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क्वाड्राटिक समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए विविक्तांक (discriminant) \(D=b^2-4ac\) देखकर निर्णय लिया जाता है। यहाँ \(a=1,\;b=0,\;c=16\) इसलिए \(D=0^2-4\times1\times16=-64<0\)। विविक्तांक ऋणात्मक होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। वैकल्पिक दृष्टिकोण: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+16\) कभी शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: वास्तविक मूल के लिए पहले विविक्तांक जांचें; यदि \(D<0\) है तो उत्तर तुरंत 0 होगा। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the number of real roots depends on the discriminant \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=0,\;c=16\), so \(D=0^2-4\times1\times16=-64<0\). A negative discriminant means no real roots. Alternatively, since for any real x, \(x^2\ge0\), \(x^2+16\) cannot be zero. Exam tip: check the discriminant first — \(D>0\) gives 2 roots, \(D=0\) gives 1, \(D<0\) gives 0 real roots. The option “cannot be determined” is wrong because all coefficients are given.
\(x^2+14x+49\) को गुणा करके लिखने पर \((x+7)^2\) मिलता है, इसलिए समीकरण \((x+7)^2=0\) का एकमात्र (दोहराया) मूल \(-7\) है। डिस्क्रिमिनेंट की जांच से भी: \(b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot49=196-196=0\), जिससे स्पष्ट है कि समान दोहरे मूल हैं। विकल्प A (7) गलत है क्योंकि वह \((x-7)^2\) के लिए होगा; C और D तर्कसंगत नहीं हैं क्योंकि वे दिए हुए अभिव्यक्ति से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: त्रिक रूप में गुणा कर के या डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) देख कर दोहरा मूल तुरंत पहचानें। / Factorizing \(x^2+14x+49\) gives \((x+7)^2\), so the equation \((x+7)^2=0\) has the single repeated root \(-7\). Checking the discriminant: \(b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot49=0\) confirms one repeated root. Option A (7) would correspond to \((x-7)^2\) and is therefore incorrect; options C and D do not satisfy the given quadratic. Exam tip: either factor into a perfect square or compute the discriminant to quickly detect a repeated root.
यह द्विघात समीकरण पूर्ण वर्ग है क्योंकि \(x^2+12x+36=(x+6)^2\)। इसलिए दोनों मूल समान हैं और प्रत्येक मूल \(-6\) है। इसे गुणनखंडों से या बहुपद के गुणांक द्वारा जाँच सकते हैं: विमर्शक (discriminant) \(b^2-4ac=12^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0\), जिससे द्वितीयक मूल (double root) निकलता है। विकल्प A (6,6) आम साइन की गलती है — यहाँ ऋणात्मक ही सही है क्योंकि गुणनखंड \(x+6\) है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी द्विघात के लिए पहले पूरी तरह गुणनफल की जाँच करें और साथ में विमर्शक \(b^2-4ac\) का मान देख लें; यदि शून्य हो तो दोगुना मूल होगा। / The quadratic is a perfect square: \(x^2+12x+36=(x+6)^2\). Hence both roots are equal and each root is \(-6\). You can also use the discriminant: \(b^2-4ac=12^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0\), which confirms a repeated (double) root. Option A (6,6) is a sign error — the correct factor is \(x+6\), not \(x-6\). Exam tip: try factoring first; if unclear compute the discriminant — zero indicates a repeated root.
समीकरण \(7x^2=0\) को 7 से भाग देने पर \(x^2=0\) मिलता है। यह बराबर \(x^2=(x-0)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए \(x=0\) दोहरा (मल्टीप्लिसिटी 2) मूल है। डिस्क्रिमिनेन्ट के द्वारा भी: सामान्य रूप \(ax^2+bx+c\) में यहाँ \(a=7,b=0,c=0\) है और \(b^2-4ac=0^2-4\cdot7\cdot0=0\) जो दोहरे मूल को दर्शाता है। विकल्प C निकटतम भ्रमित करने वाला है पर गलत है क्योंकि \(x=7\) पर \(7\cdot7^2=343\neq0\)। परीक्षा टिप: किसी भी द्विघात का दोहरा मूल तात्कालिक रूप से डिस्क्रिमिनेन्ट \(=0\) से जाँचा जा सकता है या समीकरण को गुणनखण्ड में लिखकर परखा जा सकता है। / Dividing \(7x^2=0\) by 7 gives \(x^2=0\). This is \((x-0)^2\), so \(x=0\) is a repeated root (multiplicity 2). Using coefficients \(a=7,b=0,c=0\), the discriminant is \(b^2-4ac=0^2-4\cdot7\cdot0=0\), confirming a double root. The closest distractor C is wrong because substituting \(x=7\) gives \(7\cdot7^2=343\ne0\). Exam tip: check the discriminant or factor out common terms to quickly identify repeated roots.
