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यदि कुर्सी (c) और मेज (t) हो तो (3c+2t=4900), (2c+3t=5600)। विलोपन से (t=1400) मिलता है। / Let chair be (c) and table be (t), so (3c+2t=4900), (2c+3t=5600). Elimination gives (t=1400).
यदि पेंसिल (p) और रबर (e) हो तो (3p+2e=31), (2p+5e=47)। विलोपन से (p=7) मिलता है। / Let pencil be (p) and eraser be (e), so (3p+2e=31), (2p+5e=47). Elimination gives (p=7).
यदि पेन (p) और कॉपी (n) हो तो (3p+2n=86), (2p+3n=89)। विलोपन से (p=16) और (n=19) मिलता है। / Let pen be (p) and notebook be (n), so (3p+2n=86), (2p+3n=89). Elimination gives (p=16) and (n=19).
A. बिंदु (\left\(3,5\right\))/Point (\left\(3,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण से दूसरे को घटाने पर (y=5), फिर (x+5=8) से (x=3)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Subtracting the second equation from the first gives (y=5), then (x+5=8) gives (x=3). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=8)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Subtracting the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=8). In real life, the meeting point is the intersection point.
दोनों समीकरण घटाने पर (x=5), फिर (5+y=9) से (y=4)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=5), then (5+y=9) gives (y=4). In real life, the meeting point is the intersection.
A. यह लंबी दूरी के बमवर्षकों के लिए सहायक और आपात अड्डा बना/It became a support and emergency base for long-range bombers
Explanation
Simple Explanation
इवो जीमा जापान के निकट वायु युद्ध में रणनीतिक अड्डा था। परीक्षा में द्वीपों का उपयोग सैन्य अड्डों के रूप में समझें। / Iwo Jima was a strategic base for air war near Japan. For exams understand islands as military bases.
दूसरे bracket के सभी signs बदलने पर \(2y^3-y+5-5y^3-4y+8\) मिलता है। परीक्षा में subtraction में हर पद का sign बदलें। / Changing all signs in the second bracket gives \(2y^3-y+5-5y^3-4y+8\). In exams, change the sign of every term during subtraction.
समान पद जोड़ने पर \(4x^2-x^2=3x^2\), (-3x+7x=4x) और (6-9=-3) मिलता है। परीक्षा में like terms को अलग-अलग जोड़ें। / Adding like terms gives \(4x^2-x^2=3x^2\), (-3x+7x=4x), and (6-9=-3). In exams, add like terms separately.
दूसरे bracket के signs बदलकर \(5x^3-2x+7-2x^3-3x+5\) मिलता है, इसलिए उत्तर \(3x^3-5x+12\) है। परीक्षा में subtraction में पूरे bracket का sign बदलें। / Changing the signs of the second bracket gives \(5x^3-2x+7-2x^3-3x+5\), so the answer is \(3x^3-5x+12\). In exams, change the sign of every term in the bracket during subtraction.
समान पद जोड़ने पर \(3x^2+x^2=4x^2\), (-2x+5x=3x) और (1-4=-3) होता है। परीक्षा में like terms को columns में जोड़ें। / Adding like terms gives \(3x^2+x^2=4x^2\), (-2x+5x=3x), and (1-4=-3). In exams, add like terms in columns.
पहले \(3^2=9\), फिर \(9\cdot5=45\), और (7+45=52)। घात का काम गुणा से पहले करें। / First \(3^2=9\), then \(9\cdot5=45\), and (7+45=52). Evaluate exponents before multiplication.
पहले गुणा करें \(5\cdot3=15\), फिर (20-15=5)। क्रम नियम का पालन करें। / Multiply first: \(5\cdot3=15\), then (20-15=5). Follow the order of operations.
कोष्ठक न होने पर घात पहले लगती है इसलिए (-72=-\(7^2\)=-49)। ऋण आधार चाहिए तो कोष्ठक लगाएँ। / Without parentheses, the exponent is applied first, so (-72=-\(7^2\)=-49). Use parentheses for a negative base.
पहले \(2^3=8\), फिर \(8\cdot4=32\), और (5+32=37)। घात का काम गुणा से पहले करें। / First \(2^3=8\), then \(8\cdot4=32\), and (5+32=37). Evaluate exponents before multiplication.
पहले गुणा करें \(4\cdot3=12\), फिर (15-12=3)। क्रम नियम का पालन करें। / Multiply first: \(4\cdot3=12\), then (15-12=3). Follow the order of operations.
कोष्ठक न होने पर घात पहले लगती है इसलिए (-42=-\(4^2\)=-16)। ऋण आधार चाहिए तो कोष्ठक जरूरी है। / Without parentheses, the exponent is applied first, so (-42=-\(4^2\)=-16). Use parentheses for a negative base.
समान आधार में पहले घातें (2+3=5) जुड़ती हैं और फिर (5-4=1) बचता है। इसलिए सरल रूप \(5^1\) है। / For the same base, first add exponents (2+3=5), then subtract (5-4=1). So the simplified form is \(5^1\).
