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द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=6\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=36-4k\)। अतः \(36-4k\ge0\) से \(k\le9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) केवल समान मूलों की विशेष स्थिति है, जबकि \(k>9\) पर मूल काल्पनिक होंगे। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की शर्त के लिए सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=k\), so \(D=36-4k\). Therefore, \(36-4k\ge0\) gives \(k\le9\). The value \(k=9\) is only the special case of equal roots, whereas \(k>9\) produces non-real roots. Exam tip: For real roots, begin by imposing the condition \(D\ge0\).
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। यदि प्रत्येक मूल \(r\) है, तो \(r+r=14\), अर्थात \(2r=14\), इसलिए \(r=7\)। अतः प्रत्येक मूल 7 है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) देखते ही दोनों समान मूल मानकर उनके योग को 2 से भाग दें। / When the discriminant is \(D=0\), the two roots of the quadratic equation are equal. If each root is \(r\), then \(r+r=14\), so \(2r=14\) and \(r=7\). Therefore, each root is 7. Exam tip: When \(D=0\), divide the sum of the roots by 2 to find the repeated root.
दिया गया समीकरण \(25x^2-10x+1=(5x-1)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(5x-1=0\), जिससे \(x=\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। यही दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पूर्ण वर्ग या \(D=0\) की पहचान करना सबसे तेज़ तरीका है। / The equation can be factorised as \(25x^2-10x+1=(5x-1)^2=0\). Thus, \(5x-1=0\), giving \(x=\frac{1}{5}\). This is the repeated root. In an exam, identifying a perfect square or checking that the discriminant is zero is the quickest approach.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-20x+100=0\) प्राप्त होता है। यह \((x-10)^2=0\) के बराबर है, इसलिए इसका एक ही दोहराया हुआ मूल \(x=10\) है; अतः दोनों मूल 10 और 10 हैं। विकल्प B में मूलों का योग गलत दिशा में चला जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो, तो दोनों मूल समान होते हैं। / Using the given coefficients, the equation is \(x^2-20x+100=0\), which factors as \((x-10)^2=0\). Hence the equation has one repeated root, \(x=10\), so both roots are 10 and 10. Option B has the wrong sign for the roots. Exam tip: when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero, the two roots are equal.
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0�\) के बराबर वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर �D=b-2-4ac=0� होना चाहिए। यहाँ �a=1, b=-10, c=k� हैं, इसलिए �D=(-10)2-4(1)(k)=100-4k=0�। अतः �k=25�। विकल्प 10 केवल �b� के परिमाण से जुड़ा है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों वाले प्रश्नों में सीधे �b-2-4ac=0� लगाएँ। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0�\), equal real roots occur when the discriminant �D=b-2-4ac� is zero. Here, �a=1, b=-10, c=k�, so �D=(-10)2-4(1)(k)=100-4k=0�, giving �k=25�. The value 10 is related only to the magnitude of �b� and does not satisfy the discriminant condition. Exam tip: Set �b-2-4ac=0� whenever equal roots are required.
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(20)=36-80=-44\) है। चूँकि \(D<0\), द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक है। परीक्षा-टिप: विविक्तकर का चिन्ह देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(20)=36-80=-44\). Since \(D<0\), the quadratic equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: the sign of the discriminant quickly determines the nature of the roots.
विविक्तकर का सूत्र �\(D=b^2-4ac\)� है। जब �(D>0)�, जैसे यहाँ �(81>0)�, तब द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। �(D=0)� होने पर मूल समान होते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति बताने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is given by �\(D=b^2-4ac\)�. Since �(D=81>0)�, the quadratic equation has two distinct real roots. Equal roots occur only when �(D=0)�, so option B is not correct. Exam tip: check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(a=4\), \(b=-20\) और \(c=25\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=400-400=0\)। अतः सही उत्तर 0 है और दोनों वास्तविक मूल बराबर होंगे। विकल्प 100 केवल \(b^2\) को दर्शाता है, उसमें \(4ac\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) के ऋण चिह्न को कोष्ठक में रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), \(a=4\), \(b=-20\), and \(c=25\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=400-400=0\). Therefore, 0 is correct, and the equation has two equal real roots. Option 100 represents only \(b^2\) and does not subtract \(4ac\). Exam tip: Always put the negative value of \(b\) in parentheses while calculating \(b^2\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=16-4k\)। अतः \(16-4k\ge0\) से \(k\le4\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल एक पर्याप्त स्थिति बताता है, पूरी आवश्यक शर्त नहीं; क्योंकि \(0\le k\le4\) के लिए भी मूल वास्तविक होते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=k\), so \(D=16-4k\). Therefore, \(16-4k\ge0\) gives \(k\le4\). Option D describes only a sufficient subset, not the complete condition, since roots are also real for \(0\le k\le4\). Exam tip: For questions about real roots, first apply \(D\ge0\).