समीकरण को वर्ग पूर्ण स्वरूप में लिखें: \(x^2-8x+16=(x-4)^2\)। इसलिए \((x-4)^2=0\) से मूल \(x=4\) आएगा और यह दोहराया हुआ (double) मूल है। वैकल्पिक तरीका: व्युत्पन्न (discriminant) देखें: \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0\) — जब \(\Delta=0\) होता है तो द्वि-घातीय समीकरण का एक दोहराया मूल होता है। निकट का विकल्प \(-4\) गलत है क्योंकि उसमें समीकरण शून्य नहीं बनता (\((-4)^2-8(-4)+16=64\)). परीक््षा युक्ति: किसी भी द्वि-घातीय समीकरण में जल्दी जांच के लिए पहले उसे फैक्टर करें या \(\Delta\) की गणना करें — \(\Delta=0\) होने पर मूल दोहराया होगा। / Factor the quadratic: \(x^2-8x+16=(x-4)^2\). Hence \((x-4)^2=0\) gives the repeated root \(x=4\). Alternatively compute the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=0\), and \(\Delta=0\) indicates a double root. The closest distractor \(-4\) is incorrect because substituting \(-4\) does not satisfy the equation (it gives 64). Exam tip: either factor into a perfect square or check the discriminant; if \(\Delta=0\) the root is repeated.
किसी वास्तविक \\((x)\\) के लिए \\(x^2\\ge0\\) होता है, इसलिए \\(x^2+9\\ge9>0\\) रहेगा और शून्य नहीं हो सकता। डिस्क्रिमिनेन्ट \\(b^2-4ac = 0^2 - 4\cdot1\cdot9 = -36 < 0\\) भी यह दर्शाता है कि वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके स्थान पर समिश्र (complex) मूल \\(\pm 3i\\) होते हैं। निकटतम विकर्षक (option D) गलत है क्योंकि \\(3^2+9=18\\) शून्य नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी क्वाड्रेटिक के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेन्ट \\(b^2-4ac\\) देखें — यदि यह नकारात्मक हो तो वास्तविक मूल नहीं होंगे। / For any real \\((x)\\), \\(x^2\\ge0\\), so \\(x^2+9\\ge9>0\\) and cannot be zero. The discriminant \\(b^2-4ac = 0^2 - 4\cdot1\cdot9 = -36 < 0\\) therefore confirms there are no real roots; the equation has complex roots \\(\pm 3i\\). Closest distractor (option D) is wrong because \\(3^2+9=18\\), not zero. Exam tip: check the discriminant \\(b^2-4ac\\) to decide existence of real roots quickly.
डिस्क्रिमिनेंट D का चिन्ह मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है। यदि \(D<0\) होता है तो \(\sqrt{D}\) वास्तविक नहीं होता, इसलिए समीकरण के मूल जटिल संघमित (complex conjugate) होते हैं और वास्तविक मूल नहीं होते। दूसरी ओर \(D>0\) पर दो विभिन्न वास्तविक मूल और \(D=0\) पर एक समान (दोहरा) वास्तविक मूल होता है, इसलिए ये विकल्प गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: जल्दी निर्णय के लिए केवल \(b^2-4ac\) की संख्यात्मक मान की संख्या-रेखा पर त्वरित जाँच करें — ऋणात्मक होने पर तुरंत उत्तर तय करें। / The sign of the discriminant D determines the nature of the roots. When \(D<0\) the quantity \(\sqrt{D}\) is not real, so the roots are complex conjugates and there are no real roots. If \(D>0\) there are two distinct real roots, and if \(D=0\) there is one repeated real root; thus those options are incorrect. Exam tip: compute \(b^2-4ac\) quickly — if it is negative you can immediately conclude there are no real roots.