पहले \(3^2=9\), फिर \(9\cdot2=18\), और (2+18=20)। घात का काम गुणा से पहले करें। / First \(3^2=9\), then \(9\cdot2=18\), and (2+18=20). Exponents are evaluated before multiplication.
पहले गुणा करें \(3\cdot2=6\), फिर (12-6=6)। क्रम नियम का ध्यान रखना जरूरी है। / Multiply first: \(3\cdot2=6\), then (12-6=6). It is important to follow the order of operations.
समान हर (6) लेने पर \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\) होता है। इसलिए \(\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) है। / Using common denominator (6), \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\). Hence \(\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\).
दशमलव जोड़ने पर (0.5+0.25=0.75) होता है। दशमलव स्थान ठीक से मिलाकर जोड़ें। / Adding decimals gives (0.5+0.25=0.75). Align decimal places correctly before adding.
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) लें। (x+y=13) और (9(x-y)=45) से (x=9), (y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=13) and (9(x-y)=45), (x=9), (y=4).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) लें। (x+y=11) और (10x+y-(10y+x)=27) से (x=7,y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=11) and (10x+y-(10y+x)=27), (x=7,y=4).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), इसलिए (x=6) और (y=4)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Adding both equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
(43=\(2^2\)3=26), \(2^{-1}\) और \(8=2^3\) है। कुल घात (6-1-3=2) है इसलिए मान \(2^2=4\) है। / (43=\(2^2\)3=26), \(2^{-1}\), and \(8=2^3\). The total exponent is (6-1-3=2), so the value is \(2^2=4\).
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
B. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अलग समांतर रेखाओं में गुणांक अनुपात समान और स्थिर पद अनुपात अलग होता है। यही कोई हल नहीं की शर्त है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and the constant ratio is different. This is the condition for no solution.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (470/955) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (470/955) is different. Therefore, the system is inconsistent.
अलग ढाल वाली रेखाएँ केवल एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Lines with different slopes meet at exactly one point. Hence the pair is consistent and independent.
समान ढाल और अलग अवरोध का अर्थ अलग समांतर रेखाएँ है। इसलिए वे कभी नहीं कटतीं। / Same slope and different intercepts mean distinct parallel lines. Therefore, they never intersect.
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
यहां (7/4 \ne 5/(-3)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (7/4 \ne 5/(-3)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (380/775) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (380/775) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (360/1090) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (360/1090) is different. Therefore, the system is inconsistent.
यहां (6/3 \ne 5/(-2)) इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (6/3 \ne 5/(-2)) so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (280/575) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (280/575) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
यहां (5/2 \ne 2/(-3)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (5/2 \ne 2/(-3)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (260/535) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (260/535) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
C. युग्म संगत और स्वतंत्र है/The pair is consistent and independent
Explanation
Simple Explanation
अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Lines with different slopes meet at one point. Therefore, the pair has one unique solution.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए युग्म असंगत होता है। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, the pair is inconsistent.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ है कि दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म के अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean both lines are identical. Therefore, the pair has infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (240/490) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (240/490) is different. Therefore, the system is inconsistent.
यहां \(2/5 \ne 7/16\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here \(2/5 \ne 7/16\) so the lines intersect at one point. Such a pair has one unique solution.
यहां (4/1 \ne 1/(-3)) इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (4/1 \ne 1/(-3)) so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (180/370) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (180/370) is different. Therefore the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात (4/8=3/6) बराबर हैं लेकिन (125/260) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios (4/8=3/6) are equal but (125/260) is different. Therefore, the system is inconsistent.
यहां (3/1 \ne 1/(-2)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (3/1 \ne 1/(-2)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (120/250) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (120/250) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, there is no common solution.
समान ढाल और समान अवरोध का मतलब दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित होता है। / Same slope and same intercept mean both lines are identical. Therefore, the pair is consistent and dependent.
यहां (1/2 \ne 1/(-1)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (1/2 \ne 1/(-1)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (80/170) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (80/170) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Lines with different slopes meet at one point. Therefore, the pair has one unique solution.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, there is no common solution.
समान ढाल और समान अवरोध का मतलब दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित है। / Same slope and same intercept mean both lines are the same. Therefore, the pair is consistent and dependent.
समान ढाल और समान अवरोध का मतलब दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए उनके अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean both lines are the same. Therefore they have infinitely many solutions.
B. युग्म संगत और स्वतंत्र है/The pair is consistent and independent
Explanation
Simple Explanation
अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। / Lines with different slopes meet at one point. Therefore the pair has one unique solution.
B. (4/7 \ne 1 / 2) इसलिए एक अद्वितीय हल / 2) so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां \(4/7 \ne 1/2\) इसलिए रेखाएं कटेंगी। परीक्षा में यह unique solution की सीधी शर्त है। / Here \(4/7 \ne 1/2\) so the lines will intersect. In exams this is the direct condition for a unique solution.
