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द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-6\), \(c=k\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k>0\), जिससे \(k<9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=k\), so \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Thus, \(36-4k>0\), which gives \(k<9\). At \(k=9\), the roots are equal, so option B is not correct. Exam tip: for two distinct real roots, always require \(D>0\).
A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)/\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=9\) हैं, इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq 0\), यानी \(k^2\geq 9\), जिससे \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)। विकल्प B में \(D<0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) जाँचें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=9\), so \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus \(4k^2-36\geq 0\), which gives \(k^2\geq 9\), and hence \(k\leq -3\) or \(k\geq 3\). In option B, \(D<0\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, always check the condition \(D\geq 0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=16\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\)। अतः \(4k^2-64=0\), जिससे \(k^2=16\) और \(k=\pm4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; केवल \(k=4\) या केवल \(k=-4\) लेना अधूरा उत्तर होगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरणों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=16\), so \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\). Thus, \(4k^2-64=0\), giving \(k^2=16\) and hence \(k=\pm4\). Therefore, option A is correct; choosing only \(k=4\) or only \(k=-4\) gives an incomplete answer. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, immediately use \(D=0\).
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (324-4k=0) और (k=81)। समान मूल की शर्त में विवेचक शून्य रखें। / For equal roots, (D=0), so (324-4k=0) and (k=81). For equal roots, set the discriminant to zero.
दोनों मूल 8 और 8 होने पर मूलों का योग \(8+8=16\) होगा। किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b/a\) होता है। यहाँ \(a=1, b=u\) इसलिए \(-u=16\) और \(u=-16\)। वैकल्पिक तरीका: समान मूल होने पर विविक्तांक (discriminant) शून्य होगा, यानी \(u^2-4\cdot1\cdot64=0\) से \(u^2=256\), पर दिया गया मूल 8 होने के कारण संकेत अनुरूप \(u=-16\) लेना आवश्यक है। परीक्षा टिप: हमेशा या तो मूलों का योग-गुणनफल या \((x-\text{root})^2\) का विस्तार इस्तेमाल कर के तुरंत जाँच करें। / If both roots are 8, their sum is \(8+8=16\). For \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots equals \(-b/a\). Here \(a=1, b=u\), so \(-u=16\) implying \(u=-16\). Alternatively, discriminant zero gives \(u^2-4\cdot1\cdot64=0\Rightarrow u=\pm16\), and matching the given root value yields \(u=-16\). Exam tip: substitute the root or expand \((x-8)^2\) to check your value quickly.
विवेचक को परिभाषित किया जाता है: \(D=b^2-4ac\). यहाँ \(a=4,\; b=1,\; c=6\)। अतः \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\)। क्योंकि \(D<0\), विवेचक ऋणात्मक है और समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं हैं (जड़ें समिश्र संख्याएँ होंगी)। निकटतम विचलक शून्य (B) इसलिए गलत है क्योंकि शून्य होने के लिए \(b^2=4ac\) होना आवश्यक है, पर यहाँ \(1\neq96\)। परीक्षा टिप: \(4ac\) का गुणन सावधानी से करें और गुणन चिह्न/लक्ष्यांक पर ध्यान रखें। / The discriminant is given by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=4,\; b=1,\; c=6\). So \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\). Since \(D<0\), the discriminant is negative; the equation has no real roots (roots are complex). The closest distractor 'zero' is wrong because that would require \(b^2=4ac\), which is not true here. Exam tip: compute \(4ac\) carefully and watch signs to avoid arithmetic errors.
