Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
विविक्तकर (400-460=-60) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (400-460=-60), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(g^2-4g^2=-3g^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(g^2-4g^2=-3g^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
विविक्तकर (256-336=-80) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (256-336=-80), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(f^2-4f^2=-3f^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(f^2-4f^2=-3f^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
विविक्तकर (144-204=-60) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (144-204=-60), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(d^2-4d^2=-3d^2<0\) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(d^2-4d^2=-3d^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
विविक्तकर (64-88=-24) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (64-88=-24), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(c^2-4c^2=-3c^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(c^2-4c^2=-3c^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
बहुपद को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(p(x)=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\). इसलिए शून्यक दोहराया है और वह \(x=k\) है; अतः ग्राफ x-अक्ष को \(x=k\) पर स्पर्श करेगा (काटेगा नहीं)। निकटतम भ्रम, \(x=-k\), गलत है क्योंकि वह \((x-k)^2\) का शून्यक नहीं है। परीक्षा-टिप: पूर्ण वर्ग का पहचान तुरंत करने के लिए गुणनफल या डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) जांचें — यहाँ यह शून्य है, इसलिए द्विआवृत्त मूल है। / Factor the polynomial: \(p(x)=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\). Hence the root is repeated at \(x=k\), so the graph touches (but does not cross) the x-axis at \(x=k\). The distractor \(x=-k\) is incorrect because it is not a root of \((x-k)^2\). Exam tip: recognize perfect-square trinomials quickly, or check the discriminant \(b^2-4ac=0\) to identify a repeated root.
A. \(x=5\) पर स्पर्श करेगा/It will touch at \(x=5\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=x^2-10x+25\) को गुणा रूप में लिखें: \(p(x)=(x-5)^2\). यह दिखता है कि मूल्य \(x=5\) की आवृत्ति (multiplicity) 2 है — एक ही शून्यक दोहराया हुआ है। इसलिए परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करेगा पर उससे क्रॉस नहीं करेगा। निकटतम गलत विकल्प \(C\) इसलिए गलत है क्योंकि दो अलग बिंदुओं पर कटने के लिए दो विभिन्न वास्तविक शून्य होने चाहिए (discriminant>0)। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात का discriminant \(b^2-4ac\) शून्य हो तो जड़ पुनरावृत्ति होती है और ग्राफ स्पर्श करता है। / Factorize: \(p(x)=x^2-10x+25=(x-5)^2\). The root \(x=5\) has multiplicity 2 (a repeated zero), so the parabola touches the x-axis at a single point and does not cross it. Closest distractor C is incorrect because cutting at two distinct points requires two distinct real roots (discriminant > 0). Exam tip: if the discriminant \(b^2-4ac=0\), the quadratic has a repeated root and the graph is tangent to the x-axis.
B. एक (दोहरा) वास्तविक शून्यक/One (repeated) real zero
Explanation
Simple Explanation
बहुपद को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\)। इसलिए शून्यक \(x=-2\) मिला है पर वह द्वैतीय गुणांक (multiplicity) 2 के साथ आता है — मतलब केवल एक अलग वास्तविक शून्यक है। दूसरे तरीके से, विभेदक \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0\) है, इसलिए एक द्वैतीय (repeated) वास्तविक मूल है। नज़दीकी ग़लत विकल्प (A) इसलिए गलत है क्योंकि \(\Delta>0\) नहीं है, अतः दो भिन्न वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: शीघ्र पहचान के लिए पूर्ण वर्ग या \(\Delta\) की जाँच करें। / The polynomial factors as \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Thus the only root is \(x=-2\), but it has multiplicity 2 — so there is one distinct real zero (a repeated root). Using the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=0\), which indicates a repeated real root. The closest distractor (A) is incorrect because \(\Delta\) is not positive, so there are not two distinct real zeros. Exam tip: check for a perfect square trinomial or compute \(\Delta\) to decide distinct/repeated/no real roots quickly.
कारण: वास्तविक मानों के लिए \(x^2\ge0\) होता है, अतः \(x^2+9\ge9>0\)। इसलिए \(x^2+9=0\) का कोई वास्तविक समाधान नहीं है और ग्राफ x-अक्ष को कभी नहीं काटेगा। डिस्क्रिमिनेंट से भी देख सकते हैं: \(D=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), जिससे कोई वास्तविक मूल नहीं है। निकटतम विकर्षक “दो बार” इसलिए गलत है क्योंकि द्विघात समीकरण में दो छेद तभी होते हैं जब \(D>0\)। परीक्षा-सुझाव: किसी द्विघात के वास्तविक मूल जानने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट की जांच करें या शीर्ष-बिंदु/न्यूनतम मान देखें। / Reason: For real x, \(x^2\ge0\), so \(x^2+9\ge9>0\). Thus \(x^2+9=0\) has no real solution and the parabola never meets the x-axis. Using the discriminant: \(D=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), confirming no real roots. The closest distractor “Two times” is wrong because a quadratic has two x-intercepts only when \(D>0\). Exam tip: check the discriminant or the vertex/minimum value to decide intersection with the x-axis quickly.
x-अक्ष पर स्पर्श करने का अर्थ है कि परवलय का शीर्षक (vertex) उसी बिंदु पर है और समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं — यानि द्विघात समीकरण का एक ही वास्तविक विशिष्ट शून्य है (दोहऱा मूल)। गणितीय दृष्टि से यह स्थिति \\(\Delta=0\\) अर्थात विसंगति (discriminant) शून्य होने पर आती है। इसलिए शून्यकों की संख्या एक है (मूल 2, पर गुणनफल में दोहरान होना अलग बात है)। निकटतम ग़लत विकल्प: 'दो' तब होता जब परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटे; 'कोई नहीं' तब होता जब परवलय x-अक्ष से ऊपर पूरी तरह हो; 'अनंत' असम्भव है। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात के एक ही शून्य के लिए विसंगति \\(\Delta=0\\) याद रखें। / Touching the x-axis means the parabola's vertex lies on the axis and the quadratic has a repeated root — one distinct real zero (a double root). In terms of discriminant, this corresponds to \\(\Delta=0\\). So there is exactly one real zero: x=2. Why other options are wrong: 'Two' would require the parabola to intersect the axis at two distinct points; 'None' applies when the parabola does not meet the axis at all; 'Infinite' is impossible for a polynomial of finite degree. Exam tip: for a double root of a quadratic check that \\(\Delta=0\\).
