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C. प्राकृतिक बादलों की मुक्तता दिखाते समय/While showing freedom of natural clouds
Explanation
Simple Explanation
बादल जैसे विषय जैविक और अनियमित रूप मांगते हैं। परीक्षा में आकार को विषय के स्वभाव से जोड़ें। / Cloud-like subjects need organic and irregular forms. Exam tip: connect shape with nature of subject.
A. प्रकृति और मानव निर्मित व्यवस्था का विरोध/Contrast between nature and human-made order
Explanation
Simple Explanation
दो आकार वर्गों का विरोध अर्थ बना सकता है। परीक्षा में shape contrast को symbolism से जोड़ें। / Contrast of two shape types can create meaning. Exam tip: connect shape contrast with symbolism.
A. विज्ञान और तकनीक पर आधारित पोस्टर में/In a science and technology poster
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय आकार व्यवस्था और तकनीकी भाव देते हैं। परीक्षा में subject based shape selection करें। / Geometric shapes give order and technical feeling. Exam tip: choose shapes based on subject.
B. तकनीक और अनुशासन दिखाने वाला पोस्टर/Poster showing technology and discipline
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय आकार व्यवस्था और तकनीकी भाव देते हैं। परीक्षा में subject के अनुसार shape category चुनें। / Geometric shapes give order and technical mood. Exam tip: choose shape category according to subject.
दो अलग प्रकार के आकार दृश्य रुचि और विविधता बढ़ाते हैं। परीक्षा में shape contrast को variety से जोड़ें। / Two different types of shapes increase visual interest and variety. Exam tip: connect shape contrast with variety.
ज्यामितीय आकार नियमित और स्पष्ट होते हैं। परीक्षा में geometric shapes को order से जोड़ें। / Geometric shapes are regular and clear. Exam tip: connect geometric shapes with order.
अलग प्रकार के आकार विविधता और दृश्य रुचि बनाते हैं। परीक्षा में shape contrast को variety से जोड़ें। / Different types of shapes create variety and visual interest. Exam tip: connect shape contrast with variety.
C. वे दूर से साफ और जल्दी पहचाने जाते हैं/They are clear and quickly recognized from distance
Explanation
Simple Explanation
सरल आकार दूर से भी स्पष्ट दिखते हैं। परीक्षा में poster design में clarity को महत्व दें। / Simple shapes remain clear even from distance. Exam tip: give importance to clarity in poster design.
C. क्योंकि उसकी भुजाएं और कोण नियमित होते हैं/Because its sides and angles are regular
Explanation
Simple Explanation
वर्ग नियमित नियमों वाला आकार है। परीक्षा में measured and regular shapes को geometric मानें। / A square is a regular rule-based shape. Exam tip: treat measured and regular shapes as geometric.
वर्ग वृत्त और त्रिभुज नियमित ज्यामितीय आकार हैं। परीक्षा में मापित आकारों को ज्यामितीय याद रखें। / Square circle and triangle are regular geometric shapes. Exam tip: remember measured shapes as geometric.
A. नियमित और माप योग्य रूपरेखा से/By regular and measurable outline
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय आकार नियमित नियमों पर आधारित होते हैं। परीक्षा में वर्ग वृत्त और त्रिभुज याद रखें। / Geometric shapes are based on regular rules. Exam tip: remember square circle and triangle.
समकोण त्रिभुज में भुजाएँ (1) और (1) लेने पर कर्ण \( \sqrt{2}\) होता है। पायथागोरस प्रमेय से निर्माण समझें। / With perpendicular sides (1) and (1), the hypotenuse is \( \sqrt{2}\). Understand the construction using Pythagoras theorem.
ज्यामितीय रेखा माप और नियोजन से जुड़ी होती है। परीक्षा में स्केल से बनी रेखाओं को उदाहरण मानें। / A geometric line is linked with measurement and planning. In exams consider ruler made lines as examples.
A. प्राकृतिकता और जैविक विविधता कमजोर होगी/Naturalness and organic variety will weaken
Explanation
Simple Explanation
प्राकृतिक वस्तुओं में अनियमित जैविक रूप होते हैं। परीक्षा में natural form में variation देखें। / Natural objects have irregular organic forms. Exam tip: observe variation in natural form.