मूलों की प्रकृति के लिए विवर्तक (discriminant) \(\Delta=b^2-4ac\) देखें। यहाँ \(a=1,\; b=14,\; c=49\) इसलिए \(\Delta=14^2-4\cdot1\cdot49=196-196=0\)। \(\Delta=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दो समान (repeated) वास्तविक मूल होते हैं; यहाँ सामान्य सूत्र से गुणा करें तो मूल \(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{14}{2}=-7\) (दोहरा मूल) आता है. नज़दीकी विचलन: विकल्प A गलत है क्योंकि \(\Delta\neq>0\) नहीं है, विकल्प C गलत है क्योंकि \(\Delta\) शून्य है (नकारात्मक नहीं), और D व्यर्थ है क्योंकि द्विघात का अधिकतम दो मूल होते हैं। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा \(\Delta=b^2-4ac\) की गणना करें; यदि \(\Delta=0\) हो तो समान मूल तुरंत पहचान लें। / Compute the discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Here \(a=1,\; b=14,\; c=49\) so \(\Delta=14^2-4\cdot1\cdot49=196-196=0\). When \(\Delta=0\) a quadratic has two equal (repeated) real roots; using \(x=-\dfrac{b}{2a}\) gives \(x=-7\) as the repeated root. Why other options are wrong: A would require \(\Delta>0\), C would require \(\Delta<0\), and D is impossible for a quadratic (at most two roots). Exam tip: Always evaluate \(\Delta\) first — it directly tells you whether roots are distinct, equal, or complex.
(D=64>0), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
विवेचक का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=25,\; b=-20,\; c=4\) इसलिए \(D=(-20)^2-4\cdot25\cdot4=400-400=0\)। \(D=0\) का अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल हैं (दोहराये हुए मूल)। निकट का प्रतिद्वंद्वी विकल्प \(400\) इसीलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(b^2\) है; विवेचक निकालने के लिए \(4ac\) घटाना आवश्यक है। विकल्प \(100\) आम गणना त्रुटि है (गलत तरीके से \(4ac\) की गणना करने पर आता है) और \(-20\) सही संकेत/मूल्यों के गलत उपयोग का परिणाम है। परीक्षा-सुझाव: तेज जांच के लिये देखें कि क्या त्रिघात एक पूर्ण वर्ग है — यहाँ \(25x^2-20x+4=(5x-2)^2\) होने से तुरंत पता चलता है कि \(D=0\)। / Use the discriminant formula \(D=b^2-4ac\). Here \(a=25,\; b=-20,\; c=4\), so \(D=(-20)^2-4\cdot25\cdot4=400-400=0\). \(D=0\) means the quadratic has two real and equal roots (a repeated root). The distractor 400 is incorrect because it is just \(b^2\) without subtracting \(4ac\). Option 100 arises from a common arithmetic mistake in computing \(4ac\), and \(-20\) comes from sign or substitution errors. Exam tip: check for a perfect square trinomial — here \(25x^2-20x+4=(5x-2)^2\), which immediately shows \(D=0\).
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (196-4k=0) और (k=49)। समान मूल की शर्त में विवेचक शून्य रखें। / For equal roots, (D=0), so (196-4k=0) and (k=49). For equal roots, set the discriminant to zero.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=3,\; b=2,\; c=7\)। इसलिए \(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\)। मान नकारात्मक है, अतः विवेचक ऋणात्मक है और समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते (दो जटिल-सहयोगी मूल होंगे)। विकल्प B (शून्य) गलत है क्योंकि \(D=0\) होता तो सममूल (equal real roots) मिलते; विकल्प A (धनात्मक) गलत है क्योंकि धनात्मक विवेचक से दो अलग वास्तविक मूल मिलते। परीक्षा टिप: \(b^2\) और \(4ac\) अलग‑अलگ लिखकर घटाना करें ताकि हस्तक्षेप और चिन्हों की गलती न हो। / The discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=3,\; b=2,\; c=7\). So \(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\). The value is negative, so the discriminant is negative and the quadratic has no real roots (two complex conjugate roots). Option B (zero) is wrong because \(D=0\) would give equal real roots; option A (positive) is wrong because a positive discriminant yields two distinct real roots. Exam tip: compute \(b^2\) and \(4ac\) separately to avoid sign or multiplication errors.
यहाँ (D=(-10)2-4\cdot1\cdot25=0), इसलिए मूल समान हैं। (D=0) समान वास्तविक मूलों की पहचान है। / Here (D=(-10)2-4\cdot1\cdot25=0), so the roots are equal. (D=0) identifies equal real roots.
