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दोनों योग बराबर रखने पर (4n+16=2n+42) मिलता है इसलिए (n=13)। परीक्षा में समान (n) होने पर \(\frac{n}{2}\) को काट सकते हैं। / Equating both sums gives (4n+16=2n+42), so (n=13). Exam tip: when (n) is common, cancel \(\frac{n}{2}\).
पहले समान अपरिमेय पदों को देखें। / First look for like irrational terms.
Step 2
Why this answer is correct
(\(2+\sqrt{3}\)+\(5-\sqrt{3}\)=7), क्योंकि \(\sqrt{3}\) और \(-\sqrt{3}\) कट जाते हैं। / (\(2+\sqrt{3}\)+\(5-\sqrt{3}\)=7) because \(\sqrt{3}\) and \(-\sqrt{3}\) cancel.
Step 3
Exam Tip
विपरीत अपरिमेय पदों से परिमेय उत्तर बन सकता है। / Opposite irrational terms can produce a rational result.
इन योगों से (a=5) और (d=4) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=1539\)। परीक्षा में \(S_n\) को (a) और (d) में लिखकर हल करें। / These sums give (a=5) and (d=4), so \(S_{27}=1539\). Exam tip: write \(S_n\) in terms of (a) and (d).
इनसे (a=8) और (d=3) मिलते हैं इसलिए \(S_{36}=2178\)। परीक्षा में \(S_n\) को (n) के द्विघात रूप में भी लिख सकते हैं। / These give (a=8) and (d=3), so \(S_{36}=2178\). Exam tip: you may write \(S_n\) as a quadratic in (n).
इनसे (a=3) और (d=7) मिलते हैं इसलिए \(S_{30}=3135\)। परीक्षा में दो योगों से पहले (a) और (d) निकालें। / These give (a=3) and (d=7), so \(S_{30}=3135\). Exam tip: first find (a) and (d) from the two sums.
दो योगों से (a=3) और (d=5) मिलते हैं इसलिए \(S_{18}=819\)। परीक्षा में \(S_n\) को (a) और (d) के रूप में लिखकर हल करें। / The two sums give (a=3) and (d=5), so \(S_{18}=819\). Exam tip: write \(S_n\) in terms of (a) and (d) and solve.
दिए गए योगों से (a=6) और (d=7) मिलते हैं, इसलिए \(S_{54}=10341\) है। दो आंशिक योगों से पहले AP निर्धारित करें। / The given sums give (a=6) and (d=7), so \(S_{54}=10341\). From two partial sums, determine the AP first.
दिए गए योगों से AP मिलती है और \(S_{30}-S_{20}=910\) होता है। आगे के खंड का योग निकालने से पहले (a,d) तय करें। / The given sums determine the AP, and \(S_{30}-S_{20}=910\). Before finding a later block sum, determine (a,d).
दिए गए योगों से (a=12) और (d=6) मिलते हैं, इसलिए \(S_{36}=4212\) है। दो आंशिक योगों से पहले AP निर्धारित करें। / The given sums give (a=12) and (d=6), so \(S_{36}=4212\). From two partial sums, determine the AP first.
दिए गए योगों से (a=3) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{36}=3258\) है। छोटे योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=3) and (d=5), so \(S_{36}=3258\). First determine the AP from the smaller sums.
दिए गए योगों से (a=8) और (d=4) मिलते हैं, इसलिए \(S_{40}=3440\) है। दो योगों से पहले श्रेढ़ी के मान निकालें। / The given sums give (a=8) and (d=4), so \(S_{40}=3440\). From two sums, first find the AP values.
दिए गए योगों से (a=5) और (d=4) मिलते हैं, इसलिए \(S_{45}=4185\) है। दो आंशिक योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=5) and (d=4), so \(S_{45}=4185\). First determine the AP from the two partial sums.
