Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्विघात समीकरण वह होता है जिसमें चर (\(x\)) की अधिकतम घात 2 हो। विकल्प A में चर \(x\) का उच्चतम घात 2 है (\(x^2\)) इसलिये यह द्विघात समीकरण है। विकल्प B में घात 1 है इसलिए वह रैखिक समीकरण है; विकल्प C में घात 3 है इसलिए वह त्रिघात (क्यूबिक) समीकरण है; विकल्प D में कोई चर उपस्थित नहीं है इसलिए वह चर पर आधारित समीकरण नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी समीकरण की श्रेणी जानने के लिये सबसे पहले चर के उच्चतम घात (degree) पर ध्यान दें और सुनिश्चित करें कि उसके गुणांक शून्य नहीं है। / A quadratic equation has the highest power (degree) of the variable \(x\) equal to 2. In option A the highest power of \(x\) is 2 (term \(x^2\)), so it is a quadratic equation. Option B is degree 1 (linear), option C is degree 3 (cubic), and option D has no variable so it is not an equation in \(x\). Exam tip: To identify degree quickly, look for the term with the largest exponent of the variable and check that its coefficient is non-zero.
यदि शून्यकों का सम \(S=\alpha+\beta\) और गुणनफल \(P=\alpha\beta\) दिया हो तो संबंधित द्विघात समीकरण होगा \(x^2-Sx+P=0\)। यहाँ यह बनता है \(x^2-10x+21=0\)। व्युत्पन्नक (discriminant) \(\Delta=10^2-4\cdot1\cdot21=100-84=16\)। अतः शून्यक \(x=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{10\pm4}{2}\) से प्राप्त होते हैं, अर्थात् 7 और 3। विकल्प B निकटतम भ्रामक है क्योंकि \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20\), जो 21 नहीं है। परीक्षा–टिप: दिए गए सम और गुणनफल से सीधा \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=0\) बनाकर डिस्क्रिमिनेंट से जड़ें निकालें। / For roots with sum \(S=\alpha+\beta\) and product \(P=\alpha\beta\), the quadratic is \(x^2-Sx+P=0\). Here we get \(x^2-10x+21=0\). The discriminant is \(\Delta=10^2-4\cdot1\cdot21=16\). Thus the roots are \(x=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{10\pm4}{2}\), giving 7 and 3. Option B is a tempting irrational pair but wrong since \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20\), not 21. Exam tip: form \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=0\) and use \(\Delta\) to find roots quickly.
शून्यकों का योग \((2+\sqrt{10})+(2-\sqrt{10})=4\) और गुणनफल \((2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})=2^2-(\sqrt{10})^2=4-10=-6\) है। एक प्रमुखांकन \(1\) वाले द्विघात का सामान्य रूप \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\) होता है, अतः बहुपद \(x^2-4x-6\) होगा। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में से \(x^2-4x+6\) गलत है क्योंकि इसका स्थिर पद +6 है न कि -6; \(x^2+4x-6\) गलत है क्योंकि इसका गुणनफल सही पर योग का चिह्न उलटा है; \(x^2-2x-10\) में न तो योग न ही गुणनफल मेल खाते हैं। परीक्षा-सुझाव: शून्यकों का योग और गुणनफल पहले निकालें और तुरंत \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) लगाएँ। / The sum of zeros is \((2+\sqrt{10})+(2-\sqrt{10})=4\) and the product is \((2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})=4-10=-6\). For a monic quadratic the polynomial is \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\), so \(x^2-4x-6\) is correct. Closest distractors fail because: \(x^2-4x+6\) has the wrong constant term (+6 instead of -6), \(x^2+4x-6\) has the wrong sign for the linear term, and \(x^2-2x-10\) has neither sum nor product matching. Exam tip: compute sum and product first and form \(x^2-({\text{sum}})x+{\text{product}}\).
कोर सिद्धांत यह है कि संयुग्म जोड़-घटाव के रूप में होने पर उनका गुणनफल भिन्नात्मक वर्ग का नियम लागू होता है: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)। यहाँ \(a=5\), \(b=\sqrt{3}\) इसलिए गुणनफल \((5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})=5^2-(\sqrt{3})^2=25-3=22\)। विकल्प D (\(25+\sqrt{3}\)) गलत है क्योंकि वह योग का रूप है, न कि भिन्नात्मक वर्ग; B और C सामान्य अंकगणितीय गलतियाँ हैं। परीक्षा की टिप: संयुग्म युग्म दिखते ही \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू कर दें — यह तेज है और त्रुटि कम करता है। / Core idea: conjugate pairs use the difference-of-squares identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Here \(a=5\) and \(b=\sqrt{3}\), so the product is \((5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})=5^2-(\sqrt{3})^2=25-3=22\). Option D (\(25+\sqrt{3}\)) is incorrect because it is a sum not the result of difference of squares; B and C arise from simple arithmetic mistakes. Exam tip: on seeing conjugate zeros, apply \((a+b)(a-b)\) immediately to avoid extra steps and errors.
