Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शर्तों से (a+b=-21) और (4a-b=11) मिलते हैं, इसलिए (a=-2), (b=-19) और (a-b=17)। दो शून्य दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (a+b=-21) and (4a-b=11), so (a=-2), (b=-19), and (a-b=17). When two zeros are given, form two equations.
(p(1)=0) से (a+b=9) और (p(5)=0) से (5a+b=-23), इसलिए (a=-8) नहीं बल्कि (a=-8) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=9) and (p(5)=0) gives (5a+b=-23), so (a=-8). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (1+a+b+18=0), इसलिए (a+b=-19)। पूछे गए योग के लिए यह शर्त सीधे पर्याप्त है। / From (p(1)=0), (1+a+b+18=0), so (a+b=-19). This condition is directly enough for the asked sum.
(p(4)=0) और (p(5)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान इस बहुपद के शून्य हैं। / (p(4)=0) and (p(5)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of this polynomial.
(p(6)=0) और (p(-2)=0), इसलिए अंतर (0) है। दोनों मान अलग निकालकर ही घटाएं। / (p(6)=0) and (p(-2)=0), so the difference is (0). Find both values separately before subtracting.
शून्य (-4) और (1) होने पर बहुपद ((x+4)(x-1)=x-2+3x-4) है। इसलिए (b=-4)। / With zeros (-4) and (1), the polynomial is ((x+4)(x-1)=x-2+3x-4). Hence (b=-4).
शून्य (-2) और (5) हैं, इसलिए बहुपद ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10) है। अतः (a+b=-3-10=-13)। / The zeros are (-2) and (5), so the polynomial is ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10). Hence (a+b=-3-10=-13).
शर्तों से (2a+b=2) और (3a+b=-5) मिलते हैं, इसलिए (a=-7), (b=16) और (a+b=9)। दो मान दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (2a+b=2) and (3a+b=-5), so (a=-7), (b=16), and (a+b=9). When two values are given, form two equations.
(p(1)=0) से (a+b=5) और (p(2)=0) से (2a+b=-1), इसलिए (a=-6) नहीं बल्कि (a=-6) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=5) and (p(2)=0) gives (2a+b=-1), so (a=-6). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (a+b=-13) सीधे मिलता है। दूसरी शर्त संगति जांचती है लेकिन पूछे गए योग के लिए पहली शर्त पर्याप्त है। / From (p(1)=0), we directly get (a+b=-13). The second condition checks consistency, but the first is enough for the asked sum.
(p(3)=0) और (p(4)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान इस बहुपद के शून्य हैं। / (p(3)=0) and (p(4)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of this polynomial.
शून्य (-1) और (5) होने पर बहुपद ((x+1)(x-5)=x-2-4x-5) है। इसलिए (b=-5)। / With zeros (-1) and (5), the polynomial is ((x+1)(x-5)=x-2-4x-5). Hence (b=-5).
शून्य (2) और (4) हैं, इसलिए बहुपद ((x-2)(x-4)=x-2-6x+8) है। अतः (a+b=-6+8=2)। / The zeros are (2) and (4), so the polynomial is ((x-2)(x-4)=x-2-6x+8). Hence (a+b=-6+8=2).
(p(1)=1+a+b+4=0) और (p(-1)=-1+a-b+4=0), इसलिए (2a+4=0) नहीं बल्कि जोड़ने पर (2a+8=0), अतः (a=-4)। संकेतों को सावधानी से जोड़ें। / (p(1)=1+a+b+4=0) and (p(-1)=-1+a-b+4=0); adding gives (2a+8=0), so (a=-4). Add signs carefully.
शर्तों से (a+b=-7) और (4a-2b=2), इसलिए (a=-2), (b=-5) और (a-b=3)। सही गणना से (a-b=3) मिलता है। / The conditions give (a+b=-7) and (4a-2b=2), so (a=-2), (b=-5), and (a-b=3). The correct value is (3).
(p(2)=0) और (p(3)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान बहुपद के शून्य हैं। / (p(2)=0) and (p(3)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of the polynomial.
शर्तों से (1+a+b=0) और (4+2a+b=0), इसलिए (a=-3), (b=2) और (a+b=-1)। सही विकल्प (-1) है। / The conditions give (1+a+b=0) and (4+2a+b=0), so (a=-3), (b=2), and (a+b=-1). The correct option is (-1).