दो आंशिक योगों से \(a=\frac{17}{2}\) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{48}=6048\) है। पहले श्रेढ़ी निर्धारित करें। / The two partial sums give \(a=\frac{17}{2}\) and (d=5), so \(S_{48}=6048\). Determine the AP first.
दिए गए योगों से (a=1) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{24}=1404\) है। छोटे योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=1) and (d=5), so \(S_{24}=1404\). First determine the AP from the smaller sums.
दिए गए योगों से (a=4) और (d=3) मिलते हैं, इसलिए \(S_{35}=1925\) है। दो योगों से पहले श्रेढ़ी के मान निकालें। / The given sums give (a=4) and (d=3), so \(S_{35}=1925\). From two sums, first find the AP values.
दिए गए योगों से (a=4) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{30}=2295\) है। दो आंशिक योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=4) and (d=5), so \(S_{30}=2295\). First determine the AP from the two partial sums.
दो आंशिक योगों से (a=9) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए \(S_{36}=3474\) है। पहले श्रेढ़ी निर्धारित करें। / The two partial sums give (a=9) and (d=5), so \(S_{36}=3474\). Determine the AP first.
दिए गए योगों से (a=5), (d=5) मिलता है और \(S_{20}=1050\)। छोटे योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें। / The given sums give (a=5), (d=5), and \(S_{20}=1050\). First determine the AP from the smaller sums.
दिए गए योगों से (a=7) और (d=4) मिलते हैं, इसलिए \(S_{25}=1375\)। दो योगों से पहले श्रेढ़ी के मान निकालें। / The given sums give (a=7) and (d=4), so \(S_{25}=1375\). From two sums, first find the AP values.
दिए गए योगों से (a=5), (d=5) मिलता है और \(S_{24}-S_{16}=820\)। दो partial sums से पहले श्रेढ़ी निर्धारित करें। / The given sums give (a=5), (d=5), and \(S_{24}-S_{16}=820\). First determine the AP from the two partial sums.
दोनों योगों से (a=7) और (d=4) मिलते हैं, इसलिए \(S_{30}=1950\)। दो partial sums दिए हों तो पहले (a,d) निकालें। / The two sums give (a=7) and (d=4), so \(S_{30}=1950\). When two partial sums are given, find (a,d) first.
डेटा मात्रा \(5,8,11,\ldots\) है और \(a_{16}=50\)। परीक्षा में दिन संख्या को पद संख्या मानें। / The data amounts are \(5,8,11,\ldots\) and \(a_{16}=50\). Exam tip: take the day number as the term number.
डेटा मात्रा \(3,5,7,\ldots\) है और \(a_{15}=31\)। परीक्षा में दिन संख्या को पद संख्या मानें। / The data amounts are \(3,5,7,\ldots\) and \(a_{15}=31\). Exam tip: take the day number as the term number.
दिए गए चार पद (21,24,27,30) हैं। (33) अगला पद हो सकता है पर दिए गए चार पदों में नहीं है। / The four given terms are (21,24,27,30). (33) can be the next term but is not among the four given terms.
लिखे हुए पद (18,21,24,27) हैं। (30) अगला पद हो सकता है पर दिए गए पदों में नहीं है। / The written terms are (18,21,24,27). (30) can be the next term but is not among the given terms.
केवल (p(4)=0) है इसलिए (x=4) पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलेगा। टिप: ऋणात्मक मान शून्यक नहीं होते। / Only (p(4)=0), so the graph meets the (x)-axis at (x=4). Tip: negative values are not zeroes.
तीनों अनुपात समान हैं, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाएँ अनंत हल देती हैं। / All three ratios are equal, so the lines are coincident. Coincident lines give infinitely many solutions.
बराबर आकार के दो खंडों के योगों का अंतर (225d) है इसलिए (d=4)। परीक्षा में समान लंबाई वाले खंडों की तुलना तेज तरीका है। / The difference between the sums of two equal blocks is (225d), so (d=4). Exam tip: comparing equal-length blocks is a fast method.
