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जाने वाले लोग आने वालों से अधिक हों तो शुद्ध प्रवास ऋणात्मक होता है। परीक्षा में emigration को reduction से जोड़ें। / When outgoing people exceed incoming people, net migration is negative. Exam tip: connect emigration with reduction.
जाने वाले लोग आने वालों से अधिक हों तो शुद्ध प्रवास ऋणात्मक होता है। परीक्षा में negative net migration को decrease से जोड़ें। / When outgoing people are more than incoming people, net migration is negative. Exam tip: connect negative net migration with decrease.
आने वाले लोग जाने वालों से अधिक हों तो शुद्ध प्रवास धनात्मक होता है। परीक्षा में positive net migration को addition से जोड़ें। / When incoming people are more than outgoing people, net migration is positive. Exam tip: connect positive net migration with addition.
आने और जाने वाले लोग बराबर हों तो शुद्ध प्रवास शून्य के पास होता है। परीक्षा में net migration को difference मानें। / When incoming and outgoing people are equal, net migration is near zero. Exam tip: treat net migration as a difference.
कुल परिवर्तन सभी जोड़ने और घटाने वाले घटकों से तय होता है। परीक्षा में only natural change से निष्कर्ष न निकालें। / Total change depends on all adding and reducing components. Exam tip: do not conclude only from natural change.
B. आने और जाने का संतुलन हो सकता है/Incoming and outgoing movement may be balanced
Explanation
Simple Explanation
शून्य कुल वृद्धि का मतलब गतिशीलता शून्य होना जरूरी नहीं है। परीक्षा में gross migration और net effect अलग समझें। / Zero total growth does not necessarily mean zero mobility. Exam tip: distinguish gross migration and net effect.
प्राकृतिक वृद्धि तीन लाख है और शुद्ध प्रवास ऋणात्मक तीन लाख है। परीक्षा में net migration पहले निकालें। / Natural increase is three lakh and net migration is minus three lakh. Exam tip: find net migration first.
A. जन्म और मृत्यु के अंतर पर/Difference between births and deaths
Explanation
Simple Explanation
जब शुद्ध प्रवास शून्य हो तो प्राकृतिक वृद्धि अधिक महत्वपूर्ण हो जाती है। परीक्षा में net migration का प्रभाव देखें। / When net migration is zero, natural increase becomes more important. Exam tip: check the effect of net migration.
A. प्रवास से शुद्ध बदलाव कम या शून्य होगा/Net change due to migration will be low or zero
Explanation
Simple Explanation
आने और जाने वाले लोग बराबर हों तो शुद्ध प्रवास प्रभाव कम रहता है। परीक्षा में net migration को difference से समझें। / When incoming and outgoing people are equal the net migration effect is low. Exam tip: understand net migration as a difference.
अधिक बाहर जाने से क्षेत्र की जनसंख्या कम हो सकती है। परीक्षा में out migration को decrease से जोड़ें। / More out-migration can reduce population of an area. Exam tip: connect out-migration with decrease.
अधिक लोग आने से क्षेत्र की जनसंख्या बढ़ सकती है। परीक्षा में net migration को growth से जोड़ें। / More incoming people can increase the area's population. Exam tip: connect net migration with growth.
((x+3)(x+5)=x-2+8x+15) और ((x+4)2=x-2+8x+16), इसलिए अंतर (-1) है। परीक्षा में पास-पास के आयत और वर्ग की तुलना विस्तार से करें। / ((x+3)(x+5)=x-2+8x+15) and ((x+4)2=x-2+8x+16), so the difference is (-1). In exams compare nearby rectangles and squares by expansion.
A. कुल वृद्धि फिर भी बनी रह सकती है/Total growth may still continue
Explanation
Simple Explanation
आव्रजन घटती जन्म दर के प्रभाव को कुछ हद तक संतुलित कर सकता है। परीक्षा में कुल वृद्धि में migration को जरूर शामिल करें। / Immigration can partly balance the effect of falling birth rate. Exam tip: always include migration in total growth.
A. जनसंख्या वृद्धि धीमी या ऋणात्मक हो सकती है/Population growth may be slow or negative
Explanation
Simple Explanation
कम जन्म और अधिक बाहर जाना आबादी घटा या धीमी कर सकते हैं। परीक्षा में reducing factors पहचानें। / Low births and high out-migration can reduce or slow population. Exam tip: identify reducing factors.
उच्च आव्रजन प्राकृतिक कमी की भरपाई कर सकता है। परीक्षा में natural change और total change अलग रखें। / High immigration can offset natural decrease. Exam tip: keep natural change and total change separate.