बिंदु \\((9,0)\\) x-अक्ष पर है, अतः बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है। यदि ग्राफ किसी बहुपद p(x) का है तो \\((p(9)=0)\\) होगा — इसका अर्थ है कि x=9 उस बहुपद का शून्यक (root) है। प्रश्न में ऊपर से नीचे क्रॉस होना संकेत देता है कि बहुपद का मान उस बिंदु पर साइन बदलता है (positive से negative) — यह केवल x-अक्ष पर मौजूद सामान्य बिंदु होने का बयान (विकल्प D) गलत ठहराता है; विकल्प C भी गलत है क्योंकि वहाँ y=0 होना चाहिए न कि 9। परीक्षा-टिप: किसी भी बिंदु के शून्यक होने की जाँच के लिए बिंदु का y-निर्देशांक देखें — यदि y=0 तो संबंधित x मान root है। / The point \\((9,0)\\) lies on the x-axis, so its y-coordinate is zero. For a graph of a polynomial p(x), this means \\((p(9)=0)\\) — therefore x=9 is a root (zero) of the polynomial. The fact that the curve goes from above to below shows a sign change at x=9 (crossing the axis). Option D is wrong because a point on the x-axis with y=0 is by definition a zero; option C is wrong because it asserts p(9)=9 whereas the y-value is 0. Exam tip: always check the y-coordinate — if y=0 the corresponding x is a zero of the polynomial.
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए ग्राफ x‑अक्ष को काटता (y = 0)। प्रतिच्छेद \(-\sqrt{3},0\) में x‑निर्देशांक -\sqrt{3} है, इसलिए शून्यक -\sqrt{3} होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि संकेत विपरीत है; विकल्प C केवल y‑निर्देशांक (यहाँ 0) है, जो शून्यक नहीं है; विकल्प D पूरे बिंदु को दर्शाता है, जबकि शून्यक एक मात्रांक (x‑मान) होता है। परीक्षा सुझाव: x‑अक्ष का प्रतिच्छेद हमेशा (x,0) के रूप में लिखें — शून्यक वही x होगा। / A zero of a polynomial is the x‑value where its graph meets the x‑axis (y = 0). The intercept \(-\sqrt{3}, 0\) has x‑coordinate -\sqrt{3}, so the zero is -\sqrt{3}. Option B has the wrong sign; option C is the y‑coordinate (0) not the x‑value; option D gives the ordered pair, not the zero (a single x‑value). Exam tip: remember x‑axis intercepts are of the form (x,0); the zero is the x in that pair.
x-अक्ष पर मिलने के लिये p(x)=0 होना चाहिए। इसलिए
\(x^2-2x-8=0\)
इसे गुणनखण्डित करें: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\)। अतः \(x=4\) और \(x=-2\)। इसलिए x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदु (-2,0) और (4,0) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह जड़ें x=2 और x=-4 देता है जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करतीं; विकल्प C साथों (y)-अक्ष पर बिंदु दिखा रहा है; विकल्प D यादृच्छिक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर छेदने के बिंदु पाने के लिये हमेशा p(x)=0 रखें और गुणनखंड या द्विघाती सूत्र से हल करें। / To meet the x-axis we set p(x)=0. So
\(x^2-2x-8=0\).
Factorizing gives \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\). Thus \(x=4\) and \(x=-2\), so the intersection points are (-2,0) and (4,0). Option B is incorrect because it corresponds to roots x=2 and x=-4 which do not satisfy the equation; option C lists points on the y-axis; option D is unrelated. Exam tip: Always set p(x)=0 to find x-intercepts and solve by factoring or the quadratic formula to avoid sign mistakes.
शून्यक (zero) वह x‑मान होता है जहाँ फंक्शन का मान शून्य होता है। x‑अक्ष पर कटने का बिंदु \((2.5,0)\) बताता है कि f(2.5)=0, अतः शून्यक संख्या \(2.5\) है। विकल्प B बिंदु है न कि शून्यक; विकल्प C केवल y‑मान (0) है; विकल्प D में निर्देशांक उल्टे हैं। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर इंटरसेप्ट का पहले घटक ही शून्यक होता है — यानी अगर बिंदु \((a,0)\) है तो शून्यक \(a\) है। / A zero of a polynomial is the x‑value where the function equals zero. The intercept \((2.5,0)\) means \(f(2.5)=0\), so the zero is the number \(2.5\). Option B is the coordinate point (not the numerical root); C is the y‑value 0; D has the coordinates reversed. Exam tip: when the graph meets the x‑axis at \((a,0)\), the zero (root) is the x‑coordinate \(a\).
