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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=4\), \(b=-8\) और \(c=-1\), इसलिए \(D=(-8)^2-4(4)(-1)=64+16=80\)। विकल्प 48 में \(-4ac\) के स्थान पर गलत रूप से \(+4ac\) का प्रभाव लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: जब \(c\) ऋणात्मक हो, तो \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=4\), \(b=-8\), and \(c=-1\), so \(D=(-8)^2-4(4)(-1)=64+16=80\). The value 48 results from incorrectly treating the contribution of \(-4ac\) as negative. Exam tip: when \(c\) is negative, \(-4ac\) contributes a positive value.
समान मूलों के लिए \(k^2-64=0\), इसलिए \(k=\pm8\) और (k>0) से (k=8) है। परीक्षा में दी गई शर्त जरूर लगाएं। / For equal roots, \(k^2-64=0\), so \(k=\pm8\), and (k>0) gives (k=8). In exams, apply the given condition.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (100-4k=0) और (k=25) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For equal roots, (D=0), so (100-4k=0) and (k=25). In exams, equal roots indicate (D=0).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=2\), \(b=-4\) और \(c=-3\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(-3)=16+24=40\)। ऋणात्मक \(c\) के कारण \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सही पहचानें; केवल \(b^2=16\) लेना गलत है। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=2\), \(b=-4\), and \(c=-3\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(-3)=16+24=40\). Since \(c\) is negative, the term \(-4ac\) becomes positive. Exam tip: identify the signs of \(a\), \(b\), and \(c\) before substituting; taking only \(b^2=16\) is incorrect.
द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंदर \(b^2-4ac\) होता है। परीक्षा में इसे विविक्तकर (D) भी कहते हैं। / In the quadratic formula, the part inside the square root is \(b^2-4ac\). In exams, it is also called the discriminant (D).
A. वास्तविक मूल नहीं होंगे/There will be no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक वर्गमूल नहीं मिलता। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ याद रखें। / When (D<0), no real square root is obtained. In exams, remember the meaning of a negative discriminant.
A. दो अलग वास्तविक मूल मिलेंगे/Two distinct real roots will be obtained
Explanation
Simple Explanation
(D=36>0), इसलिए दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / (D=36>0), so two distinct real roots are obtained. In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=1\), \(b=2\) और \(c=1\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(1)=4-4=0\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प D में केवल \(b^2=4\) लिया गया है और \(4ac\) घटाया नहीं गया। परीक्षा-टिप: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), \(a=1\), \(b=2\), and \(c=1\). Therefore, \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(1)=4-4=0\), so option A is correct. Option D results from taking only \(b^2=4\) and not subtracting \(4ac\). Exam tip: When \(D=0\), the quadratic equation has equal roots.
द्विघात सूत्र में \(b^2-4ac\) विविक्तकर के रूप में प्रयोग होता है। परीक्षा में सूत्र विधि लगाने से पहले (a), (b), (c) पहचानें। / In the quadratic formula, \(b^2-4ac\) is used as the discriminant. In exams, identify (a), (b), and (c) before using the formula method.
A. वास्तविक मूल नहीं होंगे/There will be no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक वर्गमूल नहीं मिलता। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ याद रखें। / When (D<0), no real square root is obtained. In exams, remember the meaning of a negative discriminant.
A. दो अलग वास्तविक मूल मिलेंगे/Two distinct real roots will be obtained
Explanation
Simple Explanation
(D=25>0), इसलिए दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / (D=25>0), so two distinct real roots are obtained. In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=1, b=-2, c=1\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(1)=4-4=0\)। अतः सही उत्तर A है। विकल्प 4 चुनना \(4ac\) घटाना भूलने के कारण हो सकता है। परीक्षा-युक्ति: \(b\) का ऋणात्मक चिन्ह भी वर्ग करने से पहले अवश्य लिखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=-2, c=1\), so \(D=(-2)^2-4(1)(1)=4-4=0\). Therefore, option A is correct. Choosing 4 may result from forgetting to subtract \(4ac\). Exam tip: always include the negative sign of \(b\) before squaring it.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=4\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(1)(4)=16-16=0\)। अतः सही उत्तर 0 है। परीक्षा-टिप: \(b\) का चिन्ह सहित मान सूत्र में रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is given by \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=4\), so \(D=(-4)^2-4(1)(4)=16-16=0\). Therefore, the correct answer is 0. Exam tip: Substitute the value of \(b\) with its sign included.