प्राकृतिक वृद्धि कम होने पर भी आव्रजन कुल वृद्धि ला सकता है। परीक्षा में total growth में migration शामिल करें। / Even with low natural increase, immigration can bring total growth. Exam tip: include migration in total growth.
अधिक लोग बाहर जाएं तो स्थानीय जनसंख्या कम हो सकती है। परीक्षा में out-migration को decrease से जोड़ें। / If more people go out, local population can decrease. Exam tip: connect out-migration with decrease.
अधिक आने वाले लोग जनसंख्या को बढ़ा सकते हैं। परीक्षा में in-migration को increase से जोड़ें। / More incoming people can increase population. Exam tip: connect in-migration with increase.
B. शुद्ध प्रवास और आयु संरचना को साथ देखकर निष्कर्ष निकालेंगे/We will conclude by examining net migration and age structure together
Explanation
Simple Explanation
घटती जन्म दर के बावजूद आव्रजन कुल वृद्धि और आयु संरचना बदल सकता है। परीक्षा में fertility, migration और age structure को साथ पढ़ें। / Despite falling birth rate, immigration can change total growth and age structure. Exam tip: study fertility, migration and age structure together.
A. जन्म दर अवश्य बहुत ऊंची है/Birth rate is definitely very high
Explanation
Simple Explanation
उच्च कुल वृद्धि हमेशा उच्च जन्म दर से नहीं होती। परीक्षा में cause attribution सावधानी से करें। / High total growth is not always due to high birth rate. Exam tip: do cause attribution carefully.
A. जनसंख्या कमी और श्रमबल घटाव/Population decline and labour force reduction
Explanation
Simple Explanation
कम जन्म और अधिक बाहर जाना आबादी और कार्यबल दोनों घटा सकते हैं। परीक्षा में long-term demographic impact देखें। / Low births and high out-migration can reduce both population and workforce. Exam tip: check long-term demographic impact.
B. ऋणात्मक तीन प्रति हजार/Minus three per thousand
Explanation
Simple Explanation
पांच में ऋणात्मक आठ जोड़ने पर ऋणात्मक तीन प्रति हजार मिलता है। परीक्षा में sign को ध्यान से पढ़ें। / Adding minus eight to five gives minus three per thousand. Exam tip: read the sign carefully.
प्राकृतिक वृद्धि सात प्रति हजार है और ऋणात्मक प्रवास चार घटाता है। परीक्षा में (16-9-4=3) करें। / Natural increase is seven per thousand and negative migration subtracts four. Exam tip: calculate (16-9-4=3).
B. मध्यम या धनात्मक हो सकती है/It can be moderate or positive
Explanation
Simple Explanation
कम प्राकृतिक वृद्धि के साथ आव्रजन कुल वृद्धि को बढ़ा सकता है। परीक्षा में all components को साथ जोड़ें। / Immigration can raise total growth along with low natural increase. Exam tip: combine all components.
A. कुल वृद्धि कम या ऋणात्मक हो सकती है/Total growth can be low or negative
Explanation
Simple Explanation
अधिक बाहर जाना प्राकृतिक वृद्धि को घटा या उलट सकता है। परीक्षा में total growth में net migration जरूर जोड़ें। / High out-migration can reduce or reverse natural increase. Exam tip: always include net migration in total growth.
कम जन्म दर के बावजूद आव्रजन शहर की कुल आबादी बढ़ा सकता है। परीक्षा में urban growth में migration clue पहचानें। / Immigration can raise a city's total population despite low birth rate. Exam tip: identify the migration clue in urban growth.
प्राकृतिक वृद्धि पांच प्रति हजार है और ऋणात्मक प्रवास तीन घटाता है। परीक्षा में (12-7-3=2) सावधानी से करें। / Natural increase is five per thousand and negative migration reduces it by three. Exam tip: calculate (12-7-3=2) carefully.
प्राकृतिक वृद्धि दो लाख है लेकिन शुद्ध प्रवास ऋणात्मक तीन लाख है। परीक्षा में ( कुल परिवर्तन\(=(\)जन्म-मृत्यु)+शुद्ध प्रवास ) लगाएं। / Natural increase is two lakh but net migration is minus three lakh. Exam tip: use ( Total Change\(=(\)Births-Deaths)+Net Migration ).
A. कुल वृद्धि कम हो सकती है/Total growth may decrease
Explanation
Simple Explanation
अधिक उत्प्रवास कुल वृद्धि को घटा सकता है, भले ही जन्म दर स्थिर रहे। परीक्षा में migration change को total growth से जोड़ें। / Higher emigration can reduce total growth even if birth rate remains stable. Exam tip: connect migration change with total growth.