(D=49>0), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / Since (D=49>0), two distinct real roots are obtained. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=9,\; b=-12,\; c=4\)। इसलिए \(D=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=144-144=0\)। विकल्प (B) केवल \(b^2\) है और यह भ्रामक हो सकता है जब \(4ac\) घटाना भूल जाएँ। विकल्प (C) गलत है क्योंकि \((-12)^2\) को कभी भी नकारात्मक नहीं लिया जाता; यह 144 है न कि -144। परिक्षा-टिप: हमेशा पहले \(a, b, c\) निर्धारित करें और फिर ही \(b^2-4ac\) लगाएँ। / The discriminant is given by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=9,\; b=-12,\; c=4\). Thus \(D=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=144-144=0\). Option B mistakenly gives only \(b^2\) (144) without subtracting \(4ac\). Option C arises from incorrectly treating \((-12)^2\) as -144; squaring a negative yields a positive. Exam tip: identify \(a,b,c\) first, then compute \(b^2-4ac\) carefully.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (36-4k=0) और (k=9)। समान मूल की शर्त में विवेचक शून्य रखें। / For equal roots, (D=0), so (36-4k=0) and (k=9). Set the discriminant to zero for equal roots.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=2,\; b=3,\; c=5\)। इसलिए \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\)। चूँकि \(D<0\), यह ऋणात्मक है और समीकरण की निरूपित जड़ें वास्तविक नहीं बल्कि सम्मिश्र (complex conjugates) होंगी। विकल्प B (शून्य) गलत है क्योंकि \(D\) शून्य होने पर युग्मित समान वास्तविक मूल मिलते; विकल्प A (धनात्मक) गलत है क्योंकि तब दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते। परीक्षात्मक सुझाव: गणना करते समय पहले \(4ac\) का मान निकालें और उसके संकेत पर ध्यान दें ताकि चूक न हो। / The discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=2,\; b=3,\; c=5\). So \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\). Since \(D<0\), the discriminant is negative and the equation has no real roots (it has complex conjugate roots). Option B (zero) is wrong because \(D=0\) would give equal real roots; option A (positive) is wrong because a positive \(D\) would give two distinct real roots. Exam tip: compute the \(4ac\) term first and track signs carefully to avoid arithmetic errors.
यहाँ \(D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\), इसलिए मूल समान हैं। (D=0) का अर्थ दो समान वास्तविक मूल होता है। / Here \(D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\), so the roots are equal. (D=0) means two equal real roots.
A. दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे/There will be two distinct real roots
Explanation
Simple Explanation
(D=25>0), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D) का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / Since (D=25>0), there will be two distinct real roots. The sign of (D) tells the nature of roots.
यहाँ \(D=b^2-4ac=4^2-4\cdot4\cdot1=0\) है। विवेचक में (a,b,c) सही पहचानना जरूरी है। / Here \(D=b^2-4ac=4^2-4\cdot4\cdot1=0\). Correctly identifying (a,b,c) is necessary for the discriminant.
C. कोई वास्तविक मूल नहीं होता/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। विवेचक नकारात्मक हो तो वास्तविक संख्या रेखा पर मूल नहीं मिलते। / When (D<0), there are no real roots. A negative discriminant gives no roots on the real number line.
यदि \(D=b^2-4ac=0\) है तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान (equal) और वास्तविक होंगे। ऐसे दो समान मूल का मान \(x=-\dfrac{b}{2a}\) होता है। विकल्प A निकटभ्रांति है क्योंकि \(D>0\) होने पर ही दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं; विकल्प C गलत है क्योंकि \(D<0\) होने पर ही वास्तविक मूल नहीं होते; विकल्प D असंभव है क्योंकि द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं। परीक्षा टिप: हमेशा पहले \(D=b^2-4ac\) निकालकर उसे 0, >0, या <0 से तुलना करें। / When \(D=b^2-4ac=0\), the quadratic has two equal (repeated) real roots. The common root equals \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Option A is a close distractor — two distinct real roots occur only when \(D>0\). Option C is wrong because no real roots occur only when \(D<0\). Option D is impossible since a quadratic cannot have three roots. Exam tip: compute \(D\) first and compare it with 0 to decide the nature of roots.