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। यदि प्रत्येक मूल \(r\) है, तो \(r+r=12\), अर्थात \(2r=12\), इसलिए \(r=6\)। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) दिखने पर पहले दोनों समान मूल मानकर उनके योग या गुणनफल का उपयोग करें। / When the discriminant \(D=0\), the two roots of the quadratic equation are equal. If each root is \(r\), then \(r+r=12\), so \(2r=12\) and \(r=6\). Exam tip: When \(D=0\), assume equal roots first and use their sum or product accordingly.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-16x+64=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x-8)^2=0\) है, इसलिए दोनों मूल \(8\) हैं। यह एक समान मूल वाला द्विघात समीकरण है। परीक्षा में समान मूल पहचानने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) भी जाँच सकते हैं; यहाँ \(D=0\) है। / Using the given coefficients, the equation is \(x^2-16x+64=0\). It factors as \((x-8)^2=0\), so both roots are \(8\). Thus, the equation has equal roots. In an exam, you can also verify this using the discriminant \(D=b^2-4ac\); here, \(D=0\).
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� के बराबर वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर �D=b-2-4ac=0� है। यहाँ �a=1,b=-8,c=k� हैं, इसलिए �D=(-8)2-4(1)(k)=64-4k�। अतः �64-4k=0� से �k=16� प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों के प्रश्नों में सीधे �D=0� लगाएँ। / A quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)� has equal real roots when its discriminant �D=b-2-4ac� is zero. Here, �a=1,b=-8,c=k�, so �D=(-8)2-4(1)(k)=64-4k�. Setting �D=0� gives �64-4k=0�, hence �k=16�. Exam tip: For equal-root questions, apply �D=0� directly.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=13\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(13)=16-52=-36\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति बताने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान जाँचें। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=13\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(13)=16-52=-36\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: use the sign of the discriminant to determine the nature of the roots quickly.
क्योंकि (D=64>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D>0) होने पर मूल अलग अलग होते हैं। / Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. When (D>0), the roots are different.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=3\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(3)=36-36=0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: यदि \(D=0\), तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), here \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=3\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(3)=36-36=0\). Therefore, the two roots are real and equal. Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has two equal real roots.
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2\), और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(1)(k)=4-4k\)। अतः \(4-4k\ge0\), जिससे \(k\le1\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(k>1\) होने पर विविक्तकर ऋणात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की शर्त पूछे जाने पर सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2\), and \(c=k\), so \(D=2^2-4(1)(k)=4-4k\). Therefore, \(4-4k\ge0\), which gives \(k\le1\). Hence, option A is correct. If \(k>1\), as stated in option B, the discriminant becomes negative, so the roots are not real. Exam tip: For real roots of a quadratic, always begin with the condition \(D\ge0\).
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल समान होते हैं। मान लें प्रत्येक मूल \(x\) है। तब \(x+x=10\), इसलिए \(2x=10\) और \(x=5\)। अतः प्रत्येक मूल 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) दिखे तो समान मूल मानकर मूलों के योग को 2 से भाग दें। / When the discriminant \(D=0\), the two roots are equal. Let each root be \(x\). Then \(x+x=10\), so \(2x=10\) and \(x=5\). Therefore, each root is 5. Exam tip: When \(D=0\), divide the sum of the roots by 2 to find the repeated root.
दिया गया समीकरण \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(3x-1=0\), जिससे \(x=\frac{1}{3}\) प्राप्त होता है और यही दोहराया हुआ मूल है। विकल्प B में चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। / The equation can be factorised as \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\). Thus, \(3x-1=0\), giving \(x=\frac{1}{3}\), which is the repeated root. Option B has the incorrect sign. Exam tip: the roots of a quadratic equation are equal when its discriminant \(D\) is zero.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-10x+25=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x-5)^2=0\) है, इसलिए दोनों मूल 5 हैं। विकल्प B में चिह्न गलत है; \((-5)^2\) वाला रूप मध्य पद \(+10x\) देगा। परीक्षा-युक्ति: यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो, तो दोनों मूल समान होते हैं। / Substituting the coefficients gives \(x^2-10x+25=0\). Factoring it as \((x-5)^2=0\) shows that both roots are 5. Option B has the wrong sign; \((x+5)^2\) would produce a middle term of \(+10x\). Exam tip: when the discriminant \(D=b^2-4ac=0\), the two roots are equal.