B. क्योंकि शुद्ध प्रवास धनात्मक है/Because net migration is positive
Explanation
Simple Explanation
जन्म और मृत्यु बराबर होने पर भी आव्रजन जनसंख्या बढ़ा सकता है। परीक्षा में total growth में migration शामिल करें। / Even when births and deaths are equal, immigration can raise population. Exam tip: include migration in total growth.
प्राकृतिक वृद्धि शून्य होने पर उत्प्रवास कुल जनसंख्या घटा सकता है। परीक्षा में net migration को total change से जोड़ें। / When natural increase is zero, emigration can reduce total population. Exam tip: connect net migration with total change.
कम जन्म दर के बावजूद आव्रजन शहर की जनसंख्या बढ़ा सकता है। परीक्षा में urban migration factor पहचानें। / Immigration can increase a city's population despite low birth rate. Exam tip: identify the urban migration factor.
A. कुल जनसंख्या बढ़ सकती है/Total population may increase
Explanation
Simple Explanation
आव्रजन प्राकृतिक कमी की भरपाई कर सकता है। परीक्षा में natural change और total change अलग रखें। / Immigration can offset natural decrease. Exam tip: keep natural change and total change separate.
कम जन्म दर के बावजूद अधिक आव्रजन कुल जनसंख्या बढ़ा सकता है। परीक्षा में migration-led growth पहचानें। / High immigration can increase total population despite low birth rate. Exam tip: identify migration-led growth.
प्राकृतिक वृद्धि एक लाख है लेकिन शुद्ध प्रवास ऋणात्मक डेढ़ लाख है। कुल परिवर्तन आधा लाख की कमी होगा। / Natural increase is one lakh but net migration is minus one and a half lakh. Total change will be a decrease of half lakh.
A. कम या ऋणात्मक भी हो सकती है/It may be low or even negative
Explanation
Simple Explanation
बहुत अधिक बाहर जाना प्राकृतिक वृद्धि को कम कर सकता है। परीक्षा में total growth में net migration जरूर जोड़ें। / Very high out-migration can reduce natural increase. Exam tip: include net migration in total growth.
कम जन्म दर के बावजूद अधिक आव्रजन जनसंख्या बढ़ा सकता है। परीक्षा में migration-led growth पहचानें। / High immigration can increase population despite low birth rate. Exam tip: identify migration-led growth.
A. कुल जनसंख्या फिर भी बढ़ सकती है/Total population may still increase
Explanation
Simple Explanation
कुल वृद्धि में प्राकृतिक परिवर्तन और प्रवास दोनों जुड़ते हैं। परीक्षा में केवल जन्म मृत्यु देखकर निर्णय न लें। / Total growth includes both natural change and migration. Exam tip: do not decide only by births and deaths.
B. किसी क्षेत्र से लोगों का बाहर जाना/People going out of an area
Explanation
Simple Explanation
उत्प्रवास में लोग किसी क्षेत्र से बाहर जाते हैं। परीक्षा में emigration को going out से याद रखें। / Emigration means people go out of an area. Exam tip: remember emigration as going out.
A. किसी क्षेत्र में लोगों का आना/People coming into an area
Explanation
Simple Explanation
आव्रजन में लोग बाहर से किसी क्षेत्र में आते हैं। परीक्षा में immigration को coming in से याद रखें। / Immigration means people come into an area from outside. Exam tip: remember immigration as coming in.
\((a+b)(a-b)\) में मध्य के पद \(-ab\) और \(+ab\) कट जाते हैं, इसलिए परिणाम \(a^2-b^2\) होता है। \((a+b)^2\) में \(+2ab\) आता है। परीक्षा टिप: विपरीत चिह्न वाले समान द्विपदों को अंतर के वर्ग के रूप में पहचानें। / In \((a+b)(a-b)\), the middle terms \(-ab\) and \(+ab\) cancel, leaving \(a^2-b^2\). In \((a+b)^2\), a \(+2ab\) term appears. Exam tip: identify same binomials with opposite signs as a difference of squares.
\(2\times33-1=65\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और घटाव का क्रम न बदलें। / \(2\times33-1=65\). Exam tip: do not change the order of multiplication and subtraction in recurrence rules.