दोनों योगों के समीकरण हल करने पर (a=-2) और (d=4) मिलता है। परीक्षा में दो योगों से (a) और (d) साथ-साथ निकालें। / Solving the two sum equations gives (a=-2) and (d=4). Exam tip: find (a) and (d) together from two sums.
दो बराबर खंडों के योगों का अंतर (144d) है इसलिए \(d=\frac{768}{144}=5\frac{1}{3}\) नहीं बनता अतः सही संतुलित गणना से \(d=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा में खंड सूत्र दोबारा जांचें। / The difference of the two equal block sums is (144d), so \(d=\frac{768}{144}=\frac{16}{3}\). Exam tip: recheck block-sum formulas carefully.
मानें \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\) और दो योगों से (a=7), (d=6) मिलते हैं इसलिए \(S_{27}=2295\)। परीक्षा में \(S_n\) को (n) के द्विघात रूप में लिखना उपयोगी है। / Let \(S_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2a-d}{2}n\). The two sums give (a=7), (d=6), so \(S_{27}=2295\); exam tip: write \(S_n\) as a quadratic in (n).
\(a_{14}=S_{14}-S_{13}=68\) है। परीक्षा में लगातार दो योगों का अंतर संबंधित पद देता है। / \(a_{14}=S_{14}-S_{13}=68\). Exam tip: the difference of two consecutive sums gives the corresponding term.
आवश्यक योग \(S_{28}-S_{14}=1806\) है। लगातार पदों का योग आंशिक योगों के अंतर से तुरंत मिलता है। / The required sum is \(S_{28}-S_{14}=1806\). The sum of consecutive terms is quickly found by subtracting partial sums.
आवश्यक योग \(S_{24}-S_{12}=1104\) है। लगातार पदों का योग आंशिक योगों के अंतर से तुरंत मिलता है। / The required sum is \(S_{24}-S_{12}=1104\). The sum of consecutive terms is quickly found by subtracting partial sums.
आवश्यक योग \(S_{16}-S_8=600\) है। लगातार पदों का योग आंशिक योगों के अंतर से तुरंत मिलता है। / The required sum is \(S_{16}-S_8=600\). The sum of consecutive terms is quickly found by subtracting partial sums.
\(S_{15}=6S_5\) में (a=2) रखने पर \(d=\frac{2}{3}\) मिलता है। अनुपात वाले प्रश्नों में सूत्र दोनों तरफ लगाएँ। / Putting (a=2) in \(S_{15}=6S_5\) gives \(d=\frac{2}{3}\). In ratio questions, apply the sum formula on both sides.
आवश्यक योग \(S_{15}-S_{10}=225\) है। लगातार खंड का योग partial sums के अंतर से मिलता है। / The required sum is \(S_{15}-S_{10}=225\). The sum of a consecutive block is found by subtracting partial sums.
\(a_{25}=S_{25}-S_{24}=97\)। कुल योगों का अंतर अंतिम नया पद देता है। / \(a_{25}=S_{25}-S_{24}=97\). The difference of total sums gives the newly added last term.
यदि कुर्सी (c) और मेज (t) हो तो (3c+2t=4900), (2c+3t=5600)। विलोपन से (t=1400) मिलता है। / Let chair be (c) and table be (t), so (3c+2t=4900), (2c+3t=5600). Elimination gives (t=1400).
यदि पेंसिल (p) और रबर (e) हो तो (3p+2e=31), (2p+5e=47)। विलोपन से (p=7) मिलता है। / Let pencil be (p) and eraser be (e), so (3p+2e=31), (2p+5e=47). Elimination gives (p=7).
यदि पेन (p) और कॉपी (n) हो तो (3p+2n=86), (2p+3n=89)। विलोपन से (p=16) और (n=19) मिलता है। / Let pen be (p) and notebook be (n), so (3p+2n=86), (2p+3n=89). Elimination gives (p=16) and (n=19).
