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कैलाश मंदिर एक ही चट्टान को काटकर बनाया गया माना जाता है। इसे एलोरा की शैलकृत कला से याद रखें। / The Kailasa Temple is considered to be carved from a single rock. Remember it with the rock cut art of Ellora.
A. भारत की आध्यात्मिक और सामाजिक दिशा पर चिंतन/Reflection on India's spiritual and social direction
Explanation
Simple Explanation
विवेकानंद रॉक मेमोरियल स्वामी विवेकानंद के ध्यान और राष्ट्रीय चिंतन से जुड़ा है। परीक्षा में इसे कन्याकुमारी से जोड़ें। / Vivekananda Rock Memorial is linked with Swami Vivekananda's meditation and national reflection. In exams connect it with Kanyakumari.
A. राजकीय संरक्षण में मंदिर कला का विकास/Development of temple art under royal patronage
Explanation
Simple Explanation
महाबलीपुरम पल्लवों की मंदिर कला और शैलकृत परंपरा का प्रमाण है। परीक्षा में इसे नरसिंहवर्मन प्रथम से जोड़ें। / Mahabalipuram is evidence of Pallava temple art and rock cut tradition. For exams, connect it with Narasimhavarman I.
बादामी गुफा मंदिर चालुक्य शैलकृत कला से जुड़े हैं। परीक्षा में बादामी को कर्नाटक की प्राचीन राजधानी से जोड़ें। / Badami cave temples are linked with Chalukya rock-cut art. In exams connect Badami with an ancient capital in Karnataka.
A. प्रयोगात्मक शैलकृत रूप से स्थायी मंदिर निर्माण की ओर विकास/Development from experimental rock-cut forms toward permanent temple building
Explanation
Simple Explanation
महाबलीपुरम पल्लव मंदिर स्थापत्य के विकासक्रम को दिखाता है। परीक्षा में रथ और तट मंदिर को साथ पढ़ें। / Mahabalipuram shows the development of Pallava temple architecture. For exams, study Rathas and Shore Temple together.
अजंता गुफाएं बौद्ध चित्रकला और गुफा मठ वास्तुकला के लिए प्रसिद्ध हैं। परीक्षा में महाराष्ट्र और बौद्ध कला साथ याद रखें। / Ajanta Caves are famous for Buddhist painting and cave monastery architecture. For exams remember Maharashtra and Buddhist art together.
B. नबातियन जल प्रबंधन और व्यापार मार्ग/Nabataean water management and trade routes
Explanation
Simple Explanation
पेट्रा रेगिस्तान में जल प्रबंधन और व्यापार नियंत्रण का उत्कृष्ट उदाहरण है। परीक्षा में नबातियन और जॉर्डन याद रखें। / Petra is an outstanding example of desert water management and trade control. For exams remember Nabataean and Jordan.
A. दक्षिण भारत में शैलकृत मंदिर परंपरा का विकास/Development of rock-cut temple tradition in South India
Explanation
Simple Explanation
महेंद्रवर्मन प्रथम ने पल्लव शैलकृत स्थापत्य को बढ़ावा दिया। परीक्षा में मंडगपट्टु अभिलेख से इसे जोड़ें। / Mahendravarman I promoted Pallava rock-cut architecture. For exams, connect it with the Mandagapattu inscription.
A. बिंदु घनता मान और खुरदरेपन का संतुलन/Balance of dot density value and roughness
Explanation
Simple Explanation
बिंदुओं की घनता मान और बनावट दोनों बनाती है। परीक्षा में stippling को value plus texture से जोड़ें। / Dot density creates both value and texture. Exam tip: connect stippling with value plus texture.
तीखी अनियमित रेखा टूटन और कठोरता दिखाती है। परीक्षा में वस्तु के स्वभाव के अनुसार रेखा चुनें। / Sharp irregular line shows breakage and hardness. Exam tip: choose line according to the nature of the object.
