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विविक्तकर (16-16=0), इसलिए मूल समान हैं और (x=2) परिमेय है। परीक्षा में (D=0) का अर्थ समान मूल होता है। / The discriminant is (16-16=0), so the roots are equal and (x=2) is rational. In exams (D=0) means equal roots.
C. दो अलग अपरिमेय वास्तविक/Two distinct irrational real values
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (36-4=32) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है और धनात्मक है। इसलिए दो अलग अपरिमेय वास्तविक मूल मिलते हैं। / The discriminant is (36-4=32), positive but not a perfect square. So there are two distinct irrational real roots.
अगर शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं तो बहुपद का सम \(2a\) और गुणनफल \(a^{2}-b\) होगा। एकक द्विघात बहुपद लिखेगा \(x^{2}-2ax+(a^{2}-b)\)। इसका विविक्तकर \(\Delta=(2a)^{2}-4\cdot1\cdot(a^{2}-b)=4a^{2}-4a^{2}+4b=4b\) आता है, इसलिए सही उत्तर \(4b\) है। निकटवर्ती विचलन: विकल्प D में \(4(a^{2}-b)=4a^{2}-4b\) है, जो सामान्य रूप से \(4b\) से अलग है; विकल्प C और B स्पष्ट रूप से गलत हैं (C ने ऋणात्मक भाग को नज़रअंदाज़ किया, B केवल तब सही होगा जब \(b=0\))। परीक्षा-सुझाव: जड़ों का योग और गुणनफल सीधे ले कर बहुपद बनाएं और तुरंत \(\Delta=b^{2}-4ac\) के बजाय समीकरण के गुणांक पर लागू कर निकालें। / With roots \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), the sum of roots is \(2a\) and the product is \(a^{2}-b\). The monic quadratic is \(x^{2}-2ax+(a^{2}-b)\). Its discriminant is \(\Delta=(2a)^{2}-4\cdot1\cdot(a^{2}-b)=4a^{2}-4a^{2}+4b=4b\), so \(4b\) is correct. Closest distractor D equals \(4(a^{2}-b)=4a^{2}-4b\), which is generally different from \(4b\); option C ignores the subtraction in the product and B would only hold if \(b=0\). Exam tip: use sum and product of roots to form the quadratic quickly, then compute \(\Delta\) from its coefficients.
क्वाड्रैटिक समीकरण \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों \(\alpha,\beta\) का अंतर \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) होता है जहाँ \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=1,\;b=-6\sqrt{2},\;c=17\)। अतः \(D=(6\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot17=72-68=4\)। इसलिए \(|\alpha-\beta|=\sqrt{4}=2\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4\) गलत है क्योंकि वह डिस्क्रिमिनेंट \(D\) है, जबकि प्रश्न शून्यकों के वास्तविक अन्तर के बारे में है। परीक्षा-सुझाव: तुरंत अंतर निकालने के लिए \(|\alpha-\beta|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\) या \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) याद रखें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\) with roots \(\alpha,\beta\), the difference is \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) where \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-6\sqrt{2},\;c=17\), so \(D=(6\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot17=72-68=4\). Hence \(|\alpha-\beta|=\sqrt{4}=2\). The common distractor \(4\) is the discriminant itself, not the root difference. Exam tip: use \(|\alpha-\beta|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\) or \(|\alpha-\beta|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}\) to get the answer quickly.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं/(p(x)) has rational zeroes and (q(x)) has irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=121-96=25) पूर्ण वर्ग है। (q(x)) के लिए (D=121-92=29) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। / For (p(x)), (D=121-96=25), a perfect square. For (q(x)), (D=121-92=29), positive and not a perfect square.