A. जब (a_1/a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
Explanation
Simple Explanation
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
C. जब (a_1/a_2 \ne b_1 / b_2) हो / When \(a_1 / b_2\)
Explanation
Simple Explanation
संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए। / A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
कटने का एक बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल होता है। इसलिए केवल एक अद्वितीय हल मिलता है। / One intersection point is the common solution of both equations. Therefore exactly one unique solution is obtained.
अलग समानांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए युग्म असंगत कहलाता है। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore the pair is called inconsistent.
अलग ढाल वाली रेखाएं एक ही बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Lines with different slopes meet at exactly one point. Therefore the pair is consistent and independent.
समान ढाल और अलग अवरोध से रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines parallel and distinct. Therefore there is no common solution.
समान ढाल और समान अवरोध से दोनों रेखाएं एक ही हो जाती हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / Same slope and same intercept make both lines identical. Therefore infinitely many solutions are obtained.
एक सामान्य हल का मतलब रेखाओं का एक intersection है। इसलिए रेखाएं कटती हुई होंगी। / One common solution means one intersection of the lines. Therefore the lines will be intersecting.
अनंत सामान्य हल तभी मिलते हैं जब दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। परीक्षा में इसे coincident lines लिख सकते हैं। / Infinitely many common solutions occur only when both equations represent the same line. In exams this can be written as coincident lines.
कोई सामान्य हल न होना असंगत युग्म की पहचान है। ग्राफ में यह अलग समानांतर रेखाओं जैसा दिखता है। / Having no common solution identifies an inconsistent pair. In a graph it appears as distinct parallel lines.
एक सामान्य बिंदु होने से एक अद्वितीय हल मिलता है। इसलिए यह संगत और स्वतंत्र युग्म है। / One common point gives one unique solution. Therefore it is a consistent and independent pair.
पूरी तरह मिलने वाली रेखाएं संपाती होती हैं। उनके प्रत्येक बिंदु से दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। / Completely overlapping lines are coincident. Every point on them satisfies both equations.
न मिलने वाली रेखाएं समानांतर होती हैं इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। सामान्य बिंदु न होने का अर्थ कोई हल नहीं है। / Lines that never meet are parallel so there is no common point. No common point means no solution.
समान ढाल और समान अवरोध से दोनों रेखाएं एक ही होती हैं। इसलिए उनके अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept make both lines identical. Therefore, they have infinitely many solutions.
अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Lines with different slopes meet at one point. Therefore, the pair has one unique solution.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को समानांतर बनाते हैं। समानांतर अलग रेखाएं कोई हल नहीं देतीं। / Same slope and different intercepts make the lines parallel. Distinct parallel lines give no solution.
एक सामान्य बिंदु होने से केवल एक हल मिलता है। ऐसा युग्म consistent independent होता है। / One common point gives exactly one solution. Such a pair is consistent independent.
संपाती रेखाएं अनंत सामान्य बिंदु देती हैं। ऐसा युग्म consistent dependent कहलाता है। / Coincident lines give infinitely many common points. Such a pair is called consistent dependent.
A. जब कम से कम एक हल हो/When there is at least one solution
Explanation
Simple Explanation
संगत युग्म में कम से कम एक सामान्य हल होता है। यह एक हल या अनंत हल दोनों हो सकता है। / A consistent pair has at least one common solution. It may have one solution or infinitely many solutions.
असंगत युग्म का कोई सामान्य हल नहीं होता। ग्राफ में यह समानांतर रेखाओं से दिखता है। / An inconsistent pair has no common solution. In a graph, it appears as parallel lines.
समानांतर रेखाएं कभी नहीं मिलतीं, इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। परीक्षा में parallel lines को no solution से जोड़ें। / Parallel lines never meet, so there is no common point. In exams, connect parallel lines with no solution.
कटने का बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। ग्राफ में एक intersection का मतलब unique solution है। / The intersection point satisfies both equations. In a graph, one intersection means a unique solution.
जब गुणांकों के अनुपात अलग होते हैं, रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। परीक्षा में पहले (a) और (b) के अनुपात जांचें। / When coefficient ratios are different, the lines meet at one point. In exams, check the ratios of (a) and (b) first.
यदि कोण (x) और (y) हों तो \(x+y=90^\circ\) और \(x-y=28^\circ\)। जोड़ने पर \(2x=118^\circ\), इसलिए बड़ा कोण \(59^\circ\) है। / Let the angles be (x) and (y), so \(x+y=90^\circ\) and \(x-y=28^\circ\). Adding gives \(2x=118^\circ\), so the larger angle is \(59^\circ\).
यदि कीमतें (x) और (y) हों तो (x+y=275) और (x-y=65)। घटाने से (2y=210), इसलिए सस्ता टिकट (105) रुपये है। / Let the prices be (x) and (y), so (x+y=275) and (x-y=65). Subtracting gives (2y=210), so the cheaper ticket is (105) rupees.
यदि संख्याएं (x) और (y) हों तो (x+y=41) और (x-y=9)। जोड़ने पर (2x=50), इसलिए बड़ी संख्या (25) है। / Let the numbers be (x) and (y), so (x+y=41) and (x-y=9). Adding gives (2x=50), so the greater number is (25).