अगर शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं तो बहुपद का सम \(2a\) और गुणनफल \(a^{2}-b\) होगा। एकक द्विघात बहुपद लिखेगा \(x^{2}-2ax+(a^{2}-b)\)। इसका विविक्तकर \(\Delta=(2a)^{2}-4\cdot1\cdot(a^{2}-b)=4a^{2}-4a^{2}+4b=4b\) आता है, इसलिए सही उत्तर \(4b\) है। निकटवर्ती विचलन: विकल्प D में \(4(a^{2}-b)=4a^{2}-4b\) है, जो सामान्य रूप से \(4b\) से अलग है; विकल्प C और B स्पष्ट रूप से गलत हैं (C ने ऋणात्मक भाग को नज़रअंदाज़ किया, B केवल तब सही होगा जब \(b=0\))। परीक्षा-सुझाव: जड़ों का योग और गुणनफल सीधे ले कर बहुपद बनाएं और तुरंत \(\Delta=b^{2}-4ac\) के बजाय समीकरण के गुणांक पर लागू कर निकालें। / With roots \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), the sum of roots is \(2a\) and the product is \(a^{2}-b\). The monic quadratic is \(x^{2}-2ax+(a^{2}-b)\). Its discriminant is \(\Delta=(2a)^{2}-4\cdot1\cdot(a^{2}-b)=4a^{2}-4a^{2}+4b=4b\), so \(4b\) is correct. Closest distractor D equals \(4(a^{2}-b)=4a^{2}-4b\), which is generally different from \(4b\); option C ignores the subtraction in the product and B would only hold if \(b=0\). Exam tip: use sum and product of roots to form the quadratic quickly, then compute \(\Delta\) from its coefficients.
क्वाड्रैटिक समीकरण \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों \(\alpha,\beta\) का अंतर \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) होता है जहाँ \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=1,\;b=-6\sqrt{2},\;c=17\)। अतः \(D=(6\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot17=72-68=4\)। इसलिए \(|\alpha-\beta|=\sqrt{4}=2\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4\) गलत है क्योंकि वह डिस्क्रिमिनेंट \(D\) है, जबकि प्रश्न शून्यकों के वास्तविक अन्तर के बारे में है। परीक्षा-सुझाव: तुरंत अंतर निकालने के लिए \(|\alpha-\beta|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\) या \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) याद रखें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\) with roots \(\alpha,\beta\), the difference is \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) where \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-6\sqrt{2},\;c=17\), so \(D=(6\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot17=72-68=4\). Hence \(|\alpha-\beta|=\sqrt{4}=2\). The common distractor \(4\) is the discriminant itself, not the root difference. Exam tip: use \(|\alpha-\beta|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\) or \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) to get the answer quickly.
A. दो भिन्न वास्तविक अपरिमेय/Two distinct real irrational
Explanation
Simple Explanation
क्वाड्रेटिक के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1,\;b=-2\sqrt{2},\;c=1\) इसलिए \(D=( -2\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot1=8-4=4>0\)। अतः शून्यक वास्तविक और भिन्न हैं। शून्यक सूत्र से शून्यक होंगे \(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}=\sqrt{2}\pm1\)। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, \(\sqrt{2}\pm1\) भी अपरिमेय होते हैं। इसलिए सही विकल्प: दो भिन्न वास्तविक अपरिमेय। निकटतम विचलित विकल्प (दो समान) गलत है क्योंकि \(D\neq0\)। परीक्षा टिप: पहले हमेशा \(D\) की साइन जाँचें (\(>0,=0,<0\)) — यह तुरंत बताता है कि शून्यक भिन्न वास्तविक, दोहरा, या आवास्पद हैं; फिर परिमेयता की जाँच के लिए जड़ों में कोई अपरिमेय भाग है या नहीं देखें। / Use the discriminant \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-2\sqrt{2},\;c=1\), so \(D=( -2\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot1=8-4=4>0\). Thus the roots are real and distinct. Applying the quadratic formula gives roots \(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}=\sqrt{2}\pm1\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, \(\sqrt{2}\pm1\) are also irrational. Therefore the zeros are two distinct real irrational numbers. The closest distractor (two equal roots) is incorrect because \(D\neq0\). Exam tip: check \(D\) first to determine reality and multiplicity of roots, then inspect any irrational parts (like \(\sqrt{2}\)) to decide rationality.