A. दो भिन्न वास्तविक अपरिमेय/Two distinct real irrational
Explanation
Simple Explanation
क्वाड्रेटिक के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1,\;b=-2\sqrt{2},\;c=1\) इसलिए \(D=( -2\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot1=8-4=4>0\)। अतः शून्यक वास्तविक और भिन्न हैं। शून्यक सूत्र से शून्यक होंगे \(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}=\sqrt{2}\pm1\)। चूँकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, \(\sqrt{2}\pm1\) भी अपरिमेय होते हैं। इसलिए सही विकल्प: दो भिन्न वास्तविक अपरिमेय। निकटतम विचलित विकल्प (दो समान) गलत है क्योंकि \(D\neq0\)। परीक्षा टिप: पहले हमेशा \(D\) की साइन जाँचें (\(>0,=0,<0\)) — यह तुरंत बताता है कि शून्यक भिन्न वास्तविक, दोहरा, या आवास्पद हैं; फिर परिमेयता की जाँच के लिए जड़ों में कोई अपरिमेय भाग है या नहीं देखें। / Use the discriminant \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-2\sqrt{2},\;c=1\), so \(D=( -2\sqrt{2})^2-4\cdot1\cdot1=8-4=4>0\). Thus the roots are real and distinct. Applying the quadratic formula gives roots \(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}=\sqrt{2}\pm1\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, \(\sqrt{2}\pm1\) are also irrational. Therefore the zeros are two distinct real irrational numbers. The closest distractor (two equal roots) is incorrect because \(D\neq0\). Exam tip: check \(D\) first to determine reality and multiplicity of roots, then inspect any irrational parts (like \(\sqrt{2}\)) to decide rationality.
(D=\(2\sqrt{7}\)2-4\cdot1\cdot6=28-24=4)। अपरिमेय गुणांक होने पर भी विविक्तकर परिमेय हो सकता है। / (D=\(2\sqrt{7}\)2-4\cdot1\cdot6=28-24=4). Even with an irrational coefficient, the discriminant can be rational.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं/(p(x)) has rational zeroes and (q(x)) has irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=4+32=36) पूर्ण वर्ग है। (q(x)) के लिए (D=4+28=32) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। / For (p(x)), (D=4+32=36), a perfect square. For (q(x)), (D=4+28=32), positive and not a perfect square.
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं। / For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
सामान्य गुणनखंड हटाने पर \(x^2-6x+7\) मिलता है और (D=36-28=8)। (D) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। / After removing the common factor, we get \(x^2-6x+7\), and (D=36-28=8). Since (D) is positive and not a perfect square, the zeroes are real irrational.
शून्यकों की प्रकृति के लिए अनुच्छेद (discriminant) का उपयोग करें: \(D=b^2-4ac=36-4k=4(9-k)\). शून्यक वास्तविक होने के लिए \(D\ge 0\) अर्थात् \(k\le 9\) और अपरिमेय होने के लिए \(D>0\) तथा \(D\) परफेक्ट स्क्वायर नहीं होना चाहिए।
- \(k=7\) पर \(D=36-28=8\), जो धनात्मक है और परफेक्ट स्क्वायर नहीं है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय होंगे (सही उत्तर)।
- \(k=5\) पर \(D=36-20=16\), परफेक्ट स्क्वायर है, अतः शून्यक युक्तात्मक (rational) होंगे।
- \(k=9\) पर \(D=0\), समान (equal) वास्तविक शून्यक होंगे (परिमेय)।
- \(k=10\) पर \(D=36-40=-4\), नकारात्मक होने पर शून्यक सम्मिश्र (complex) होंगे।
परीक्षा-सुझाव: अनुच्छेद निकालकर पहले जाँचें कि \(D>0\) है या नहीं, फिर देखें कि क्या वह परफेक्ट स्क्वायर है। / Use the discriminant: \(D=b^2-4ac=36-4k=4(9-k)\). For real roots we need \(D\ge0\) (i.e. \(k\le9\)). For the roots to be irrational we need \(D>0\) and \(D\) not a perfect square.
- For \(k=7\), \(D=36-28=8\), which is positive and not a perfect square, so the roots are real and irrational (correct).
- For \(k=5\), \(D=16\) which is a perfect square, giving rational roots.
- For \(k=9\), \(D=0\) so the roots are equal and rational.
- For \(k=10\), \(D=-4\) is negative, so the roots are complex (not real).
