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यहाँ \(a=1\), \(b=-10\) और \(c=29\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(29)=100-116=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ हमेशा ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ होता है। / Here, \(a=1\), \(b=-10\), and \(c=29\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(29)=100-116=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex. Option B would be correct only if \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) always indicates that there are no real roots.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विवेचक D = b² − 4ac होता है। विकल्प A में a = 1, b = 1 और c = 9 हैं, इसलिए D = 1² − 4 × 1 × 9 = 1 − 36 = −35। विकल्प C का विवेचक 2² − 4 × 3 × 3 = −32 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विवेचक निकालते समय b² में b का चिह्न पहले हट जाता है, लेकिन 4ac का पूरा मान घटाना होता है। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. In option A, a = 1, b = 1, and c = 9, so D = 1² − 4 × 1 × 9 = 1 − 36 = −35. For example, option C gives 2² − 4 × 3 × 3 = −32, so it is not correct. Exam tip: the sign of b disappears when calculating b², but the complete value of 4ac must be subtracted.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\) है। अतः \(256-4k>0\), जिससे \(k<64\) प्राप्त होता है। \(k=64\) पर विविक्तकर शून्य होगा और दोनों मूल समान होंगे, इसलिए वह विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(D=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\). Thus, \(256-4k>0\), which gives \(k<64\). At \(k=64\), the discriminant is zero and the roots are equal, so option B is not correct. Exam tip: For real and distinct roots, always apply the condition \(D>0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए भेदांक \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2p, c=36\), इसलिए \(D=(2p)^2-4(1)(36)=4p^2-144\)। अतः \(4p^2-144\geq 0\), जिससे \(p^2\geq 36\) और \(p\leq -6\) या \(p\geq 6\) प्राप्त होता है। विकल्प B में भेदांक ऋणात्मक होता है, इसलिए वहाँ वास्तविक मूल नहीं मिलते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों में समान मूल की स्थिति भी शामिल होती है, इसलिए \(D=0\) को अवश्य शामिल करें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq 0\). Here, \(a=1, b=2p, c=36\), so \(D=(2p)^2-4(1)(36)=4p^2-144\). Thus, \(4p^2-144\geq 0\), which gives \(p^2\geq 36\) and hence \(p\leq -6\) or \(p\geq 6\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: include \(D=0\), because equal roots are also real roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2m, c=49\), इसलिए \(D=(-2m)^2-4(1)(49)=4m^2-196=0\)। अतः \(m^2=49\), जिससे \(m=\pm7\)। इसलिए केवल \(m=7\) या केवल \(m=-7\) लेना अधूरा है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here \(a=1, b=-2m, c=49\), so \(D=(-2m)^2-4(1)(49)=4m^2-196=0\). Thus, \(m^2=49\), giving \(m=\pm7\). Choosing only \(m=7\) or only \(m=-7\) omits one valid value. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant directly equal to zero.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और अलग-अलग मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\)। अतः \(4(2k+1)>0\), जिससे \(k>- rac{1}{2}\) मिलता है। \(k=-\frac{1}{2}\) पर मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\). Therefore, \(4(2k+1)>0\), giving \(k>- rac{1}{2}\). At \(k=-\frac{1}{2}\), the roots are equal, so option B is not sufficient. Exam tip: use \(D>0\) for distinct real roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \\(D<0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(D=b^2-4ac=10^2-4(1)(k)=100-4k\\) है। इसलिए \\(100-4k<0\\), जिससे \\(k>25\\) प्राप्त होता है। \\(k=25\\) पर विविक्तकर शून्य होता है और एक समान वास्तविक मूल मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “कोई वास्तविक मूल नहीं” के लिए हमेशा \\(D<0\\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \\(D<0\\). Here, \\(D=b^2-4ac=10^2-4(1)(k)=100-4k\\). Thus, \\(100-4k<0\\), which gives \\(k>25\\). When \\(k=25\\), the discriminant is zero and the equation has one repeated real root, so that option is not correct. Exam tip: For “no real roots,” apply the condition \\(D<0\\).
यह समीकरण \((4x-3k)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(4x-3k=0\), जिससे दोनों मूल \(x=\frac{3k}{4}\) प्राप्त होते हैं और समान हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना भी समान वास्तविक मूल की पुष्टि करता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) हो तो मूल समान वास्तविक होते हैं। / The equation can be written as \((4x-3k)^2=0\). Hence \(4x-3k=0\), giving the repeated root \(x=\frac{3k}{4}\). Equivalently, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0\), which confirms that the roots are equal and real. Exam tip: for a quadratic equation, \(D=0\) indicates two equal real roots.