A. जलवायु परिवर्तन और प्रागैतिहासिक मानव जीवन के दृश्य/Scenes of climate change and prehistoric human life
Explanation
Simple Explanation
अकाकस शैलकला सहारा के पुराने पर्यावरण और मानव गतिविधि का प्रमाण देती है। परीक्षा में लीबिया और शैलकला याद रखें। / Acacus rock art gives evidence of ancient Sahara environment and human activity. For exams remember Libya and rock art.
A. अरब प्रायद्वीप में मानव और पशु चित्रण/Human and animal depictions in the Arabian Peninsula
Explanation
Simple Explanation
हाइल की शैलकला अरब क्षेत्र में प्राचीन मानव जीवन और पर्यावरण संकेत देती है। परीक्षा में शैलचित्र याद रखें। / Hail rock art gives clues about ancient human life and environment in Arabia. For exams remember rock art.
A. हजारों शैलचित्र और आध्यात्मिक परिदृश्य के कारण/Because of thousands of rock paintings and spiritual landscape
Explanation
Simple Explanation
त्सोडिलो बोत्सवाना में शैलकला और पवित्र परिदृश्य का महत्वपूर्ण स्थल है। परीक्षा में आध्यात्मिक अर्थ याद रखें। / Tsodilo in Botswana is an important site of rock art and sacred landscape. For exams remember spiritual meaning.
A. पूर्वी अफ्रीकी शैलचित्र और अनुष्ठानिक परंपरा/East African rock art and ritual tradition
Explanation
Simple Explanation
कोंडोआ तंजानिया में शैलचित्रों की दीर्घ परंपरा दिखाता है। परीक्षा में शैलकला और अनुष्ठान याद रखें। / Kondoa in Tanzania shows a long tradition of rock art. For exams remember rock art and ritual.
A. प्रागैतिहासिक शिकारी समुदाय और उत्तरी जीवन/Prehistoric hunter communities and northern life
Explanation
Simple Explanation
अल्टा शैलचित्र उत्तरी यूरोप के प्रागैतिहासिक जीवन का प्रमाण हैं। परीक्षा में नॉर्वे याद रखें। / Alta rock art is evidence of prehistoric life in Northern Europe. For exams remember Norway.
C. प्रागैतिहासिक जीवन और शैलचित्र/Prehistoric life and rock paintings
Explanation
Simple Explanation
भीमबेटका प्रागैतिहासिक मानव जीवन और शैलचित्रों को समझने में मदद करता है। परीक्षा में मध्य प्रदेश याद रखें। / Bhimbetka helps understand prehistoric human life and rock paintings. For exams remember Madhya Pradesh.
B. प्रागैतिहासिक जीवन और सांस्कृतिक अभिव्यक्ति का दृश्य स्रोत/Visual source of prehistoric life and cultural expression
Explanation
Simple Explanation
भीमबेटका के चित्र प्रागैतिहासिक मानव गतिविधियों की झलक देते हैं। परीक्षा में शैल चित्रों को दृश्य पुरातात्त्विक स्रोत मानें। / Bhimbetka paintings give glimpses of prehistoric human activities. For exams, treat rock paintings as visual archaeological sources.
C. प्रागैतिहासिक शैलचित्र स्रोत/Prehistoric rock art source
Explanation
Simple Explanation
भीमबेटका शैलचित्र प्रागैतिहासिक जीवन और कला का प्रमाण देते हैं। परीक्षा में शैलचित्रों को लिखित स्रोत से अलग पहचानें। / Bhimbetka rock paintings provide evidence of prehistoric life and art. For exams, distinguish rock art from written sources.
A. बौद्ध ताओवादी और कन्फ्यूशियसी विचारों का मेल/Blend of Buddhist Taoist and Confucian ideas
Explanation
Simple Explanation
दाज़ू में अलग अलग चीनी धार्मिक दार्शनिक परंपराएं शिल्प में मिलती हैं। परीक्षा में धार्मिक समन्वय याद रखें। / At Dazu different Chinese religious and philosophical traditions meet in sculpture. For exams remember religious synthesis.
A. प्रारंभिक मध्यकालीन घुड़सवार शैल उत्कीर्णन/Early medieval horseman rock relief
Explanation
Simple Explanation
मदारा राइडर बुल्गारिया का विशिष्ट शैल उत्कीर्णन है। परीक्षा में घुड़सवार आकृति याद रखें। / Madara Rider is a distinctive rock relief of Bulgaria. For exams remember the horseman figure.