Exam tip: Always check that \(D>0\) and then test whether \(D\) is a perfect square to decide irrational vs rational roots.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं/Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=81-56=25) पूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक परिमेय हैं। (q(x)) के लिए (D=81-60=21) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं। / For (p(x)), (D=81-56=25), a perfect square, so the zeroes are rational. For (q(x)), (D=81-60=21), positive but not a perfect square, so the zeroes are irrational real.
क्वाड्रेटिक के लिए विविक्तकर (discriminant) को परिभाषित किया जाता है: \(D=b^2-4ac\). यहाँ \(a=1,\;b=-2,\;c=5\) इसलिए \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\), जो नकारात्मक है। यदि \(D<0\) तो द्विघात समीकरण के दोनों शून्यक वास्तविक नहीं होते; वे एक युग्मित जटिल (complex conjugate) होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(D>0\) और पूर्ण वर्ग नहीं है — वह स्थिति दो भिन्न वास्तविक (परंतु असममित) अवकलनीय अंक (irrational) शून्यकों को दर्शाती है, इसलिए वह यहाँ गलत है। परीक्षा-टिप: किसी भी द्विघात का वास्तविक शून्यक पता लगाने के लिए तुरंत \(D=b^2-4ac\) की साइन जाँचें। / For a quadratic, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1,\;b=-2,\;c=5\), so \(D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\), which is negative. When \(D<0\) the quadratic has no real roots; instead it has a pair of complex conjugate roots. The closest distractor \(D>0\) and not a perfect square would imply two distinct real (typically irrational) roots, so it does not apply here. Exam tip: compute \(D\) quickly — sign of \(D\) decides real vs. repeated vs. complex roots.
A. दोनों अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ/Both irrational real numbers
Explanation
Simple Explanation
क्वाड्रेटिक के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-7, c=5\) इसलिए \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot5=49-20=29\)। \(D>0\) है परन्तु \(29\) पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः दो भिन्न वास्तविक शून्यक होंगे जो अपरिमेय होंगे (रूट्स \((7\pm\sqrt{29})/2\))। विकल्प B गलत है क्योंकि पूर्ण वर्ग नहीं होने पर शून्यक परिमेय नहीं होते; विकल्प D गलत है क्योंकि दोनों शून्यक के भागफल में समान irrationals आते हैं, अतः दोनों अपरिमेय ही होंगे। परीक्षा-सुझाव: किसी भी द्वघात समीकरण के शून्यकों के प्रकार के लिए पहले हमेशा डिस्क्रिमिनेंट की जाँच करें और देखें कि वह पूर्ण वर्ग है या नहीं। / For a quadratic, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1, b=-7, c=5\), so \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot5=49-20=29\). Since \(D>0\) and \(29\) is not a perfect square, the equation has two distinct real irrational roots: \((7\pm\sqrt{29})/2\). Option B is incorrect because a non-perfect-square discriminant does not yield rational roots; option D is incorrect because both roots contain \(\sqrt{29}\) and are therefore both irrational. Exam tip: compute the discriminant first — if positive and not a perfect square, expect two irrational real roots.
(D=36-24=12) है, जो धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / (D=36-24=12), which is positive but not a perfect square. Hence the zeroes are real and irrational.
A. पहले के परिमेय, दूसरे के अपरिमेय वास्तविक/First are rational, second are irrational real
Explanation
Simple Explanation
पहले में (D=64-28=36) पूर्ण वर्ग है, दूसरे में (D=64-40=24) पूर्ण वर्ग नहीं है। विविक्तकर से शून्यकों का प्रकार तुरंत पता चलता है। / For the first, (D=64-28=36) is a perfect square; for the second, (D=64-40=24) is not. The discriminant quickly tells the type of zeroes.
