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इस बहुपद में \(x^4\) का पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) होता है। / The term \(x^4\) is not present in this polynomial. A missing term has coefficient (0).
इस बहुपद में \(x^3\) का पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) माना जाता है। / There is no \(x^3\) term in this polynomial. The coefficient of a missing term is taken as (0).
इस बहुपद में \(x^3\) का पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) होता है। / The term \(x^3\) is not present in this polynomial. A missing term has coefficient (0).
इस बहुपद में \(x^3\) पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) माना जा सकता है। / The \(x^3\)-term is not present in this polynomial. Its coefficient may be taken as (0).
A. वस्तु सतह से अलग तैरती लग सकती है/Object may seem floating away from surface
Explanation
Simple Explanation
पड़ी छाया वस्तु को सतह से जोड़ती है। परीक्षा में grounding के लिए cast shadow देखें। / Cast shadow connects object to surface. Exam tip: observe cast shadow for grounding.
D. जमीन से संबंध और गहराई/Contact with ground and depth
Explanation
Simple Explanation
पड़ी छाया वस्तु को जमीन से जोड़ती है और स्थान दिखाती है। परीक्षा में cast shadow को space से जोड़ें। / Cast shadow connects object with ground and shows space. Exam tip: connect cast shadow with space.
जो पद लिखा नहीं है उसका गुणांक (0) माना जाता है। इसलिए \(x^4\) का गुणांक (0) है। / A missing term is treated as having coefficient (0). So the coefficient of \(x^4\) is (0).
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। / The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। / If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें। / So write the fraction in lowest form at the start.
D. गीत लोककथा इतिहास और जनभागीदारी जैसे अन्य साधनों की चर्चा/Discussion of other tools like songs folklore history and public participation
Step 1
Concept
ध्वज महत्वपूर्ण प्रतीक है लेकिन अकेला साधन नहीं। / The flag is an important symbol but not the only tool.
Step 2
Why this answer is correct
सामूहिक अपनापन गीत लोककथा इतिहास कला और जनभागीदारी से भी बना। / Collective belonging was also formed through songs folklore history art and public participation.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पूरा उत्तर देने के लिए अनेक उदाहरण जोड़ें। / In exams add multiple examples for a complete answer.
A. वह संस्थाओं उपाधियों चुनावों शिक्षा न्याय और कर के प्रश्नों को छोड़ देगा/The student would miss issues of institutions titles elections education justice and tax
Step 1
Concept
विदेशी वस्त्रों का बहिष्कार आंदोलन का एक पक्ष था। / Boycott of foreign cloth was one part of the movement.
Step 2
Why this answer is correct
असहयोग में कई संस्थागत आर्थिक और नैतिक कदम थे। / Non-Cooperation had many institutional economic and moral steps.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसे व्यापक औपनिवेशिक विरोध के रूप में लिखना चाहिए। / Therefore it should be written as a broad anti-colonial protest.
A. साम्यवाद के प्रसार को रोकना/To contain the spread of communism
Explanation
Simple Explanation
ट्रूमैन सिद्धांत ने साम्यवाद रोकने के लिए अमेरिकी सहायता की नीति को बढ़ाया। परीक्षा में इसे नियंत्रण नीति से जोड़ें। / The Truman Doctrine promoted American aid to contain communism. For exams, connect it with the policy of containment.
C. इटली का राष्ट्रीय एकीकरण/National Unification of Italy
Explanation
Simple Explanation
यंग इटली आंदोलन इटली के राष्ट्रीय एकीकरण से जुड़ा था। परीक्षा में मैजिनी को विचारक और राष्ट्रवादी नेता के रूप में याद रखें। / Young Italy was linked with the national unification of Italy. For exams remember Mazzini as a thinker and nationalist leader.
वियत मिन्ह वियतनाम की स्वतंत्रता के लिए बनाया गया संगठन था। परीक्षा में हो ची मिन्ह को औपनिवेशिक विरोध से जोड़ें। / The Viet Minh was formed for Vietnam's independence. For exams connect Ho Chi Minh with anti-colonial struggle.