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद के लिये बहुपद के शून्य खोजें: \(p(x)=0\) । यहाँ \(4x=0\) से \(x=0\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((0,0)\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \((4,0)\) गलत है क्योंकि \(p(4)=4\times4=16\) शून्य नहीं है। विकल्प \((0,4)\) को भ्रमित करने से बचें — वह y-अक्ष पर बिंदु है (यदि \(p(0)=4\) होता)। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का x-अक्ष पर प्रतिच्छेद खोजने के लिये \(p(x)=0\) करके x के मान निकालें और उत्तर को \((x,0)\) रूप में लिखें। / To find intersection with the x-axis, set the polynomial equal to zero: \(p(x)=0\). Here \(4x=0\) gives \(x=0\), so the intersection point is \((0,0)\). The closest distractor \((4,0)\) is incorrect because \(p(4)=4\times4=16\), not zero. \((0,4)\) is a y-value confusion (it would be the point \((0,y)\) if \(p(0)=4\)). Exam tip: always solve \(p(x)=0\) for x and report the intercept as \((x,0)\).
बिंदु \((r,0)\) का अर्थ है कि जब \(x=r\) पर है तो \(y=0\)। किसी बहुपद के लिए \(y=p(x)\) होता है, इसलिए \(p(r)=0\) होना चाहिए। विकल्प \(p(0)=r\) गलत है क्योंकि वह \(x=0\) पर बहुपद का मान देता है और \(r\) से जुड़ा नहीं है। \(r=0\) तभी सत्य होगा जब विशेष रूप से शून्यक 0 हो; सामान्य रूप से यह आवश्यक नहीं है। \(p(r)=r\) भी गलत है — यह कहता है कि बहुपद का मान उसी x के बराबर है, जो x-अक्ष पर होने का आवश्यक परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर बिंदु \((a,0)\) का मतलब सीधे f(a)=0 होता है, इसलिए पहले उसी पर ध्यान दें। / The point \((r,0)\) means that when \(x=r\), the function value \(y=0\). For a polynomial function \(y=p(x)\), this implies \(p(r)=0\). Option \(p(0)=r\) refers to the value at \(x=0\) and is unrelated to the intercept at \(x=r\). \(r=0\) need not hold unless the specific root equals zero. \(p(r)=r\) is incorrect because it equates the function value to the x-coordinate, which is not required for an x-intercept. Exam tip: whenever a graph meets the x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(f(a)=0\).
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ बहुपद शून्य हो। गुणनखंड -(x-3)(x+1) में बाहरी ऋण चिह्न मान्यताओं को बदलता है पर शून्यक नहीं बदलता। इसलिए (x-3)=0 से x=3 और (x+1)=0 से x=−1 मिलता है। निकटवर्ती विचलन: विकल्प D में दूसरा शून्य +1 है जो (x+1) को गलत पढ़ने पर आ सकता है; विकल्प C में 0 को शामिल करना तब होता है जब किसी ने x के किसी कारक को ग़लत तरीके से मान लिया हो। परीक्षा टिप: हर गुणनखंड को 0 के बराबर करके सीधे शून्यक निकालें और साइन के चिह्न से भ्रमित न हों। / Zeros of a polynomial are the x-values that make it zero. For p(x)=-(x-3)(x+1) the leading negative sign does not change the zeros. Set each factor to zero: x-3=0 gives x=3, x+1=0 gives x=−1. Why other choices are wrong: choice D mistakenly uses +1 instead of −1; choice C includes 0 which would require a factor x, not present. Exam tip: set each linear factor equal to zero; ignore an overall constant factor (including a minus sign) when finding zeros.