डिसक्रिमिनेंट का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=1,\; b=-2,\; c=5\)। अतः \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\)। इसलिए डिस्क्रिमिनेंट \'-16\' सही है और चिह्न नकारात्मक होने के कारण वास्तविक मूल नहीं होंगे; मूल जटिल युग्म होंगे। निकटतम भ्रामक विकल्प 16 इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ b के चिन्ह को उल्टा लिया गया होगा (\(+2\) के बजाय \(-2\))। परिक्षा टिप: b को उसके पूरा चिन्ह के साथ ही रखें — बायाँ चिन्ह भूलकर बदलने से साइन में त्रुटि होती है। / Use the formula \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\; b=-2,\; c=5\), so \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\). Thus the correct discriminant is -16; a negative D means no real roots (the roots are complex conjugates). The closest distractor 16 is wrong because it comes from treating b as +2 instead of -2. Exam tip: always substitute b with its sign (the coefficient as written) to avoid sign errors.
(D>0) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। मूलों की प्रकृति जानने के लिए \(D=b^2-4ac\) देखें। / When (D>0), two distinct real roots are obtained. To know the nature of roots, check \(D=b^2-4ac\).
चूँकि \(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+4\ge 4>0\)। अतः \(x^2+4\) कभी शून्य नहीं होगा और वास्तविक मूल मौजूद नहीं हैं। इसी को द्विघात समीकरण के वर्णक से भी देख सकते हैं: \(\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot4=-16<0\), जिससे वास्तविक मूल नहीं होते। सबसे घातक भ्रम यह है कि सभी द्विघातों के दो मूल होते हैं — यह तभी सच है जब \(\Delta>0\) हो। परीक्षा-सूत्र: किसी भी द्विघात के वास्तविक मूलों की संख्या के लिए वर्णक \(\Delta=b^2-4ac\) देख लें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+4\ge 4>0\), so \(x^2+4\) can never be zero and there are no real roots. Using the quadratic discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot4=-16<0\), which confirms no real solutions. Common distractor: students may think a quadratic always has two roots — that requires \(\Delta>0\). Exam tip: check \(\Delta\) or the minimum value of \(x^2\) to decide real roots quickly.
गुणनखंडन करने पर \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) मिलता है, इसलिए समीकरण के मूल (roots) हैं \(x=1\) और \(x=2\)। निकटतम भ्रमित विकल्प D में एकमात्र सही संख्या 2 है पर 3 गलत है, इसलिए D गलत है। जांच के लिए discriminant \(b^2-4ac=9-8=1\) एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है, अतः जड़ें यथार्थ और रोational हैं। परीक्षा सुझाव: त्वरित जाँच के लिए Vieta का नियम उपयोग करें — गुणनफल =2 और गुण =1+2=3 चाहिए। / Factorising gives \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), so the roots are \(x=1\) and \(x=2\). The closest distractor D contains 2 (which is correct) but also 3 (which is not), so D is wrong. Also the discriminant is \(b^2-4ac=9-8=1\), a positive perfect square, confirming two rational real roots. Exam tip: use Vieta — sum of roots =3 and product =2 to check your answer quickly.