C. यह विशाल शैल पर बने किले महल और बाग योजना से जुड़ा है/It is linked with fort palace and garden planning on a huge rock
Explanation
Simple Explanation
सिगिरिया श्रीलंका का शैल दुर्ग और बाग योजना वाला स्थल है। परीक्षा में लायन रॉक याद रखें। / Sigiriya is a Sri Lankan site with rock fortress and garden planning. For exams remember Lion Rock.
A. ऊपर से नीचे चट्टान काटकर बने धार्मिक ढांचे/Religious structures carved from rock from top downward
Explanation
Simple Explanation
लालिबेला के चर्च चट्टान काटकर बनाए गए धार्मिक स्मारक हैं। परीक्षा में इथियोपिया याद रखें। / Lalibela's churches are religious monuments carved from rock. For exams remember Ethiopia.
भीमबेटका मध्य प्रदेश में स्थित प्रागैतिहासिक शैलचित्र स्थल है। परीक्षा में शैलचित्र और आदिम मानव जीवन याद रखें। / Bhimbetka is a prehistoric rock art site in Madhya Pradesh. For exams remember rock paintings and early human life.
A. इथियोपियाई ईसाई स्थापत्य और शैलकृत परंपरा/Ethiopian Christian architecture and rock hewn tradition
Explanation
Simple Explanation
लालिबेला इथियोपिया की धार्मिक वास्तुकला का अद्भुत उदाहरण है। परीक्षा में शैलकृत चर्च याद रखें। / Lalibela is a remarkable example of Ethiopian religious architecture. For exams remember rock hewn churches.
A. आध्यात्मिक चिंतन और अखिल भारतीय एकता/Spiritual reflection and pan-Indian unity
Explanation
Simple Explanation
कन्याकुमारी का यह स्मारक विवेकानंद के चिंतन और भारत की एकता से जुड़ा है। परीक्षा में स्थान और व्यक्ति दोनों याद रखें। / This memorial at Kanyakumari is linked with Vivekananda's reflection and India's unity. In exams remember both the place and the person.
A. स्वामी विवेकानंद का ध्यान/Swami Vivekananda's meditation
Explanation
Simple Explanation
विवेकानंद रॉक मेमोरियल स्वामी विवेकानंद के ध्यान प्रसंग से जुड़ा है। परीक्षा में आधुनिक स्मारकों के प्रेरक प्रसंग याद रखें। / Vivekananda Rock Memorial is linked with the meditation episode of Swami Vivekananda. For exams remember inspiring episodes behind modern memorials.
भीमबेटका शैल चित्र प्रागैतिहासिक मानव जीवन और गतिविधियों का संकेत देते हैं। परीक्षा में शैलाश्रयों को प्रागैतिहासिक स्रोत समझें। / Bhimbetka rock paintings indicate prehistoric human life and activities. For exams treat rock shelters as prehistoric sources.
A. कन्याकुमारी के समुद्री संगम और विवेकानंद ध्यान से जुड़ा है/It is linked with Kanyakumari sea confluence and Vivekananda's meditation
Explanation
Simple Explanation
विवेकानंद रॉक मेमोरियल कन्याकुमारी के समुद्री संगम और स्वामी विवेकानंद की स्मृति से जुड़ा है। परीक्षा में स्थान और व्यक्ति दोनों याद रखें। / Vivekananda Rock Memorial is linked with the sea confluence at Kanyakumari and the memory of Swami Vivekananda. In exams remember both the place and the person.
रॉक गार्डन चंडीगढ़ में स्थित है। परीक्षा में इसे नेक चंद की रचनात्मक कला से जोड़ें। / Rock Garden is located in Chandigarh. In exams connect it with the creative art of Nek Chand.
गंगावतरण में चट्टान की प्राकृतिक दरार को नदी प्रवाह के प्रतीक रूप में प्रयोग किया गया है। पल्लव कला में प्रकृति और कथा का मेल याद रखें। / In the Descent of the Ganga, a natural cleft in the rock is used as a symbol of river flow. Remember the blend of nature and narrative in Pallava art.
