत्व सम संख्या (even) है। यहाँ कटना x=1 और स्पर्श x=6 दो अलग x‑मान दे रहे हैं, इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प 'तीन' इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श की सम घनत्व से अतिरिक्त भिन्न x‑मान नहीं बनते—वे वही x‑मान दोहराते हैं। परीक्षा टिप: अलग वास्तविक शून्यक गिनते समय केवल अलग x‑मान गिनें; multiplicity से फर्क नहीं पड़ता। / A crossing at a point means the polynomial has a zero there (\\((p(x)=0)\\)) with odd multiplicity; a touch means a zero with even multiplicity. Crossing at x=1 and touching at x=6 are two distinct x‑values, so there are 2 distinct real zeros. The common mistake is to count multiplicities (which could give a larger total count); multiplicity does not change the number of distinct zeros. Exam tip: count distinct x‑values where \\((p(x)=0)\\) rather than multiplicities.
बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जिन पर y का मान शून्य होता है। यहाँ दिए गए बिंदुओं में केवल (-4,0) और (2,0) पर y = 0 है, अतः वास्तविक शून्यक -4 और 2 हैं। विकल्प B भ्रमित करने वाला है क्योंकि (0,3) में x=0 है पर y=3 (शून्य नहीं) और (5,-1) में y=-1 है; इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल उन बिंदुओं को चुनें जो x-अक्ष पर पड़े हों यानी जहाँ \\(y=0\\)। / Zeros of a polynomial are the x-values where the function value is zero. Among the given points only (-4,0) and (2,0) have y = 0, so the real zeros are -4 and 2. Option B is a common trap: (0,3) has x=0 but y=3 (not zero), and (5,-1) has y=-1, so neither gives a zero. Exam tip: pick points lying on the x-axis, i.e. where \(y=0\).