शंकु (discriminant) को लीजिए: \(D=b^2-4ac=4-4k=4(1-k)\). शून्यक वास्तविक होने के लिए \(D>0\) अर्थात् \(k<1\) चाहिए। अपरिमेय होने के लिए \(D\) धनात्मक पर पूर्ण वर्ग न होना चाहिए, क्योंकि गुणांक ज्ञात और तार्किक हैं—यदि \(D\) पूर्ण वर्ग होगा तो शून्यक परिमेय होंगे। विकल्पों में: \(k=-1\) पर \(D=8\) (धनात्मक, पूर्ण वर्ग नहीं) इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। निकटवर्ती विकर्षक: \(k=0\) पर \(D=4\) जो पूर्ण वर्ग है इसलिए शून्यक परिमेय होंगे; \(k=1\) पर \(D=0\) से द्विपद समान व परिमेय शून्यक मिलते हैं; \(k=2\) पर \(D=-4\) से वास्तविक शून्यक नहीं मिलते। परीक्षा टिप: वास्तविक और अपरिमेय दोनों के लिए पहले \(D>0\) जाँचें, फिर देखें कि \(D\) कोई पूर्ण वर्ग तो नहीं। / Compute the discriminant: \(D=b^2-4ac=4-4k=4(1-k)\). For real roots we need \(D>0\) (so \(k<1\)). For the roots to be irrational (given rational coefficients), \(D\) must be positive but not a perfect square. For \(k=-1\), \(D=8\), which is positive and not a perfect square, so the roots are real and irrational. Why other choices fail: \(k=0\) gives \(D=4\) (a perfect square) so roots are rational; \(k=1\) gives \(D=0\) (equal rational roots); \(k=2\) gives \(D=-4\) (complex roots). Exam tip: first check sign of \(D\), then check whether \(D\) is a perfect square to decide rational vs irrational roots.
A. योग (-4), दोनों अपरिमेय वास्तविक/Sum (-4), both irrational real
Explanation
Simple Explanation
योग \(-\frac{b}{a}=-4\) और (D=16-4=12) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए दोनों शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं। / The sum is \(-\frac{b}{a}=-4\) and (D=16-4=12), not a perfect square. Hence both zeroes are irrational real.
A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक/Two distinct irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=36-16=20) है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{5}\) हैं। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो वास्तविक शून्यक अपरिमेय हो सकते हैं। / The discriminant is (D=36-16=20), so the zeroes are \(3\pm\sqrt{5}\). If (D) is not a perfect square, real zeroes can be irrational.
\((x^2-6x+7)\) के लिए विच्छेदक (discriminant) है \(D=b^2-4ac=36-28=8\)। \(D\) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे — अपरिमेय और एक-दूसरे के संयुग्मी। गुणांक (1, −6, 7) सभी परिमेय हैं। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) में गुणांक परिमेय नहीं हैं (\(\sqrt{2}\) मौजूद है); \((x^2-4x+4)\) का discriminant 0 है — शून्यक पुनरावर्ती और परिमेय (2); \((x^2+1)\) का discriminant नकारात्मक है और शून्यक काल्पनिक (\(\pm i\)) हैं। परीक्षा-सुझाव: वर्गीय बहुपद के लिए पहले गुणांकों की परिमेयता जाँचें और फिर discriminant की जाँच करें — धनात्मक और पूर्ण वर्ग न होने पर अपरिमेय संयुग्मी शून्यक मिलते हैं। / For \((x^2-6x+7)\) the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-28=8\). Since \(D>0\) and not a perfect square, the roots are \(3\pm\sqrt{2}\) — irrational and conjugate. The coefficients (1, −6, 7) are rational. Why other choices are wrong: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) has an irrational coefficient (so coefficients are not all rational); \((x^2-4x+4)\) has \(D=0\) giving a repeated rational root 2; \((x^2+1)\) has \(D<0\) giving purely imaginary roots. Exam tip: check coefficient rationality first, then compute the discriminant — irrational conjugate real roots occur when discriminant is positive but not a perfect square.