C. युद्ध के बाद शांति व्यवस्था/Post-war Peace Order
Explanation
Simple Explanation
विल्सन के चौदह सूत्र प्रथम विश्व युद्ध के बाद शांति व्यवस्था से जुड़े थे। परीक्षा में उन्हें लीग ऑफ नेशंस के विचार से भी जोड़ें। / Wilson's Fourteen Points were linked with peace after World War I. For exams, also connect him with the idea of the League of Nations.
स्टालिन की पंचवर्षीय योजनाएं सोवियत औद्योगिकीकरण से जुड़ी थीं। परीक्षा में उन्हें केंद्रीकृत योजना से याद रखें। / Stalin's Five-Year Plans were linked with Soviet industrialization. For exams, remember him with centralized planning.
D. धन संपत्ति प्राप्त करना और गजनी को समृद्ध करना/To gain wealth and enrich Ghazni
Explanation
Simple Explanation
महमूद गजनवी के आक्रमणों का मुख्य उद्देश्य धन प्राप्ति माना जाता है। परीक्षा में आक्रमणकारी और उनके उद्देश्य अलग अलग याद रखें। / Mahmud of Ghazni's invasions are mainly linked with the acquisition of wealth. For exams remember invaders and their objectives separately.
B. बड़ी सेना के लिए नियंत्रित कीमतें बनाए रखना/To maintain controlled prices for a large army
Explanation
Simple Explanation
अलाउद्दीन खिलजी ने बड़ी सेना को कम खर्च पर बनाए रखने के लिए कीमतों पर नियंत्रण किया। परीक्षा में बाजार सुधार को सैन्य नीति से जोड़ें। / Alauddin Khalji controlled prices to maintain a large army at lower cost. For exams connect market reforms with military policy.
C. सुल्तान की प्रतिष्ठा और केंद्रीकृत सत्ता मजबूत करना/To strengthen the Sultan's prestige and centralized power
Explanation
Simple Explanation
बलबन ने कठोर अनुशासन और राजसत्ता की गरिमा पर जोर दिया। उसे शक्तिशाली सल्तनत शासक के रूप में याद करें। / Balban emphasized strict discipline and royal dignity. Remember him as a strong Sultanate ruler.
A. क्रांतिकारी गतिविधियों के लिए सरकारी धन पर कब्जा करना/To seize government funds for revolutionary activities
Explanation
Simple Explanation
काकोरी कार्रवाई हिंदुस्तान रिपब्लिकन एसोसिएशन से जुड़ी थी। इसे क्रांतिकारी संगठन के संसाधन जुटाने की रणनीति से समझें। / The Kakori action was linked with the Hindustan Republican Association. Understand it as a strategy to raise resources for revolutionary work.
C. विदेशों से भारत की स्वतंत्रता के लिए सहयोग जुटाना/Mobilizing foreign support for India's freedom
Explanation
Simple Explanation
बर्लिन समिति प्रथम विश्व युद्ध के दौरान विदेशी सहायता से स्वतंत्रता प्रयास से जुड़ी थी। इसे अंतरराष्ट्रीय क्रांतिकारी गतिविधि में रखें। / The Berlin Committee was linked with seeking foreign support for independence during the First World War. Place it under international revolutionary activity.
गुरुवायूर सत्याग्रह मंदिर प्रवेश अधिकारों से जुड़ा था। इसे केरल के सामाजिक सुधार आंदोलनों में याद रखें। / The Guruvayur Satyagraha was linked with temple entry rights. Remember it among social reform movements in Kerala.
D. बहरे शासन को सुनाना/To make the deaf government hear
Explanation
Simple Explanation
असेंबली बम घटना का उद्देश्य प्रतीकात्मक विरोध था। इसे क्रांतिकारी प्रचार की रणनीति से समझें। / The Assembly bombing was meant as symbolic protest. Understand it as a strategy of revolutionary propaganda.
B. क्रांतिकारी गतिविधियों के लिए संसाधन जुटाना/Raising resources for revolutionary activities
Explanation
Simple Explanation
काकोरी कार्रवाई का उद्देश्य क्रांतिकारी कार्यों के लिए धन जुटाना था। इसे हिंदुस्तान रिपब्लिकन एसोसिएशन से जोड़ें। / The Kakori action aimed to raise funds for revolutionary work. Link it with the Hindustan Republican Association.