p(x)=x-2-18 के शून्यक x=�03\sqrt{2} और x=-3\sqrt{2} हैं। किसी द्विघात आव्यूह ax-2+bx+c के शून्यकों \\(\alpha,\beta\\) के लिए \\(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\) और \\(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\\) होता है। यहाँ a=1, b=0, c=-18 अतः योग 0 और गुणनफल -18 होगा। सबसे नज़दीकी भ्रम (विकल्प B) तब होता है जब केवल \\(|\sqrt{18}|\\) को गुणा कर सकारात्मक 18 मान लिया जाए — परंतु चिह्नों का ध्यान रखना आवश्यक है। परीक्षा टिप: द्विघात में सीधे \\(-b/a\\) और \\(c/a\\) लागू कर लें। / The roots are \(3\sqrt{2}\) and \(-3\sqrt{2}\). For a quadratic \(ax^2+bx+c\) the sum of roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and the product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here \(a=1, b=0, c=-18\), so sum = 0 and product = -18. The closest distractor (option B) mistakes the sign by treating the product as \(\sqrt{18}\cdot\sqrt{18}=18\) while ignoring that the roots have opposite signs. Exam tip: memorise and use \(-b/a\) and \(c/a\) to get sum and product quickly without finding the roots explicitly.
किसी द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1,\; b=-(3+\sqrt{2}),\; c=3\sqrt{2}\)। अतः शून्यकों का योग \(3+\sqrt{2}\) और गुणनफल \(3\sqrt{2}\) आता है। यह योग और गुणनफल केवल शून्यकों 3 और \(\sqrt{2}\) के साथ मेल खाते हैं, इसलिए शून्यक \(3\) तथा \(\sqrt{2}\) होंगे। निकटतम भ्रमित विकल्प \((3+\sqrt{2},0)\) गलत है क्योंकि उसका गुणनफल 0 होगा, जो \(3\sqrt{2}\) से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: तुरंत योग और गुणनफल निकालकर संभावित युग्मों की जाँच करें या सीधे \((x-3)(x-\sqrt{2})\) के रूप में फैक्टर करके सत्यापित करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the sum of roots is \(-b/a\) and the product is \(c/a\). Here \(a=1,\; b=-(3+\sqrt{2}),\; c=3\sqrt{2}\). So sum = \(3+\sqrt{2}\) and product = \(3\sqrt{2}\). These match the pair 3 and \(\sqrt{2}\), hence the zeros are 3 and \(\sqrt{2}\). The closest distractor \((3+\sqrt{2},0)\) is wrong because its product would be 0, not \(3\sqrt{2}\). Exam tip: verify roots quickly by checking sum and product or by factoring to \((x-3)(x-\sqrt{2})\).
क्वाड्रेटिक के लिए विविक्तकर (discriminant) को परिभाषित किया जाता है: \(D=b^2-4ac\). यहाँ \(a=1,\;b=-2,\;c=5\) इसलिए \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\), जो नकारात्मक है। यदि \(D<0\) तो द्विघात समीकरण के दोनों शून्यक वास्तविक नहीं होते; वे एक युग्मित जटिल (complex conjugate) होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(D>0\) और पूर्ण वर्ग नहीं है — वह स्थिति दो भिन्न वास्तविक (परंतु असममित) अवकलनीय अंक (irrational) शून्यकों को दर्शाती है, इसलिए वह यहाँ गलत है। परीक्षा-टिप: किसी भी द्विघात का वास्तविक शून्यक पता लगाने के लिए तुरंत \(D=b^2-4ac\) की साइन जाँचें। / For a quadratic, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-2,\;c=5\), so \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\), which is negative. When \(D<0\) the quadratic has no real roots; instead it has a pair of complex conjugate roots. The closest distractor \(D>0\) and not a perfect square would imply two distinct real (typically irrational) roots, so it does not apply here. Exam tip: compute \(D\) quickly — sign of \(D\) decides real vs. repeated vs. complex roots.
