यदि (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं माना जाएगा?
If (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\ln x), why will (f) not be considered onto?
#logarithmic function
#well defined
#codomain
#onto concept
A क्योंकि ऋणात्मक फलन मान सहप्रांत में नहीं हैं, इसलिए यह सही रूप से इस सहप्रांत में फलन नहीं बनता / Because negative function values are not in the codomain, so it is not properly a function into this codomain
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि \(\ln x\) हमेशा धनात्मक है / Because \(\ln x\) is always positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक फलन मान सहप्रांत में नहीं हैं, इसलिए यह सही रूप से इस सहप्रांत में फलन नहीं बनता / Because negative function values are not in the codomain, so it is not properly a function into this codomain
Step 1
Concept
(0<x<1) पर \(\ln x<0\) होता है। / For (0<x<1), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, जिसमें ऋणात्मक मान नहीं हैं, इसलिए दिए गए रूप में यह (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) फलन ठीक से नहीं बनता। / The codomain is (\(0,\infty\)), which does not contain negative values, so the given mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचने से पहले फलन की परिभाषा सही है या नहीं, यह देखें। / Before testing onto nature, check whether the function is well-defined.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=e^x+2) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=e^x+2), why is (f) not onto?
#exponential function
#not onto
#endpoint
#codomain
A क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
B क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है, कभी (0) नहीं होता। / \(e^x\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x+2\) हमेशा (2) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (2) शामिल है। / So \(e^x+2\) is always greater than (2), but the codomain contains (2).
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद सिरों का फर्क आच्छादीपन में महत्वपूर्ण होता है। / The difference between open and closed endpoints matters in onto questions.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(2,\infty\)), (f(x)=e^x+2) है, तो सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(2,\infty\)), (f(x)=e^x+2), what is the correct statement?
#exponential function
#onto
#shifted range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (2) मान देता है / It gives value (2)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x+2\) का परास (\(2,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Therefore, the range of \(e^x+2\) is (\(2,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में ऊपर खिसकाव से परास भी ऊपर खिसकता है। / A vertical shift of an exponential function shifts its range upward.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to{4,5,6,\ldots}\), (f(n)=n+3) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{N}\to{4,5,6,\ldots}\), (f(n)=n+3), choose the correct option about (f).
#natural numbers
#onto
#shifted range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह केवल (3) मान देता है / It gives only value (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (4) से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का है। / The codomain is the set of natural numbers starting from (4).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge4\) के लिए (n=y-3) प्राकृतिक संख्या है और (f(n)=y)। / For every \(y\ge4\), (n=y-3) is a natural number and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को परास के अनुसार चुनने से फलन आच्छादी हो जाता है। / Choosing the codomain according to the range makes the function onto.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+3) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+3), why is (f) not onto?
#natural numbers
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि (1,2,3) नहीं मिलते / Because (1,2,3) are not obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1,2,3) नहीं मिलते / Because (1,2,3) are not obtained
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर (n+3) का सबसे छोटा मान (4) है। / For \(n\in\mathbb{N}\), the smallest value of (n+3) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सहप्रांत के (1,2,3) परास में नहीं आते। / So (1,2,3) from the codomain are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में आरंभिक मानों को जांचना बहुत उपयोगी है। / For natural-number functions, checking initial values is very useful.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=3n) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=3n), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#multiples
#codomain
A क्योंकि (1) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (1) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (1) is not obtained
Step 1
Concept
(3n) हमेशा (3) का गुणज होता है। / (3n) is always a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (1) है, जो (3n) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (1), which cannot be written as (3n).