भीमबेटका शैलाश्रय प्रागैतिहासिक शैल चित्रों के लिए प्रसिद्ध हैं। परीक्षा में प्रागैतिहासिक स्थलों की पहचान अलग करें। / Bhimbetka rock shelters are famous for prehistoric rock paintings. For exams identify prehistoric sites separately.
A. अरब सागर और बंगाल की खाड़ी और हिंद महासागर/Arabian Sea and Bay of Bengal and Indian Ocean
Explanation
Simple Explanation
विवेकानंद रॉक मेमोरियल कन्याकुमारी में समुद्री संगम के निकट है। परीक्षा में इसे भारत के दक्षिणी छोर से जोड़ें। / Vivekananda Rock Memorial is near the sea confluence at Kanyakumari. In exams connect it with the southern tip of India.
विवेकानंद रॉक मेमोरियल कन्याकुमारी में समुद्र के पास स्थित है। परीक्षा में आधुनिक स्मारकों के भौगोलिक स्थान याद रखें। / Vivekananda Rock Memorial is located near the sea at Kanyakumari. For exams remember the geographical locations of modern memorials.
विवेकानंद रॉक मेमोरियल कन्याकुमारी में समुद्र के पास स्थित है। परीक्षा में आधुनिक स्मारकों के स्थान भी याद रखें। / Vivekananda Rock Memorial is located near the sea at Kanyakumari. For exams also remember the locations of modern memorials.
विवेकानंद रॉक मेमोरियल तमिलनाडु के कन्याकुमारी में स्थित है। इसे स्वामी विवेकानंद की स्मृति से जोड़कर याद रखें। / Vivekananda Rock Memorial is located at Kanyakumari in Tamil Nadu. Remember it with the memory of Swami Vivekananda.
रॉक गार्डन चंडीगढ़ में स्थित है। यह आधुनिक भारत की अनोखी कलात्मक रचना के रूप में प्रसिद्ध है। / Rock Garden is located in Chandigarh. It is famous as a unique artistic creation of modern India.
A. धार्मिक सहिष्णुता और संप्रदायों का सम्मान/Religious tolerance and respect for sects
Explanation
Simple Explanation
प्रमुख शिलालेख बारह विभिन्न संप्रदायों के प्रति सम्मान पर बल देता है। परीक्षा में इसे धम्म की सहिष्णु नीति से जोड़ें। / Major Rock Edict XII emphasizes respect for different sects. For exams, connect it with the tolerant policy of Dhamma.
A. धम्म प्रचार और नैतिक शासन/Dhamma propagation and moral governance
Explanation
Simple Explanation
लघु शिलालेख अशोक के व्यक्तिगत परिवर्तन और धम्म नीति की दिशा दिखाते हैं। परीक्षा में छोटे अभिलेखों को भी महत्वपूर्ण मानें। / Minor rock edicts show Ashoka's personal change and direction of Dhamma policy. For exams, treat smaller inscriptions as important too.
A. राजकीय नीति में नैतिक मोड़ का समकालीन प्रमाण/Contemporary evidence of moral turn in royal policy
Explanation
Simple Explanation
यह शिलालेख अशोक के युद्ध से धम्मविजय की ओर बदलाव को दिखाता है। परीक्षा में इसे प्राथमिक स्रोत मानें। / This edict shows Ashoka's shift from war to Dhamma conquest. For exams, treat it as a primary source.
C. राजा तक सूचना पहुंच और तत्पर शासन/Access to king and prompt governance
Explanation
Simple Explanation
इसमें राजा द्वारा जनता के कार्यों के लिए उपलब्ध रहने का संकेत मिलता है। परीक्षा में अशोक के शासन को संचार व्यवस्था से जोड़ें। / It indicates the king's availability for public affairs. For exams, connect Ashoka's rule with communication in administration.
प्रमुख शिलालेख पांच धम्म महामात्रों की नियुक्ति से जुड़ा है। परीक्षा में शिलालेख और प्रशासनिक पद मिलाएं। / Major Rock Edict V is linked with the appointment of Dhamma Mahamatras. For exams, match edicts with administrative posts.