A. विदेशी वस्तुओं पर निर्भरता घटाना/To reduce dependence on foreign goods
Explanation
Simple Explanation
बहिष्कार से विदेशी वस्तुओं के विरुद्ध आर्थिक दबाव बनाया गया। इसे स्वदेशी उद्योगों के समर्थन से जोड़ें। / Boycott created economic pressure against foreign goods. Link it with support for indigenous industries.
A. सामाजिक-धार्मिक पुनर्जागरण और सुधार/Socio-religious revival and reform
Explanation
Simple Explanation
शुद्धि आंदोलन आर्य समाज के सामाजिक-धार्मिक सुधार प्रयासों से जुड़ा था। इसे उन्नीसवीं-बीसवीं शताब्दी के सुधार आंदोलनों में याद रखें। / The Shuddhi Movement was linked with Arya Samaj's socio-religious reform efforts. Remember it among nineteenth and twentieth-century reform movements.
D. भारत की मुक्ति के लिए सैन्य अभियान/Military campaign for India's liberation
Explanation
Simple Explanation
दिल्ली चलो नारा भारत की मुक्ति के लिए आगे बढ़ने का प्रतीक था। इसे सुभाष चंद्र बोस के सैन्य राष्ट्रवाद से जोड़ें। / The slogan Dilli Chalo symbolized marching for India's liberation. Link it with Subhas Chandra Bose's military nationalism.
A. ब्रिटिश शासन के विरुद्ध विदेशी समर्थन से स्वतंत्रता प्रयास/Freedom effort against British rule with foreign support
Explanation
Simple Explanation
काबुल में अस्थायी भारत सरकार स्वतंत्रता के लिए अंतरराष्ट्रीय समर्थन जुटाने का प्रयास थी। इसे क्रांतिकारी विदेश नीति से जोड़ें। / The Provisional Government of India in Kabul was an effort to gain international support for independence. Link it with revolutionary foreign efforts.
A. भील क्षेत्रों को नियंत्रित करना/To control Bhil areas
Explanation
Simple Explanation
भील क्षेत्रों में शांति और नियंत्रण के लिए मेवाड़ भील कोर बनाई गई थी। इससे भील प्रतिरोध की गंभीरता समझ आती है। / The Mewar Bhil Corps was formed to pacify and control Bhil areas. This shows the seriousness of Bhil resistance.
B. सैन्य और प्रशासनिक संपर्क बढ़ाना/Expanding military and administrative communication
Explanation
Simple Explanation
खासी विद्रोह में ब्रिटिश सड़क निर्माण योजना से स्थानीय स्वायत्तता पर खतरा माना गया। तीरथ सिंह इसका प्रमुख नाम है। / In the Khasi uprising, British road construction was seen as a threat to local autonomy. Tirot Sing is a major name linked with it.
गुरुवायूर सत्याग्रह मंदिर प्रवेश अधिकारों से जुड़ा था। इसे सामाजिक सुधार आंदोलनों के साथ याद रखें। / The Guruvayur Satyagraha was linked with temple entry rights. Remember it with social reform movements.
B. किरायेदार किसानों को जमींदारी शोषण से बचाना/Protecting tenant peasants from zamindari exploitation
Explanation
Simple Explanation
पाबना आंदोलन बंगाल के किरायेदार किसानों का जमींदारी शोषण के विरुद्ध संघर्ष था। इसे किसान अधिकार आंदोलन के रूप में याद रखें। / The Pabna Movement was a struggle of Bengal tenant peasants against zamindari exploitation. Remember it as a peasant rights movement.
B. हिंदू-मुस्लिम एकता और ब्रिटिश विरोध/Hindu-Muslim unity and anti-British protest
Explanation
Simple Explanation
खिलाफत आंदोलन ने असहयोग आंदोलन के साथ हिंदू-मुस्लिम एकता को बल दिया। परीक्षा में इसे 1920 के जनांदोलन से जोड़ें। / The Khilafat Movement strengthened Hindu-Muslim unity alongside Non-Cooperation. Link it with the mass politics of 1920.