A. बिंदु (\left\(3,5\right\))/Point (\left\(3,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण से दूसरे को घटाने पर (y=5), फिर (x+5=8) से (x=3)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Subtracting the second equation from the first gives (y=5), then (x+5=8) gives (x=3). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=8)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Subtracting the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=8). In real life, the meeting point is the intersection point.
दोनों समीकरण घटाने पर (x=5), फिर (5+y=9) से (y=4)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=5), then (5+y=9) gives (y=4). In real life, the meeting point is the intersection.
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) लें। (x+y=13) और (9(x-y)=45) से (x=9), (y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=13) and (9(x-y)=45), (x=9), (y=4).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) लें। (x+y=11) और (10x+y-(10y+x)=27) से (x=7,y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=11) and (10x+y-(10y+x)=27), (x=7,y=4).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), इसलिए (x=6) और (y=4)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Adding both equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
चेरापूंजी और मासिनराम मेघालय की खासी पहाड़ियों से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें अत्यधिक वर्षा वाले क्षेत्र से जोड़ें। / Cherrapunji and Mawsynram are associated with the Khasi Hills of Meghalaya. For exams, connect them with very high rainfall areas.
चेरापूंजी और मासिनराम मेघालय की खासी पहाड़ियों से जुड़े हैं। परीक्षा में इन्हें अत्यधिक वर्षा वाले क्षेत्र से जोड़ें। / Cherrapunji and Mawsynram are associated with the Khasi Hills of Meghalaya. For exams, connect them with very high rainfall areas.
ऊटी और डोडाबेट्टा तमिलनाडु की नीलगिरि पहाड़ियों से जुड़े हैं। परीक्षा में नीलगिरि को दक्षिण भारत के घाट क्षेत्र से जोड़ें। / Ooty and Doddabetta are associated with the Nilgiri Hills of Tamil Nadu. For exams, connect Nilgiri with the Ghats region of South India.
A. मुख्य भाग के चारों ओर मजबूत रेखा बनाकर/By making a strong line around the main part
Explanation
Simple Explanation
मजबूत रेखा दर्शक का ध्यान मुख्य भाग पर ले जाती है। परीक्षा में प्रमुखता को रेखा की शक्ति से जोड़ें। / A strong line draws attention to the main area. In exams connect emphasis with the force of line.
A. सतहों की दिशा और प्रकाश दिखाने के लिए/To show direction of faces and light
Explanation
Simple Explanation
अलग मान घन की सतहों को अलग दिखाते हैं। परीक्षा में cube shading में प्रकाश दिशा याद रखें। / Different values separate the faces of a cube. Exam tip: remember light direction in cube shading.
A. क्योंकि महिलाओं ने संगठन जन जागरण बहिष्कार और प्रतिरोध में सक्रिय भूमिका निभाई/Because women played active roles in organization public awakening boycott and resistance
Explanation
Simple Explanation
महिलाओं की भागीदारी आंदोलन की सामाजिक व्यापकता दिखाती है। परीक्षा में जन आंदोलन की विविधता लिखें। / Women's participation shows the social breadth of movements. For exams write diversity of mass movements.
A. मुख्य शक्तियों को शांति और सुरक्षा निर्णयों में केंद्रीय भूमिका देने के लिए/To give major powers a central role in peace and security decisions
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा परिषद अंतरराष्ट्रीय शांति के महत्वपूर्ण निर्णयों से जुड़ी है। परीक्षा में वीटो और स्थायी सदस्यों को याद रखें। / The Security Council is linked with important decisions on international peace. For exams remember veto and permanent members.
D. वे अमेरिका के पहले राष्ट्रपति और स्वतंत्रता युद्ध के नेता थे/He was the first president of the USA and a leader of the independence war
Explanation
Simple Explanation
वाशिंगटन अमेरिकी स्वतंत्रता युद्ध और नए राष्ट्र के प्रारंभिक नेतृत्व से जुड़े थे। परीक्षा में उन्हें राष्ट्र निर्माण से जोड़ें। / Washington was linked with the American War of Independence and early national leadership. Exam tip: connect him with nation building.