समीकरण को गुणा करने पर \(x^2-10x+25=(x-5)^2\) बनता है, इसलिए समीकरण का दोहराया (repeated) मूल \(5\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प A, यानी \(-5\), केवल तब सही होता यदि बहुपद \((x+5)^2\) होता; यहाँ संकेत उल्टा है। एक त्वरित परिक्षण युक्ति: यदि विवर्तक (discriminant) \(b^2-4ac=100-100=0\) होता है तो एक ही दोहराया मूल मिलेगा। / The polynomial factors as \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), so the repeated root is \(5\). The closest distractor, \(-5\), would be correct only if the factor were \((x+5)^2\), which it is not. Quick exam tip: check for a perfect square or compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals zero you have a repeated root.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\)। इसलिए \((x+3)^2=0\) से एक ही मूल आता है, \(x=-3\) (दोहराया हुआ मूल)। विकर्णांक \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0\) भी एक-दोहराव वाला मूल दर्शाता है। विकल्प A में साइन उल्टा है, विकल्प C और D से व्युत्पन्न जोड़े के गुणन और योग इस समीकरण के साथ मेल नहीं खाते। परीक्षा-सूत्र: यदि \(\Delta=0\) हो तो द्विघात समीकरण का द्वैतिक मूल दोहरा होता है। / Factor the quadratic: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Hence \((x+3)^2=0\) gives the repeated root \(x=-3\). The discriminant \(\Delta=b^2-4ac=36-36=0\) confirms a double root. Option A is the sign-mistake counterpart; options C and D do not satisfy the sum and product required by the coefficients. Exam tip: check \(\Delta\) first—if it is zero, the equation has one repeated root.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\)। इसलिए \((x+1)^2=0\) से मूल \(x=-1\) दोहरा (गुणांक 2) है। नज़दीकी भ्रांति है \(1\), जो \((x-1)^2\) से जुड़ा होगा (लेकिन वह समीकरण \(x^2-2x+1\) देता है)। परीक्षा-सूत्र: यदि वर्णांकों पर विचार करें तो डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=4-4=0\) आने पर मूल दोहरा होता है। / Factor the quadratic: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\). Thus \((x+1)^2=0\) gives the double root \(x=-1\). A common mistake is choosing \(1\), which would correspond to \((x-1)^2\) and the polynomial \(x^2-2x+1\). Exam tip: check either factorisation or compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals 0, the quadratic has a repeated root.
द्विघात समीकरण के गुण के अनुसार डिस्क्रिमिनेंट \(D= b^2-4ac\) की मान्यता तय करती है कि मूल वास्तविक हैं या नहीं। यदि \(D>0\) तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होंगे, यदि \(D=0\) तो सममूल (दो बराबर वास्तविक मूल) होंगे, इसलिए वास्तविक मूलों के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त \(D\ge 0\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(D<0\) होने पर मूल सम्मिश्र/कॉम्प्लेक्स होते हैं; विकल्प C बेकार-विशिष्ट मान है और सभी समीकरणों पर लागू नहीं होता; विकल्प D गलत है क्योंकि \(a=0\) पर समीकरण द्विघात नहीं रह जाता। परीक्षा-सुझाव: किसी द्विघात के मूल जल्दी जानने के लिए पहले हमेशा \(D=b^2-4ac\) निकालें। / The discriminant \(D=b^2-4ac\) determines the nature of roots. If \(D>0\) there are two distinct real roots, if \(D=0\) there is one repeated real root; hence real roots occur exactly when \(D\ge 0\). Option A is incorrect because \(D<0\) gives complex (non-real) roots. Option C is just a specific value and not a general condition. Option D is incorrect because \(a=0\) makes the equation linear, not quadratic. Exam tip: compute \(D=b^2-4ac\) first to decide root nature quickly.
डिस्क्रिमिनेंट की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=1,\;b=-4,\;c=4\)। अत: \(D=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0\)। इसलिए \(D=0\) और द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान (दोहराए गए) होंगे। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि सही घटा-भाग करने पर मान 0 आता है, न कि 4। परीक्षा टिप: सबसे पहले स्पष्ट रूप से \(a,b,c\) लिखें और फिर ही \(b^2-4ac\) में स्थानापन्न करें। / Discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-4,\;c=4\). Thus \(D=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0\). So the discriminant is 0 and the quadratic has equal (repeated) roots. Option A (4) is incorrect because correct substitution and arithmetic give 0, not 4. Exam tip: always list values of \(a,b,c\) explicitly before computing \(b^2-4ac\) to avoid sign or multiplication mistakes.