C. मनुष्यों और पशुओं के लिए चिकित्सा व्यवस्था/Medical arrangements for humans and animals
Explanation
Simple Explanation
इस शिलालेख में चिकित्सा और उपयोगी वृक्ष जैसे कल्याण कार्यों का उल्लेख मिलता है। परीक्षा में धम्म को लोककल्याण से जोड़ें। / This edict mentions welfare activities such as medical care and useful trees. For exams, connect Dhamma with public welfare.
प्रमुख शिलालेख तेरह कलिंग युद्ध और अशोक के पश्चाताप से जुड़ा है। परीक्षा में इसे अशोक के परिवर्तन का स्रोत मानें। / Major Rock Edict XIII is linked with the Kalinga War and Ashoka's remorse. For exams, treat it as a source of Ashoka's change.
प्रमुख शिलालेख बारह में संप्रदायों के प्रति सम्मान पर बल मिलता है। परीक्षा में धम्म को सहिष्णुता से जोड़ें। / Major Rock Edict XII emphasizes respect for different sects. For exams, connect Dhamma with tolerance.
A. उसकी व्यक्तिगत धार्मिक भावना और धम्म प्रयास/His personal religious feeling and Dhamma efforts
Explanation
Simple Explanation
लघु शिलालेख अशोक की व्यक्तिगत धार्मिक भावना और धम्म नीति को समझने में सहायक हैं। परीक्षा में प्रमुख और लघु शिलालेखों का अंतर रखें। / Minor rock edicts help in understanding Ashoka's personal religious feelings and Dhamma policy. For exams, keep the difference between major and minor edicts.
प्रमुख शिलालेख तेरह कलिंग युद्ध और अशोक के पश्चाताप का प्रमुख स्रोत है। परीक्षा में इसे अशोक के परिवर्तन से जोड़ें। / Major Rock Edict XIII is a key source for the Kalinga war and Ashoka's remorse. For exams, link it with Ashoka's transformation.
A. वे चट्टान की कठोर बनावट को कमजोर करेंगी/They will weaken the hard texture of the rock
Explanation
Simple Explanation
चट्टान के लिए कोणीय और खुरदरी रेखाएं अधिक उपयुक्त हैं। परीक्षा में वस्तु की बनावट के अनुसार रेखा चुनें। / Angular and rough lines suit rock better. In exams choose line according to object texture.
प्रतिच्छेदी रेखाएं किसी बिंदु पर मिलती या काटती हैं। परीक्षा में intersecting को crossing से याद रखें। / Intersecting lines meet or cross at a point. Exam tip: remember intersecting as crossing.
एलिफेंटा गुफाएं शिव मूर्तियों के लिए प्रसिद्ध हैं। इन्हें मुंबई के पास शैलकृत कला से जोड़ें। / Elephanta Caves are famous for Shiva sculptures. Link them with rock cut art near Mumbai.
पूर्वी घाट पूर्वी तट के पास स्थित खंडित पर्वत श्रृंखला है जिसे कई नदियां काटती हैं। परीक्षा में इसे पश्चिमी घाट से तुलना करके याद रखें। / The Eastern Ghats are a discontinuous range near the eastern coast cut by many rivers. For exams, remember them by comparison with Western Ghats.
पूर्वी घाट पूर्वी तट के पास स्थित खंडित पर्वत श्रृंखला है जिसे कई नदियां काटती हैं। परीक्षा में इसे पश्चिमी घाट से तुलना करके याद रखें। / The Eastern Ghats are a discontinuous range near the eastern coast cut by many rivers. For exams, remember them by comparison with Western Ghats.
पूर्वी घाट पूर्वी तट के पास स्थित खंडित पर्वत श्रृंखला है जिसे कई नदियां काटती हैं। परीक्षा में इसे पश्चिमी घाट से तुलना करके याद रखें। / The Eastern Ghats are a discontinuous range near the eastern coast cut by many rivers. For exams, remember them by comparison with Western Ghats.