शंकु (discriminant) को लीजिए: \(D=b^2-4ac=4-4k=4(1-k)\). शून्यक वास्तविक होने के लिए \(D>0\) अर्थात् \(k<1\) चाहिए। अपरिमेय होने के लिए \(D\) धनात्मक पर पूर्ण वर्ग न होना चाहिए, क्योंकि गुणांक ज्ञात और तार्किक हैं—यदि \(D\) पूर्ण वर्ग होगा तो शून्यक परिमेय होंगे। विकल्पों में: \(k=-1\) पर \(D=8\) (धनात्मक, पूर्ण वर्ग नहीं) इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। निकटवर्ती विकर्षक: \(k=0\) पर \(D=4\) जो पूर्ण वर्ग है इसलिए शून्यक परिमेय होंगे; \(k=1\) पर \(D=0\) से द्विपद समान व परिमेय शून्यक मिलते हैं; \(k=2\) पर \(D=-4\) से वास्तविक शून्यक नहीं मिलते। परीक्षा टिप: वास्तविक और अपरिमेय दोनों के लिए पहले \(D>0\) जाँचें, फिर देखें कि \(D\) कोई पूर्ण वर्ग तो नहीं। / Compute the discriminant: \(D=b^2-4ac=4-4k=4(1-k)\). For real roots we need \(D>0\) (so \(k<1\)). For the roots to be irrational (given rational coefficients), \(D\) must be positive but not a perfect square. For \(k=-1\), \(D=8\), which is positive and not a perfect square, so the roots are real and irrational. Why other choices fail: \(k=0\) gives \(D=4\) (a perfect square) so roots are rational; \(k=1\) gives \(D=0\) (equal rational roots); \(k=2\) gives \(D=-4\) (complex roots). Exam tip: first check sign of \(D\), then check whether \(D\) is a perfect square to decide rational vs irrational roots.
दो शून्यकों का योग = \(5+\sqrt{2}\)+\(5-\sqrt{2}\) = 10 और गुणनफल = \(5+\sqrt{2}\)\(5-\sqrt{2}\) = 52-\(\sqrt{2}\)2 = 25-2 = 23। एक प्रमुख गुणाांक 1 वाला द्विघात बहुपद शून्यकों α और β के लिए x-2 - (α+β)x + αβ होता है। इसलिए बहुपद x-2 - 10x + 23 है। निकटतम विचलित विकल्प C \(x^2 - 10x + 27\) केवल गुणनफल में त्रुटि करता है (27 के बजाय 23 होना चाहिए); विकल्प B और D में योग के संकेत गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: जब शून्यक एक-दूसरे के समापवर्तक (conjugates) हों तो गुणनफल और योग सहज रूप से क्रमशः a-2-b-2 और 2a जैसे रूपों से मिलते हैं—इन्हें सीधा लागू करें। / Sum of zeros = \(5+\sqrt{2}\)+\(5-\sqrt{2}\) = 10 and product = \(5+\sqrt{2}\)\(5-\sqrt{2}\) = 52-\(\sqrt{2}\)2 = 25-2 = 23. For a monic quadratic with zeros α and β the polynomial is x-2 - (α+β)x + αβ. Hence the polynomial is x-2 - 10x + 23. The closest distractor C \(x^2 - 10x + 27\) only miscalculates the product; B and D have the wrong sign for the sum-term. Exam tip: conjugate irrational zeros give rational coefficients—use sum and product formulas directly to form the polynomial.
A. कथन सही है — शून्यक परिमेय हैं/The statement is true — the zeros are rational
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार परिमेय शून्यक के लिए निरुपणक \(D=b^2-4ac\) का पूर्ण वर्ग होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=r\)। \(r=3\) पर \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), जो एक पूर्ण वर्ग है (\(\sqrt{D}=2\))। अतः शून्यक \(\frac{4\pm2}{2}\) यानी 3 और 1 परिमेय हैं। विकल्प B निकटवर्ती भ्रम है — वह गलत है क्योंकि \(D\) अपरिमेयता नहीं दर्शाता; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि \(D<0\) या \(D=0\) के दावे सत्य नहीं हैं (यहाँ \(D=4>0\)). परीक्षा संकेत: हमेशा पहले \(D=b^2-4ac\) निकालें और देखें कि क्या वह पूर्ण वर्ग है; फिर शून्यक सीधे निकालकर सत्यापित करें। / For rational zeros of a quadratic with integer coefficients, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be a perfect square. Here \(a=1, b=-4, c=r\). For \(r=3\): \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), which is a perfect square (\(\sqrt{D}=2\)). Hence the zeros are \((4\pm2)/2\), i.e. 3 and 1, both rational. Distractor B is incorrect because the discriminant is not non-square; C and D are wrong because \(D<0\) (complex roots) and \(D=0\) (equal roots) do not hold here — actually \(D=4>0\). Exam tip: compute \(D\) first, check if it is a perfect square, then compute the roots to confirm.
