Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-5\) और \(c=9\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(m-5)^2-36=0\)। अतः \(m-5=\pm6\), जिससे \(m=11\) या \(m=-1\) प्राप्त होता है। साथ ही, मूलों का गुणनफल \(c/a=9>0\) है, इसलिए वे विपरीत चिह्नों वाले नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m-5\), and \(c=9\), so \(D=b^2-4ac=(m-5)^2-36=0\). Hence, \(m-5=\pm6\), giving \(m=11\) or \(m=-1\). Also, the product of the roots is \(c/a=9>0\), so the roots cannot have opposite signs. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, directly use \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=4\), \(B=-4(a-1)\) और \(C=a^2-4a\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\)। अतः \(16(2a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B \(a\le1\) विविक्तकर की सही असमिका नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले \(D\) को सरल रूप में लिखकर ही पैरामीटर की शर्त निकालें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=4\), \(B=-4(a-1)\), and \(C=a^2-4a\). Thus, \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\). Therefore, \(16(2a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac12\). Hence, option A is correct; the condition \(a\le1\) in option B does not follow from the discriminant. Exam tip: simplify the discriminant completely before solving the parameter inequality.
समान जड़ों के लिए (D=0) रखें। (4(k+2)2-4\(k^2+5\)=0) से (4k+3=0) नहीं, बल्कि (4k-1=0) नहीं; सही सरलीकरण (4k-1=0) देता है, इसलिए \(k=\frac{1}{4}\)। / For equal roots, put (D=0). Simplifying (4(k+2)2-4\(k^2+5\)=0) gives (4k-1=0), so \(k=\frac{1}{4}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होता है। यहाँ (a=k-2, b=4, c=1) हैं, इसलिए D=16-4(k-2)=0, जिससे k=6 प्राप्त होता है। ध्यान दें कि k=2 पर समीकरण द्विघात नहीं, बल्कि रैखिक हो जाता है; अतः वह सही विकल्प नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले द्विघात समीकरणों में सीधे D=0 लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, a=k-2, b=4, c=1, so D=16-4(k-2)=0, giving k=6. Note that when k=2, the equation becomes linear rather than quadratic, so it cannot represent equal roots of a quadratic equation. Exam tip: Set the discriminant equal to zero whenever a quadratic is stated to have equal roots.
\(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), इसलिए \((2x-1)^2=0\) से \(2x-1=0\), अर्थात \(x=\frac{1}{2}\)। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होने के कारण दोनों जड़ें समान हैं। अतः दोनों जड़ें \(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: जब द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग हो या \(D=0\) हो, तो समान जड़ प्राप्त होती है। / Since \(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), the equation gives \((2x-1)^2=0\), so \(2x-1=0\) and \(x=\frac{1}{2}\). Also, the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero, confirming that the two roots are equal. Therefore, both roots are \(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\). Exam tip: A quadratic that is a perfect square, or has \(D=0\), has equal roots.
द्विघात समीकरण की वास्तविक और भिन्न जड़ों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\)। अतः \(4(2k+1)>0\), जिससे \(k>- rac{1}{2}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में समानता शामिल है, पर \(k=-\frac{1}{2}\) पर जड़ें भिन्न नहीं, समान होती हैं। परीक्षा टिप: ‘वास्तविक और भिन्न’ जड़ों के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\). Thus, \(4(2k+1)>0\), which gives \(k>- rac{1}{2}\). Option B is incorrect because at \(k=- rac{1}{2}\), the roots are equal rather than distinct. Exam tip: For ‘real and distinct’ roots, use the strict condition \(D>0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=k\) और \(c=16\) हैं, इसलिए \(b^2-4ac=0\) से \(k^2-4(1)(16)=0\), अर्थात \(k^2-64=0\)। अतः \(k=8\) या \(k=-8\)। विकल्प B के लिए विविक्तकर शून्य नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=k\), and \(c=16\). Thus, \(b^2-4ac=0\) gives \(k^2-4(1)(16)=0\), so \(k^2-64=0\). Therefore, \(k=8\) or \(k=-8\). For option B, the discriminant would not be zero. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, directly use \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2, c=p+3\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(p+3)=-4(p+2)\)। अतः \(-4(p+2)<0\), जिससे \(p>-2\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(D=0\) होने पर एक वास्तविक समान मूल होती है, इसलिए \(p=-2\) शामिल नहीं है। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is less than zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\), and \(c=p+3\), so \(D=(-2)^2-4(1)(p+3)=-4(p+2)\). Thus, \(-4(p+2)<0\), which gives \(p>-2\). Remember that \(D=0\) gives one repeated real root, so \(p=-2\) is not included.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों \(\alpha\) और \(\beta\) के लिए \((\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-(k+2), c=2k\), इसलिए \((\alpha-\beta)^2=(k+2)^2-8k=(k-2)^2\)। जड़ों का अंतर 2 होने पर \((k-2)^2=4\), अतः \(k-2=\pm2\), जिससे \(k=0\) या \(k=4\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के अंतर को सीधे उपयोग करने के बजाय पहले उसके वर्ग को विविक्तकर से जोड़ें। / For roots \(\alpha\) and \(\beta\) of \(ax^2+bx+c=0\), \((\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}\). Here, \(a=1, b=-(k+2), c=2k\), so \((\alpha-\beta)^2=(k+2)^2-8k=(k-2)^2\). Since the difference is 2, \((k-2)^2=4\), giving \(k-2=\pm2\), hence \(k=0\) or \(k=4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Relate the square of the difference between the roots to the discriminant before solving for the parameter.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=\lambda\) और \(c=8\) हैं, इसलिए \(D=\lambda^2-4(2)(8)=\lambda^2-64\)। अतः \(\lambda^2-64=0\), जिससे \(\lambda=\pm8\) प्राप्त होता है। विकल्प B में सामान्यतः \(4ac\) की गणना में गलती हो जाती है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=2\), \(b=\lambda\), and \(c=8\), so \(D=\lambda^2-4(2)(8)=\lambda^2-64\). Thus, \(\lambda^2-64=0\), giving \(\lambda=\pm8\). Option B may result from incorrectly calculating \(4ac\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant directly equal to zero.
यहाँ \(a=5, b=-2, c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(5)(1)=4-20=-16<0\) है। इसलिए समीकरण की कोई वास्तविक जड़ नहीं है। विकल्प A तब सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि विकल्प B के लिए \(D>0\) आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में विविक्तकर का चिन्ह जड़ों की प्रकृति तुरंत बताता है। / Here, \(a=5, b=-2, c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(5)(1)=4-20=-16<0\). Therefore, the equation has no real roots. Option A would be correct only if \(D=0\), while option B requires \(D>0\). Exam tip: The sign of the discriminant quickly determines the nature of the roots of a quadratic equation.
समीकरण �\(ax^2+bx+c=0�\) में विविक्तकर �\(D=b^2-4ac�\) होता है। यहाँ �\(a=1,b=-2\sqrt{3},c=3�\), इसलिए �(D=\(-2\sqrt{3}\)2-4(1)(3)=12-12=0�)। अतः दोनों जड़ें वास्तविक और समान हैं; वास्तव में प्रत्येक जड़ �\sqrt{3}� है। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: �(D=0�) होने पर हमेशा दो समान वास्तविक जड़ें मिलती हैं। / For �\(ax^2+bx+c=0�\), the discriminant is �\(D=b^2-4ac�\). Here �\(a=1,b=-2\sqrt{3},c=3�\), so �(D=\(-2\sqrt{3}\)2-4(1)(3)=12-12=0�). Therefore, the roots are real and equal; each root is �\sqrt{3}�. Hence option B is correct. Exam tip: when �(D=0�), a quadratic equation has two equal real roots.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+5\) हैं। अतः \(D=[2(k-1)]^2-4(1)(k+5)=4(k^2-3k-4)=0\)। इसलिए \((k-4)(k+1)=0\), जिससे \(k=4\) या \(k=-1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+5\). Thus, \(D=[2(k-1)]^2-4(1)(k+5)=4(k^2-3k-4)=0\). Factoring gives \((k-4)(k+1)=0\), so \(k=4\) or \(k=-1\). The distractors arise from sign or factorisation errors. Exam tip: whenever a quadratic has equal roots, immediately apply \(D=0\).
द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\) है। अतः \(8(a-1)\ge 0\), जिससे \(a\ge 1\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \(a=1\) छूट जाता है, जबकि इस स्थिति में दोनों जड़ें समान और वास्तविक होती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge 0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge 0\). Here, \(D=[-2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\). Therefore, \(8(a-1)\ge 0\), which gives \(a\ge 1\). Option A incorrectly excludes \(a=1\), although at \(a=1\) the equation has equal real roots. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\ge 0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k+4\) हैं। अतः \(D=4(k+1)^2-4k(k+4)=4(1-2k)\)। समान जड़ों के लिए \(4(1-2k)=0\), इसलिए \(k=\frac{1}{2}\)। परीक्षा-टिप: समान जड़ों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ और साथ ही जाँच लें कि \(a\neq 0\) हो। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=k\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k+4\). Therefore, \(D=4(k+1)^2-4k(k+4)=4(1-2k)\). Setting this equal to zero gives \(k=\frac{1}{2}\). Exam tip: In equal-root questions, begin with \(D=0\) and verify that \(a\neq 0\) so the equation remains quadratic.