Step 3
Exam Tip
गुणजों वाले फलन में छूटे हुए पूर्णांकों को देखें। / For multiple-based functions, look for integers that are missed.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +5) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +5), why is it not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (3) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (3) is not obtained
B क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
C क्योंकि (6) नहीं मिलता / Because (6) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (3) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (3) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^2+5\) का न्यूनतम मान (5) है। / The minimum value of \(x^2+5\) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (3) है, पर \(x^2+5=3\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (3), but \(x^2+5=3\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
परास में जो मान नहीं आते, वे आच्छादीपन को रोकते हैं। / Values missing from the range prevent onto nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[5,\infty\)), (f(x)=x-2 +5) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[5,\infty\)), (f(x)=x-2 +5), choose the correct option.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (4) मान देता है / It gives value (4)
D यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+5\ge5\)। / \(x^2\ge0\), so \(x^2+5\ge5\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge5\) के लिए \(x=\sqrt{y-5}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge5\), take \(x=\sqrt{y-5}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परास \([5,\infty\)) सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। / The range is \([5,\infty\)), equal to the codomain, so the function is onto.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी नहीं है, तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is not onto, which statement is correct?
#onto definition
#not onto
#preimage
#codomain
A (B) में कम से कम एक अवयव ऐसा है जिसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / At least one element of (B) has no preimage
B (A) का हर अवयव खाली है / Every element of (A) is empty
C (f(A)=B) जरूर है / (f(A)=B) is surely true
D सहप्रांत हमेशा खाली है / The codomain is always empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (B) में कम से कम एक अवयव ऐसा है जिसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / At least one element of (B) has no preimage
Step 1
Concept
आच्छादी का अर्थ है कि सहप्रांत का हर अवयव परास में आए। / Onto means every element of the codomain is in the range.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने का अर्थ है कि सहप्रांत का कम से कम एक अवयव छूट गया। / Not onto means at least one codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के विलोम को समझना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Understanding the negation of the definition is very useful in exams.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=2\sin x) है, तो (f) आच्छादी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=2\sin x), is (f) onto or not?
#onto concept
#trigonometric range
#codomain
#careful definition
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(2\sin x\) का परास ([-2,2]) है। / The range of \(2\sin x\) is ([-2,2]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) का हर मान इस परास में आता है और किसी न किसी (x) से मिल जाता है। / Every value in the codomain ([-1,1]) is obtained for some (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी के लिए परास का सहप्रांत के बराबर होना जरूरी नहीं, सहप्रांत का हर मान परास में होना चाहिए; फलन की परिभाषा में वास्तविक मान सहप्रांत में होने चाहिए, इसलिए ऐसे प्रश्न में सहप्रांत अनुकूल होना चाहिए। / For onto nature, every codomain value must be hit; however, the function must also be well-defined with outputs in the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to{1,3,5,7,\ldots}\), (f(n)=2n-1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{N}\to{1,3,5,7,\ldots}\), (f(n)=2n-1), what is the correct statement about (f)?
#odd natural numbers
#onto
#function range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह सम मान देता है / It gives even values
D यह स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत केवल विषम प्राकृतिक संख्याओं का है। / The codomain consists only of odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम संख्या (2k-1) को (n=k) से पाया जा सकता है। / Every odd number (2k-1) is obtained by taking (n=k).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को सही रूप में चुनने से फलन आच्छादी बन जाता है। / Choosing the codomain correctly can make the function onto.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=2n-1) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=2n-1), why is it not onto?
#natural numbers
#not onto
#odd numbers
#codomain
A क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएं नहीं मिलतीं / Because even natural numbers are not obtained
B क्योंकि विषम प्राकृतिक संख्याएं नहीं मिलतीं / Because odd natural numbers are not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएं नहीं मिलतीं / Because even natural numbers are not obtained
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (2) जैसी सम संख्याएं भी हैं, जो परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains even numbers such as (2), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में सम और विषम मान अलग करके सोचें। / For natural-number functions, separate even and odd outputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|+3) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|+3), why is it not onto?
#modulus
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
B क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
C क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
(|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। / The minimum value of (|x|+3) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन यह फलन से नहीं मिल सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but this value cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान छूटते हैं। / Values below the minimum are missed from the range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=0x+4) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=0x+4), why is (f) not onto?