किसी द्विघात बहुपद ax-2+bx+c के शून्यकों का गुणनफल \/\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\/\) होता है। यहाँ a=\sqrt{3} और c=2\sqrt{3} हैं, अतः \(\alpha\beta=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\)। विकल्प B (\(\sqrt{3}\)) गलत है — यह तब होगा जब c या a को गलत मान लिया जाए या द्विघात का गुणनफल निकालते समय वर्गमूल को गलत तरीके से संक्षेपित किया जाए। परिक्षा-टिप: हमेशा सीधे \(\frac{c}{a}\) का उपयोग करें और वर्गमूलों को सरल करते समय समान कारकों को काटें। / For a quadratic ax-2+bx+c the product of zeroes is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here a=\(\sqrt{3}\) and c=\(2\sqrt{3}\), so \(\alpha\beta=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\). Option B (\(\sqrt{3}\)) is incorrect — it results from mishandling the radical cancellation or using wrong coefficients. Exam tip: Use \(\frac{c}{a}\) directly and cancel common radical factors carefully to avoid mistakes.
किसी द्विघातीय बहुपद \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=\sqrt{2}\) हैं, अतः गुणनफल \(\dfrac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}\) होगा। विकल्प B (\(-\sqrt{2}\)) नकारात्मक है — पर चूंकि दोनों \(a\) और \(c\) धनात्मक हैं, गुणनफल धनात्मक होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा \(a, b, c\) पहचानें और फिर \(\frac{c}{a}\) व \(-\frac{b}{a}\) का उपयोग करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the product of the zeroes equals \(\frac{c}{a}\). Here \(a=1\) and \(c=\sqrt{2}\), so the product is \(\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}\). Option B (\(-\sqrt{2}\)) is wrong because the signs of \(a\) and \(c\) are both positive, giving a positive product. Exam tip: always identify \(a,b,c\) first and use \(\frac{c}{a}\) for the product and \(-\frac{b}{a}\) for the sum of roots.
यह द्विघात बहुपद एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\)। अल्जेब्रिक रूप से विवरण के द्वारा: गुणनफल कराने पर \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\) मिलता है, इसलिए केवल शून्यक \(x=-\sqrt{3}\) है और वह द्वैत्य (दोहराया) है। डिस्क्रिमिनेंट से भी पुष्टि होती है: \(\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), अतः एक पुनरावृत्त वास्तविक शून्यक। सबसे नज़दीकी विकल्प \(\sqrt{3}\) गलत है क्योंकि संकेत उल्टा होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: डिस्क्रिमिनेंट \(\Delta=0\) होने पर तुरंत समझें कि बहुपद का शून्यक पुनरावृत्त होगा। / The quadratic is a perfect square: \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\). Expanding gives \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\), so the only root is \(x=-\sqrt{3}\) with multiplicity two. Using the discriminant: \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), confirming a repeated real root. The closest distractor \(\sqrt{3}\) is wrong due to the sign. Exam tip: if \(\Delta=0\) or you can complete the square, expect a double root and compute \(-b/2a\).
दोनों शून्यकों का योग और गुणनफल गुणांक से मिलते हैं। बहुपद \(x^2-6x+n\) में शून्यकों का योग \(-\frac{-6}{1}=6\) है और गुणनफल \(n\) है। दिए हुए शून्यक \(3+\sqrt{m}\) और \(3-\sqrt{m}\) का गुणनफल \((3+\sqrt{m})(3-\sqrt{m})=9-m\) होगा। यह गुणनफल \(n=5\) के बराबर है, अतः \(9-m=5\) से \(m=4\)। द्वितीय विकल्प (5) इसीलिए गलत है क्योंकि वह सीधे \(n\) को \(m\) समझ लेने की गलती होगी। परिक्षा युक्ति: द्विघात के लिए शून्यकों का योग और गुणनफल तुरंत याद रखें — यह समय बचाता है। / Use the relations between roots and coefficients for a quadratic. For \(x^2-6x+n\), sum of roots is \(-(-6)/1=6\) and product of roots is \(n\). For roots \(3+\sqrt{m}\) and \(3-\sqrt{m}\), the product is \((3+\sqrt{m})(3-\sqrt{m})=9-m\). Setting this equal to \(n=5\) gives \(9-m=5\), so \(m=4\). Option B (5) is a common distractor from confusing \(m\) with \(n\); option C (9) would give product zero, not 5. Exam tip: immediately write sum and product relations for quadratics to avoid unnecessary algebra.