द्विघात समीकरण में दो बराबर वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=k\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k=0\) से \(k=9\) प्राप्त होता है। परीक्षा में बराबर मूलों के लिए सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ; केवल \(b^2-4ac\) निकालना पर्याप्त नहीं है। / A quadratic equation has equal real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=k\), so \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Setting \(D=0\) gives \(36-4k=0\), hence \(k=9\). Exam tip: for equal roots, directly apply the condition \(b^2-4ac=0\).
यहाँ द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(10)=4-40=-36\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों का प्रकार तुरंत निर्धारित किया जा सकता है। / For this quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(10)=4-40=-36\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: the sign of the discriminant quickly determines the nature of the roots.
क्योंकि (D=49>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलेंगे। (D>0) होने पर मूल अलग अलग होते हैं। / Since (D=49>0), two distinct real roots will be obtained. When (D>0), the roots are different.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2\), \(b=-4\) और \(c=2\) हैं, इसलिए \(D=(-4)^2-4(2)(2)=16-16=0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और बराबर होंगे। परीक्षा-युक्ति: यदि \(D=0\), तो मूलों का मान समान होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2\), \(b=-4\), and \(c=2\), so \(D=(-4)^2-4(2)(2)=16-16=0\). Therefore, the roots are real and equal. Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has two equal real roots.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+36\ge 36\) होगा और यह कभी भी शून्य नहीं हो सकता। अतः समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) भी जाँच सकते हैं; यहाँ \(D=-144<0\), इसलिए वास्तविक मूलों की संख्या 0 है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+36\ge 36\) and can never equal zero. Therefore, the equation has no real roots, making 0 the correct answer. As an exam tip, the discriminant can also be checked: \(D=b^2-4ac=-144<0\), which confirms that there are no real roots.
समीकरण को \(x^2-12x+36=(x-6)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-6)^2=0\), इसलिए मूल \(x=6\) है और यही दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग वाले द्विघात समीकरण में वर्ग के अंदर के पद को शून्य करके मूल ज्ञात करें। / The equation can be written as \(x^2-12x+36=(x-6)^2\). Thus, \((x-6)^2=0\), giving \(x=6\), which is the repeated root. Exam tip: In a perfect-square quadratic equation, set the expression inside the square equal to zero to find the repeated root.
C. इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(x^2+25\ge 25\), जो कभी भी शून्य नहीं हो सकता। अतः समीकरण \(x^2+25=0\) का कोई वास्तविक मूल नहीं है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(5^2+25=50\) और \((-5)^2+25=50\), शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) ऋणात्मक हो तो द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence \(x^2+25\ge 25\), so it can never equal zero. Therefore, \(x^2+25=0\) has no real roots. Option D is incorrect because both \(5^2+25\) and \((-5)^2+25\) equal 50, not zero. Exam tip: a quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D>0\), तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। \(D=0\) पर दोनों मूल समान होते हैं और \(D<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का मान जाँचें। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), the equation has two distinct real roots. If \(D=0\), the roots are equal, while \(D<0\) gives non-real roots. In exams, first calculate \(D=b^2-4ac\) to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विभेदक का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=4\) हैं। इसलिए \(D=4^2-4(1)(4)=16-16=0\)। विकल्प 16 में \(4ac\) घटाना भूल गया है, जबकि ऋणात्मक चिह्न लगाने पर \(-16\) प्राप्त होगा, जो गलत है। अतः सही उत्तर 0 है और समीकरण के दोनों मूल वास्तविक तथा समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a\), \(b\) और \(c\) के चिह्नों सहित सही मान पहचानें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=4\). Therefore, \(D=4^2-4(1)(4)=16-16=0\). The value 16 results from forgetting to subtract \(4ac\), while -16 comes from using an incorrect sign. Thus, 0 is correct, and the equation has real and equal roots. Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\), including their signs, before substituting them into the formula.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। मूल सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) में \(D=0\) रखने पर दोनों मूल \(\frac{-b}{2a}\) प्राप्त होते हैं। इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं। विकल्प A के लिए \(D>0\) आवश्यक है, जबकि \(D<0\) होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा ‘समान और वास्तविक मूल’ याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Using the quadratic formula \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), when \(D=0\), both values of \(x\) become \(\frac{-b}{2a}\). Hence, the equation has two equal real roots. Option A applies when \(D>0\), whereas \(D<0\) gives no real roots. Exam tip: remember that \(D=0\) means equal and real roots.