(D>0) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / When (D>0), the equation has two distinct real roots. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
विवेचक को सामान्यतः \(D\) से दर्शाया जाता है और इसकी मानक अभिव्यक्ति \(D=b^2-4ac\) है। यह गुण बताता है कि समीकरण की मूलें वास्तविक और भिन्न हैं (यदि \(D>0\)), द्वि-सम (यदि \(D=0\)) या क्रमिक/समिश्र (यदि \(D<0\)) हैं। विकल्प B (\(b^2+4ac\)) में चिन्ह गलत है इसलिए वह विवेचक नहीं हो सकता; विकल्प A व D में प्रतीकों के स्थान बदल दिए गए हैं और वे भी सही नहीं हैं। परीक्षा-टिप: हमेशा \(a, b, c\) को समीकरण से सही तरह से पहचानें और फिर \(b^2-4ac\) में रखें। / The discriminant is denoted by \(D\) and is given by \(D=b^2-4ac\). It determines the nature of the roots: two distinct real roots if \(D>0\), one repeated real root if \(D=0\), and two complex conjugate roots if \(D<0\). Option B has the wrong sign (\(+4ac\) instead of \(-4ac\)), while options A and D mix up the coefficients and are not the standard discriminant. Exam tip: correctly identify \(a,b,c\) from the equation and substitute into \(b^2-4ac\) to avoid sign errors.
समीकरण \(9x^2+11=0\) को हल करने पर \(9x^2=-11\) और \(x^2=-\dfrac{11}{9}\) मिलता है। क्योंकि दाहिनी ओर ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक संख्या के रूप में कोई मान नहीं है; जटिल इकाई \(i\) लेकर \(x=\pm\sqrt{-\dfrac{11}{9}}=\pm\dfrac{i\sqrt{11}}{3}\)। विकल्प C गलत है क्योंकि वह वास्तविक मान देता है (\(x^2=+11/9\)) जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता; विकल्प D भी गलत है क्योंकि \(x=0\) पर समीकरण का मूल्य 11 होता है, शून्य नहीं। परीक्षा सुझाव: जब \(x^2\) का मान ऋणात्मक आए तो तुरंत \(x=\pm i\sqrt{|\text{मान}|}\) की रूपरेखा याद रखें और डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) की साइन से यह पता चलता है कि जड़ें वास्तविक हैं या संक्लिष्ट (complex)। / Solve: \(9x^2+11=0\Rightarrow 9x^2=-11\Rightarrow x^2=-\dfrac{11}{9}\). Taking square roots gives complex roots \(x=\pm\sqrt{-\dfrac{11}{9}}=\pm\dfrac{i\sqrt{11}}{3}\). Option C is incorrect because it gives real roots \(\pm\dfrac{\sqrt{11}}{3}\), which do not satisfy the equation; option D is wrong because \(x=0\) yields 11, not 0. Quick exam tip: check the sign of the discriminant or move the constant to the RHS — a negative value under the square root indicates imaginary (complex) roots involving \(i\).
विविक्तकर (196-152=44) है और \(\sqrt{44}\) अपरिमेय है। इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। / The discriminant is (196-152=44) and \(\sqrt{44}\) is irrational. Hence the zeroes are real irrational.
विविक्तकर (196-160=36) है इसलिए शून्यक परिमेय होंगे यह कथन गलत नहीं बल्कि सही है। यहां सही प्रकार वास्तविक परिमेय होना चाहिए। / The discriminant is (196-160=36) so the zeroes are rational. The correct type should be real rational.
विविक्तकर (196-180=16) है और \(\sqrt{16}=4\) परिमेय है। इसलिए शून्यक वास्तविक परिमेय हैं। / The discriminant is (196-180=16) and \(\sqrt{16}=4\) is rational. Hence the zeroes are real rational.
विविक्तकर (100-92=8) है और \(\sqrt{8}\) अपरिमेय है, इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। परीक्षा में विविक्तकर का वर्गमूल देखें। / The discriminant is (100-92=8), and \(\sqrt{8}\) is irrational, so the zeroes are real irrational. In exams check the square root of the discriminant.
(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे। / For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
C. कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (4-20=-16) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर को वास्तविक शून्यक नहीं मानें। / The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