समीकरण का गुणनखंडन \((3x-8)(x-2)=0\) है, इसलिए इसके मूल \(x=\frac{8}{3}\) और \(x=2\) हैं। अतः मूलों के अंतर का परिमाण \(\left|\frac{8}{3}-2\right|=\frac{2}{3}\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का अंतर पूछे जाने पर प्रायः उसके परिमाण को लिया जाता है, इसलिए बड़े मूल में से छोटे मूल को घटाएँ। / Factoring gives \((3x-8)(x-2)=0\), so the roots are \(x=\frac{8}{3}\) and \(x=2\). Therefore, their absolute difference is \(\left|\frac{8}{3}-2\right|=\frac{2}{3}\). Exam tip: when the difference between roots is asked, use the larger root minus the smaller root unless an order is explicitly specified.
यहाँ \(a=1\), \(b=-8\) और \(c=17\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(17)=64-68=-4\) है। चूँकि \(\Delta<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B तभी सही होता जब \(\Delta=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta<0\) पर वास्तविक मूल नहीं, \(\Delta=0\) पर समान मूल और \(\Delta>0\) पर भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-8\), and \(c=17\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(17)=64-68=-4\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots, so option A is correct. Option B would be correct only if \(\Delta=0\). Exam tip: \(\Delta<0\) means no real roots, \(\Delta=0\) means equal real roots, and \(\Delta>0\) means distinct real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विवेचक \(\Delta=b^2-4ac\) होता है। विकल्प A में \(a=1, b=1, c=6\), इसलिए \(\Delta=1^2-4(1)(6)=1-24=-23\)। विकल्प B का विवेचक \(32\), विकल्प C का \(-15\) और विकल्प D का \(-19\) है। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) पहचानकर \(b^2-4ac\) में पूरे \(4ac\) को घटाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac\). In option A, \(a=1, b=1, c=6\), so \(\Delta=1^2-4(1)(6)=1-24=-23\). The discriminants of options B, C and D are \(32\), \(-15\) and \(-19\), respectively. In an exam, identify \(a,b,c\) first and subtract the complete term \(4ac\) from \(b^2\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-12\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k>0\)। इससे \(k<36\) प्राप्त होता है। \(k=36\) पर दोनों मूल समान होंगे, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “वास्तविक और भिन्न” मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are real and distinct only when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is greater than zero. Here, \(a=1\), \(b=-12\), and \(c=k\), so \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k>0\). Therefore, \(k<36\). When \(k=36\), the roots are equal, so that option is not correct. Exam tip: For “real and distinct” roots, always apply \(D>0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विभेदक \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=25\), इसलिए \(D=(2p)^2-4(1)(25)=4p^2-100\)। अतः \(4p^2-100\geq 0\), जिससे \(p^2\geq 25\) और \(p\leq -5\) या \(p\geq 5\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता उलटी है और \(p=\pm5\) जैसे दोहरे वास्तविक मूलों को भी बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ, केवल \(D>0\) नहीं। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq 0\). Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=25\), so \(D=(2p)^2-4(1)(25)=4p^2-100\). Thus, \(4p^2-100\geq 0\), which gives \(p^2\geq 25\), and hence \(p\leq -5\) or \(p\geq 5\). Option B reverses the required inequality and also excludes the double real roots occurring at \(p=\pm5\). Exam tip: For real roots, use \(D\geq0\), not only \(D>0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=36\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(36)=4m^2-144\)। अतः \(4m^2-144=0\), जिससे \(m^2=36\) और \(m=\pm6\) प्राप्त होता है। केवल \(m=6\) या केवल \(m=-6\) लिखना अधूरा है। परीक्षा-सुझाव: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=36\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(36)=4m^2-144\). Setting \(D=0\) gives \(4m^2-144=0\), hence \(m^2=36\) and \(m=\pm6\). Choosing only \(m=6\) or only \(m=-6\) omits one valid possibility. Exam tip: whenever the roots are equal, set the discriminant equal to zero.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=8, c=k\), इसलिए \(D=8^2-4(1)(k)=64-4k\)। \(64-4k<0\) से \(k>16\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(k=16\) पर विविक्तकर शून्य होता है और एक वास्तविक, दोहराया हुआ मूल मिलता है। / A quadratic equation has no real roots only when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=8, c=k\), so \(D=8^2-4(1)(k)=64-4k\). Thus, \(64-4k<0\), which gives \(k>16\). Note that \(k=16\) makes the discriminant zero and produces one repeated real root, so it is not correct.
