The denominator \(2^4\cdot 5^6\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2\).
Step 3
Exam Tip
Complete the deficiency of the prime with the smaller exponent. चरण 1: \(10^6=2^6\cdot 5^6\) होता है। चरण 2: हर \(2^4\cdot 5^6\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2\) से गुणा करेंगे। चरण 3: जिसकी घात कम हो, उसी की कमी पूरी करें।
The denominator has power (4) of (2) and power (2) of (5).
Step 2
Why this answer is correct
Decimal places in a terminating decimal equal the larger exponent, which is (4).
Step 3
Exam Tip
If the denominator is already reduced, do not assume further cancellation. चरण 1: हर में (2) की घात (4) और (5) की घात (2) है। चरण 2: सांत दशमलव के स्थान बड़ी घात के बराबर होते हैं, यानी (4)। चरण 3: सरलतम हर होने पर अंश से कोई और कटौती नहीं माननी चाहिए।
For exactly (3) places, the larger exponent of (2) or (5) in the reduced denominator must be (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(125=5^3\) satisfy this. \(25=5^2\) gives only (2) places.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between exactly and at most. चरण 1: ठीक (3) स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (3) होनी चाहिए। चरण 2: \(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(125=5^3\) यह शर्त पूरी करते हैं। \(25=5^2\) केवल (2) स्थान देगा। चरण 3: ठीक और अधिकतम शब्दों का अंतर समझें।
The powers of (2) and (5) are (2) and (1), so the larger exponent is (2). The decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is given, check its exponents directly. चरण 1: \(20=2^2\cdot 5\) है। चरण 2: (2) की घात (2) और (5) की घात (1) है, इसलिए बड़ी घात (2) होगी। दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: सरलतम हर दिया हो तो सीधे उसकी घातें देखें।
The larger exponent is (7), so the decimal terminates after (7) places.
Step 3
Exam Tip
Convert the denominator directly into powers of (2) and (5). चरण 1: \(640=64\cdot 10=2^6\cdot 2\cdot 5=2^7\cdot 5\) है। चरण 2: बड़ी घात (7) है, इसलिए दशमलव (7) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: हर को सीधे (2) और (5) की घातों में बदलें।
\(45=3^2\cdot 5\), so \(\frac{45}{720}\) reduces to \(\frac{1}{16}\). The denominator is \(16=2^4\).
Step 3
Exam Tip
To get a target denominator, check which factors the numerator cancels. चरण 1: \(720=2^4\cdot 3^2\cdot 5\) है। चरण 2: \(45=3^2\cdot 5\), इसलिए \(\frac{45}{720}\) सरल होकर \(\frac{1}{16}\) बनता है। हर \(16=2^4\) है। चरण 3: लक्ष्य हर पाने के लिए देखें कि अंश कौन-कौन से गुणनखंड काट रहा है।
A. (q), \(10^4\) का भाजक होगा/(q) will be a divisor of \(10^4\)
Step 1
Concept
At most (4) decimal places means the number can be written with denominator \(10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, the denominator must be a divisor of \(10^4\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is always linked to powers of (2) and (5). चरण 1: अधिकतम (4) दशमलव स्थान का अर्थ है संख्या को \(10^4\) हर वाली भिन्न में लिखा जा सकता है। चरण 2: सरलतम हर \(10^4\) का कोई भाजक होगा। चरण 3: सांत दशमलव में सरलतम हर हमेशा (2) और (5) की घातों से जुड़ा होता है।
Dividing (48) and (1000) by (8) gives \(\frac{6}{125}\).
Step 3
Exam Tip
After converting a decimal to a fraction, reduce using the greatest common factor. चरण 1: \(0.048=\frac{48}{1000}\) है। चरण 2: (48) और (1000) को (8) से भाग देने पर \(\frac{6}{125}\) मिलता है। चरण 3: दशमलव को भिन्न में बदलने के बाद महत्तम सामान्य गुणनखंड से सरल करें।
Reducing gives \(\frac{5}{16}\). Hence the denominator is (16).
Step 3
Exam Tip
Do not decide the final denominator only from the number of decimal digits. चरण 1: \(0.3125=\frac{3125}{10000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{5}{16}\) मिलता है। इसलिए हर (16) है। चरण 3: दशमलव के अंकों की संख्या देखकर अंतिम हर तय न करें।
The denominator becomes \(2^3\cdot 5^{8-k}\). For exactly (3) places, \(8-k\leq 3\), so the least (k) is (5).
Step 3
Exam Tip
For a least value, solve the inequality carefully. चरण 1: \(5^k\) हर के \(5^8\) से कटेगा। चरण 2: हर \(2^3\cdot 5^{8-k}\) बनेगा। ठीक (3) स्थानों के लिए \(8-k\leq 3\) चाहिए, इसलिए न्यूनतम (k=5)। चरण 3: न्यूनतम मान में असमानता को सही दिशा में हल करें।
\(0.\overline{6}=\frac{2}{3}\) and \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (1), whose decimal (1.0) is terminating.