डिस्क्रिमिनेंट को परिभाषित किया जाता है \\(D = b^2 - 4ac\\)। यदि द्विघात समीकरण के दो समान (दोहरे) वास्तविक मूल हों तो \\(D=0\\) होता है और मूल की मान \\(-\frac{b}{2a}\\) होता है। नजदीकी भ्रामक विकल्प A (\\(D>0\\)) गलत है क्योंकि उस स्थिति में दो पृथक वास्तविक मूल होंगे; C (\\(D<0\\)) गलत है क्योंकि वहाँ मूल सम्मिश्र (complex) होते हैं; D (\\(D=1\\)) केवल एक विशिष्ट संख्या है और समान मूल होने के लिए आवश्यक नहीं है। परीक्षा सलाह: किसी भी क्वाड्रैटिक में पहले \\(D=b^2-4ac\\) निकालें और उसे 0 से तुलना करें। / The discriminant is defined by \(D = b^2 - 4ac\). Two equal (repeated) real roots occur exactly when \(D = 0\); the repeated root is \(-b/(2a)\). The closest distractor A (D > 0) is wrong because that case gives two distinct real roots; C (D < 0) gives complex conjugate roots; D (D = 1) is just a specific value and does not generally imply equal roots. Exam tip: always compute \(D=b^2-4ac\) and compare with zero to determine the nature of roots quickly.
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). अतः \((x-a)^2=49\) से दोनों मूल \(a+7\) और \(a-7\) होंगे। इन दोनों का अंतर \((a+7)-(a-7)=14\) है। विकल्प (B)‑ 7 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल अंकात्मक अंतर का आधा है; विकल्प (C)‑ 2a और (D)‑ a+7 भी गलत हैं — (C) को मूलों के योग या गुणनफल से गलत निहितार्थ जोड़ा गया है और (D) एक मात्र एक मूल है, अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: कभी भी द्विघात में समान रूप से व्यवस्थित सदस्य दिखें तो पहले पूर्ण वर्ग बनाने की कोशिश करें — इससे मूल सरलता से मिल जाते हैं। / Complete the square: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). So \((x-a)^2=49\) and the roots are \(a+7\) and \(a-7\). Their difference is \((a+7)-(a-7)=14\). Option B (7) is incorrect — it is half the actual difference. Option C (2a) is unrelated to the difference here (it would be a mistaken use of coefficients), and option D (a+7) is just one root, not the difference. Exam tip: try completing the square or factor as \((x-a-7)(x-a+7)=0\) to read off roots quickly.
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विभेदक (discriminant) \(D=b^2-4ac\) नकारात्मक होना चाहिए। यहाँ \(a=1,\; b=14,\; c=k\)। अतः \(D=14^2-4\cdot1\cdot k=196-4k\)। \(D<0\) होने पर \(196-4k<0\Rightarrow k>49\)। इसलिए सही उत्तर \(k>49\) है। निकटतम विकर्षक \(k=49\) पर \(D=0\) होता है और एक दोहराव वाला वास्तविक मूल मिलेगा, अतः वह विकल्प गलत है। परीक्षा-सूत्र: कोई वास्तविक मूल नहीं के लिये \(D<0\), एक समान वास्तविक मूल के लिये \(D=0\), दो अलग वास्तविक मूलों के लिये \(D>0\)। / For no real roots the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be negative. Here \(a=1,\; b=14,\; c=k\), so \(D=14^2-4\cdot1\cdot k=196-4k\). Requiring \(D<0\) gives \(196-4k<0\Rightarrow k>49\). Thus \(k>49\) is correct. The closest distractor \(k=49\) yields \(D=0\), giving one repeated real root, not “no real roots.” Exam tip: compute \(D\) first and use its sign to decide the nature of roots (\(D<0,=0,>0\)).
यह द्विघात समीकरण पूर्णवर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \((6x-5k)^2=0\)। वैकल्पिक रूप से डिस्क्रिमिनेंट पर देखें: \(\Delta=b^2-4ac=(-60k)^2-4\cdot36\cdot25k^2=3600k^2-3600k^2=0\)। डिस्क्रिमिनेंट शून्य होने पर दोनों मूल समान और वास्तविक होते हैं (मूल \(x=5k/6\))। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(\Delta\neq0\) होना चाहिए; विकल्प C गलत है क्योंकि \(\Delta<0\) होना चाहिए; विकल्प D गलत है क्योंकि k के किसी भी वास्तविक मान के लिए प्रकृति तय रहती है। परीक्षा सुझाव: जल्दी पहचान के लिए पहले डिस्क्रिमिनेंट निकालें; यदि \(\Delta=0\) मिलता है तो दोनों मूल समान होते हैं। / The quadratic is a perfect square: \((6x-5k)^2=0\). Alternatively compute the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=(-60k)^2-4\cdot36\cdot25k^2=3600k^2-3600k^2=0\). A zero discriminant means the two roots are equal and real (root \(x=5k/6\)). Option B is wrong because that requires \(\Delta>0\); option C is wrong because that requires \(\Delta<0\); option D is wrong because the nature does not depend on a special value of k for real k — it is always equal roots. Exam tip: check the discriminant first or try factoring into a perfect square to save time.