A. मानवाधिकार मानक और उपनिवेशवाद समाप्ति को मंच देना/Setting human rights standards and giving a platform to decolonization
Explanation
Simple Explanation
संयुक्त राष्ट्र ने मानवाधिकार और स्वतंत्रता के मुद्दों पर बड़ा मंच दिया। परीक्षा में सफलता और सीमाएं दोनों संतुलित लिखें। / The UN gave a major platform to human rights and independence issues. For exams write both successes and limits in balance.
A. छोटे और बड़े देशों की औपचारिक समानता/Formal equality of small and large countries
Explanation
Simple Explanation
महासभा में हर सदस्य देश को एक मत मिलता है जिससे औपचारिक समानता दिखती है। परीक्षा में इसे संप्रभु समानता से जोड़ें। / Every member state has one vote in the General Assembly showing formal equality. Exam tip: connect it with sovereign equality.
A. क्योंकि वे युद्ध के बाद की प्रमुख शक्तियां थीं/Because they were major powers after the war
Explanation
Simple Explanation
स्थायी सदस्य युद्धोत्तर शक्ति संतुलन को दर्शाते थे। परीक्षा में पी पांच को द्वितीय विश्व युद्ध के बाद की शक्ति व्यवस्था से जोड़ें। / Permanent members reflected the post war balance of power. For exams connect P5 with the power order after World War II.
A. सभी सदस्य देशों का मुख्य विचार मंच/Main deliberative forum of all member states
Explanation
Simple Explanation
महासभा में सभी सदस्य देश चर्चा कर सकते हैं। परीक्षा में इसे संयुक्त राष्ट्र का व्यापक लोकतांत्रिक मंच समझें। / All member states can discuss issues in the General Assembly. For exams understand it as the broad deliberative forum of the UN.
A. मुख्य विजेता शक्तियों और वैश्विक सुरक्षा भूमिका को ध्यान में रखकर/Considering major victorious powers and global security role
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा परिषद में शक्ति संतुलन और महान शक्तियों की भूमिका को महत्व दिया गया। परीक्षा में वीटो शक्ति को इसी संस्था से जोड़ें। / The Security Council gave importance to power balance and the role of great powers. For exams connect veto power with this body.
संगीत नाटक अकादमी पुरस्कार पहली बार 1954 में दिए गए। परीक्षा में प्रदर्शन कला पुरस्कारों की तिथियां याद रखें। / The Sangeet Natak Akademi Awards were first given in 1954. For exams remember dates of performing arts awards.
साहित्य अकादमी पुरस्कार पहली बार 1955 में दिए गए थे। परीक्षा में साहित्यिक पुरस्कारों की तिथियां अलग याद रखें। / The Sahitya Akademi Awards were first given in 1955. For exams remember dates of literary awards separately.
पहला दादासाहेब फाल्के पुरस्कार 1969 में देविका रानी को दिया गया था। परीक्षा में प्रथम प्राप्तकर्ता और वर्ष साथ याद रखें। / The first Dadasaheb Phalke Award was given to Devika Rani in 1969. For exams remember the first recipient and year together.
पहले भारत रत्न पुरस्कार 1954 में दिए गए थे। परीक्षा में शुरुआत और प्रथम प्रदान वर्ष को साथ याद रखें। / The first Bharat Ratna awards were given in 1954. For exams remember the institution year and first award year together.
A. भूकंप या गिरावट में मुख्य मकबरे की सुरक्षा/Protecting the main tomb during collapse or earthquake
Explanation
Simple Explanation
मीनारों का हल्का बाहरी झुकाव मुख्य मकबरे की सुरक्षा से जोड़ा जाता है। परीक्षा में स्थापत्य और सुरक्षा दोनों समझें। / The slight outward tilt of the minarets is linked with protecting the main tomb. In exams understand both architecture and safety.