A. कथन सही है — शून्यक परिमेय हैं/The statement is true — the zeros are rational
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार परिमेय शून्यक के लिए निरुपणक \(D=b^2-4ac\) का पूर्ण वर्ग होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=r\)। \(r=3\) पर \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), जो एक पूर्ण वर्ग है (\(\sqrt{D}=2\))। अतः शून्यक \(\frac{4\pm2}{2}\) यानी 3 और 1 परिमेय हैं। विकल्प B निकटवर्ती भ्रम है — वह गलत है क्योंकि \(D\) अपरिमेयता नहीं दर्शाता; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि \(D<0\) या \(D=0\) के दावे सत्य नहीं हैं (यहाँ \(D=4>0\)). परीक्षा संकेत: हमेशा पहले \(D=b^2-4ac\) निकालें और देखें कि क्या वह पूर्ण वर्ग है; फिर शून्यक सीधे निकालकर सत्यापित करें। / For rational zeros of a quadratic with integer coefficients, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be a perfect square. Here \(a=1, b=-4, c=r\). For \(r=3\): \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), which is a perfect square (\(\sqrt{D}=2\)). Hence the zeros are \((4\pm2)/2\), i.e. 3 and 1, both rational. Distractor B is incorrect because the discriminant is not non-square; C and D are wrong because \(D<0\) (complex roots) and \(D=0\) (equal roots) do not hold here — actually \(D=4>0\). Exam tip: compute \(D\) first, check if it is a perfect square, then compute the roots to confirm.
(r=2) पर (D=16-8=8) है। यह धनात्मक और अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
यह द्विघात बहुपद एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\)। अल्जेब्रिक रूप से विवरण के द्वारा: गुणनफल कराने पर \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\) मिलता है, इसलिए केवल शून्यक \(x=-\sqrt{3}\) है और वह द्वैत्य (दोहराया) है। डिस्क्रिमिनेंट से भी पुष्टि होती है: \(\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), अतः एक पुनरावृत्त वास्तविक शून्यक। सबसे नज़दीकी विकल्प \(\sqrt{3}\) गलत है क्योंकि संकेत उल्टा होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: डिस्क्रिमिनेंट \(\Delta=0\) होने पर तुरंत समझें कि बहुपद का शून्यक पुनरावृत्त होगा। / The quadratic is a perfect square: \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\). Expanding gives \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\), so the only root is \(x=-\sqrt{3}\) with multiplicity two. Using the discriminant: \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), confirming a repeated real root. The closest distractor \(\sqrt{3}\) is wrong due to the sign. Exam tip: if \(\Delta=0\) or you can complete the square, expect a double root and compute \(-b/2a\).
A. एक ही अपरिमेय शून्यक पुनरावृत्त दो बार/One irrational zero repeated twice
Explanation
Simple Explanation
पहला तरीका: पूर्ण वर्ग बनाएं—\(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\)। इसलिए शून्यक \(x=\sqrt{7}\) है और यह दोहराया हुआ (double) है। वैकल्पिक रूप से डिस्क्रिमिनेंट से जाँच करें: \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\)। \(\Delta=0\) होने पर द्विघात का एक वास्तविक सम-दोहराया शून्यक होता है। इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि \(\Delta\) शून्य है (दो अलग शून्यक नहीं), C गलत है क्योंकि शून्यक \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है, और D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद है। परीक्षा-सुझाव: पहले डिस्क्रिमिनेंट देखें—\(\Delta=0\) होने पर तुरंत पता चल जाता है कि शून्यक दोहराया हुआ है। / Complete the square: \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\). Hence the root is \(x=\sqrt{7}\), occurring twice (a double root). Using the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac =(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\). \(\Delta=0\) implies one real repeated root. Thus B is wrong because \(\Delta\neq>0\) so roots are not distinct; C is wrong because the root is irrational (\(\sqrt{7}\)), and D is wrong because a real root does exist. Exam tip: compute \(\Delta\) first—\(\Delta=0\) immediately indicates a repeated real root; factorization gives the exact value.