पूर्ववर्ती नदियां पर्वत उठने के बाद भी अपना पुराना मार्ग काटती रहती हैं। परीक्षा में सिंधु और ब्रह्मपुत्र की गहरी घाटियां याद रखें। / Antecedent rivers keep cutting their old course even after mountain uplift. For exams remember deep gorges of Indus and Brahmaputra.
पूर्व की ओर बहने वाली नदियां पूर्वी घाट को काटती हैं। परीक्षा में गोदावरी कृष्णा कावेरी याद रखें। / East flowing rivers cut across the Eastern Ghats. For exams remember Godavari Krishna and Kaveri.
एक प्रतिच्छेद बिंदु एक अद्वितीय हल देता है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / One intersection point gives a unique solution. Hence, the pair is consistent and independent.
अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore, such a pair has no solution.
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। (x)-अक्ष पर बिंदु ((3,0)) और ((4,0)) होंगे। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). The (x)-axis points are ((3,0)) and ((4,0)).
वर्ग की भुजा (x) हो, तो शेष क्षेत्रफल (x(x-3)=70)। इससे \(x^2-3x-70=0\), इसलिए (x=10)। / Let the square side be (x), then the remaining area is (x(x-3)=70). This gives \(x^2-3x-70=0\), so (x=10).
यहाँ (D=4k-2-4\(k^2-16\)=64>0) है। इसलिए दो अलग वास्तविक प्रतिच्छेद मिलते हैं। / Here (D=4k-2-4\(k^2-16\)=64>0). So two distinct real intersections are obtained.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / Here (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
यहाँ (D=4k-2-4\(k^2-9\)=36>0) है। इसलिए दो अलग वास्तविक प्रतिच्छेद मिलते हैं। / Here (D=4k-2-4\(k^2-9\)=36>0). So two distinct real intersections are obtained.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4)2-4(2)(7)=-40) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / Here (D=(-4)2-4(2)(7)=-40). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
यहाँ (D=4k-2-4\(k^2-4\)=16>0) है। इसलिए हमेशा दो अलग वास्तविक प्रतिच्छेद मिलते हैं। / Here (D=4k-2-4\(k^2-4\)=16>0). So there are always two distinct real intersections.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=22-4(1)(5)=-16) है। ऋणात्मक (D) का ग्राफीय अर्थ है (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं। / Here (D=22-4(1)(5)=-16). Graphically, a negative (D) means no intersection with the (x)-axis.
यहां (D=(-5)2-4\cdot1\cdot4=9), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में (D>0) का अर्थ (x)-अक्ष को दो कटाव है। / Here (D=(-5)2-4\cdot1\cdot4=9), so there are two distinct real roots. In exams, (D>0) means two cuts with the (x)-axis.
यहां \(D=4^2-4\cdot1\cdot8=-16\), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं है। / Here \(D=4^2-4\cdot1\cdot8=-16\), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no cut with the (x)-axis.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0))/No real roots ((D<0))
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष से कोई कटाव न होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। इसलिए विविक्तकर (D<0) होगा। / If there is no intersection with the (x)-axis, there are no real roots. So the discriminant will be (D<0).
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0))/No real roots ((D<0))
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष से न मिलने पर कोई वास्तविक (x)-अवरोध नहीं होता। इसलिए (D<0) होता है। / If it does not meet the (x)-axis, there is no real (x)-intercept. Hence (D<0).
(x)-अक्ष पर (p(x)=0), इसलिए \(x^2-5=0\) से \(x=\pm\sqrt{5}\) है। ग्राफ में (x)-कट शून्यक होते हैं। / On the (x)-axis, (p(x)=0), so \(x^2-5=0\) gives \(x=\pm\sqrt{5}\). The (x)-intercepts are the zeroes.