D. क्रांतिकारी गतिविधियों के लिए संसाधन जुटाना/To raise resources for revolutionary activities
Explanation
Simple Explanation
काकोरी कांड हिंदुस्तान रिपब्लिकन एसोसिएशन से जुड़ा था। परीक्षा में 1925 और राम प्रसाद बिस्मिल याद रखें। / The Kakori incident was linked with Hindustan Republican Association. Exam tip: remember 1925 and Ram Prasad Bismil.
A. जैव विविधता और वन क्षेत्र की रक्षा/Protection of biodiversity and forest area
Explanation
Simple Explanation
साइलेंट वैली आंदोलन केरल के वन और जैव विविधता से जुड़ा था। परीक्षा में पर्यावरण आंदोलन याद रखें। / Silent Valley Movement was linked with forests and biodiversity of Kerala. Exam tip: remember environmental movements.
अप्पिको आंदोलन कर्नाटक में वन संरक्षण से जुड़ा था। परीक्षा में चिपको और अप्पिको दोनों को पर्यावरण आंदोलनों में याद रखें। / The Appiko Movement was linked with forest protection in Karnataka. Exam tip: remember both Chipko and Appiko as environmental movements.
चिपको आंदोलन वनों की रक्षा से जुड़ा था। परीक्षा में इसे पर्यावरण आंदोलन के रूप में याद रखें। / The Chipko Movement was linked with protection of forests. Exam tip: remember it as an environmental movement.
चिपको आंदोलन वनों की रक्षा से जुड़ा था। परीक्षा में इसे पर्यावरण आंदोलन के रूप में याद रखें। / Chipko Movement was linked with protection of forests. Exam tip: remember it as an environmental movement.
A. भारत की सीमा में प्रवेश कर ब्रिटिश शासन को सैन्य चुनौती देना/To enter Indian territory and militarily challenge British rule
Explanation
Simple Explanation
इम्फाल अभियान आई एन ए की सैन्य रणनीति से जुड़ा था। परीक्षा में नेताजी और दिल्ली चलो याद रखें। / The Imphal campaign was linked with INA's military strategy. Exam tip is to remember Netaji and Delhi Chalo.
A. युवा वर्ग में क्रांतिकारी और राष्ट्रीय चेतना फैलाना/Spreading revolutionary and national consciousness among youth
Explanation
Simple Explanation
नौजवान भारत सभा युवाओं को राजनीतिक रूप से जागरूक करने से जुड़ी थी। परीक्षा में भगत सिंह को इससे जोड़ें। / Naujawan Bharat Sabha was linked with politically awakening the youth. Exam tip is to connect Bhagat Singh with it.
A. शस्त्रागारों पर कब्जा कर ब्रिटिश प्रशासन को चुनौती देना/To seize armouries and challenge British administration
Explanation
Simple Explanation
सूर्य सेन ने संगठित क्रांतिकारी कार्रवाई का नेतृत्व किया। परीक्षा में मास्टरदा को याद रखें। / Surya Sen led an organized revolutionary action. Exam tip is to remember Masterda.
B. ब्रिटिश शस्त्रागारों पर कब्जा कर औपनिवेशिक सत्ता को चुनौती देना/To seize British armouries and challenge colonial authority
Explanation
Simple Explanation
सूर्य सेन ने चिटगाँव में क्रांतिकारी कार्रवाई का नेतृत्व किया। परीक्षा में इसे 1930 के क्रांतिकारी आंदोलन से जोड़ें। / Surya Sen led the revolutionary action in Chittagong. Exam tip is to link it with the revolutionary movement of 1930.
A. औपनिवेशिक शस्त्रागारों पर कब्जा कर ब्रिटिश सत्ता को चुनौती देना/To seize colonial armouries and challenge British authority
Explanation
Simple Explanation
चिटगाँव शस्त्रागार कांड सूर्य सेन से जुड़ा था। परीक्षा में इसे क्रांतिकारी कार्रवाई के रूप में याद रखें। / The Chittagong Armoury Raid was linked with Surya Sen. Exam tip is to remember it as a revolutionary action.