B. प्राकृतिक नदी की अनियमित धारा दिखानी हो/Showing irregular natural flow of a river
Explanation
Simple Explanation
नदी का प्रवाह प्राकृतिक और अनियमित होता है। परीक्षा में subject nature के अनुसार shape चुनें। / A river flow is natural and irregular. Exam tip: choose shape according to subject nature.
B. प्राकृतिक पत्ती का चित्र/Drawing of a natural leaf
Explanation
Simple Explanation
प्राकृतिक वस्तुओं के लिए जैविक आकार अधिक स्वाभाविक लगते हैं। परीक्षा में organic shapes को nature से जोड़ें। / Organic shapes look more natural for natural objects. Exam tip: connect organic shapes with nature.
यहाँ (D=4(a+5)2-4\(a^2+8a+19\)=4(2a+6)) है। वास्तविक मानों के लिए \(a\geq-3\) होना चाहिए। / Here (D=4(a+5)2-4\(a^2+8a+19\)=4(2a+6)). For real values \(a\geq-3\) is needed.
यहाँ (D=4(a+4)2-4\(a^2+6a+13\)=4(2a+3)) है। वास्तविक मानों के लिए \(a\geq-\frac{3}{2}\)। / Here (D=4(a+4)2-4\(a^2+6a+13\)=4(2a+3)). For real values \(a\geq-\frac{3}{2}\).
ग्राफ़ का किसी बिंदु पर कटना यानी वह बिंदु \\((p(x)=0)\\) का वास्तविक शून्यक है और उस शून्यक की घनत्व (multiplicity) सम संख्या नहीं (odd) होगी। स्पर्श होने का मतलब है कि शून्यक की घनत्व सम संख्या (even) है। यहाँ कटना x=1 और स्पर्श x=6 दो अलग x‑मान दे रहे हैं, इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प 'तीन' इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श की सम घनत्व से अतिरिक्त भिन्न x‑मान नहीं बनते—वे वही x‑मान दोहराते हैं। परीक्षा टिप: अलग वास्तविक शून्यक गिनते समय केवल अलग x‑मान गिनें; multiplicity से फर्क नहीं पड़ता। / A crossing at a point means the polynomial has a zero there (\\((p(x)=0)\\)) with odd multiplicity; a touch means a zero with even multiplicity. Crossing at x=1 and touching at x=6 are two distinct x‑values, so there are 2 distinct real zeros. The common mistake is to count multiplicities (which could give a larger total count); multiplicity does not change the number of distinct zeros. Exam tip: count distinct x‑values where \\((p(x)=0)\\) rather than multiplicities.
A. आदिवासी पवित्र परिदृश्य और प्राकृतिक स्वरूप/Aboriginal sacred landscape and natural form
Explanation
Simple Explanation
उलुरु आदिवासी आस्था और प्राकृतिक चट्टानी परिदृश्य दोनों से जुड़ा है। परीक्षा में पवित्र परिदृश्य याद रखें। / Uluru is linked with Aboriginal faith and natural rock landscape. For exams remember sacred landscape.
A. इंका राजधानी और स्पेनी औपनिवेशिक परत/Inca capital and Spanish colonial layer
Explanation
Simple Explanation
कुस्को में इंका और औपनिवेशिक स्थापत्य की परतें साथ मिलती हैं। परीक्षा में पेरू याद रखें। / Cusco combines layers of Inca and colonial architecture. For exams remember Peru.
A. युद्ध स्मृति और शांति संदेश/War memory and message of peace
Explanation
Simple Explanation
हिरोशिमा स्मारक परमाणु युद्ध की त्रासदी और शांति की अपील से जुड़ा है। परीक्षा में स्मृति और शांति याद रखें। / Hiroshima Memorial is linked with the tragedy of nuclear war and appeal for peace. For exams remember memory and peace.
B. संघ की अविभाज्यता और संविधान की सर्वोच्चता/Indivisibility of the Union and supremacy of the Constitution
Explanation
Simple Explanation
लिंकन ने संघ को टूटने से बचाने को संवैधानिक जिम्मेदारी माना। परीक्षा में उन्हें संघ और दासता विरोध दोनों से जोड़ें। / Lincoln treated preserving the Union as a constitutional duty. For exams connect him with both Union and anti slavery.
A. भूख और अस्थिरता के बीच संबंध को पहचानती है/It recognizes the link between hunger and instability
Explanation
Simple Explanation
खाद्य सहायता मानवीय राहत और स्थिरता दोनों में मदद कर सकती है। परीक्षा में डब्ल्यू एफ पी को भूख राहत और शांति से जोड़ें। / Food aid can support both humanitarian relief and stability. Exam tip: link WFP with hunger relief and peace.