Step 3
Exam Tip
The sum of recurring decimals can sometimes be terminating. चरण 1: \(0.\overline{6}=\frac{2}{3}\) और \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\) है। चरण 2: योग (1) है, जिसका दशमलव (1.0) के रूप में सांत है। चरण 3: आवर्ती दशमलवों का योग कभी-कभी सांत भी हो सकता है।
A. सांत और (5) दशमलव स्थान/Terminating with (5) decimal places
Step 1
Concept
\(7^0=1\), so there is no actual factor (7) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator is \(2^5\cdot 5^3\), so the decimal terminates with (5) places.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by a zero exponent. चरण 1: \(7^0=1\), इसलिए हर में (7) का वास्तविक गुणनखंड नहीं है। चरण 2: हर \(2^5\cdot 5^3\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा और बड़ी घात (5) स्थान देगी। चरण 3: शून्य घात को देखकर भ्रमित न हों।
Reducing gives \(\frac{1}{8}\), and \(8=2^3\). So the prime factorisation of (q) is \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
Convert the decimal to a fraction and then reduce the denominator. चरण 1: \(0.125=\frac{125}{1000}\) है। चरण 2: सरल करने पर \(\frac{1}{8}\) मिलता है और \(8=2^3\)। इसलिए (q) का अभाज्य रूप \(2^3\) है। चरण 3: दशमलव को भिन्न में बदलकर हर को सरलतम रूप में देखें।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
\(\frac{17}{200}\) is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
\(200=2^3\cdot 5^2\), so the denominator has only (2) and (5). Hence the decimal terminates, and the reason explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason truly explains the assertion. चरण 1: \(\frac{17}{200}\) सरलतम रूप में है। चरण 2: \(200=2^3\cdot 5^2\), यानी हर में केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा और कारण सही समझाता है। चरण 3: कथन-कारण में कारण की व्याख्या करने की क्षमता भी देखें।
For exactly (5) decimal places, the larger exponent of (2) and (5) in the reduced denominator must be (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(3125=5^5\), so it gives (5) places. (250) and (40) give fewer places, while \(1600=2^6\cdot 5^2\) gives (6) places.
Step 3
Exam Tip
Compare the prime exponents of the denominator. चरण 1: ठीक (5) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) और (5) की बड़ी घात (5) होनी चाहिए। चरण 2: \(3125=5^5\), इसलिए यह (5) स्थान देता है। (250) और (40) कम स्थान देते हैं, जबकि \(1600=2^6\cdot 5^2\) (6) स्थान देगा। चरण 3: हर के अभाज्य घातों की तुलना करें।
Dividing both by (125) gives \(\frac{1}{8000}\). So the denominator is (8000).
Step 3
Exam Tip
Even when a decimal has many zeros, reduce the fraction fully. चरण 1: \(0.000125=\frac{125}{1000000}\) है। चरण 2: दोनों को (125) से भाग देने पर \(\frac{1}{8000}\) मिलता है। इसलिए हर (8000) है। चरण 3: छोटे दशमलवों में शून्य अधिक हों तो भी भिन्न को सरल करना जरूरी है।
\(128=2^7\), so \(\frac{7}{128}\) has (7) decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(160=2^5\cdot 5\), giving (4), (3), and (5) places.
Step 3
Exam Tip
For comparison, factorise the denominators quickly. चरण 1: \(128=2^7\), इसलिए \(\frac{7}{128}\) में (7) दशमलव स्थान होंगे। चरण 2: \(625=5^4\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(160=2^5\cdot 5\) हैं, इसलिए इनके स्थान क्रमशः (4), (3), और (5) हैं। चरण 3: तुलना में हर का अभाज्य रूप जल्दी निकालें।
A. \(r\leq 8\) और \(s\leq 8\)/\(r\leq 8\) and \(s\leq 8\)
Step 1
Concept
\(10^8=2^8\cdot 5^8\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator \(2^r5^s\) must divide \(10^8\), so \(r\leq 8\) and \(s\leq 8\).
Step 3
Exam Tip
When converting to denominator \(10^k\), remember the divisor condition. चरण 1: \(10^8=2^8\cdot 5^8\) है। चरण 2: हर \(2^r5^s\) को \(10^8\) का भाजक होना चाहिए, इसलिए \(r\leq 8\) और \(s\leq 8\)। चरण 3: हर को \(10^k\) में बदलते समय भाजक की शर्त याद रखें।
The number of decimal places is the larger of (a) and (b).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a<b), the larger exponent is (b). For exactly (4) places, (b=4).
Step 3
Exam Tip
When a comparison is given, identify the larger exponent first. चरण 1: दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात होती है। चरण 2: (a<b) है, इसलिए बड़ी घात (b) है। ठीक (4) स्थानों के लिए (b=4)। चरण 3: तुलना की शर्त दी हो तो पहले बड़ी घात पहचानें।
\(91=7\cdot 13\), so the factor (13) in the denominator cancels.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^2\cdot 5\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
An extra prime factor may cancel with the numerator. चरण 1: \(91=7\cdot 13\), इसलिए हर का (13) कट जाएगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 3: अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड अंश से कट सकता है।
The number of decimal places is the larger of (4) and (n). For exactly (7) places, (n=7).