A. सरकारी धन पर कब्जा कर क्रांतिकारी गतिविधियों को सहायता देना/To seize government money and support revolutionary activities
Explanation
Simple Explanation
काकोरी कांड एच आर ए के क्रांतिकारियों से जुड़ा था। परीक्षा में राम प्रसाद बिस्मिल और अशफाक उल्ला खान याद रखें। / The Kakori incident was linked with HRA revolutionaries. Exam tip is to remember Ram Prasad Bismil and Ashfaqulla Khan.
B. अंग्रेजी माध्यम से औपनिवेशिक प्रशासन के लिए सहायक वर्ग तैयार करना/To create a supporting class for colonial administration through English education
Explanation
Simple Explanation
मैकॉले ने अंग्रेजी शिक्षा को प्रशासनिक जरूरतों से जोड़ा। परीक्षा में इसे औपनिवेशिक शिक्षा नीति से जोड़ें। / Macaulay linked English education with administrative needs. Exam tip is to connect it with colonial education policy.
A. भारत की सीमा में प्रवेश कर अंग्रेजी शासन को चुनौती देना/To enter Indian territory and challenge British rule
Explanation
Simple Explanation
इम्फाल अभियान आई एन ए के सैन्य प्रयासों का महत्वपूर्ण चरण था। परीक्षा में इसे नेताजी की सैन्य रणनीति से जोड़ें। / The Imphal campaign was an important phase of INA military efforts. Exam tip is to link it with Netaji's military strategy.
B. कच्चा माल और ब्रिटिश माल के आवागमन को सरल बनाना/To ease movement of raw materials and British goods
Explanation
Simple Explanation
रेलवे ने बाजारों बंदरगाहों और कच्चे माल के क्षेत्रों को जोड़ा। परीक्षा में रेलवे को आर्थिक और प्रशासनिक साधन दोनों मानें। / Railways linked markets ports and raw material areas. Exam tip is to see railways as both economic and administrative tools.
A. युद्ध में भारत को बिना सहमति शामिल करने का विरोध करना/To oppose involving India in war without consent
Explanation
Simple Explanation
व्यक्तिगत सत्याग्रह सीमित अहिंसक विरोध था। परीक्षा में विनोबा भावे को प्रथम सत्याग्रही याद रखें। / Individual Satyagraha was a limited nonviolent protest. Exam tip is to remember Vinoba Bhave as the first Satyagrahi.
A. भविष्य के बड़े विद्रोह की संभावना कम करना/To reduce the chance of another major revolt
Explanation
Simple Explanation
अंग्रेजों ने सेना में जातीय और क्षेत्रीय संतुलन बदलने की कोशिश की। परीक्षा में 1857 के बाद की सेना नीति याद रखें। / The British tried to change ethnic and regional balance in the army. Exam tip is to remember post-1857 army policy.
A. कंपनी की आय को व्यवस्थित और बढ़ाना/To organize and increase Company income
Explanation
Simple Explanation
कंपनी को शासन चलाने के लिए नियमित राजस्व चाहिए था। परीक्षा में प्रारंभिक कंपनी प्रशासन को राजस्व से जोड़ें। / The Company needed regular revenue to run administration. Exam tip is to connect early Company administration with revenue.
A. क्रांतिकारी गतिविधियों के लिए सरकारी धन प्राप्त करना/To obtain government money for revolutionary activities
Explanation
Simple Explanation
काकोरी कांड में क्रांतिकारियों ने सरकारी खजाने को लक्ष्य बनाया। परीक्षा में घटना का उद्देश्य और वर्ष याद रखें। / In the Kakori incident revolutionaries targeted government treasury. Exam tip: remember the purpose and year of the event.
A. भारत के लिए स्वशासन की मांग/Demand for self-government for India
Explanation
Simple Explanation
होम रूल आंदोलन ने भारत में स्वशासन की मांग को तेज किया। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को साथ याद रखें। / The Home Rule Movement intensified the demand for self-government in India. Exam tip: remember Tilak and Annie Besant together.