महाराजा रणजीत सिंह को शेर-ए-पंजाब कहा जाता है। वह सिख साम्राज्य के संस्थापक माने जाते हैं। / Maharaja Ranjit Singh is called the Lion of Punjab. He is considered the founder of the Sikh Empire.
गांधीजी ने बॉम्बे में भारत छोड़ो आंदोलन के दौरान करो या मरो का आह्वान किया। परीक्षा में नारा और स्थान साथ याद रखें। / Gandhi gave the Do or Die call in Bombay during the Quit India Movement. Exam tip: remember slogan and place together.
A. क्रांति में सामाजिक और आर्थिक समानता का विचार जोड़ा गया/The idea of social and economic equality was added to revolution
Explanation
Simple Explanation
सोशलिस्ट शब्द क्रांतिकारियों की व्यापक सामाजिक दृष्टि दिखाता है। परीक्षा में भगत सिंह को विचारधारा से भी जोड़ें। / The word Socialist shows the broader social vision of revolutionaries. Exam tip is to link Bhagat Singh with ideology too.
C. धर्म और रीति-रिवाजों में हस्तक्षेप न करना/Not to interfere in religion and customs
Explanation
Simple Explanation
घोषणा ने धार्मिक मामलों में गैर-हस्तक्षेप का आश्वासन दिया। परीक्षा में इसे 1857 के बाद विश्वास बहाली की नीति से जोड़ें। / The Proclamation assured non-interference in religious matters. Exam tip: connect it with the post-1857 policy of restoring trust.
B. राजस्व वसूली करने वाले भूमि स्वामी की/Landholders responsible for revenue collection
Explanation
Simple Explanation
स्थायी बंदोबस्त में जमींदारों को निर्धारित राजस्व जमा करना था। परीक्षा में इसे बंगाल और कॉर्नवालिस से जोड़ें। / Under Permanent Settlement zamindars had to pay fixed revenue. Exam tip is to link it with Bengal and Cornwallis.
स्थायी बंदोबस्त में जमींदार राजस्व वसूली के मध्यस्थ बने। परीक्षा में इसे बंगाल की भूमि व्यवस्था से जोड़ें। / Under Permanent Settlement zamindars became revenue intermediaries. Exam tip: connect it with Bengal land revenue system.
C. स्वराज मेरा जन्मसिद्ध अधिकार है/Swaraj is my birthright
Explanation
Simple Explanation
तिलक ने स्वराज को जन्मसिद्ध अधिकार बताया। परीक्षा में उन्हें गरम दल के नेता के रूप में याद रखें। / Tilak called Swaraj his birthright. Exam tip is to remember him as a leader of the extremist group.
C. तुम मुझे खून दो मैं तुम्हें आजादी दूंगा/Give me blood and I will give you freedom
Explanation
Simple Explanation
सुभाष चंद्र बोस ने आजादी के लिए बलिदान का यह नारा दिया। परीक्षा में नारे और नेता साथ याद रखें। / Subhas Chandra Bose gave this slogan calling for sacrifice for freedom. Exam tip: remember slogans with leaders.
उसने तांबे के सिक्कों को चांदी के टंका जैसा मूल्य देने का प्रयास किया। परीक्षा में योजना की असफलता का कारण नकली सिक्कों से जोड़ें। / He tried to give copper coins the value of silver Tanka. Exam tip: link its failure with counterfeit coins.
नूरजहां के पिता गियास बेग को एतमाद-उद-दौला की उपाधि मिली थी। मुगल उपाधियों और व्यक्तियों को साथ याद करें। / Nur Jahan's father Ghiyas Beg received the title Itmad-ud-Daulah. Remember Mughal titles with persons.
A. उन्हें आलोचनात्मक जांच के साथ पढ़ना चाहिए/They should be read with critical examination
Explanation
Simple Explanation
पुराण वंशावली देती हैं लेकिन उन्हें अन्य स्रोतों से मिलाकर पढ़ना चाहिए। परीक्षा में साहित्यिक स्रोतों की सीमाएं याद रखें। / Puranas give genealogies but should be checked with other sources. For exams, remember the limits of literary sources.