दोनों समान मूल होने पर उनका योग \(\alpha+\beta=-b/a\) होता है। यहाँ \(a=1\) और दोनों मूल \(-12\) हैं, अतः योग \(-12)+(-12)=-24\). इसलिए \(-b=-24\) और \(b=24\)। वैकल्पिक रूप से, समान मूल होने पर मूल \(-b/(2a)\) से भी मिला सकते हैं: \(-b/2=-12\) से भी \(b=24\) आता है। नज़दीकी विचलित विकल्प \(-24\) संकेतों का उल्टा है इसलिए गलत है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा \(\alpha+\beta=-b/a\) और \(\alpha\beta=c/a\) के सूत्रों से त्वरित जाँच करें और साइन पर ध्यान दें। / For a quadratic, the sum of roots is \(\alpha+\beta=-b/a\). Here \(a=1\) and both roots are \(-12\), so the sum is \(-24\). Thus \(-b=-24\) which gives \(b=24\). Alternatively, for a repeated root use \(-b/(2a)\): \(-b/2=-12\) leads to the same result. The distractor \(-24\) is the sign-error mirror of the correct sum, so it is incorrect. Exam tip: use \(\alpha+\beta=-b/a\) and \(\alpha\beta=c/a\) and double-check signs when substituting.
पूर्ण वर्ग त्रिघात के रूप में इसे \((x+b)^2 = x^2 + 2bx + b^2\) लिखा जा सकता है। यहाँ मध्य पद का गुणांक 24 है, अतः \(2b=24\) से \(b=12\)। इसलिए \(c=b^2=12^2=144\)। वैकल्पिक तरीका: परिभाषित भाजक (discriminant) शून्य होना चाहिए, यानी \(b^2-4ac=24^2-4\cdot1\cdot c=576-4c=0\) से भी \(c=144\) मिलता है। सबसे भ्रमित करने वाला विकल्प \(576\) है (यह \(24^2\) है) पर वह \(c\) नहीं हो सकता; \(c\) को \(b^2\) होना चाहिए जहाँ \(2b=24\)। परीक्षा सुझाव: या तो सीधे \((x+b)^2\) के रूप में पूरा वर्ग बनाकर या डिस्क्रिमिनेंट को \(0\) रखकर जल्दी निकालें। / A perfect-square trinomial must match \((x+b)^2 = x^2 + 2bx + b^2\). Here the coefficient of \(x\) is 24, so \(2b=24\) giving \(b=12\), and hence \(c=b^2=12^2=144\). Alternatively use discriminant: \(b^2-4ac=24^2-4\cdot1\cdot c=576-4c=0\) which yields \(c=144\). Note: 576 might look tempting because it is \(24^2\), but the constant term must be \(b^2\) with \(2b=24\), not \(24^2\). Exam tip: either complete the square or set the discriminant to zero to solve such questions quickly.