दिया गया समीकरण \(x^2-2(m+2)x+(m+2)^2=0\), \((x-(m+2))^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसका दोहराया हुआ मूल \(x=m+2\) है और यह प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए बराबर मूल देता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C केवल \(m=-2\) का एक विशेष मान बताता है, जबकि सभी वास्तविक मान मान्य हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग या विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) की जाँच करें। / The equation can be rewritten as \((x-(m+2))^2=0\). Hence its repeated root is \(x=m+2\), and the roots are equal for every real value of \(m\). Therefore, option A is correct. Option C gives only the special case \(m=-2\), not the complete set of valid values. Exam tip: in such questions, first look for a perfect square or verify that the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=m+4\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=16-4(m+4)=-4m\)। अतः \(-4m<0\), जिससे \(m>0\) प्राप्त होता है। \(m=0\) पर \(D=0\) होगा और दो समान वास्तविक मूल मिलेंगे, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की जाँच के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=m+4\), so \(D=b^2-4ac=16-4(m+4)=-4m\). Thus, \(-4m<0\), which gives \(m>0\). If \(m=0\), then \(D=0\), giving two equal real roots; therefore, option C is incorrect. Exam tip: For questions about the nature of roots, first determine the sign of the discriminant.
दिया गया द्विघात समीकरण \(x^2-12x+36=0\) को ((x-6)2=0) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसका दोनों मूल 6 हैं, अर्थात् \(\alpha=\beta=6\)। अतः \(\alpha-\beta=6-6=0\)। परीक्षा-युक्ति: यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य हो, तो दोनों मूल समान होते हैं और उनका अंतर शून्य होता है। / The quadratic equation \(x^2-12x+36=0\) factors as ((x-6)2=0). Hence both roots are 6, so \(\alpha=\beta=6\) and \(\alpha-\beta=6-6=0\). Exam tip: when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero, the two roots are equal and their difference is zero.
यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=13\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(13)=16-52=-36<0\) है। इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और उत्तर 0 है। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूलों की संख्या हमेशा शून्य होती है; 1 या 2 वास्तविक मूल तभी संभव हैं जब \(D=0\) या \(D>0\) हो। / Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=13\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(13)=16-52=-36<0\). Therefore, the quadratic equation has no real roots, so the answer is 0. Exam tip: \(D<0\) means zero real roots; one or two real roots occur only when \(D=0\) or \(D>0\), respectively.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-8\) और \(c=16\), इसलिए \(D=(-8)^2-4(k)(16)=64-64k\)। अतः \(64-64k=0\), जिससे \(k=1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots of a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=k\), \(b=-8\), and \(c=16\), so \(D=(-8)^2-4(k)(16)=64-64k\). Thus, \(64-64k=0\), giving \(k=1\). Exam tip: Whenever equal roots are mentioned, immediately use the condition \(D=0\).
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-6, c=k\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k=0\), जिससे \(k=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 6 केवल \(b\) के परिमाण से जुड़ा है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1, b=-6, c=k\), so \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Setting \(D=0\) gives \(36-4k=0\), hence \(k=9\). The value 6 is only the magnitude of the coefficient of \(x\), so it is not correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, always use \(b^2-4ac=0\).
