For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^6\cdot 5^2\). For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
Step 3
Exam Tip
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। केवल \(2^6\cdot 5^2\) में बड़ी घात (6) है।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (7) स्थान / (7) places. The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
Step 3
Exam Tip
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (7) होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की गलती न करें।
After cancellation, the denominator becomes \(2^5\cdot 5^3\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
Always reduce the fraction before counting decimal places. चरण 1: \(45=3^2\cdot 5\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(2^5\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: दशमलव स्थान गिनने से पहले अंश और हर को सरलतम रूप में जरूर लिखें।
For exactly (2) places, the larger exponent must be (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(4=2^2\), \(20=2^2\cdot 5\), and \(25=5^2\) give exactly (2) places. \(50=2\cdot 5^2\) also gives exactly (2) places, so none of the listed choices is impossible.
Step 3
Exam Tip
If all options seem possible, check the question or options for an error. चरण 1: ठीक (2) स्थानों के लिए बड़ी घात (2) होनी चाहिए। चरण 2: \(4=2^2\), \(20=2^2\cdot 5\), और \(25=5^2\) ठीक (2) स्थान देते हैं। \(50=2\cdot 5^2\) भी ठीक (2) स्थान देता है, इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई असंभव नहीं है। चरण 3: जब सभी विकल्प संभव लगें, तो प्रश्न या विकल्पों में त्रुटि जाँचें।
The full factor \(3^3\) cancels from the denominator, leaving \(2^3\cdot 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Decide the decimal type from the denominator left after cancellation. चरण 1: \(27=3^3\) है। चरण 2: हर का \(3^3\) पूरा कट जाएगा, इसलिए हर \(2^3\cdot 5^2\) बचेगा। चरण 3: कटौती के बाद बचे हर से ही दशमलव का प्रकार तय करें।
A decimal terminates when the reduced denominator contains only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(q=2^4\cdot 5^3\) satisfies this condition. The other options contain (3), (7), or (11).
Step 3
Exam Tip
Check the prime factors of the denominator carefully. चरण 1: सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। चरण 2: \(q=2^4\cdot 5^3\) इस शर्त को पूरा करता है। बाकी विकल्पों में (3), (7), या (11) हैं। चरण 3: हर के अभाज्य गुणनखंडों को ध्यान से देखें।
The numerator \(3^2\cdot 5\) cancels from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^6\cdot 5^3\). The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
Step 3
Exam Tip
Look for the larger exponent only after cancellation. चरण 1: अंश का \(3^2\cdot 5\) हर से कटेगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^6\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: कटौती के बाद ही बड़ी घात देखें।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
In \(q^2\), the powers of the same primes increase, but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
Powers may change, but the prime types do not. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। चरण 2: \(q^2\) में भी उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों की घातें बढ़ेंगी, नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। चरण 3: घात बदल सकती है, अभाज्य प्रकार नहीं।
First form the denominator as a power of (10), then reduce. चरण 1: \(0.0008=\frac{8}{10000}\) है। चरण 2: (8) से भाग देने पर \(\frac{1}{1250}\) मिलता है। चरण 3: दशमलव के स्थानों के अनुसार पहले (10) की घात वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
For exact places, the larger exponent must match the required number. चरण 1: ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। चरण 2: \(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। चरण 3: ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए।
\(0.\overline{81}=\frac{81}{99}\) and \(0.\overline{18}=\frac{18}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(\frac{99}{99}=1\), which is terminating.
Step 3
Exam Tip
The sum of two recurring decimals can be terminating. चरण 1: \(0.\overline{81}=\frac{81}{99}\) और \(0.\overline{18}=\frac{18}{99}\) है। चरण 2: योग \(\frac{99}{99}=1\) है, जो सांत दशमलव है। चरण 3: दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है।
Any divisor of it contains only powers of (2) and (5). Therefore \(\frac{p}{q}\) has a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Being a divisor gives at most (5) places, not necessarily exactly (5). चरण 1: \(10^5=2^5\cdot 5^5\) है। चरण 2: इसका कोई भी भाजक केवल (2) और (5) की घातों से बनेगा। इसलिए \(\frac{p}{q}\) का दशमलव सांत होगा। चरण 3: भाजक होने से अधिकतम (5) स्थान तय हो सकते हैं, ठीक (5) नहीं।
Reducing by (25) gives \(\frac{3}{400}\). So the denominator is (400).
Step 3
Exam Tip
Even with many zeros in a decimal, find the greatest common factor carefully. चरण 1: \(0.0075=\frac{75}{10000}\) है। चरण 2: (75) से सरल करने पर \(\frac{3}{400}\) मिलता है। इसलिए हर (400) है। चरण 3: दशमलव में कई शून्य हों तो भी महत्तम सामान्य गुणनखंड खोजें।
For a terminating decimal, (3) and (19) must cancel. So the minimum factor is \(3\cdot 19=57\).