गुणनखंडों से शून्यक (-1), (2), और (4) हैं। तीन अलग शून्यक तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद देते हैं। / The factors give zeroes (-1), (2), and (4). Three distinct zeroes give three distinct (x)-intercepts.
x-अक्ष पर कटने के लिए शून्य ढूँढिए: \(p(x)=0\Rightarrow 2x^2-8=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). इसलिए शून्यक (-2) और (2) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह तब मिलेगा जब गलत तरीके से \(x^2=16\) मान लिया जाए; C गलत है क्योंकि नकारात्मक मूल को छोड़ दिया गया है; D केवल एक सकारात्मक मान बताता है जो अधूरा और गलत है। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और समिकरण को फैक्टर या वर्गमूल की विधि से हल करें (यहाँ \(2(x-2)(x+2)=0\)). / For x-intercepts set the polynomial to zero: \(p(x)=0\Rightarrow 2x^2-8=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). Hence the zeros are -2 and 2. Option B is incorrect (it would follow from the erroneous equation \(x^2=16\)); C omits the negative root; D gives only one value and is incomplete. Exam tip: Always start with \(p(x)=0\) and factor or take square roots (here \(2(x-2)(x+2)=0\)).
A. दिए गए आधार पर कोई शून्यक नहीं दिखता/No zero is shown from the given data
Explanation
Simple Explanation
शून्यक केवल (x)-अक्ष यानी (y=0) से जुड़े होते हैं। (y=2) से प्रतिच्छेद शून्यक नहीं बताता। / Zeroes are linked only with the (x)-axis where (y=0). Intersections with (y=2) do not show zeroes.
x-अक्ष पर कटान के लिए p(x)=0 होना चाहिए। \(x^2+2x-15\) को गुणनखंडों में बाँटने पर \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\) मिलता है। इसलिए \(x+5=0\) से \(x=-5\) तथा \(x-3=0\) से \(x=3\)। अतः x-अक्ष को काटने के मान 3 और -5 हैं। निकटतम भ्रम (जैसे विकल्प B) में चिह्न उल्टा लिया गया है (3 को -3 समझना या -5 को 5 मानना) — इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: गुणनखंड न बन रहा हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें और जाँच के लिए मूलों का योग \((-b/a)\) और गुणन \(c/a\) से सत्यापित कर लें (यहाँ sum = -2 और product = -15)। / x-intercepts occur where p(x)=0. Factorizing \(x^2+2x-15\) gives \((x+5)(x-3)\). Setting each factor to zero yields \(x=-5\) and \(x=3\), so the graph cuts the x-axis at 3 and -5. A common distractor (option B) flips signs (e.g. taking 3 as -3 or -5 as 5), which is incorrect. Exam tip: if factorisation is unclear, use the quadratic formula and verify roots quickly by checking sum = -b/a and product = c/a (here sum = -2, product = -15).
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(g^2-4g^2=-3g^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(g^2-4g^2=-3g^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
A. क्योंकि यह ((x-7)2+4) है/Because it is ((x-7)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x-7)2+4) हमेशा धनात्मक है इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर वास्तविक कटान नहीं मिलता। / ((x-7)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(f^2-4f^2=-3f^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(f^2-4f^2=-3f^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
A. क्योंकि यह ((x-5)2+4) है/Because it is ((x-5)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x-5)2+4) हमेशा धनात्मक है, इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर वास्तविक कटान नहीं मिलता। / ((x-5)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(d^2-4d^2=-3d^2<0\) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(d^2-4d^2=-3d^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
A. क्योंकि यह ((x-4)2+4) है/Because it is ((x-4)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x-4)2+4) हमेशा धनात्मक है इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर कटान रुक सकता है। / ((x-4)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square can prevent intersection.
(x-3-25x=x(x-5)(x+5)) है इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-25x=x(x-5)(x+5)), so there are three distinct zeroes. Tip: first take out the common factor.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(c^2-4c^2=-3c^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(c^2-4c^2=-3c^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
A. क्योंकि यह ((x+2)2+4) है/Because it is ((x+2)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x+2)2+4) हमेशा धनात्मक है, इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर कटान रुक सकता है। / ((x+2)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square can prevent intersection.
(x-3-16x=x(x-4)(x+4)) है, इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-16x=x(x-4)(x+4)), so there are three distinct zeroes. Tip: first take out the common factor.
A. क्योंकि यह ((x-3)2+4) है/Because it is ((x-3)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x-3)2+4) हमेशा धनात्मक है, इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: पूर्ण वर्ग में जोड़ी गई धनात्मक संख्या कटान रोक सकती है। / ((x-3)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: a positive number added to a square can prevent intersection.