A. यह समुद्री व्यापार और बंदरगाह गतिविधि से जोड़ी जाती है/It is linked with maritime trade and port activity
Explanation
Simple Explanation
लोथल को समुद्री संपर्क और व्यापार से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे हड़प्पाई व्यापार नेटवर्क से याद रखें। / Lothal is linked with maritime contact and trade. Remember it with Harappan trade networks.
A. कांग्रेस और लीग समूहों की बाध्यता पर सहमत नहीं थे/Congress and League did not agree on compulsory nature of groups
Explanation
Simple Explanation
समूह व्यवस्था पर मतभेद से संयुक्त भारत की योजना कमजोर हुई। परीक्षा में 1946 की जटिलता याद रखें। / Disagreement over grouping weakened the plan for united India. Exam tip: remember complexity of 1946.
A. बागान मजदूरों ने स्वराज को घर लौटने की स्वतंत्रता माना/Plantation workers saw swaraj as freedom to return home
Step 1
Concept
स्वराज एक बड़ा राष्ट्रीय विचार था। / Swaraj was a broad national idea.
Step 2
Why this answer is correct
बागान मजदूरों ने इसे अपनी सबसे बड़ी बंदिश, यानी घर लौटने की रोक, से जोड़ा। / Plantation workers linked it with their biggest restriction, the inability to return home.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे उदाहरण से अलग अर्थ स्पष्ट करें। / In exams, use such examples to show different meanings.
B. क्योंकि अलग-अलग समूह अपने दावों को मजबूत करने के लिए अलग इतिहास और स्मृति पर बल देते थे/Because different groups stressed different histories and memories to strengthen their claims
Step 1
Concept
जातीय राष्ट्रवाद पहचान के लिए अतीत को महत्वपूर्ण मानता है। / Ethnic nationalism treats the past as important for identity.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग समूह अपने पक्ष में इतिहास को प्रस्तुत करते थे। / Different groups presented history in their own favour.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इतिहास भी राजनीतिक दावे का साधन बन गया। / Thus history became a tool of political claim-making.
C. नियमित ज्यामितीय कोणीय आकार/Regular geometric angular shapes
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय कोणीय आकार कठोर और व्यवस्थित प्रभाव देते हैं। परीक्षा में shape mood को subject से जोड़ें। / Geometric angular shapes give hard and ordered effect. Exam tip: connect shape mood with subject.
आयत नियमित ज्यामितीय आकार है। परीक्षा में सीधी भुजाओं वाले आकार को ज्यामितीय मानें। / A rectangle is a regular geometric shape. Exam tip: treat straight-sided shapes as geometric.
वर्ग में स्पष्ट कोने और सीधी भुजाएं होती हैं। परीक्षा में square को geometric shape मानें। / A square has clear corners and straight sides. Exam tip: treat square as a geometric shape.
वर्ग समान भुजाओं वाला नियमित ज्यामितीय आकार है। परीक्षा में नियम वाले आकार को ज्यामितीय समझें। / A square is a regular geometric shape with equal sides. Exam tip: understand rule-based shapes as geometric.
वर्ग और आयत स्पष्ट नियमों वाले ज्यामितीय आकार हैं। परीक्षा में नियमित आकार को ज्यामितीय समझें। / Square and rectangle are geometric shapes with clear rules. Exam tip: understand regular shapes as geometric.
वृत्त वर्ग और त्रिभुज ज्यामितीय आकार हैं। परीक्षा में बंद समतल आकृतियों को आकार कहें। / Circle square and triangle are geometric shapes. Exam tip: call closed flat figures shapes.
पायथागोरस से कर्ण \( \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \) होगा। वर्गमूल निर्माण में समकोण त्रिभुज उपयोगी है। / By Pythagoras, the hypotenuse is \( \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \). Right triangles help in square-root construction.
A. राजनीतिक सत्ता की प्रकृति/Nature of political power
Explanation
Simple Explanation
राजमहलों का स्पष्ट अभाव सत्ता संरचना पर निश्चित दावा कठिन बनाता है। परीक्षा में हड़प्पा पर प्रमाण आधारित निष्कर्ष लिखें। / The absence of clear palaces makes firm claims about power structure difficult. In exams use evidence based conclusions for Harappa.