किसी द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1, b=p, c=q\)। दिये गए शून्यक के योग से \((7+\sqrt{13})+(7-\sqrt{13})=14\) मिलता है, अतः \(-p=14\) से \(p=-14\)। गुणनफल \((7+\sqrt{13})(7-\sqrt{13})=49-13=36\) से \(q=36\)। अतः \(p+q=-14+36=22\)। ध्यान रखें: विकल्प \(49\) वही गलती दर्शाता है जहाँ केवल \(7^2\) लिया गया हो; विकल्प \(35\) कोई आंशिक गलत गणना दर्शाता है। परीक्षात्मक टिप: हमेशा सबसे पहले \(a,b,c\) पहचान कर शून्यकों का योग और गुणनफल के सूत्र लागू करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the sum of zeros is \(-b/a\) and the product is \(c/a\). Here \(a=1, b=p, c=q\). The sum of the given zeros is \((7+\sqrt{13})+(7-\sqrt{13})=14\), so \(-p=14\) giving \(p=-14\). The product is \((7+\sqrt{13})(7-\sqrt{13})=49-13=36\), so \(q=36\). Therefore \(p+q=-14+36=22\). Note: \(49\) would be a mistake from taking only \(7^2\); \(35\) is a common arithmetic slip. Exam tip: identify \(a,b,c\) first and then use sum and product of roots formulas to avoid sign errors.
सामान्य द्विघात \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1,\;c=2\) है, अतः गुणनफल \(\frac{2}{1}=2\)। विकल्प B (\(2\sqrt{3}\)) गलत है — वह द्विघात के मध्य गुणांक \(b\) का मान है, पर गुणनफल \(c/a\) से दिया जाता है। परीक्षा टिप: किसी भी क्वाड्रैटिक के लिए शीघ्र याद रखने हेतु सूत्र याद रखें — जोड़ = \(-b/a\), गुणनफल = \(c/a\)। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the product of the zeros equals \(\frac{c}{a}\). Here \(a=1\) and \(c=2\), so the product is \(\frac{2}{1}=2\). Option B (\(2\sqrt{3}\)) is incorrect — it is the coefficient \(b\), not the product. Exam tip: remember sum of roots = \(-b/a\) and product = \(c/a\) to answer such questions quickly.
यहाँ \(a=1,\; b=-2,\; c=-3\)। डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac =(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16>0\)। इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न और वास्तविक शून्यक हैं; उनका मान \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}\) से \(x=3\) और \(x=-1\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(D=8\) बताना अंकगणितीय त्रुटि है। विकल्प C और D भी गलत हैं: C में कहा गया है कि \(D<0\) जबकि वास्तविकता में \(D>0\), और D का तर्क गलत है क्योंकि अपरिमेय पड़े हुए शून्यक भी वास्तविक हो सकते हैं। परीक्षाई टिप: हमेशा सही ढंग से \(a,b,c\) पहचानकर \(D=b^2-4ac\) की गणना करें — इससे शून्यकों की प्रकृति तुरंत ज्ञात हो जाती है। / Here \(a=1,\; b=-2,\; c=-3\). The discriminant is \(D=b^2-4ac =(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16>0\). Hence the quadratic has two distinct real zeroes; solving gives \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}\), i.e. \(x=3\) and \(x=-1\). Option B is the closest distractor — it states \(D=8\), which is an arithmetic mistake. Options C and D are also incorrect: C claims \(D<0\) (complex roots) which is false here, and D's reasoning is wrong because irrational roots are still real. Exam tip: correctly identify \(a,b,c\) and compute \(D=b^2-4ac\) to determine root nature quickly.
किसी द्विघात\(x^2+ax+c\) के शून्यकों \(\alpha\) और \(\beta\) का योग \(-a\) होता है और गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ शून्यक हैं \(\alpha=-\sqrt{6}\) तथा \(\beta=\sqrt{6}\)। उनका योग \(\alpha+\beta=0\) है, अतः \(-a=0\) से \(a=0\)। साथ ही गुणनफल \(\alpha\beta=(-\sqrt{6})(\sqrt{6})=-6\) है, जो बहुपद के स्थिर पद \(-6\) से सुसंगत है — इसलिए उत्तर प्रमाणित है। नज़दीकी पेचीदा विकल्प \(6\) तब गलत है जब तक स्थिर पद \(-6\) न हो; \(-6\) (विकल्प C) स्थिर पद है पर वह \(a\) का मान नहीं है। परीक्षा सुझाव: किसी द्विघात में शून्यकों का योग और गुणनफल दोनों तुरंत जाँचें — वे क्रमशः \(-a)\) और स्थिर पद होते हैं ताकि तार्किक विरोधाभास पकड़ा जा सके। / For a quadratic \(x^2+ax+c\), the sum of zeros \(\alpha+\beta=-a\) and the product \(\alpha\beta=c\). Here \(\alpha=-\sqrt{6}\) and \(\beta=\sqrt{6}\), so the sum is \(0\). Thus \(-a=0\) gives \(a=0\). Also the product \((-\sqrt{6})(\sqrt{6})=-6\) matches the constant term \(-6\), confirming consistency. The closest distractor 6 is incorrect because it would contradict the product sign; option \(-6\) is the constant term, not the coefficient \(a\). Exam tip: always use both sum and product relations to check consistency when specific roots are given — sum gives the coefficient, product checks the constant term.