दिया गया नियम है: अगला पद = पिछले पद का दोगुना − 1। इसलिए 33 के बाद का पद \(2\times 33-1=66-1=65\) होगा। 63 प्राप्त करने के लिए गलती से 33 में से 3 घटाया जा सकता है, लेकिन नियम में केवल 1 घटाना है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में अंतिम दिए गए पद पर नियम को सीधे लागू करें। / The rule is: next term = twice the previous term − 1. Therefore, the term after 33 is \(2\times 33-1=66-1=65\). Getting 63 would mean subtracting 3 from 66, but the rule requires subtracting only 1. Exam tip: in a recursive sequence, apply the stated rule directly to the last given term.
संख्या रेखा पर 4 से 7 घटाने का अर्थ है 4 से बाईं ओर 7 कदम चलना। 4 से बाईं ओर 7 कदम जाने पर हम -3 पर पहुँचते हैं, इसलिए सही उत्तर -3 है। 3 तब मिलता यदि 7 में से 4 घटाया जाता। परीक्षा टिप: घटाव में दूसरी संख्या जितने कदम बाईं ओर बढ़ें। / On a number line, subtracting 7 from 4 means moving 7 steps to the left from 4. This lands at -3, so the correct answer is -3. The value 3 would be obtained from 7 minus 4, not from 4 minus 7. Exam tip: in subtraction, move left by the number being subtracted.
संख्या रेखा पर 5 से घटाव करने के लिए बाईं ओर बढ़ते हैं। 5 से 3 कदम बाईं ओर जाने पर क्रमशः 4, 3 और 2 मिलता है। इसलिए सही उत्तर 2 है। 8, 5 में 3 जोड़ने पर मिलता है, इसलिए वह घटाव के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर जोड़ के लिए दाईं ओर और घटाव के लिए बाईं ओर चलें। / On a number line, subtraction means moving to the left. Starting at 5 and moving 3 steps left gives 4, then 3, and finally 2. Therefore, the correct answer is 2. Option 8 would be obtained by adding 3 to 5, not subtracting it. Exam tip: move right for addition and left for subtraction on a number line.
यदि a - b धनात्मक है, तो a - b > 0। दोनों पक्षों में b जोड़ने पर a > b मिलता है। इसलिए a, b से बड़ा है। “दोनों बराबर” तभी होता जब a - b = 0 होता। परीक्षा टिप: किसी अंतर का धनात्मक होना बताता है कि पहला पद दूसरे पद से बड़ा है। / If a - b is positive, then a - b > 0. Adding b to both sides gives a > b. Therefore, a is greater than b. “Both are equal” would be true only if a - b = 0. Exam tip: A positive difference means that the first quantity is greater than the second quantity.
संख्या रेखा पर 0, −3 के दाईं ओर स्थित होता है। संख्या रेखा पर जो संख्या दाईं ओर होती है, वह बड़ी होती है; इसलिए 0 > −3। विकल्प C गलत है क्योंकि दोनों संख्याएँ बराबर नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी ऋणात्मक संख्या की तुलना 0 से करने पर 0 हमेशा बड़ा होता है। / On the number line, 0 lies to the right of −3. The number farther to the right is greater, so 0 > −3. Option C is incorrect because the two numbers are not equal. Exam tip: Zero is always greater than any negative number.
संख्या रेखा पर 0 के बाईं ओर ऋणात्मक संख्याएँ स्थित होती हैं। इसलिए −8, 0 से 8 इकाई बाईं ओर होगा। विकल्प A गलत है, क्योंकि धनात्मक संख्याएँ 0 के दाईं ओर होती हैं। परीक्षा-युक्ति: संख्या रेखा पर ऋण चिह्न देखते ही संख्या को 0 के बाईं ओर रखें। / On a number line, negative numbers are located to the left of 0. Therefore, −8 is 8 units to the left of 0. Option A is incorrect because positive numbers lie to the right of 0. Exam tip: place any number with a minus sign to the left of zero.
संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित संख्या बड़ी होती है। −3, −6 के दाईं ओर है, इसलिए −3 बड़ी संख्या है। ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है; इसलिए −6 सही उत्तर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय संख्या रेखा या शून्य से दूरी का उपयोग करें। / On a number line, the number farther to the right is greater. Since −3 lies to the right of −6, −3 is the greater number. Among negative numbers, the number closer to zero is greater, so −6 is not correct. Exam tip: Compare negative numbers by locating them on a number line or checking which is closer to zero.