A. भारत के संवैधानिक भविष्य और सत्ता हस्तांतरण की रूपरेखा बनाना/To frame India's constitutional future and transfer of power
Explanation
Simple Explanation
कैबिनेट मिशन 1946 में सत्ता हस्तांतरण का रास्ता खोजने आया। परीक्षा में इसे स्वतंत्रता से पहले की अंतिम वार्ताओं से जोड़ें। / The Cabinet Mission came in 1946 to find a way for transfer of power. Exam tip is to link it with the final negotiations before independence.
A. सामाजिक समानता और जाति-आधारित भेदभाव का विरोध/Social equality and opposition to caste based discrimination
Explanation
Simple Explanation
ज्योतिबा फुले ने पिछड़े और वंचित वर्गों के अधिकारों पर बल दिया। परीक्षा में सत्यशोधक समाज को समानता से जोड़ें। / Jyotiba Phule emphasized the rights of backward and deprived groups. Exam tip is to link Satyashodhak Samaj with equality.
A. मुंडा समाज को शोषण से मुक्त कराना/To free Munda society from exploitation
Explanation
Simple Explanation
बिरसा मुंडा ने भूमि और सामाजिक अधिकारों के लिए आंदोलन किया। परीक्षा में उलगुलान को जनजातीय जागरण से जोड़ें। / Birsa Munda led a movement for land and social rights. Exam tip is to connect Ulgulan with tribal awakening.
A. युद्धकाल में भारतीय समर्थन के लिए संवैधानिक प्रस्ताव देना/Offering constitutional proposals for Indian support during war
Explanation
Simple Explanation
क्रिप्स मिशन द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान समझौते की कोशिश था। परीक्षा में इसे 1942 से जोड़ें। / The Cripps Mission was an attempt at compromise during World War II. Exam tip: connect it with 1942.
A. भारत के संवैधानिक भविष्य और सत्ता हस्तांतरण पर योजना बनाना/To plan India's constitutional future and transfer of power
Explanation
Simple Explanation
कैबिनेट मिशन 1946 में संवैधानिक समाधान के लिए आया। परीक्षा में इसे स्वतंत्रता से पहले की अंतिम योजनाओं में याद रखें। / The Cabinet Mission came in 1946 for a constitutional solution. Exam tip is to remember it among the final plans before independence.
A. पश्चिमी तट की रक्षा और समुद्री शक्ति बढ़ाना/Protecting the western coast and increasing maritime power
Explanation
Simple Explanation
शिवाजी ने समुद्री किलों और नौसेना से तटीय सुरक्षा मजबूत की। परीक्षा में मराठा शक्ति को समुद्र से भी जोड़ें। / Shivaji strengthened coastal security through sea forts and navy. Exam tip: connect Maratha power with the sea too.
A. मध्य एशिया में मुगल प्रभाव बढ़ाना/To expand Mughal influence in Central Asia
Explanation
Simple Explanation
शाहजहां ने मध्य एशियाई क्षेत्रों में मुगल प्रभाव बढ़ाने की कोशिश की। परीक्षा में उत्तर-पश्चिम नीति को सामरिक दृष्टि से पढ़ें। / Shah Jahan tried to expand Mughal influence in Central Asian regions. Exam tip: study the north-west policy strategically.
A. विद्रोह और अव्यवस्था को कठोरता से दबाना/To suppress rebellions and disorder strictly
Explanation
Simple Explanation
बलबन ने राज्य की शक्ति बढ़ाने के लिए कठोर दंड नीति अपनाई। परीक्षा में इसे आंतरिक सुरक्षा और केंद्रीय सत्ता से जोड़ें। / Balban used strict punishment to strengthen state power. Exam tip is to link it with internal security and central authority.
A. राजपूतों को प्रशासन और साम्राज्य से जोड़ना/To integrate Rajputs into administration and empire
Explanation
Simple Explanation
अकबर ने वैवाहिक संबंधों और मनसब देकर राजपूतों को साथ जोड़ा। परीक्षा में इसे मुगल साम्राज्य की स्थिरता से जोड़ें। / Akbar used alliances and mansabs to include Rajputs. Exam tip is to connect it with the stability of the Mughal Empire.