मोनिक द्विघात \(x^2-10x+k\) में शून्यकों का गुणनफल स्थिर पद \(k\) के बराबर होता है। दिए गए शून्यकों का गुणनफल है \((5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})=5^2-(\sqrt{2})^2=25-2=23\)। इसलिए \(k=23\)। निकटतम विकल्प \(25\) इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(5^2\) है और वास्तविक गुणनफल से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सुझाव: द्विघात \(ax^2+bx+c\) के लिए sum = \(-b/a\) और product = \(c/a\) हमेशा याद रखें; मोनिक (a=1) में उत्पाद सीधे \(c\) होता है। / For the monic quadratic \(x^2-10x+k\), the product of the zeros equals the constant term \(k\). Compute the product: \((5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})=5^2-(\sqrt{2})^2=25-2=23\). Hence \(k=23\). The nearby option 25 is incorrect because it is simply \(5^2\), not the actual product of the conjugate roots. Exam tip: remember for \(ax^2+bx+c\), sum of roots = \(-b/a\) and product = \(c/a\); for a monic quadratic product = constant term.
दो शून्यकों के योग से श्रेणीसंबंधी गुणधर्म लागू होते हैं। यहाँ योग = \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) और गुणनफल = \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\)। एक मानक मोनिक द्विघात बहुपद है \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\)। अतः बहुपद \(x^2-4x+1\) होगा। विकल्प B में साइन की गलती है (\(+4x\) होना चाहिए नहीं), अन्य विकल्पों का योग और गुणनफल दिए गए मूल्यों से मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: जब द्विघात के शून्यक दिए हों तो सीधे योग और गुणनफल निकालकर \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) लिखें और एक बार किसी एक शून्यक को बहुपद में परख लें। / Use the relation for a monic quadratic: if roots are r1 and r2, polynomial is \(x^2-(r1+r2)x+(r1r2)\). Here sum = \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\) and product = \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\). Thus the polynomial is \(x^2-4x+1\). Option B is wrong due to the wrong sign on the linear term (+4x instead of -4x); options C and D have different sum/product values. Exam tip: compute sum and product first and then form \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\); verify by substituting one root.
दो शून्यकों का योग \\(\sqrt{7}+(-\sqrt{7})=0\\) और गुणनफल \\(\sqrt{7}\times(-\sqrt{7})=-7\\) है। किसी मानक द्विघात बहुपद के लिए रूप \\(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\\) होता है, अतः बहुपद \\(x^2-7\\) होगा। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि: विकल्प B का स्थिर पद +7 है (गुणनफल +7) जिससे द्विघात के शून्यक कल्पनिक होंगे; विकल्प C का गुणनफल +7 और योग \\(2\sqrt{7}\\) है (दोहराया सकारात्मक मूल), इसलिए यह \\(\pm\sqrt{7}\\) नहीं देता; विकल्प D का गुणनफल सही (-7) मिलते हुए भी शून्यकों का योग \\(-2\sqrt{7}\\) है, जो आवश्यक शून्य (0) से भिन्न है। परीक्षा टिप: दो दिए गए शून्यकों से सीधे योग और गुणनफल निकालकर बहुपद \\(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\\) लिखें। / The sum of the zeros is \\(\sqrt{7}+(-\sqrt{7})=0\\) and the product is \\(\sqrt{7}\times(-\sqrt{7})=-7\\). For a monic quadratic the form is \\(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\\), so the required polynomial is \\(x^2-7\\). Why other options fail: option B has constant +7 (product +7) giving imaginary roots; option C has sum \\(2\sqrt{7}\\) and product +7 (a double positive root), not \\(\\pm\sqrt{7}\\); option D matches the product -7 but its sum is \\(-2\sqrt{7}\\), not 0, so its roots are different. Exam tip: compute sum and product of given roots and substitute into \\(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\\).