Step 3
Exam Tip
Only (2) and (5) may remain in the denominator. चरण 1: हर में (2), (5), (3), और (19) हैं। चरण 2: सांत दशमलव के लिए (3) और (19) कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 19=57\) है। चरण 3: केवल (2) और (5) हर में रह सकते हैं।
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (3) places
Step 1
Concept
\(\frac{6}{375}=\frac{2}{125}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(125=5^3\), the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Even for small fractions, reduce to lowest form first. चरण 1: \(\frac{6}{375}=\frac{2}{125}\) है। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: छोटी भिन्नों में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है।
B. यह सांत दशमलव के बराबर है/It is equal to a terminating decimal
Step 1
Concept
In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Continuing zeros at the end still represent a terminating value. चरण 1: \(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। चरण 3: अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
Dividing \(\frac{35}{280}\) by (35) gives \(\frac{1}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(8=2^3\), the decimal terminates. The reason correctly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, also check whether the reason explains the assertion. चरण 1: \(\frac{35}{280}\) को (35) से भाग देने पर \(\frac{1}{8}\) मिलता है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए दशमलव सांत होगा। कारण कथन को सही ढंग से समझाता है। चरण 3: कथन-कारण प्रश्न में कारण की व्याख्या भी जाँचें।
The powers are (0) for (2) and (6) for (5). So the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
Practise identifying higher powers of (5). चरण 1: \(15625=5^6\) है। चरण 2: हर में (2) की घात (0) और (5) की घात (6) है। इसलिए बड़ी घात (6) होगी। चरण 3: (5) की बड़ी घातों को पहचानने का अभ्यास करें।
\(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
Step 3
Exam Tip
Calculate prime powers carefully. चरण 1: \(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। चरण 2: \(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: घातों की गणना सावधानी से करें।
Since (a>b), the larger exponent is (a). For exactly (6) decimal places, (a=6).
Step 3
Exam Tip
When a comparison is given, identify the larger exponent immediately. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। चरण 2: (a>b) होने से बड़ी घात (a) है। ठीक (6) स्थानों के लिए (a=6) होगा। चरण 3: तुलना दी हो तो बड़ी घात तुरंत पहचानें।
After cancellation, the denominator becomes \(2^4\cdot 5^3\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
Powers present in the numerator can reduce the decimal length. चरण 1: \(225=3^2\cdot 5^2\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(2^4\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: अंश में मौजूद घातें दशमलव स्थान घटा सकती हैं।
The given denominator is \(2^5\cdot 5^8\), so it lacks \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
To form \(10^k\), increase the prime factor with the smaller exponent. चरण 1: \(10^8=2^8\cdot 5^8\) होता है। चरण 2: दिए गए हर में \(2^5\cdot 5^8\) है, इसलिए \(2^3\) की कमी है। चरण 3: \(10^k\) बनाने के लिए कम घात वाले अभाज्य गुणनखंड को बढ़ाएँ।
Reducing by the greatest common factor (32) gives \(\frac{2}{3125}\). So the denominator is (3125).
Step 3
Exam Tip
Reduce carefully; repeated division by (2) is safe here. चरण 1: \(0.00064=\frac{64}{100000}\) है। चरण 2: \(100000=10^5=2^5\cdot 5^5\) और \(64=2^6\), इसलिए सरल करने पर \(\frac{2}{3125}\) नहीं बल्कि \(\frac{1}{1562.5}\) नहीं बन सकता। सही रूप \(\frac{64}{100000}=\frac{8}{12500}=\frac{4}{6250}=\frac{2}{3125}\) है। अतः हर (3125) है। चरण 3: बार-बार (2) से भाग देकर सुरक्षित सरलता करें।
The denominator has only powers of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger of (a) and (b). For exactly (8) places, (\max(a,b)=8).
Step 3
Exam Tip
Remember the larger exponent in such questions. चरण 1: हर केवल (2) और (5) की घातों से बना है, इसलिए दशमलव सांत है। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या (a) और (b) में बड़ी घात के बराबर होती है। ठीक (8) स्थानों के लिए (\max(a,b)=8) होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्न में अधिकतम घात याद रखें।
After cancellation, the denominator becomes \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
Check only the remaining denominator after cancellation. चरण 1: \(42=2\cdot 3\cdot 7\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: आंशिक कटौती के बाद बचे हर को ही जाँचें।
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (3) places
Step 1
Concept
\(154=2\cdot 7\cdot 11\).
Step 2
Why this answer is correct
After cancelling \(2\cdot 7\cdot 11\), the denominator becomes \(5^3\). So the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Extra factors may cancel with the numerator, so reduce first. चरण 1: \(154=2\cdot 7\cdot 11\) है। चरण 2: हर से \(2\cdot 7\cdot 11\) कटने पर \(5^3\) बचता है। इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: अतिरिक्त गुणनखंड अंश से कट सकते हैं, इसलिए पहले सरल करें।
The reduced denominator contains only powers of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of decimal places equals the larger exponent. Here the larger exponent is (7).
Step 3
Exam Tip
Do not add the exponents; use the larger one. चरण 1: सरलतम हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। चरण 2: सांत दशमलव के स्थान बड़ी घात के बराबर होते हैं। यहाँ बड़ी घात (7) है। चरण 3: घातों का योग नहीं, बड़ी घात देखिए।
For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
Step 3
Exam Tip
When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। चरण 2: हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए।
\(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
For exact places, match the larger exponent. चरण 1: \(6250=2\cdot 5^5\) है। चरण 2: \(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। चरण 3: ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए।
A. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal will terminate
Step 1
Concept
The rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If \(q=2^m5^n\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates. The other statements are incomplete because (q) may contain other prime factors.
Step 3
Exam Tip
Be careful with words like always and never. चरण 1: नियम सरलतम हर पर लागू होता है। चरण 2: यदि \(q=2^m5^n\), तो हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि (q) में अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं। चरण 3: हमेशा और कभी नहीं जैसे शब्दों पर सावधानी रखें।