(20-2=18) तीन अंतरालों में बंटता है, इसलिए दूसरा पद (8) और तीसरा (14) होना चाहिए। इससे (x=5) और \(x=\frac{13}{3}\) मिलते हैं, इसलिए कोई एक मान संभव नहीं है। / (20-2=18) is split into three gaps, so the second term should be (8) and the third (14). This gives (x=5) and \(x=\frac{13}{3}\), so no single value is possible.
कुल अंतर (20-2=18) तीन बराबर भागों में बंटेगा, इसलिए (d=6)। अतः (x=8), (y=14) और (x+y=22)। / The total difference (20-2=18) is split into three equal gaps, so (d=6). Hence (x=8), (y=14), and (x+y=22).
(25-19=6), इसलिए (u=19-6=13)। खाली पद निकालते समय समान अंतर को पीछे की ओर भी लगाएं। / (25-19=6), so (u=19-6=13). While finding a missing term, apply the same difference backward too.
(25-4=21) तीन समान अंतरालों में बंटता है, इसलिए (d=7) और (x+1=11) से (x=10)। चार क्रमागत पदों में पहले और अंतिम पद से (d) निकालना तेज होता है। / (25-4=21) is split into three equal gaps, so (d=7), and (x+1=11) gives (x=10). In four consecutive terms, finding (d) from first and last terms is fast.
कुल अंतर (26-2=24) तीन समान भागों में बंटता है, इसलिए (d=8) और दूसरा पद (10) होना चाहिए; अतः (x=10), पर तीसरा (3x=30) होगा, इसलिए कोई समाधान नहीं। / The total difference (26-2=24) splits into three equal gaps, so (d=8) and the second term should be (10); hence (x=10), but the third (3x=30), so there is no solution.
(2) से (8) तक अंतर (6) है, इसलिए (s=2-6=-4)। पीछे की ओर चलते समय वही (d) घटाएं। / The difference from (2) to (8) is (6), so (s=2-6=-4). While moving backward, subtract the same (d).
कुल अंतर (29-5=24) तीन बराबर भागों में बंटता है, इसलिए (d=8), (x=13), (y=21)। दो खाली पदों में कुल अंतर को बराबर अंतरालों में बांटें। / The total difference (29-5=24) is split into three equal gaps, so (d=8), (x=13), and (y=21). For two missing terms, divide the total difference into equal gaps.
(8) से (14) तक अंतर (6) है, इसलिए (s=8-6=2)। पीछे की ओर चलते समय भी वही (d) घटाएं। / The difference from (8) to (14) is (6), so (s=8-6=2). While moving backward, subtract the same (d).
कुल अंतर (14-2=12) तीन बराबर भागों में बंटेगा, इसलिए (d=4) और (x+1=6) नहीं बल्कि दूसरा पद (6) होना चाहिए, अतः (x=5)। कुल अंतर को समान भागों में बांटना उपयोगी है। / The total difference (14-2=12) is split into three equal gaps, so (d=4), and the second term should be (6), hence (x=5). Splitting the total difference into equal parts is useful.
तीन समान अंतर हैं, इसलिए \(d=\frac{24-3}{3}=7\), अतः (x=10) और (y=17)। दो खाली पद हों तो कुल अंतर को बराबर भागों में बांटें। / There are three equal gaps, so \(d=\frac{24-3}{3}=7\), hence (x=10) and (y=17). For two missing terms, split the total difference into equal gaps.
(16) से (22) का अंतर (6) है, इसलिए (y=16-6=10)। खाली पद निकालने में समान अंतर को आगे और पीछे दोनों तरफ लगाएं। / The difference from (16) to (22) is (6), so (y=16-6=10). Use the same difference both forward and backward for missing terms.
(5) से (20) तक तीन समान अंतर हैं इसलिए \(d=\frac{20-5}{3}=5\), अतः (x=10) और (y=15)। दो पदों के बीच समान अंतर बांटकर खाली पद निकालें। / There are three equal gaps from (5) to (20), so \(d=\frac{20-5}{3}=5\), hence (x=10) and (y=15). Find missing terms by splitting the total difference into equal gaps.
मध्य पद \(b=\frac{13+31}{2}=22\) है। तीन क्रमागत पदों में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{13+31}{2}=22\). In three consecutive terms the middle term is the average.