(x-3-9x=x(x-3)(x+3)), इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: सामान्य गुणनखंड निकालकर वर्गों का अंतर देखें। / (x-3-9x=x(x-3)(x+3)), so there are three distinct zeroes. Tip: take the common factor and use difference of squares.
तीन अलग रैखिक कारक तीन अलग शून्यक (2), (5), (8) देते हैं। टिप: हर अलग कारक एक कटान दे सकता है। / Three distinct linear factors give three distinct zeroes (2), (5), (8). Tip: each distinct factor can give one intersection.
A. क्योंकि \(x^2+1\) हमेशा धनात्मक है/Because \(x^2+1\) is always positive
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Simple Explanation
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq0\) इसलिए \(x^2+1>0\) है। टिप: (p(x)) कभी (0) न हो तो कटान नहीं होगा। / For real (x), \(x^2\geq0\), so \(x^2+1>0\). Tip: if (p(x)) never becomes (0), there is no intersection.
तीन अलग कारक तीन अलग शून्यक (1), (4), (-2) देते हैं। टिप: हर रैखिक कारक एक संभावित कटान देता है। / The three different factors give three distinct zeroes (1), (4), (-2). Tip: each linear factor gives a possible intersection.
\(x^2-2x\) को गुणा करके लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)\). जब किसी गुणनखंड का गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक गुणनखंड शून्य होगा, अतः \(x=0\) या \(x=2\). विकल्प B गलत है क्योंकि \(p(1)=1-2=-1\) शून्य नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(-2)=4+4=8\) शून्य नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=0\) को अनदेखा करता है। टिप: x-अक्ष पर कटने के लिए \(p(x)=0\) लिखकर बहुपद को फैक्टर करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)\). The x-intercepts satisfy \(p(x)=0\), so \(x=0\) or \(x=2\). Option B is incorrect because \(p(1)=1-2=-1\) (not zero); option C is incorrect because \(p(-2)=4+4=8\) (not zero); option D is incomplete because it omits \(x=0\). Exam tip: set \(p(x)=0\) and factor out the common term to find zeros quickly.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: शीर्ष की स्थिति से भी कटान का अंदाजा लग सकता है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real zero. Tip: the vertex position can help judge intersections.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/There is no real zero
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ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता और दिए गए मान भी शून्य नहीं हैं। टिप: फलन मान (0) न हो तो शून्यक न मानें। / The graph does not meet the (x)-axis and the given values are not zero. Tip: do not call a value a zero unless the function value is (0).
(x=0) या (x-5=0) से (x=0,5) मिलते हैं। टिप: गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक कारक शून्य होता है। / From (x=0) or (x-5=0), we get (x=0,5). Tip: if a product is zero, at least one factor is zero.
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
कारण: यह एक द्विघात फलन है जहाँ \(a=1, b=0, c=9\)। इसकी डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\) है, अतः वास्तविक शून्य (real root) नहीं हैं। वैकल्पिक दृष्टिकोण: \(x^2\) कभी ऋण नहीं होता, इसलिए \(x^2+9\ge9\) और यह कभी 0 नहीं होता। क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: "दो बार" तभी होगा जब डिस्क्रिमिनेंट धनात्मक हो (दो अलग वास्तविक मूल), और "एक बार" तभी जब डिस्क्रिमिनेंट शून्य हो (आधार बिंदु पर स्पर्श)। परीक्षा-टिप: किसी द्विघात के वास्तविक शून्य जानने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) की जाँच करें। / Reason: For the quadratic with \(a=1, b=0, c=9\) the discriminant is \(b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), so there are no real roots. Alternatively, \(x^2\ge0\) for all real \(x\), so \(x^2+9\ge9\) and never equals 0. Why the closest distractors are wrong: "Two times" requires a positive discriminant (two distinct real roots); "One time" requires discriminant zero (a repeated root). Exam tip: Use the discriminant \(b^2-4ac\) to quickly determine number of real x-intercepts.
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