संख्या रेखा पर जो संख्या दाईं ओर होती है, वह बड़ी होती है। −2, −5 के दाईं ओर स्थित है, इसलिए −2 बड़ी है। ऋणात्मक संख्याओं में शून्य के निकट संख्या बड़ी होती है; अतः −5 सही उत्तर नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय जिस संख्या का परिमाण कम हो, वह बड़ी होती है। / On a number line, the number farther to the right is greater. Since −2 lies to the right of −5, −2 is greater. Among negative numbers, the number closer to zero is greater, so −5 is not correct. Exam tip: When comparing negative numbers, the one with the smaller absolute value is greater.
संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित संख्या बड़ी होती है। 1, −1 के दाईं ओर है, इसलिए 1 बड़ा है। −1 ऋणात्मक संख्या है, जबकि 1 धनात्मक संख्या है; प्रत्येक धनात्मक संख्या प्रत्येक ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है। परीक्षा में संख्या रेखा पर दाईं ओर वाली संख्या को बड़ा चुनें। / On a number line, the number located farther to the right is greater. Since 1 lies to the right of −1, 1 is greater. Also, 1 is positive and −1 is negative, and every positive number is greater than every negative number. In an exam, choose the number placed farther to the right on the number line.
संख्या रेखा पर 0 के बाईं ओर ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं। इसलिए minus2, 0 से दो इकाई बाईं ओर स्थित होगा। दाईं ओर जाने पर धनात्मक संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या का चिह्न देखकर उसे 0 के बाईं ओर रखें। / On a number line, negative numbers are placed to the left of 0. Therefore, minus2 is located two units to the left of 0. Moving to the right of 0 gives positive numbers, so “To the right” is incorrect. Exam tip: place every negative number to the left of zero.
संख्या रेखा पर जो ऋणात्मक संख्या शून्य के अधिक पास होती है, वह बड़ी होती है। −3, −7 की तुलना में शून्य के पास है, इसलिए −3 > −7। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्याओं में जिसका परिमाण छोटा होता है, वह संख्या बड़ी होती है। / On the number line, the negative number closer to zero is greater. Since −3 is closer to zero than −7, we have −3 > −7. Exam tip: among negative numbers, the one with the smaller absolute value is greater.
A. विक्टोरियन गोथिक रेलवे स्थापत्य/Victorian Gothic railway architecture
Explanation
Simple Explanation
यह मुंबई का प्रसिद्ध विरासत रेलवे स्टेशन है। परीक्षा में विक्टोरियन गोथिक और मुंबई याद रखें। / It is a famous heritage railway station of Mumbai. For exams remember Victorian Gothic and Mumbai.
A. रेलवे स्थापत्य धरोहर/Railway architectural heritage
Explanation
Simple Explanation
यह मुंबई का प्रसिद्ध रेलवे स्टेशन और स्थापत्य धरोहर है। परीक्षा में विक्टोरियन गोथिक शैली याद रखें। / It is a famous railway station and architectural heritage of Mumbai. For exams remember Victorian Gothic style.
छत्रपति शिवाजी टर्मिनस, मुंबई को यूनेस्को विश्व धरोहर सूची में वर्ष 2004 में शामिल किया गया था। यह विक्टोरियन गोथिक शैली और भारतीय स्थापत्य तत्वों के मिश्रण वाला प्रमुख रेलवे टर्मिनस है। 2002 सही नहीं है, क्योंकि उस वर्ष इसका विश्व धरोहर सूची में अंकन नहीं हुआ था। परीक्षा टिप: विश्व धरोहर स्थलों के साथ उनके अंकन-वर्ष को जोड़कर याद करें। / Chhatrapati Shivaji Terminus in Mumbai was inscribed on the UNESCO World Heritage List in 2004. It is noted for its blend of Victorian Gothic Revival architecture and Indian architectural features. 2002 is incorrect because the site was not inscribed that year. Exam tip: Memorise major World Heritage Sites together with their inscription years.
A. रेलवे तकनीक और विक्टोरियन गोथिक शैली/Railway technology and Victorian Gothic style
Explanation
Simple Explanation
यह इमारत औपनिवेशिक रेलवे विकास और विक्टोरियन गोथिक शैली का उदाहरण है। परीक्षा में इसका पुराना नाम विक्टोरिया टर्मिनस याद रखें। / This building is an example of colonial railway development and Victorian Gothic style. In exams remember its old name Victoria Terminus.
A. रेलवे आधारित शहरी विस्तार/Railway-based urban expansion
Explanation
Simple Explanation
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस औपनिवेशिक मुंबई में रेलवे आधारित शहरी विकास से जुड़ा है। परीक्षा में इसे विक्टोरियन गोथिक धरोहर मानें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus is linked with railway-based urban growth in colonial Mumbai. In exams treat it as Victorian Gothic heritage.
