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वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है। / A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
\(\frac{p}{q}\) (जहाँ \(p, q\) पूर्णांक और \(q\neq0\)) परिभाषा के अनुसार परिमेय संख्या है। परिमेय संख्याएँ ऐसी होती हैं जिनका दशमलव विस्तार समाप्त या आवर्ती होता है। विकल्प C (वास्तविक संख्या) तकनीकी रूप से सही है क्योंकि हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है, पर वह उत्तर विशिष्ट नहीं है — प्रश्न विशिष्ट रूप \(\frac{p}{q}\) की श्रेणी पूछ रहा है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त नहीं हो सकतीं। विकल्प D (प्राकृतिक) गलत है क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ केवल धनात्मक पूर्णांक होती हैं, न कि सामान्य रूप से भिन्नों/भिन्न-राशियों को। परीक्षा सुझाव: परिमेय संख्या की परिभाषा याद रखें — भिन्न के रूप में व्यक्त हो और हर बार हर बार हर बार हर बार हर बार (denominator) शून्य न हो; दशमलव रूप समाप्त या आवर्ती होता है। / A number of the form \(\frac{p}{q}\) with integers \(p,q\) and \(q\neq0\) is, by definition, a rational number. Rational numbers have decimal expansions that either terminate or repeat. Option C (real number) is true in a broader sense because every rational is real, but it is not the specific name asked for. Option B (irrational) is incorrect since irrationals cannot be written as \(\frac{p}{q}\). Option D (natural number) is incorrect because natural numbers are positive integers, not general fractions. Exam tip: remember the defining condition — expressible as \(\frac{p}{q}\) with integer numerator and nonzero integer denominator; look for terminating/repeating decimals as a quick check.
\(\sqrt{6}\) अपरिमेय है इसलिए इसे \(\frac{p}{q}\) रूप में नहीं लिख सकते। बाकी संख्याएँ परिमेय हैं। / \(\sqrt{6}\) is irrational so it cannot be written as \(\frac{p}{q}\). The other numbers are rational.
A. जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके जहाँ p और q पूर्णांक हों और \(q\neq 0\)/It can be written as \(\frac{p}{q}\) where p and q are integers and \(q\neq 0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या वह संख्या होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके, अर्थात् \(\frac{p}{q}\) जहाँ p और q पूर्णांक हों और \(q\neq0\)। परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रस्तुतिकरण या तो समाप्त (terminating) होते हैं या आवर्ती (repeating) होते हैं। विकल्प B अपरिमेय संख्याओं का वर्णन करता है, C गलत है क्योंकि परिमेय संख्याओं में धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य सभी शामिल हैं, तथा D स्पष्ट रूप से परिभाषा के विपरीत है। परीक्षा टिप: याद रखें — परिमेय ⇔ दशमलव समाप्त या आवर्ती। / A rational number can be written as a ratio of two integers, \(\frac{p}{q}\), with p and q integers and \(q\neq0\). Rational numbers have decimal expansions that are either terminating or repeating. Option B describes irrational numbers (non-terminating, non-repeating decimals). Option C is wrong because rationals include positive, negative and zero. Option D contradicts the definition. Exam tip: check the decimal expansion — terminating or repeating indicates a rational number.
शून्यक (zero) वह x–मान है जिस पर बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् यदि \\(p(a)=0)\\ हो तो \\(x=a)\\ शून्यक कहलाता है। इसलिए \\(x=3)\\ तभी शून्यक है जब \\(p(3)=0)\\। विकल्प C भ्रम पैदा करता है — \\(x=3)\\ का शून्यक होने का अर्थ होता है कि ग्राफ \\((3,0)\\) से गुजरता है, न कि \\((0,3)\\) से; और विकल्प D गलत है क्योंकि \\(p(3)=3)\\ होने पर मान 3 है न कि 0। परीक्षा टिप: किसी भी संभावित शून्य \\(a)\\ पर सीधे \\(p(a)=0)\\ जाँचें या ग्राफ पर बिंदु \\((a,0)\\) की उपस्थिति देखें। / A zero of a polynomial is an x–value where the polynomial evaluates to zero: if \\(p(a)=0)\\ then \\(x=a)\\ is a zero. Thus \\(x=3)\\ is a zero exactly when \\(p(3)=0)\\. Option C is a common mix-up — a zero at \\(x=3)\\ means the graph passes through \\((3,0)\\), not \\((0,3)\\). Option D is wrong because \\(p(3)=3)\\ gives value 3, not 0. Exam tip: always verify by calculating \\(p(a)\\) and checking whether it equals 0, or look for the x–intercept \\((a,0)\\).
जिस मान पर बहुपद का मान (0) हो, वह शून्यक कहलाता है। इसलिए (c) बहुपद का शून्यक है। / The value for which the polynomial becomes (0) is called a zero. Therefore (c) is a zero of the polynomial.
शून्यक पर बहुपद का मान (0) होता है। इसलिए ग्राफ पर उस बिंदु का (y)-मान (0) होगा। / At a zero, the value of the polynomial is (0). Therefore the (y)-value at that point on the graph is (0).
किसी मान को शून्यक तभी कहते हैं जब उस पर बहुपद का मान (0) हो। इसलिए (x=2) के लिए (p(2)=0) होना चाहिए। / A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। / An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें। / In definition questions, always check the condition \(q\neq0\).
शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। / The remainder condition is \(0\le r<52\).
Step 2
Why this answer is correct
52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। / The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता। / A remainder can never be equal to the divisor.
B. (q) पूर्णांक और \(0\le r<b\)/(q) integer and \(0\le r<b\)
Step 1
Concept
प्रमेय में (q) पूर्णांक हो सकता है और (r) शेषफल होता है। / In the lemma, (q) is an integer and (r) is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
शेषफल की मुख्य शर्त \(0\le r<b\) है। / The key condition is \(0\le r<b\).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा आधारित प्रश्नों में शेषफल की सीमा सबसे महत्वपूर्ण संकेत है। / In definition-based questions, the remainder condition is the most important clue.
प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। / The main rule is (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। / The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है। / Be careful with (0<r), because it excludes exact division.