(D>0) होने पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में (D) का चिह्न ध्यान से देखें। / When (D>0), two distinct real roots are obtained. In exams, check the sign of (D) carefully.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। जब \(D=0\), तो \(\sqrt{D}=0\) और मूल सूत्र से दोनों मूल \(-\frac{b}{2a}\) प्राप्त होते हैं; इसलिए दोनों मूल समान और वास्तविक होते हैं। \(D>0\) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को ‘समान वास्तविक मूल’ से याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the nature of the roots is determined by the discriminant \(D=b^2-4ac\). When \(D=0\), \(\sqrt{D}=0\), so the quadratic formula gives both roots as \(-\frac{b}{2a}\); hence they are equal and real. Two distinct real roots occur when \(D>0\), so option B is incorrect. Exam tip: remember \(D=0\) as ‘equal real roots’.
\(b^2-4ac\) को विविक्तकर कहते हैं और यह मूलों की प्रकृति बताता है। परीक्षा में इसे (D) से भी लिखा जाता है। / \(b^2-4ac\) is called the discriminant and it tells the nature of roots. In exams, it is also written as (D).
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(36-28\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{9}{7}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(36-28\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{9}{7}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-2\) और \(c=25\), इसलिए \((m-2)^2-100=0\)। अतः \(m-2=\pm10\), जिससे \(m=12\) या \(m=-8\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m-2\), and \(c=25\), so \((m-2)^2-100=0\). Therefore, \(m-2=\pm10\), giving \(m=12\) or \(m=-8\). Exam tip: For equal-root questions, immediately set the discriminant equal to zero.
यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a-1)\) और \(C=a^2-4a-5\) हैं। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), इसलिए \(72(a+3)\ge0\), अर्थात् \(a\ge-3\)। विकल्प B केवल विपरीत दिशा की असमानता देता है और सामान्यतः वास्तविक जड़ों की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / Here, \(A=9\), \(B=-6(a-1)\), and \(C=a^2-4a-5\). For real roots, the discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Thus, \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), so \(72(a+3)\ge0\), giving \(a\ge-3\). Option B reverses the required inequality and is therefore not the general condition for real roots. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by applying \(D\ge0\).
समान जड़ों के लिए (D=0) रखते हैं। (4(a+5)2-4\(a^2+18\)=0) से (10a+7=0), इसलिए \(a=-\frac{7}{10}\)। / For equal roots, put (D=0). From (4(a+5)2-4\(a^2+18\)=0), we get (10a+7=0), so \(a=-\frac{7}{10}\).
वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=m^2-m\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-m)=4m\)। अतः \(4m\ge 0\), जिससे \(m\ge 0\)। विकल्प A गलत है क्योंकि \(m=0\) पर भी दो समान वास्तविक जड़ें प्राप्त होती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले विविक्तकर की शर्त लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge 0\). Here \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=m^2-m\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-m)=4m\). Therefore, \(4m\ge 0\), giving \(m\ge 0\). Option A is incorrect because \(m=0\) also gives two equal real roots. Exam tip: For questions about real roots, first apply the discriminant condition.
दिया गया समीकरण \\(x^2-2kx+k^2-25=0\\) को \\((x-k)^2-25=0\\) के रूप में लिख सकते हैं। अतः \\((x-k)^2=25\\), इसलिए जड़ें \\(k+5\\) और \\(k-5\\) हैं। बड़ी और छोटी जड़ का अंतर \\((k+5)-(k-5)=10\\) है। इसलिए सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2+bx+c=0\\) में जड़ों का अंतर ज्ञात करने के लिए विविक्तकर का उपयोग भी किया जा सकता है। / The equation can be rewritten as \\((x-k)^2-25=0\\). Thus, \\((x-k)^2=25\\), giving the roots \\(k+5\\) and \\(k-5\\). Their positive difference is \\((k+5)-(k-5)=10\\), so option B is correct. Exam tip: For \\(ax^2+bx+c=0\\), the difference between the roots can also be found using the discriminant.
दिए गए बहुपद को \((x-(u+1))(x-(v+1))=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसकी जड़ें \(u+1\) और \(v+1\) हैं। दोनों जड़ें समान होने पर \(u+1=v+1\), इसलिए \(u=v\)। विकल्प A, B और D इस समानता के लिए आवश्यक शर्तें नहीं हैं। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में गुणनखंड करके जड़ों की तुलना करना विविक्तकर निकालने से अधिक शीघ्र होता है। / The polynomial can be factorised as \((x-(u+1))(x-(v+1))=0\). Therefore, its roots are \(u+1\) and \(v+1\). If the roots are equal, then \(u+1=v+1\), which gives \(u=v\). Options A, B and D are not necessary conditions for equal roots. Exam tip: In such questions, comparing the roots after factorisation is usually quicker than calculating the discriminant.
वास्तविक नहीं होने के लिए (D<0) चाहिए। \(16-20\lambda<0\) से \(\lambda>\frac{4}{5}\) मिलता है। / For non-real roots, (D<0) is required. From \(16-20\lambda<0\), we get \(\lambda>\frac{4}{5}\).