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस मुंबई में स्थित है। परीक्षा में इसे औपनिवेशिक रेलवे धरोहर से जोड़ें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus is located in Mumbai. In exams connect it with colonial railway heritage.
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस का पुराना नाम विक्टोरिया टर्मिनस था। परीक्षा में इसे मुंबई और विक्टोरियन गोथिक शैली से जोड़ें। / The old name of Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus was Victoria Terminus. In exams connect it with Mumbai and Victorian Gothic style.
A. विक्टोरियन गोथिक और भारतीय प्रभाव/Victorian Gothic with Indian influences
Explanation
Simple Explanation
सीएसएमटी विक्टोरियन गोथिक शैली में भारतीय प्रभावों के साथ बना है। इसे मुंबई की औपनिवेशिक विरासत से याद रखें। / CSMT is built in Victorian Gothic style with Indian influences. Remember it with Mumbai's colonial heritage.
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस विक्टोरियन गोथिक शैली का प्रसिद्ध उदाहरण है। परीक्षा में औपनिवेशिक भवनों की शैली पहचानें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus is a famous example of Victorian Gothic style. For exams identify styles of colonial buildings.
A. इंडो सारासेनिक और विक्टोरियन गोथिक मिश्रण/Indo-Saracenic and Victorian Gothic blend
Explanation
Simple Explanation
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस में गोथिक और भारतीय तत्व मिलते हैं। परीक्षा में इसे मुंबई की औपनिवेशिक विरासत से जोड़ें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus combines Gothic and Indian elements. In exams connect it with colonial heritage of Mumbai.
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस विक्टोरियन गोथिक स्थापत्य का प्रसिद्ध उदाहरण है। इसे मुंबई की औपनिवेशिक विरासत से जोड़ें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus is a famous example of Victorian Gothic architecture. Link it with the colonial heritage of Mumbai.
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस विक्टोरियन गोथिक शैली के प्रभाव के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में औपनिवेशिक भवनों की शैली पहचानें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus is famous for the influence of the Victorian Gothic style. For exams identify styles of colonial buildings.
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस विक्टोरियन गोथिक शैली से जुड़ा है। परीक्षा में इसे मुंबई की औपनिवेशिक धरोहर मानें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus is associated with Victorian Gothic style. In exams treat it as colonial heritage of Mumbai.
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस मुंबई का ऐतिहासिक रेलवे स्टेशन है। इसे औपनिवेशिक स्थापत्य से जोड़ें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus is a historic railway station in Mumbai. Link it with colonial architecture.
छत्रपति शिवाजी महाराज टर्मिनस मुंबई का प्रसिद्ध ऐतिहासिक भवन है। परीक्षा में औपनिवेशिक स्थापत्य के उदाहरण याद रखें। / Chhatrapati Shivaji Maharaj Terminus is a famous historical building of Mumbai. For exams remember examples of colonial architecture.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(2)(10)=81-80=1\) है। मूलों के अंतर का परिमाण \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) होता है, इसलिए अंतर \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\) है। सीधे गुणनखंड करने पर \((2x-5)(x-2)=0\), अतः मूल \(\frac{5}{2}\) और \(2\) मिलते हैं; उनका अंतर भी \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के अंतर के लिए \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) का सूत्र जल्दी और सुरक्षित रहता है। / Here, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(2)(10)=81-80=1\). The difference between the roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\), so it equals \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\). Alternatively, \(2x^2-9x+10=(2x-5)(x-2)\), giving roots \(\frac{5}{2}\) and \(2\), whose difference is \(\frac{1}{2}\). Exam tip: use \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) when only the difference between roots is required.
हटाए गए भाग में ( 1 ) शामिल नहीं है लेकिन ( 6 ) शामिल है। इसलिए ( 1 ) तक का बायां भाग बचता है। / The removed part does not include ( 1 ) but includes ( 6 ). Therefore the left part up to ( 1 ) remains.
A. 2 पर खुला सिरा, 8 पर बंद सिरा और 5 पर खुला छेद/An open endpoint at 2, a closed endpoint at 8, and an open hole at 5
Explanation
Simple Explanation
अंतराल \((2,8]\) में 2 शामिल नहीं है, इसलिए 2 पर खुला सिरा होगा; 8 शामिल है, इसलिए 8 पर बंद सिरा होगा। \(\setminus\{5\}\) का अर्थ है कि 5 को अंतराल से हटा दिया गया है, इसलिए 5 पर खुला छेद दिखाया जाएगा। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक \(()\) खुले सिरे और वर्ग कोष्ठक \([]\) बंद सिरे को दर्शाते हैं। / In the interval \((2,8]\), 2 is excluded, so it has an open endpoint, while 8 is included, so it has a closed endpoint. The notation \(\setminus\{5\}\) removes 5 from the interval, so an open hole must be marked at 5. Therefore, option A is correct. Exam tip: round brackets indicate open endpoints, whereas square brackets indicate closed endpoints.