यह समीकरण \((3x+2k)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(3x+2k=0\), जिससे दोनों मूल \(x=-\frac{2k}{3}\) प्राप्त होते हैं और समान हैं। इसी प्रकार विविक्तकर \(D=(12k)^2-4(9)(4k^2)=0\) है, इसलिए मूल दो समान वास्तविक होंगे। परीक्षा में विविक्तकर \(D=0\) होने पर ‘दो समान वास्तविक मूल’ चुनें। / The equation can be rewritten as \((3x+2k)^2=0\). Thus \(3x+2k=0\), giving the repeated root \(x=-\frac{2k}{3}\). Equivalently, the discriminant is \(D=(12k)^2-4(9)(4k^2)=0\), so the roots are equal and real. Exam tip: for a quadratic equation, \(D=0\) indicates two equal real roots.
विकल्प A में \(x^2+16x+64=(x+8)^2\), इसलिए \((x+8)^2=0\) से दोनों मूल \(x=-8\) प्राप्त होते हैं। अतः मूल बराबर भी हैं और ऋणात्मक भी। विकल्प B में \((x-8)^2=0\) होने के कारण दोनों मूल बराबर लेकिन धनात्मक हैं। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) जाँचें और मूल का चिह्न देखें। / For option A, \(x^2+16x+64=(x+8)^2\). Thus, \((x+8)^2=0\) gives both roots as \(x=-8\), so they are equal and negative. In option B, \((x-8)^2=0\), giving equal but positive roots. Exam tip: For equal roots, first check that the discriminant is zero, then determine the sign of the root.
पूर्ण वर्ग बनने के लिए बहुपद को \(x^2-14x+c=(x-7)^2\) के रूप में लिखा जाना चाहिए। विस्तार करने पर \((x-7)^2=x^2-14x+49\), इसलिए \(c=49\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) के पूर्ण वर्ग होने पर \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\) होता है; यहाँ \(b=-14\) है। / For the quadratic to be a perfect square, its left-hand polynomial must be expressible as \(x^2-14x+c=(x-7)^2\). Since \((x-7)^2=x^2-14x+49\), we get \(c=49\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\) to be a perfect square, \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\); here, \(b=-14\).
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(2)(10)=81-80=1\) है। मूलों के अंतर का परिमाण \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) होता है, इसलिए अंतर \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\) है। सीधे गुणनखंड करने पर \((2x-5)(x-2)=0\), अतः मूल \(\frac{5}{2}\) और \(2\) मिलते हैं; उनका अंतर भी \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के अंतर के लिए \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) का सूत्र जल्दी और सुरक्षित रहता है। / Here, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(2)(10)=81-80=1\). The difference between the roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\), so it equals \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\). Alternatively, \(2x^2-9x+10=(2x-5)(x-2)\), giving roots \(\frac{5}{2}\) and \(2\), whose difference is \(\frac{1}{2}\). Exam tip: use \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) when only the difference between roots is required.
A. इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=11\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(11)=36-44=-8\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। याद रखें: \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D>0\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। / For this quadratic equation, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=11\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(11)=36-44=-8\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: \(D=0\) gives equal real roots, while \(D>0\) gives two distinct real roots.
\(x^2+x+3=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot3=-11\) है। विवेचक निकालते समय (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+3=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot3=-11\). Subtract the full (4ac) while finding the discriminant.
द्विघात समीकरण में वास्तविक और अलग-अलग मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-8, c=k\), इसलिए \(D=(-8)^2-4(1)(k)=64-4k\)। शर्त \(64-4k>0\) से \(k<16\) प्राप्त होता है। \(k=16\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here, \(a=1, b=-8, c=k\), so \(D=(-8)^2-4(1)(k)=64-4k\). Thus, \(64-4k>0\), which gives \(k<16\). When \(k=16\), the roots are equal, so option B is incorrect. Exam tip: use \(D>0\) specifically for distinct real roots.