A. दो भिन्न अपरिमेय वास्तविक शून्यक/Two distinct irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(D=36-28=8) है। (8) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / (D=36-28=8). It is positive but not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
यहाँ \(a=1,\; b=-2,\; c=-3\)। डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac =(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16>0\)। इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न और वास्तविक शून्यक हैं; उनका मान \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}\) से \(x=3\) और \(x=-1\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(D=8\) बताना अंकगणितीय त्रुटि है। विकल्प C और D भी गलत हैं: C में कहा गया है कि \(D<0\) जबकि वास्तविकता में \(D>0\), और D का तर्क गलत है क्योंकि अपरिमेय पड़े हुए शून्यक भी वास्तविक हो सकते हैं। परीक्षाई टिप: हमेशा सही ढंग से \(a,b,c\) पहचानकर \(D=b^2-4ac\) की गणना करें — इससे शून्यकों की प्रकृति तुरंत ज्ञात हो जाती है। / Here \(a=1,\; b=-2,\; c=-3\). The discriminant is \(D=b^2-4ac =(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16>0\). Hence the quadratic has two distinct real zeroes; solving gives \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}\), i.e. \(x=3\) and \(x=-1\). Option B is the closest distractor — it states \(D=8\), which is an arithmetic mistake. Options C and D are also incorrect: C claims \(D<0\) (complex roots) which is false here, and D's reasoning is wrong because irrational roots are still real. Exam tip: correctly identify \(a,b,c\) and compute \(D=b^2-4ac\) to determine root nature quickly.
C. दो भिन्न अपरिमेय शून्यक/Two distinct irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप \(x^2-4x+2\) है और (D=16-8=8) है। (8) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक अपरिमेय हैं। / The simplified form is \(x^2-4x+2\), and (D=16-8=8). Since (8) is not a perfect square, the zeroes are irrational.
A. दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) हैं/Both zeroes are \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
यह द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\)। इसलिए गुणनखंड के दोनों रूप एक जैसे हैं और शून्यक दोहरा है, अर्थात् दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) ही हैं। निकटतम विक्षेप (option C) गलत इसलिए कि बहुपद का भिन्न-भिन्न शून्यक नहीं है; विकल्प D भी गलत क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद हैं। परीक्षा-सुझाव: द्विघात का द्विघातम (discriminant) \(b^2-4ac\) निकालें — यदि शून्य आए तो पुनरावर्ती शून्यक मिलेगा। / The quadratic factors as \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\). Hence the root \(\sqrt{5}\) has multiplicity two and both zeroes equal \(\sqrt{5}\). The closest distractor (option C) is wrong because the polynomial does not have two distinct roots; option D is wrong because the discriminant is zero, so a real repeated root exists. Exam tip: compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals zero, the quadratic has a repeated real root.
C. दो भिन्न अपरिमेय शून्यक/Two distinct irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (D=36-16=20) है और (20) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए शून्यक वास्तविक भिन्न और अपरिमेय हैं। / The discriminant is (D=36-16=20), and (20) is not a perfect square. So the zeroes are real, distinct, and irrational.
A. यह \(x\)-अक्ष को नहीं मिलेगा/It will not meet the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग बनाकर \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) मिलता है। क्योंकि \((x+3)^2\ge0\) है, मान हमेशा कम से कम 1 होगा इसलिए पारबोला \(x\)-अक्ष को कभी काटता ही नहीं। समान रूप से डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=36-40=-4<0\) होने से कोई वास्तविक शून्य नहीं है। निकटतम विकल्प (छूना एक बार) गलत है क्योंकि उसके लिए डिस्क्रिमिनेंट शून्य होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: तीव्रता से जाँचने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट निकालें या पूर्ण-वर्ग में बदलकर शीर्षबिंदु देखें। / Completing the square gives \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\). Since \((x+3)^2\ge0\), the minimum value is 1, so the parabola never reaches 0 and does not meet the x-axis. Equivalently, the discriminant is \(b^2-4ac=36-40=-4<0\), so there are no real roots. The closest distractor (touch once) is wrong because that requires discriminant zero. Exam tip: use the discriminant or complete the square to quickly decide if real x-intercepts exist.