Step 3
Exam Tip
When the word exactly appears, match the larger exponent carefully. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या (4) और (n) में बड़ी घात होगी। ठीक (7) स्थानों के लिए (n=7) चाहिए। चरण 3: ठीक शब्द आए तो बड़ी घात को बराबर मिलाइए।
Cancelling \(3\cdot 5^2\) from the denominator leaves \(2^3\). So the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Always complete cancellation before counting decimal places. चरण 1: \(75=3\cdot 5^2\) है। चरण 2: हर से \(3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(2^3\) बचेगा। इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: पहले अंश और हर की पूरी कटौती करें।
The reduced denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger exponent. Here the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
For terminating decimals, do not add the exponents. चरण 1: सरलतम हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या बड़ी घात के बराबर होती है। यहाँ बड़ी घात (6) है। चरण 3: सांत दशमलव में घातों को जोड़ने की गलती न करें।
\(81=3^4\), so \(3^4\) cancels completely from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^4\cdot 5^2\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
First check cancellation of prime factors other than (2) and (5). चरण 1: \(81=3^4\), इसलिए हर का \(3^4\) पूरा कट जाएगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^4\cdot 5^2\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: पहले गैर जरूरी अभाज्य गुणनखंडों की कटौती देखें।
A. सांत और (1) दशमलव स्थान/Terminating with (1) decimal place
Step 1
Concept
\(44=2^2\cdot 11\).
Step 2
Why this answer is correct
Cancelling \(2^2\cdot 11\) from \(2^3\cdot 5\cdot 11\) leaves \(2\cdot 5=10\). So the decimal terminates after (1) place.
Step 3
Exam Tip
Count decimal places only after complete cancellation. चरण 1: \(44=2^2\cdot 11\) है। चरण 2: हर \(2^3\cdot 5\cdot 11\) से \(2^2\cdot 11\) कटने पर \(2\cdot 5=10\) बचता है। इसलिए दशमलव (1) स्थान पर समाप्त होगा। चरण 3: पूरी कटौती के बाद ही दशमलव स्थान गिनें।
A. सांत और (2) दशमलव स्थान/Terminating with (2) decimal places
Step 1
Concept
\(44=2^2\cdot 11\).
Step 2
Why this answer is correct
After cancellation, the denominator becomes \(2\cdot 5=10\). So the decimal terminates after (1) place. Since that exact statement is not listed, the given options contain an issue.
Step 3
Exam Tip
Complete your calculation before trusting the options. चरण 1: \(44=2^2\cdot 11\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(2\cdot 5\) बचेगा, जो (10) है। इसलिए दशमलव (1) स्थान पर समाप्त होगा। दिए गए विकल्पों में यह बात सीधे नहीं है, इसलिए सबसे निकट भी गलत होगा। चरण 3: विकल्पों से पहले अपनी गणना पूरी करें।
To make the denominator \(10^k=2^k5^k\), both exponents must be made equal.
Step 2
Why this answer is correct
The required (k) equals the larger exponent. So the number of decimal places is (\max(a,b)).
Step 3
Exam Tip
This rule is frequently tested in terminating decimal questions. चरण 1: हर को \(10^k=2^k5^k\) के रूप में बनाने के लिए दोनों घातें बराबर करनी पड़ती हैं। चरण 2: आवश्यक (k) बड़ी घात के बराबर होता है। इसलिए दशमलव स्थान (\max(a,b)) होंगे। चरण 3: यह नियम सांत दशमलवों में बहुत बार पूछा जाता है।
The greatest common factor of (48) and (10000) is (16), so \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\). The denominator is (625).
Step 3
Exam Tip
Even for small decimals, reduce to lowest form. चरण 1: \(0.0048=\frac{48}{10000}\) है। चरण 2: (48) और (10000) का महत्तम सामान्य गुणनखंड (16) है, इसलिए \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\)। हर (625) है। चरण 3: छोटे दशमलव में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है।
The denominator \(2^3\cdot 5^5\) lacks \(2^2\). So multiply numerator and denominator by \(2^2=4\). Hence (N=4p).
Step 3
Exam Tip
To make \(10^k\), multiply by the missing prime power. चरण 1: \(10^5=2^5\cdot 5^5\) चाहिए। चरण 2: हर \(2^3\cdot 5^5\) में \(2^2\) की कमी है। इसलिए अंश और हर को \(2^2=4\) से गुणा करेंगे। अतः (N=4p)। चरण 3: \(10^k\) बनाने के लिए जिस घात की कमी हो, वही गुणा करें।
B. सांत, क्योंकि \(3^0=1\) है/Terminating because \(3^0=1\)
Step 1
Concept
\(3^0=1\), so there is actually no factor (3) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator is \(2^2\cdot 5^3\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by a zero exponent. चरण 1: \(3^0=1\), इसलिए हर में वास्तव में (3) का गुणनखंड नहीं है। चरण 2: हर \(2^2\cdot 5^3\) ही है, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 3: शून्य घात को लेकर भ्रम न करें।