#constant function
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि केवल (4) मान मिलता है / Because only value (4) is obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि हर मान मिलता है / Because every value is obtained
D क्योंकि प्रांत खाली है / Because the domain is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि केवल (4) मान मिलता है / Because only value (4) is obtained
Step 1
Concept
(0x+4=4) हर (x) के लिए है। / (0x+4=4) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास केवल ({4}) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। / Hence the range is only ({4}), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता। / A constant function is not onto a large codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), what is the correct statement?
#quadratic
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह \(\frac{1}{2}\) मान देता है / It gives value \(\frac{1}{2}\)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2+1\) का परास \([1,\infty\)) है। / The range of \(x^2+1\) is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी \([1,\infty\)) है, इसलिए हर सहप्रांत मान मिल जाता है। / The codomain is also \([1,\infty\)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
परास को सहप्रांत के बराबर रखने पर फलन आच्छादी बनता है। / When the codomain equals the range, the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x}), why is (f) not onto?
#reciprocal function
#not onto
#zero missing
#codomain
A क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (-1) नहीं मिलता / Because (-1) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) कभी भी (0) के बराबर नहीं होता। / \(\frac{1}{x}\) is never equal to (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) शामिल है, पर वह परास में नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में (0) के मिलने या न मिलने की जांच करें। / For reciprocal functions, check whether (0) is included in the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=4-x-2 ) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=4-x-2 ), why is it not onto?
#quadratic
#not onto
#maximum value
#codomain
A क्योंकि (5) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (5) is not obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (5) is not obtained
Step 1
Concept
\(4-x^2\) का अधिकतम मान (4) है। / The maximum value of \(4-x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) है, पर \(4-x^2=5\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (5), but \(4-x^2=5\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
अधिकतम सीमा से ऊपर के सहप्रांत मान छूट जाते हैं। / Codomain values above the maximum are missed.
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यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) में (f(1)=4), (f(2)=4), (f(3)=5), तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) has (f(1)=4), (f(2)=4), (f(3)=5), why is it not onto?
#finite function
#not onto
#missing image
#codomain
A क्योंकि (6) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (6) has no preimage
B क्योंकि (4) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (4) has no preimage
C क्योंकि (5) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (5) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (6) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (6) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंब केवल (4) और (5) हैं। / The images listed are only (4) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का अवयव (6) किसी भी (x) का प्रतिबिंब नहीं है। / The codomain element (6) is not the image of any (x).
Step 3
Exam Tip
छूटा हुआ सहप्रांत अवयव आच्छादीपन को रोकता है। / A missing codomain element prevents onto nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=3) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=3), why is (f) not onto?
#constant function
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि केवल (3) मान मिलता है / Because only the value (3) is obtained
B क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
C क्योंकि हर वास्तविक मान मिलता है / Because every real value is obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि केवल (3) मान मिलता है / Because only the value (3) is obtained
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर (x) पर एक ही मान देता है। / A constant function gives only one value for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
यहां परास केवल ({3}) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। / Here the range is only ({3}), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
एक से अधिक मान वाले सहप्रांत पर स्थिर फलन आच्छादी नहीं होता। / A constant function is not onto a codomain with more than one value.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है, तो (f(A)) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is onto, which statement about (f(A)) is correct?
#onto definition
#range
#codomain
#function image
A \(f(A)=B\)
B \(f(A)=A\)
C \(f(A)=\varnothing\)
D \(B\subseteq A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(f(A)=B\)
Step 1
Concept
(f(A)) फलन का परास है। / (f(A)) is the range of the function.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी होने का अर्थ है कि परास और सहप्रांत बराबर हों। / Onto means the range is equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी की परिभाषा याद रखें: (f(A)=B)। / Remember the definition of onto: (f(A)=B).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), why is (f) not onto?
#modulus function
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि शून्य नहीं मिलता / Because zero is not obtained
C क्योंकि धनात्मक मान नहीं मिलते / Because positive values are not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(|x|) हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे ऋणात्मक मान हैं, पर वे परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-2), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का परास पहले पहचानें। / First identify the range of a modulus function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), which statement about (f) is correct?