A. इससे शून्यक निश्चित नहीं किया जा सकता/A zero cannot be determined from this alone
Explanation
Simple Explanation
y‑प्रतिच्छेद बताता है कि x = 0 पर बहुपद का मान क्या है; यहाँ यह दर्शाता है कि \(p(0) = -8\)। शून्यक वे x‑मूल्य होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\) अर्थात् ग्राफ x‑अक्ष को काटता है। इसलिए केवल y‑प्रतिच्छेद से शून्यक निर्धारित नहीं किए जा सकते। विकल्प B यह भूल है कि y‑मान (-8) को शून्यक समझ लिया गया; विकल्प C तब भी गलत है क्योंकि p(0) = -8 ≠ 0; विकल्प D कोई तर्कसंगत संबंध नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: शून्यक खोजने के लिए ग्राफ के x‑अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं (x‑intercepts) देखें, y‑प्रतिच्छेद केवल \(p(0)\) देता है। / The y‑intercept gives the value of the polynomial at x = 0; here it shows \(p(0) = -8\). Zeros (roots) are x values for which \(p(x)=0\), i.e. where the graph intersects the x‑axis. Thus a y‑intercept alone does not determine the zeros. Option B mistakes the y‑value (-8) for a root; option C is wrong because p(0) = -8 ≠ 0; option D is unrelated. Exam tip: to find zeros look for x‑intercepts (points where y=0); y‑intercept only gives \(p(0)\).
जब किसी बहुपद का ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मान \(y\) (अर्थात \(p(x)\)) शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ \(x\)-अक्ष को \(a\) और \(b\) पर काट रहा है तो \(p(a)=0\) और \(p(b)=0\)। निकटतम भ्रान्तिकर विकल्प C (एक शून्य और एक गैर-शून्य) इसलिए गलत है क्योंकि किसी कटने के बिंदु पर मान शून्य होना अनिवार्य है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि शून्य का कोई सकारात्मक/नकारात्मक चिह्न नहीं होता। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर मिलने का मतलब सीधे याद रखें — \(y=0\) या \(p(x)=0\)। / When the graph of a polynomial meets the \(x\)-axis at a point, the polynomial's value \(y=p(x)\) at that point is zero. Therefore if the graph cuts the \(x\)-axis at \(a\) and \(b\), we have \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\). The closest distractor C (one zero and one non-zero) is wrong because intersection points on the x‑axis must give \(p(x)=0\). Option D is also incorrect since zero has no sign (it is neither positive nor negative). Exam tip: intersection with the x‑axis always means \(y=0\) or \(p(x)=0\).
शून्यक (root) उस x‑मान को कहते हैं जिस पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए यदि \(p(3)=0\) है तो \(x=3\) बहुपद का शून्यक है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि: \(p(0)=3\) में \(x=3\) का परीक्षण ही नहीं है; ग्राफ यदि \((0,3)\) से गुजरता है तो वह y‑अक्ष पर बिंदु (0,3) दर्शाता है, न कि x‑अक्ष पर शून्य; और \(p(3)=3\) में मान शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी कथित शून्य के लिए सीधे बहुपद में वह x‑मान रखकर मान जांचें (p(a) देखें)। / A zero (root) is an x‑value at which the polynomial evaluates to zero. So if \(p(3)=0\), then \(x=3\) is a zero of \(p(x)\). The other choices are wrong: \(p(0)=3\) checks the value at x=0, not at x=3; passing through \((0,3)\) is a y‑intercept, not an x‑intercept (root); and \(p(3)=3\) gives a nonzero value. Exam tip: to verify if \(x=a\) is a root compute \(p(a)\) and check if it equals 0.
हर गुणनखंड को शून्य मानने पर मिलते हैं: x-1=0 ⇨ x=1 और x+4=0 ⇨ x=-4। x-प्रतिच्छेद वे बिंदु होते हैं जिनका y-अंश 0 होता है, अतः (1,0) और (-4,0)। गुणांक 2 केवल ग्राफ की ऊर्ध्वाधर स्केल बदलता है, शून्यस्थल नहीं। निकटतम भ्रमक विकल्प C में (-4,0) सही है पर दूसरा बिंदु (2,0) गलत है क्योंकि (x-1)=0 से x=1 होना चाहिए न कि 2। परीक्षा टिप: फैक्टर्स को 0 पर रखें और प्राप्त शून्य को (root,0) के रूप में लिखें। / Set each factor to zero: x-1=0 gives x=1 and x+4=0 gives x=-4. x-intercepts are points with y=0, so (1,0) and (-4,0). The leading factor 2 only scales the graph vertically and does not change the zeros. Closest distractor C contains the correct (-4,0) but incorrectly lists (2,0) instead of (1,0); option B flips the signs. Exam tip: For factorised polynomials set each factor to zero and record each root as (root,0).