सार्व अंतर (6) है इसलिए (r=16+6=22)। अगला पद पाने के लिए पिछले पद में (d) जोड़ें। / The common difference is (6), so (r=16+6=22). Add (d) to the previous term to get the next term.
सार्व अंतर (42-48=-6) है इसलिए (q=42-6=36)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रखें। / The common difference is (42-48=-6), so (q=42-6=36). Keep (d) negative in a decreasing progression.
सार्व अंतर (11-5=6) है इसलिए (n=11+6=17)। पहले दो पदों से (d) निकालना आसान होता है। / The common difference is (11-5=6), so (n=11+6=17). It is easy to find (d) from the first two terms.
मध्य पद \(m=\frac{8+20}{2}=14\) है। तीन क्रमागत पदों में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(m=\frac{8+20}{2}=14\). In three consecutive terms the middle term is the average.
(18,25,32) में सार्व अंतर (7) है इसलिए (p=18-7=11)। पहले पद के लिए (d) को पीछे की ओर घटाएं। / The common difference in (18,25,32) is (7), so (p=18-7=11). For the first term subtract (d) backward.
(23) से (30) तक अंतर (7) है इसलिए (k=23-7=16)। खाली पद निकालते समय समान अंतर को पीछे की ओर लगाएं। / The difference from (23) to (30) is (7), so (k=23-7=16). For a missing term use the same difference backward.
(18) से (24) तक अंतर (6) है इसलिए (u=18-6=12)। खाली पद निकालते समय समान अंतर को आगे और पीछे दोनों तरफ लगाएं। / The difference from (18) to (24) is (6), so (u=18-6=12). While finding a missing term use the same difference forward and backward.
मध्य पद \(b=\frac{9+21}{2}=15\) है। तीन क्रमागत पदों में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{9+21}{2}=15\). In three consecutive terms the middle term is the average.
सार्व अंतर (3) है इसलिए (r=8+3=11)। अगला पद पाने के लिए पिछले पद में (d) जोड़ें। / The common difference is (3), so (r=8+3=11). Add (d) to the previous term to get the next term.
सार्व अंतर (18-21=-3) है इसलिए (q=18-3=15)। घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / The common difference is (18-21=-3), so (q=18-3=15). Keep (d) negative in a decreasing progression.
सार्व अंतर (10-6=4) है इसलिए (n=10+4=14)। पहले दो पदों से (d) निकालना आसान होता है। / The common difference is (10-6=4), so (n=10+4=14). It is easy to find (d) from the first two terms.
बीच का पद (3) और (11) का औसत है इसलिए \(m=\frac{3+11}{2}=7\)। तीन क्रमागत पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is the average of (3) and (11), so \(m=\frac{3+11}{2}=7\). In three consecutive terms the middle term is the average.
(11,15,19) में सार्व अंतर (4) है इसलिए (p=11-4=7)। पहले पद के लिए पीछे की ओर (d) घटाएं। / The common difference in (11,15,19) is (4), so (p=11-4=7). For the first term move backward by subtracting (d).
यहां (14) से (19) तक अंतर (5) है इसलिए (k=14-5=9)। खाली पद में भी समान अंतर का नियम लगाएं। / The difference from (14) to (19) is (5), so (k=14-5=9). Use the equal difference rule for missing terms.
\(x^5\) का पद अनुपस्थित है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^5\) मानें। / The \(x^5\)-term is missing, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^5\).
\(x^3\) का पद अनुपस्थित है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^3\) मानें। / The \(x^3\)-term is missing, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^3\).
\(x^2\) का पद अनुपस्थित है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^2\) मानें। / The \(x^2\)-term is missing, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^2\).
\(x^3\) का पद उपस्थित नहीं है इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^3\) समझें। / There is no \(x^3\)-term, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^3\).
\(x^2\) वाला पद \(0x^2\) है इसलिए गुणांक (0) है। अनुपस्थित या शून्य पद का गुणांक (0) माना जाता है। / The \(x^2\)-term is \(0x^2\), so the coefficient is (0). A missing or zero term has coefficient (0).