समान मूलों का गुणनफल \(36\) है। अतः प्रत्येक मूल \(-6\) होगा, क्योंकि \((-6)(-6)=36\)। मूलों का योग \(-12\) है। विएटा के सूत्र के अनुसार मूलों का योग \(-k\) होता है, इसलिए \(-k=-12\), जिससे \(k=12\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य भी रख सकते हैं, जिससे \(k^2-144=0\); ऋणात्मक मूल की शर्त \(k=12\) चुनने में सहायता करती है। / The product of the equal roots is \(36\), so each root must be \(-6\), since \((-6)(-6)=36\). Their sum is therefore \(-12\). By Vieta’s formula, the sum of the roots is \(-k\), so \(-k=-12\), giving \(k=12\). Exam tip: You can also use the equal-root condition \(k^2-144=0\); the requirement that the roots be negative selects \(k=12\), not \(-12\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(m+1)\) और \(c=m^2+2m\) हैं। इसलिए \(D=[-2(m+1)]^2-4(m^2+2m)=4\), जो प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए शून्य नहीं है। अतः किसी भी वास्तविक \(m\) के लिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(m+1)\), and \(c=m^2+2m\). Thus, \(D=[-2(m+1)]^2-4(m^2+2m)=4\), which is never zero for any real \(m\). Therefore, no real value of \(m\) makes the roots equal. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2, c=m+1\) हैं, इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(m+1)=-4m\)। अतः \(-4m<0\) से \(m>0\) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(m=0\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं और \(m<0\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक मूलों की संख्या जाँचने के लिए पहले विविक्तकर का चिन्ह निर्धारित करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=-2, c=m+1\), so \(D=(-2)^2-4(1)(m+1)=-4m\). Therefore, \(-4m<0\), which gives \(m>0\). Option D is incorrect because \(m=0\) gives equal real roots, while \(m<0\) gives two distinct real roots. Exam tip: Always determine the sign of the discriminant to identify the nature of quadratic roots.
मान लीजिए दोनों समान मूल \(r\) हैं। मूलों का गुणनफल \(r^2=9\) है। चूँकि मूल धनात्मक हैं, इसलिए \(r=3\)। अतः मूलों का योग \(3+3=6\) होगा। द्विघात समीकरण में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=6\), अर्थात \(b=-6\)। परीक्षा में समान मूलों के लिए विविक्तकर \(0\) भी जाँचा जा सकता है, लेकिन धनात्मकता के लिए गुणनफल और मूलों का संकेत अवश्य देखें। / Let both equal roots be \(r\). Their product is \(r^2=9\). Since the roots are positive, \(r=3\). Therefore, their sum is \(3+3=6\). For \(x^2+bx+9=0\), the sum of the roots is \(-b\), so \(-b=6\), giving \(b=-6\). In an exam, equal roots can also be checked using discriminant \(0\), but the positivity condition must still be verified.
दिया गया समीकरण \(x^2-10x+25=(x-5)^2=0\) है। इसलिए इसके दोनों मूल समान हैं: \(\alpha=\beta=5\)। अतः \(\alpha-\beta=5-5=0\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: यदि द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=0\) हो, तो उसके दोनों मूल समान होते हैं। / The given equation can be written as \(x^2-10x+25=(x-5)^2=0\). Thus, both roots are equal: \(\alpha=\beta=5\). Therefore, \(\alpha-\beta=5-5=0\), so option A is correct. Exam tip: When the discriminant of a quadratic equation is zero, its two roots are equal.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः सही उत्तर 0 है। 1 या 2 वास्तविक मूल तभी संभव होते हैं जब विविक्तकर क्रमशः 0 या धनात्मक हो। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0\), so the equation has no real roots. Therefore, the correct answer is 0. One or two real roots are possible only when the discriminant is 0 or positive, respectively. Exam tip: Check the sign of the discriminant first.
बराबर मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=9\) हैं, इसलिए \(D=(-6)^2-4(k)(9)=36-36k\)। अब \(36-36k=0\) से \(k=1\) प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: द्विघात समीकरण के बराबर मूल होने की आवश्यक शर्त \(D=0\) है। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=9\), so \(D=(-6)^2-4(k)(9)=36-36k\). Setting this equal to zero gives \(k=1\). Exam tip: equal roots in a quadratic equation always require \(D=0\).
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=k\), इसलिए \(D=b^2-4ac=16-4k\)। अतः \(16-4k=0\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। विकल्प 2 केवल \(4k=8\) जैसी गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1, b=-4, c=k\), so \(D=b^2-4ac=16-4k\). Thus, \(16-4k=0\), giving \(k=4\). The value 2 may result from an incorrect calculation of the discriminant equation. Exam tip: Set \(D=0\) whenever a quadratic equation has equal roots.
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=k^2\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2)=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और बराबर होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-k)^2=0\) है, अतः दोनों मूल \(k\) हैं। विकल्प D केवल \(k=0\) की विशेष स्थिति में सही होगा, सभी मानों के लिए नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल बराबर वास्तविक होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=k^2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2)=0\). Hence the roots are real and equal; equivalently, the equation is \((x-k)^2=0\), so both roots are \(k\). Option D is true only for the special case \(k=0\), not for every value of \(k\). Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has equal real roots.