पहले द्विघात समीकरण \(ax^{2}+bx+c=0\) का विभेदक \(D=b^{2}-4ac\) निकालें। यहाँ \(a=7,\;b=-30,\;c=32\) तो \(D=(-30)^{2}-4\cdot7\cdot32=900-896=4\). मूलों के अंतर का रूपुला है \(|r_{1}-r_{2}|=\dfrac{\sqrt{D}}{a}\)। अतः अंतर = \(\dfrac{\sqrt{4}}{7}=\dfrac{2}{7}\)। विकल्प \(\tfrac{4}{7}\) उस त्रुटि से आता है जहाँ कोई छात्र \(\dfrac{D}{a}\) कर देता है; \(\tfrac{16}{7}\) इधर एक मूल है (\(\tfrac{16}{7}\) और \(2\) मूल हैं) पर अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: सीधे विभेदक \(D\) निकालकर \(|r_{1}-r_{2}|=\sqrt{D}/|a|\) नियम याद रखें — यह समय बचाता है। / Compute the discriminant: for \(7x^{2}-30x+32=0\), \(a=7,\;b=-30,\;c=32\) so \(D=b^{2}-4ac=900-896=4\). The difference between roots equals \(|r_{1}-r_{2}|=\dfrac{\sqrt{D}}{a}\). Therefore the difference is \(\dfrac{\sqrt{4}}{7}=\dfrac{2}{7}\). Note: the option \(\tfrac{4}{7}\) results from mistakenly using \(D/a\), and \(\tfrac{16}{7}\) is one of the roots (the other root is 2), not their difference. Exam tip: use \(|r_{1}-r_{2}|=\sqrt{D}/|a|\) to get the answer quickly without finding both roots explicitly.
इस समीकरण के लिए विवेक (discriminant) \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4\cdot1\cdot40 = 144 - 160 = -16 < 0\) है। जब \(D<0\) होता है तो द्विघात समीकरण की मूल वास्तविक नहीं होते (वे काल्पनिक युग्म होते हैं)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि समान (दोहराए गए) वास्तविक मूल तभी होंगे जब \(D=0\)। विकल्प C गलत है क्योंकि दो भिन्न वास्तविक मूल तभी होंगे जब \(D>0\)। विकल्प D भी गलत है क्योंकि मूलों का गुणनफल \(c/a = 40\) होना चाहिए न कि \(-40\)। परीक्षा टिप: सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) की गणना करें—\(D\) का चिन्ह ही मूलों की प्रकृति तुरंत बता देता है; साथ ही गुणनफल के लिए \(c/a\) और योग के लिए \(-b/a\) याद रखें। / Compute the discriminant: \(D=b^2-4ac = (-12)^2 - 4\cdot1\cdot40 = 144 - 160 = -16 < 0\). When \(D<0\) a quadratic has no real roots (the roots are non-real complex conjugates). Thus option A is correct. Option B is wrong because equal (repeated) real roots occur only if \(D=0\). Option C is wrong because two distinct real roots require \(D>0\). Option D is wrong because the product of the roots equals \(c/a = 40\), not \(-40\). Exam tip: always evaluate \(D\) first to decide the nature of roots; use sum = \(-b/a\) and product = \(c/a\) for quick checks.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। विकल्प A में \(a=1,\;b=1,\;c=12\) इसलिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47\)। विकल्प D (जो निकटतम विकल्प है) के लिए \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot30=64-120=-56\), अतः वह -47 नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हर समीकरण में पहले \(a, b, c\) पहचानकर सीधे \(b^2-4ac\) की गणना करें और साइन पर विशेष ध्यान दें। / Discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). For option A, \(a=1,\;b=1,\;c=12\), so \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47\), which matches. The closest distractor, option D, gives \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot30=64-120=-56\), not -47. Exam tip: always identify \(a,b,c\) first and compute \(b^2-4ac\) carefully, watching signs of b and c.
किसी द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) का धनात्मक होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1,\;b=-20,\;c=k\) इसलिए
\(D=(-20)^2-4\cdot1\cdot k=400-4k\).
वास्तविक तथा भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) चाहिए, अतः \(400-4k>0\) से \(k<100\)।
यदि \(k=100\) तो मूल समान होंगे (दोहराव), और \(k>100\) पर मूल सम्मिश्र (complex) होंगे।
परीक्षा-सूत्र: डिस्क्रिमिनेंट निकालते समय सामान्य रूप से 4 से गुणा करके सरलता से लिखें — यहाँ \(D=4(100-k)\)। / For a quadratic to have real and distinct roots the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here \(a=1,\;b=-20,\;c=k\), so
\(D=(-20)^2-4\cdot1\cdot k=400-4k\).
Real and distinct roots require \(D>0\), hence \(400-4k>0\) which gives \(k<100\).