A. \(k\leq -4\) या \(k\geq 4\)/\(k\leq -4\) or \(k\geq 4\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2k, c=16\), इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\)। अतः \(4k^2-64\geq0\Rightarrow k^2\geq16\), जिससे \(k\leq-4\) या \(k\geq4\)। विकल्प B में \(k\) का मान \(-4\) और \(4\) के बीच होता है, जहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real roots, its discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac\geq0\). Here, \(a=1, b=2k, c=16\), so \(D=(2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\). Thus, \(4k^2-64\geq0\Rightarrow k^2\\geq16\), which gives \(k\leq-4\) or \(k\geq4\). In option B, \(k\) lies between \(-4\) and \(4\), making the discriminant negative. Exam tip: Whenever real roots are asked for, begin with the condition \(D\geq0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=25\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(25)=4k^2-100\)। अतः \(4k^2-100=0\), जिससे \(k^2=25\) और \(k=\pm5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(k=5\) या \(k=-5\) लेना अधूरा होगा, क्योंकि दोनों मान संभव हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल दिखें तो सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=25\), so \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(25)=4k^2-100\). Setting \(D=0\) gives \(4k^2-100=0\), hence \(k^2=25\) and \(k=\pm5\). Therefore, option A is correct. Choosing only \(k=5\) or only \(k=-5\) is incomplete because both values are possible. Exam tip: For equal roots, immediately use \(D=0\).
दिया गया समीकरण \((x-a)^2-9=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-a)^2=9\), इसलिए मूल \(x=a+3\) और \(x=a-3\) हैं। बड़े और छोटे मूल का अंतर \((a+3)-(a-3)=6\) है। विकल्प D केवल एक मूल को दर्शाता है, जबकि विकल्प C सामान्यतः मूलों के अंतर के बराबर नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाकर मूलों का अंतर निकालना सबसे सरल तरीका है। / The equation can be rewritten as \((x-a)^2-9=0\). Thus, \((x-a)^2=9\), giving the roots \(x=a+3\) and \(x=a-3\). The difference between the larger and smaller roots is \((a+3)-(a-3)=6\). Option D represents only one root, while option C is not generally the difference between the roots. Exam tip: For this form, complete the square and identify the two roots directly.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=4, c=k\), इसलिए \(D=4^2-4(1)(k)=16-4k\)। अतः \(16-4k<0\), जिससे \(k>4\) प्राप्त होता है। \(k=4\) पर विविक्तकर शून्य होता है और एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल मिलता है, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=4, c=k\), so \(D=4^2-4(1)(k)=16-4k\). Thus, \(16-4k<0\), which gives \(k>4\). At \(k=4\), the discriminant is zero and the equation has one repeated real root, so that option is incorrect. Exam tip: for ‘no real roots,’ always use the condition \(D<0\).
यह समीकरण \(4x^2-4kx+k^2=(2x-k)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(2x-k=0\), इसलिए दोनों मूल \(x=\frac{k}{2}\) हैं और समान वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जाँचने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) देखें; यहाँ \(D=0\) है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि मूल भिन्न नहीं हैं। / The equation can be written as \(4x^2-4kx+k^2=(2x-k)^2=0\). Hence \(2x-k=0\), giving the repeated root \(x=\frac{k}{2}\). Therefore, the roots are equal and real. Exam tip: use the discriminant \(D=b^2-4ac\); here \(D=0\), so the roots are equal. Thus option B is incorrect because the roots are not distinct.
विकल्प A में x² − 12x + 36 = (x − 6)² है। अतः इसका एक ही दोहराया हुआ मूल x = 6 है, जो धनात्मक है। विकल्प B के समान मूल −6 हैं, विकल्प C के मूल 6 और −6 अलग-अलग हैं, जबकि विकल्प D के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के लिए विविक्तकर शून्य और धनात्मक मूल के लिए मूल का मान धनात्मक होना चाहिए। / In option A, x² − 12x + 36 = (x − 6)², so the repeated root is x = 6, which is positive. Option B has equal roots of −6, option C has two distinct roots, 6 and −6, and option D has no real roots. Exam tip: equal roots require a discriminant of zero, and the repeated root must be positive.
A. इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=6\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8<0\) है। इसलिए इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके जटिल मूल \(2+\sqrt{2}i\) और \(2-�sqrt{2}i\) हैं। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते, जबकि \(D=0\) होने पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=6\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8<0\). Hence, the equation has no real roots; its complex roots are \(2+\sqrt{2}i\) and \(2-�sqrt{2}i\). Remember: \(D<0\) means there are no real roots, whereas \(D=0\) gives two equal real roots.
\(x^2+x+4=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15\) है। विवेचक निकालते समय (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+4=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15\). Subtract the full (4ac) while finding the discriminant.