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m+1\) और \(c=16\), इसलिए \((m+1)^2-4(1)(16)=0\), अर्थात \((m+1)^2=64\)। अतः \(m+1=\pm 8\), जिससे \(m=7\) या \(m=-9\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m+1\), and \(c=16\). Thus, \((m+1)^2-4(1)(16)=0\), giving \((m+1)^2=64\). Therefore, \(m+1=\pm 8\), so \(m=7\) or \(m=-9\). Hence, option A is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a+1)\) और \(C=a^2-3a\), इसलिए \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\)। अतः \(36(5a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है और वह \(a=-\frac{1}{5}\) को भी गलत रूप से बाहर कर देता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ; समान जड़ों के लिए \(D=0\) भी मान्य है। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=9\), \(B=-6(a+1)\), and \(C=a^2-3a\). Thus, \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\). Therefore, \(36(5a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac{1}{5}\). Option B reverses the inequality and incorrectly excludes the boundary value \(a=-\frac{1}{5}\). Exam tip: for real roots, use \(D\ge0\); the case \(D=0\) represents equal real roots and is included.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a_q=1\), \(b=-2(a-4)\) और \(c=a^2-20\) हैं। अतः \(4(a-4)^2-4(a^2-20)=0\), जिससे \(144-32a=0\) और \(a=\frac{9}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ और गुणांक पहचानते समय पैरामीटर \(a\) को समीकरण के गुणांक \(a_q\) से अलग रखें। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a_q=1\), \(b=-2(a-4)\), and \(c=a^2-20\). Therefore, \(4(a-4)^2-4(a^2-20)=0\), which simplifies to \(144-32a=0\), giving \(a=\frac{9}{2}\). Hence, option B is correct. Exam tip: For equal roots, immediately use \(D=0\), and distinguish the parameter \(a\) from the standard quadratic coefficient usually denoted by \(a_q\).
समीकरण \(x^2-(u+v)x+uv=0\) को \((x-u)(x-v)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसकी जड़ें \(u\) और \(v\) हैं। दोनों जड़ें समान होने के लिए \(u=v\) होना आवश्यक है। विविक्तकर से भी \(D=(u+v)^2-4uv=(u-v)^2\) मिलता है; समान जड़ों के लिए \(D=0\), अतः \(u=v\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले गुणनखंड रूप पहचानें या सीधे विविक्तकर का प्रयोग करें। / The equation \(x^2-(u+v)x+uv=0\) factors as \((x-u)(x-v)=0\), so its roots are \(u\) and \(v\). For the roots to be equal, it is necessary that \(u=v\). Equivalently, the discriminant is \(D=(u+v)^2-4uv=(u-v)^2\); equal roots require \(D=0\), giving \(u=v\). Exam tip: Look for the factorised form first, or use the discriminant condition directly.
A. जब \(a=0\), समान वास्तविक जड़ें; जब \(a\ne0\), कोई वास्तविक जड़ नहीं/Equal real roots when \(a=0\); no real roots when \(a\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(a^2+1)= -4a^2\) है। यदि \(a=0\), तो \(D=0\) और समीकरण \((x-1)^2=0\) बनता है, इसलिए दो समान वास्तविक जड़ें मिलती हैं। यदि \(a\ne0\), तो \(D<0\), इसलिए कोई वास्तविक जड़ नहीं होती। अतः विकल्प A सही है; विकल्प C इसलिए गलत है क्योंकि समान जड़ें केवल \(a=0\) पर मिलती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(a^2+1)=-4a^2\). When \(a=0\), \(D=0\), and the equation becomes \((x-1)^2=0\), giving two equal real roots. When \(a\ne0\), \(D<0\), so the equation has no real roots. Therefore, option A is correct; option C is incorrect because equal roots occur only when \(a=0\). Exam tip: To determine the nature of quadratic roots, first examine the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ें वास्तविक नहीं होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=2\), \(c=\lambda\), इसलिए \(D=2^2-4(3)(\lambda)=4-12\lambda\)। अतः \(4-12\lambda<0\), जिससे \(\lambda>\frac{1}{3}\) प्राप्त होता है। \(\lambda=\frac{1}{3}\) पर \(D=0\) होता है और जड़ें वास्तविक तथा समान होती हैं, इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: गैर-वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are non-real when the discriminant satisfies \(D=b^2-4ac<0\). Here, \(a=3\), \(b=2\), and \(c=\lambda\), so \(D=2^2-4(3)(\lambda)=4-12\lambda\). Therefore, \(4-12\lambda<0\), which gives \(\lambda>\frac{1}{3}\). At \(\lambda=\frac{1}{3}\), \(D=0\), so the roots are real and equal; hence option C is incorrect. Exam tip: use \(D<0\) whenever a quadratic is required to have non-real roots.