A. कला प्रतीकों की व्याख्या में संदर्भ जरूरी है/Context is necessary in interpreting artistic symbols
Explanation
Simple Explanation
इस पैनल को अर्जुन तपस्या या गंगा अवतरण दोनों रूप में पढ़ा जाता है। परीक्षा में कला शीर्षकों की बहुव्याख्या समझें। / This panel is read as Arjuna's Penance or Descent of Ganga. For exams, understand multiple interpretations of art titles.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (2x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (2x+3y=15). Same left side with different constants gives parallel lines.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=10). Same left side with different constants gives parallel lines.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=7) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=7). Same left side with different constants gives parallel lines.
C. उनके अनंत हल हैं/They have infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
पूरी तरह चढ़ी हुई रेखाएँ संपाती रेखाएँ होती हैं। उनके हर बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। / Completely overlapping lines are coincident lines. At every point on them, both equations are true.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=8) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=8). Same left side with different constants gives parallel lines.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=6) मिलता है, जो पहले से समांतर है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=6), which is parallel to the first. Same left side with different constants gives parallel lines.
दिए गए बिंदु बतलाते हैं कि बहुपद के शून्यक \(0\) और \(a\) हैं। शून्यकों का गुणनफल सीधे उन दोनों का गुणन है: \(0\times a=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। नजदीकी विचलन जैसे \(a\) या \(a^2\) इस कारण गलत हैं कि वे शून्य को ध्यान में नहीं रखते — यदि शून्य शून्यकों में से एक है तो समूचे गुणनफल का मान शून्य ही रहेगा। परीक्षा टिप: यदि किसी बहुपद के शून्यकों में \(0\) शामिल है तो शून्यकों का गुणनफल हमेशा 0 ही होगा, गुणन में किसी भी अन्य मान का प्रभाव नहीं। / The x-intercepts show the zeros are 0 and \(a\). The product of the zeros is \(0\times a=0\). Hence 0 is correct. Closest distractors like \(a\) or \(a^2\) are wrong because they ignore the presence of the zero root — any product containing 0 equals 0. Exam tip: whenever 0 is one of the roots of a polynomial, the product of all roots is 0 regardless of the other roots or their multiplicities.
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (m,0) पर स्पर्श करता है और किसी अन्य स्थान पर अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
एक ही स्पर्श बिंदु होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है और वह मूल बार-बार (even multiplicity) आता है, यानी बहुपद में
e.g.
ein factor के रूप में
\((x-m)^2\) मौजूद हो सकता है पर बाकी फैक्टरों का मान m पर शून्य नहीं होगा। इसलिए अलग वास्तविक शून्य केवल x = m ही है, यानी 1।
सूत्रीकरण: स्पर्श = मूल का सम-गुणांक (even multiplicity); काटना = विषम-गुणांक।
गलत विकल्प क्यों नहीं: "दो" तब होता जब x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे; "शून्य" गलत क्योंकि स्पर्श का मतलब p(m)=0 है; "अनंत" केवल तब संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो (
\(p(x)\equiv 0\)
), जो यहाँ दिए हालात से मेल नहीं खाता क्योंकि तब ग्राफ हर बिंदु पर x-अक्ष के साथ मेल खाता।
परीक्षा-सुझाव: किसी स्पर्श बिंदु को देखकर तुरंत समझें कि वह मूल कम से कम द्विगुणित (multiplicity ≥ 2 और सम) होगा — इसलिए अलग शून्य की गिनती बदलती नहीं। / A single touching point means the polynomial is zero at x = m and that root has even multiplicity (it is a repeated root), e.g. a factor
\((x-m)^2\) in p(x), while no other factor vanishes at x = m. Hence there is only one distinct real zero, x = m.
Why other options are wrong: "Two" would require the graph to cross or meet the axis at two different x-values; "Zero" is wrong because touching implies p(m)=0; "Infinitely many" happens only if the polynomial is the zero polynomial (\(p(x)\equiv 0\)), which would make the graph coincide with the x-axis everywhere, not touch at a single point.
Exam tip: Touching = even multiplicity (root repeats); crossing = odd multiplicity. Use multiplicity to count distinct zeros, not total multiplicity.