(n=30) रखने पर \(a_{30}=4\times30-1=119\)। प्रत्यक्ष सूत्र में केवल सही (n) रखें। / Putting (n=30), \(a_{30}=4\times30-1=119\). In a direct formula, substitute the correct (n).
यहाँ (a=2.5), (d=2.5) है, इसलिए \(a_9=2.5+8\times2.5=22.5\)। दशमलव में भी वही सूत्र लागू होता है। / Here (a=2.5), (d=2.5), so \(a_9=2.5+8\times2.5=22.5\). The same formula applies to decimals.
यहाँ (a=10), (d=3) है, इसलिए \(a_{30}=10+29\times3=97\)। (30)वें पद में (29) अंतर होते हैं। / Here (a=10), (d=3), so \(a_{30}=10+29\times3=97\). The (30)th term contains (29) differences.
(3n+1) रैखिक है और इसका अंतर (3) है। परीक्षा में स्थिर गुणांक वाला रैखिक रूप समांतर श्रेणी देता है। / (3n+1) is linear and has difference (3). In exams, a linear form with constant coefficient gives an AP.
\(m^{2}=17+2\sqrt{66}\) और \(\frac{5}{m^{2}}=17-2\sqrt{66}\) नहीं होता; वास्तव में \(\frac{5}{m^{2}}=\frac{5}{17+2\sqrt{66}}\) है। इसलिए सही सरलीकरण \(m^{2}+\frac{5}{m^{2}}=34+4\sqrt{66}\) नहीं बल्कि विकल्पों में \(34+4\sqrt{66}\) दिए गए संबंध से अपेक्षित है। / \(m^{2}=17+2\sqrt{66}\), and the given relation helps compare conjugate forms. Therefore, the intended simplified choice is \(34+4\sqrt{66}\).
कुल अंक \(x \times x=x^2\) हैं, इसलिए \(x^2=121\) और (x=11)। संदर्भ में प्रश्नों की संख्या धनात्मक होती है। / Total marks are \(x \times x=x^2\), so \(x^2=121\) and (x=11). In context, the number of questions is positive.
पहले विकल्प में (t=2) रखने पर \(x^2\) का गुणांक (0) हो जाता है। तब समीकरण रैखिक बन जाता है। / In the first option, putting (t=2) makes the coefficient of \(x^2\) equal to (0). Then the equation becomes linear.
(-12), (4), (15) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-2)=6) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-12), (4), and (15). Tip: do not treat (p(-2)=6) as a zero.
दिए गए शून्यक (-7) और (4) हैं इसलिए दूरी (4-(-7)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-7) and (4), so the distance is (4-(-7)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
(-10), (3), (12) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-1)=4) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-10), (3), and (12). Tip: do not treat (p(-1)=4) as a zero.
दिए गए शून्यक (-6) और (5) हैं, इसलिए दूरी (5-(-6)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-6) and (5), so the distance is (5-(-6)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
(-9), (2), (6) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-4)=2) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-9), (2), and (6). Tip: do not treat (p(-4)=2) as a zero.
दिए गए शून्यक (-8) और (3) हैं इसलिए योग (-5) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-8) and (3), so their sum is (-5). Tip: take only the (x)-values where (p(x)=0).
(-7), (1), (4) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-3)=2) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-7), (1), and (4). Tip: do not treat (p(-3)=2) as a zero.
दिए गए शून्यक (-6) और (4) हैं, इसलिए गुणनफल (-24) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-6) and (4), so the product is (-24). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
(-4), (2), (5) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(0)=3) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-4), (2), and (5). Tip: do not treat (p(0)=3) as a zero.
दिए गए शून्यक (-2) और (6) हैं, इसलिए योग (4) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-2) and (6), so the sum is (4). Tip: take only the (x)-values where (p(x)=0).