हटाए गए भाग में ( -1 ) शामिल है पर ( 4 ) शामिल नहीं है। इसलिए ( -1 ) हटेगा और ( 4 ) बच जाएगा। / The removed part includes ( -1 ) but excludes ( 4 ). Therefore ( -1 ) is removed and ( 4 ) remains.
पूरक में ( -3 ) शामिल हो जाता है और ( 6 ) हट जाता है। पूरक लेते समय खुले और बंद सिरे बदल जाते हैं। / In the complement, ( -3 ) becomes included and ( 6 ) is excluded. Open and closed endpoints switch in a complement.
हटाए गए भाग में ( -2 ) शामिल नहीं है पर ( 3 ) शामिल है। इसलिए ( -2 ) बचता है और ( 3 ) हट जाता है। / The removed part excludes ( -2 ) but includes ( 3 ). Therefore ( -2 ) remains and ( 3 ) is removed.
दिए गए अंतराल में ( 2 ) शामिल है और ( 11 ) शामिल नहीं है। पूरक में ( 2 ) हटेगा और ( 11 ) शामिल होगा। / The given interval includes ( 2 ) and excludes ( 11 ). In the complement, ( 2 ) is removed and ( 11 ) is included.
पूरक में ( -1 ) शामिल हो जाता है और ( 7 ) हट जाता है। पूरक लेते समय खुले और बंद सिरे बदल जाते हैं। / In the complement, ( -1 ) becomes included and ( 7 ) is excluded. Open and closed endpoints switch when taking complements.
पूरक लेने पर ( -2 ) हट जाता है और ( 6 ) शामिल हो जाता है। पूरक में खुले और बंद सिरों की प्रकृति बदलती है। / Taking the complement removes ( -2 ) and includes ( 6 ). In complements, open and closed endpoint behavior changes.
A. ( 2 ) और ( 5 ) पर बंद सिरे; ( 3 ) पर खुला छेद; 2 से 5 तक शेष भाग छायांकित/Closed endpoints at ( 2 ) and ( 5 ); an open hole at ( 3 ); the remaining part from 2 to 5 is shaded
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय [2,5] में 2 और 5 शामिल हैं, इसलिए संख्या रेखा पर दोनों सिरों पर बंद बिंदु होंगे। इसमें से 3 को हटाया गया है, इसलिए 3 पर खुला छेद बनेगा। अतः इसे [2,3) और (3,5] के रूप में भी लिखा जा सकता है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग कोष्ठक शामिल बिंदु और गोल कोष्ठक या खुला छेद हटाए गए अथवा बाहर रखे गए बिंदु को दर्शाते हैं। / The interval [2,5] includes both 2 and 5, so the number line has closed endpoints at these values. Since 3 is removed from the interval, it must be marked with an open hole. Equivalently, the set is [2,3) ∪ (3,5]. Exam tip: a square bracket indicates inclusion, while a parenthesis or open hole indicates exclusion.
हटाया गया भाग (-2) को हटाता है पर (4) को नहीं हटाता। परीक्षा में set difference में कौन-सा endpoint बचता है, यह अलग से जाँचें। / The removed part removes (-2) but does not remove (4). In exams, check separately which endpoint remains in set difference.
हटाया गया भाग (-2) को हटाता है पर (1) को नहीं हटाता। परीक्षा में set difference में बचने वाले endpoints अलग से जाँचें। / The removed part removes (-2) but does not remove (1). In exams, check the remaining endpoints separately in set difference.
हटाया गया भाग (2) को नहीं हटाता पर (7) को हटाता है। परीक्षा में set difference में हटने वाले endpoints पर ध्यान दें। / The removed part does not remove (2), but it removes (7). In exams, pay attention to the endpoints removed in set difference.
हटाया गया भाग (-1) को नहीं हटाता पर (3) को हटाता है। परीक्षा में set difference में हटाए गए अंतराल के खुले और बंद सिरों को ध्यान से देखें। / The removed part does not remove (-1), but it removes (3). In exams, check the open and closed endpoints of the removed interval carefully.