A. \(\left(\frac{6}{5},0\right),\ \left(-\frac{6}{5},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर कटन बिंदु तब मिलते हैं जब \(p(x)=0\)। इसलिए \(25x^2-36=0\) । यह एक अंतर-के-वर्ग (difference of squares) है: \((5x)^2-6^2=0\), यानी \((5x-6)(5x+6)=0\)। अतः \(5x-6=0\) से \(x=\tfrac{6}{5}\) और \(5x+6=0\) से \(x=-\tfrac{6}{5}\)। इसलिए कटन बिंदु \(\left(\tfrac{6}{5},0\right)\) और \(\left(-\tfrac{6}{5},0\right)\) हैं। नज़दीकी भ्रामक विकल्प B गलती से गुणनांक 25 को नजरअंदाज करके 36 का सीधा वर्गमूल लेता है; सही काम 25 से भाग करना या \(25x^2=(5x)^2\) मानकर फैक्टर करना है। परीक्षा टिप: बड़ी संख्या वाले वर्ग पद को \((ax)^2\) के रूप में देखें या समीकरण दोनों ओर 25 से भाग कर सरल करें। / x-axis intersections occur where \(p(x)=0\). So solve \(25x^2-36=0\). Recognize a difference of squares: \((5x)^2-6^2=0\), hence \((5x-6)(5x+6)=0\). Solving gives \(x=\pm\tfrac{6}{5}\). Thus the intersections are \(\left(\tfrac{6}{5},0\right)\) and \(\left(-\tfrac{6}{5},0\right)\). Distractor B errs by effectively taking \(\sqrt{36}=6\) without accounting for the factor 25 on \(x^2\). Exam tip: either factor as a difference of squares or divide the equation by 25 first to simplify.
A. \(\left(\tfrac{3}{4},0\right)\) और \(\left(-\tfrac{3}{4},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष कटान वे बिंदु हैं जहाँ \(p(x)=0\)। \(16x^2-9=0\) को गुणा-रूप में लिखें: \((4x-3)(4x+3)=0\)। इससे \(4x-3=0\) या \(4x+3=0\) मिलते हैं, अत: \(x=\pm\tfrac{3}{4}\)। इसलिए कटान \(\left(\tfrac{3}{4},0\right)\) और \(\left(-\tfrac{3}{4},0\right)\) हैं। गलत विकल्पों का संक्षिप्त विश्लेषण: (C) में \(\tfrac{4}{3}\) उल्टा अनुपात है—यह तब हो सकता है जब \(4x\) को ठीक से नहीं माना गया; (B) में \(\pm3\) लेने का अर्थ है कि केवल \(9\) का वर्गमूल लिया गया और \(16\) की भूमिका भूली गई। परीक्षा सुझाव: \(16x^2\) को \((4x)^2\) के रूप में देखें और अंतर-चोकोर (difference of squares) का उपयोग करें। / x-axis intersections are the points where \(p(x)=0\). Solve \(16x^2-9=0\). Factor as \((4x-3)(4x+3)=0\), giving \(4x-3=0\) or \(4x+3=0\), hence \(x=\pm\tfrac{3}{4}\). Thus the intersections are \(\left(\tfrac{3}{4},0\right)\) and \(\left(-\tfrac{3}{4},0\right)\). Why other options fail: (C) \(\tfrac{4}{3}\) is the reciprocal error from mishandling \(4x\); (B) \(\pm3\) ignores the coefficient 16. Exam tip: view \(16x^2\) as \((4x)^2\) and use difference of squares to factor quickly.
A. \(\left(\frac{4}{3},0\right)\) और \(\left(-\frac{4}{3},0\right)\)/\(\left(\frac{4}{3},0\right)\) and \(\left(-\frac{4}{3},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर कटाव पाने के लिए p(x)=0 करें: 9x-2-16=0 ⇒ 9x-2=16 ⇒ x-2=16/9 ⇒ x=±4/3। वैकल्पिक रूप से यह एक अंतर-गणित (difference of squares) है: 9x-2-16=(3x-4)(3x+4), जिससे जड़ें x=4/3 और x=-4/3 मिलती हैं। विकल्प C (±3/4) उल्टा अनुपात है और गलत है; विकल्प B (±4) तब आता अगर समीकरण x-2-16=0 होता। परीक्षा टिप: पूर्णांक गुणांकों को वर्ग करके (3x)2 की तरह देखें या तुरन्त अंतर-गणित के रूप में फैक्टर करें। / Set p(x)=0 to find x-intercepts: 9x-2-16=0 ⇒ 9x-2=16 ⇒ x-2=16/9 ⇒ x=±4/3. Alternatively factor as a difference of squares: 9x-2-16=(3x-4)(3x+4), giving x=4/3 and x=-4/3. Distractor C (±3/4) is the reciprocal mistake; B (±4) would be from x-2-16=0. Exam tip: either factor as (3x-4)(3x+4) or take square roots after isolating x-2 to avoid arithmetic slips.