If \(k=100\) the roots are equal, and if \(k>100\) the roots are complex. Exam tip: factor common multiples (\(D=4(100-k)\)) to check the sign quickly.
A. \(p\leq -7\) या \(p\geq 7\)/\(p\leq -7\) or \(p\geq 7\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(D\geq0\) होना आवश्यक है। यहाँ \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). \(D\geq0\) से \(p^2-49\geq0\) अर्थात् \(p^2\geq49\) जो देता है \(p\leq-7\) या \(p\geq7\)। विकल्प B गलत है क्योंकि उस पर \(p^2<49\) होगा और \(D<0\) होगा; विकल्प C बहुत संकुचित है और विकल्प D भी गलत है क्योंकि \(p\neq7\) में कई मान ऐसे हैं जिनसे \(D<0\)। परीक्षा टिप: किसी भी पैरामीट्रिक द्विघात के लिए सबसे पहले \(D=(b^2-4ac)\) की शर्त \(\ge0\) पर निर्णय लें। / For real roots the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). Requiring \(D\ge0\) gives \(p^2-49\ge0\) or \(p^2\ge49\), hence \(p\le-7\) or \(p\ge7\). Option B is incorrect because for \(-7<p<7\) we have \(p^2<49\) so \(D<0\); option C is just a special value and not the general condition; option D is too broad and includes values that do not give real roots. Exam tip: For parameter problems, compute \(D=b^2-4ac\) first and set \(D\ge0\) to find the range of the parameter.
समान मूल होने के लिए द्विघात समीकरण का डिस्क्रिमिनेंट \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1,\ b=-2m,\ c=64\)। अतः \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot64=4m^2-256\)。 \(D=0\) से \(4m^2-256=0\Rightarrow m^2=64\Rightarrow m=\pm8\)। इसलिए सही उत्तर \(m=\pm8\) है। विकल्प \(m=\pm16\) गलत है क्योंकि उस मान पर \(D\neq0\) होगा (जैसे \(m=16\) पर \(D=4\cdot256-256\neq0\))। परीक्षा टिप: समान मूल के लिए सीधे \(D=b^2-4ac=0\) लागू करें और समीकलन को सरल करके हल करें। / For equal roots the discriminant must be zero: \(D=0\). In the given equation \(a=1,\ b=-2m,\ c=64\). So \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot64=4m^2-256\). Setting \(D=0\) gives \(4m^2-256=0\Rightarrow m^2=64\Rightarrow m=\pm8\). Thus \(m=\pm8\) is correct. The option \(m=\pm16\) is incorrect because it yields a nonzero discriminant (roots are not equal). Exam tip: always compute \(b^2-4ac\) first for equal/distinct roots and solve the resulting equation for the parameter.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर �D<0� होना चाहिए। यहाँ �D=122-4(1)(k)=144-4k� है। अतः �144-4k<0� से �k>36� प्राप्त होता है। ध्यान दें कि �k=36� पर विविक्तकर शून्य होता है और एक समान वास्तविक मूल मिलता है, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies �D<0�. Here, �D=122-4(1)(k)=144-4k�. Thus, �144-4k<0�, which gives �k>36�. Note that when �k=36�, the discriminant is zero and the equation has one repeated real root, so that option is not correct. Exam tip: for a monic quadratic �x-2+bx+c=0�, no real roots means �b-2-4c<0�.
दिया गया समीकरण 25x² + 40kx + 16k² = (5x + 4k)² है। अतः (5x + 4k)² = 0 से x = −4k/5 प्राप्त होता है और यह मूल दोहराया हुआ है। विविक्तकर भी D = (40k)² − 4(25)(16k²) = 0 है, इसलिए मूल समान वास्तविक हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह D > 0 की स्थिति दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में D = 0 होने पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / The equation can be written as 25x² + 40kx + 16k² = (5x + 4k)². Hence, (5x + 4k)² = 0 gives x = −4k/5, which is a repeated root. Equivalently, the discriminant is D = (40k)² − 4(25)(16k²) = 0, so the roots are equal and real. Option B is incorrect because distinct real roots require D > 0. Exam tip: For a quadratic equation, D = 0 indicates two equal real roots.