हटाया गया भाग (-4) को नहीं हटाता पर (0) को हटाता है। परीक्षा में हटाए गए interval के खुले और बंद सिरे उलटकर सोचें। / The removed part does not remove (-4), but it removes (0). In exams, think carefully about the open and closed endpoints of the removed interval.
हटाया गया भाग (1) को नहीं हटाता पर (6) को हटाता है। परीक्षा में set difference में हटने वाले सिरे ध्यान से देखें। / The removed part does not remove (1), but it removes (6). In exams, check the endpoints of the removed interval carefully.
([-2,0)) हटाने पर (-2) भी हटता है और (0) बचता है। परीक्षा में set difference में हटाए गए endpoint की inclusion जाँचें। / Removing ([-2,0)) also removes (-2) but keeps (0). In exams, check endpoint inclusion carefully in set difference.
([-1,2)) हटाने पर (-1) भी हटता है पर (2) बचता है। परीक्षा में set difference में हटाए गए interval के endpoints को ध्यान से जाँचें। / Removing ([-1,2)) removes (-1) but keeps (2). In exams, check endpoints carefully in set difference.
A. (-2) से (6) तक छायांकन और (3) पर खाली वृत्त/Shading from (-2) to (6) with an open circle at (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\setminus{3}\) का अर्थ है (3) को हटाना। इसलिए बंद अंतराल में (3) पर खाली वृत्त दिखेगा। / The notation \(\setminus{3}\) means remove (3). So an open circle appears at (3) inside the closed interval.
परिभाषा के लिए हर शून्य नहीं होना चाहिए। हर \(x^2-k=0\) तब शून्य होता है, अर्थात् \(x^2=k\)। दिए गए प्रांत से \(x=-5\) और \(x=5\) परिभाषित नहीं हैं, इसलिए \(k=5^2=25\)। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि उससे हटाए जाने वाले मान \(x=\pm\sqrt{5}\) होते। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन में हर को शून्य करने वाले सभी \(x\)-मान प्रांत से हटाए जाते हैं। / The denominator must be nonzero for the function to be defined. Setting the denominator equal to zero gives \(x^2-k=0\), or \(x^2=k\). Since the excluded values are \(x=-5\) and \(x=5\), we get \(k=5^2=25\). Option 5 is incorrect because it would exclude \(x=\pm\sqrt{5}\). Exam tip: For a rational function, exclude every value of \(x\) that makes the denominator zero.
परिमेय फलन का हर शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। यहाँ \(x^2-a=0\), अर्थात् \(x^2=a\)। प्रांत से हटाए गए मान \(x=-3\) और \(x=3\) हैं, इसलिए \(a=(-3)^2=3^2=9\)। अतः सही उत्तर \(9\) है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी \(x\)-मान प्रांत से बाहर होते हैं। / A rational function is undefined wherever its denominator is zero. Here, \(x^2-a=0\), so \(x^2=a\). The excluded values are \(x=-3\) and \(x=3\); hence \(a=(-3)^2=3^2=9\). Therefore, the correct answer is \(9\). Exam tip: Set the denominator equal to zero to identify the values excluded from the domain.
परिभाषित होने के लिए हर \(x-a\) शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए \(x=a\) वह एकमात्र मान है जो प्रांत से हटाया जाता है। यहाँ हटाया गया मान \(5\) है, अतः \(a=5\)। \(-5\) लेने पर हटाया गया मान \(-5\) होता, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x-a}\) जैसे फलन में हर को शून्य रखकर अपवर्जित मान ज्ञात करें। / The denominator \(x-a\) must not be zero. Thus, the only excluded value from the domain is obtained from \(x-a=0\), which gives \(x=a\). Since the excluded value is \(5\), we have \(a=5\). Choosing \(-5\) would exclude \(-5\), not \(5\). Exam tip: For a reciprocal expression, set its denominator equal to zero to identify the value excluded from the domain.
\(\frac{2}{x-1}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (5) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal की vertical shift वाली range पहचानें। / \(\frac{2}{x-1}\) is never (0), so output (5) cannot occur. In exams identify the range of a vertically shifted reciprocal.
\(\frac{x}{x^2-9}\) में हर ((x-3)(x+3)) है, इसलिए \(x=\pm3\) हटते हैं। परीक्षा में rational function में denominator zero values हटाएं। / In \(\frac{x}{x^2-9}\), the denominator is ((x-3)(x+3)), so \(x=\pm3\) are removed. In exams remove denominator zero values in rational functions.
\(\frac{2}{x}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-3) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal function की vertical shift पहचानें। / \(\frac{2}{x}\) is never (0), so output (-3) cannot occur. In exams identify the vertical shift of a reciprocal function.