#cosine function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए सहप्रांत का हर मान प्राप्त होता है। / The codomain is also ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
परास और सहप्रांत समान हों तो फलन आच्छादी होता है। / If range and codomain are equal, the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), why is it not onto?
#sine function
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि (2) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (2) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि (-1) नहीं मिलता / Because (-1) is not obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, लेकिन \(\sin x=2\) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\sin x=2\) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन को \(\mathbb{R}\) सहप्रांत देने पर आच्छादीपन ध्यान से जांचें। / Be careful when trigonometric functions have \(\mathbb{R}\) as codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x), why is (f) not onto?
#exponential function
#not onto
#positive range
#codomain
A क्योंकि (0) और ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because (0) and negative values are not obtained
B क्योंकि धनात्मक मान नहीं मिलते / Because positive values are not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) और ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because (0) and negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान भी हैं, पर वे परास में नहीं हैं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादी न भी हो सकता है। / If the codomain is larger than the range, the function is not onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^x) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^x), which statement is correct?
#exponential function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह शून्य मान देता है / It gives zero value
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी (\(0,\infty\)) है, इसलिए हर सहप्रांत मान मिलता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास याद रखने से आच्छादीपन जल्दी तय होता है। / Remembering the range of exponential functions helps decide onto nature quickly.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+1), why is (f) not onto?
#natural numbers
#not onto
#successor function
#codomain
A क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
B क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
C क्योंकि सभी संख्याएं मिलती हैं / Because all numbers are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर (n+1) का सबसे छोटा मान (2) है। / For \(n\in\mathbb{N}\), the smallest value of (n+1) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) है, पर कोई (n) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but no (n) satisfies (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में छोटे सहप्रांत मानों की जांच पहले करें। / For natural-number functions, check the smallest codomain values first.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{p,q,r\}\) के लिए \(f=\{(1,p),(2,p),(3,q)\}\) है। यह आच्छादी क्यों नहीं है?
For \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{p,q,r\}\), \(f=\{(1,p),(2,p),(3,q)\}\). Why is it not onto?
#onto function
#not onto
#finite mapping
#codomain
A क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (r) has no preimage
B क्योंकि (p) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (p) has no preimage
C क्योंकि (q) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (q) has no preimage
D क्योंकि (A) खाली है / Because (A) is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (r) has no preimage
Step 1
Concept
आच्छादी होने के लिए (B) के हर अवयव का पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / For onto nature, every element of (B) must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए युग्मों में (p) और (q) आते हैं, लेकिन (r) नहीं आता। / The given pairs include (p) and (q), but not (r).
Step 3
Exam Tip
छूटे हुए सहप्रांत अवयव को पहचानना सबसे आसान तरीका है। / Identifying the missing codomain element is the easiest method.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#square function
#onto
#codomain
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
D यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस फलन का परास \([0,\infty\)) है। / The range of this function is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है, इसलिए सहप्रांत का हर मान परास में आता है। / The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र सहप्रांत बदलने पर आच्छादी या अनाच्छादी बन सकता है। / The same formula may become onto or not onto depending on the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ), why is (f) not onto?
#square function
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते / Because negative real values are not obtained
B क्योंकि शून्य नहीं मिलता / Because zero is not obtained
C क्योंकि धनात्मक मान नहीं मिलते / Because positive values are not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते / Because negative real values are not obtained
Step 1
Concept
\(x^2\) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / The value of \(x^2\) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान भी हैं, पर वे परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचते समय परास और सहप्रांत की तुलना करें। / To test onto nature, compare range with codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+5) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+5), which statement about (f) is correct?
#onto function
#linear function
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D इसका प्रांत खाली है / Its domain is empty
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान फलन से मिलना चाहिए। / For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y-5) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y-5), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन (ax+b) में \(a\ne0\) हो तो \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function (ax+b) with \(a\ne0\) is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
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