दिए गए बिंदुओं के अनुसार बहुपद के शून्यक \(a\) और \(-a\) हैं। इनका योग है \(a+(-a)=0\)। ध्यान रखें कि \(2a\) या \(-2a\) देख कर दूरी या द्विगुणित मान से भ्रम हो सकता है — पर शून्यकों का बीजीय (algebraic) योग है 0। परीक्षा टिप: यदि जड़ें ±a के रूप में सममित हों तो उनका योग हमेशा 0 होता है। / From the intercepts the roots are \(a\) and \(-a\). Their sum is \(a+(-a)=0\). Note that choices like \(2a\) or \(-2a\) confuse algebraic sum with total distance; the algebraic sum of opposite numbers is zero. Exam tip: symmetric roots of the form ±a always cancel and sum to 0.
जब \(p(a)=0\) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर छेदता है। यहाँ दिए गए शून्य हैं \(2,5,9\) — ये तीन भिन्न x‑मान हैं, अत: ग्राफ पर तीन भिन्न x-अक्ष छेदन बिंदु होंगे: \((2,0),(5,0),(9,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 'दो' गलत है क्योंकि तीन भिन्न जड़ों को दो में समेटा नहीं जा सकता। परीक्षण‑टिप: हमेशा जड़ों की भिन्नता (distinctness) जाँचें — आवर्ती (repeated) जड़ें एक ही बिंदु देती हैं और यदि बहुपद शून्य बहुपद (identically zero) हो तो अनन्त छेदन हो सकते हैं। / If \(p(a)=0\), the graph meets the x-axis at the point \((a,0)\). Given zeros 2, 5 and 9 are three distinct x-values, so the graph has three distinct x‑intercepts: \((2,0),(5,0),(9,0)\). The nearest distractor 'Two' is incorrect because three distinct roots produce three distinct intercepts. Exam tip: always check whether roots are distinct; repeated roots coincide at one intercept, and if the polynomial is identically zero the x-axis is the graph (infinitely many intersections).
x-अक्ष पर परिकल्पित बिंदु बताते हैं कि शून्यक (zeros) हैं: ",-7" और "2". इसलिए गुणनफल \\((-7)(2)= -14\\) होगा। विकल्प B (14) चिन्ह की गलती है — वहाँ प्लस मान लिया गया है। विकल्प C और D गलत संख्याएँ हैं जो जोड़/भिन्न या गलत चिन्ह से आ सकती हैं। परीक्षा टिप: दो शून्यकों का गुणन सीधे उनके गुणन से मिलता है; चिन्हों का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes: -7 and 2. Their product is \\((-7)(2) = -14\\). Option B (14) is the same magnitudes but with the wrong sign. Options C and D are simply incorrect results from other operations (e.g., wrong addition/subtraction). Exam tip: multiply the x-intercepts to get the product of zeroes and watch the signs carefully.
A. आलेख \((0,-3)\) से गुजरता है/The graph passes through \((0,-3)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p(0)=-3\), तो बहुपद का y-अक्ष पर छेदन बिंदु \((0,p(0))\) होता है, अतः आलेख निश्चित रूप से \((0,-3)\) से गुजरेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) तभी शून्यक होगा जब \(p(0)=0\), परन्तु यहां \(p(0)\neq0\)। विकल्प C गलत है क्योंकि x-अक्ष पर छेदन पॉइंट उस x पर होता है जहाँ \(p(x)=0\); हमें \(p(-3)\) का मान नहीं दिया गया। विकल्प D भी सिद्ध नहीं किया जा सकता—बहुपद के शून्यक अन्य x‑मूल्यों पर हो सकते हैं। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु \(x=a\) के लिए \(p(a)\) देखकर तय करें कि वह शून्यक है (\(p(a)=0\)) या y‑intercept (\(p(a)\neq0\))। / Given \(p(0)=-3\), the y-intercept of the polynomial is \((0,p(0))\), so the graph passes through \((0,-3)\). Option B is wrong because \(x=0\) would be a zero only if \(p(0)=0\), which is not the case. Option C is incorrect since the x-axis is crossed at values where \(p(x)=0\); we are not given \(p(-3)\). Option D cannot be concluded — the polynomial may have zeros at other x-values. Exam tip: evaluate \(p(a)\); if \(p(a)=0\) then x=a is a root, otherwise it gives the y-intercept value at x=a.
बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। तालिका में \(p(-5)=0\) और \(p(4)=0\) दिए हैं, अतः शून्यक \(-5\) और \(4\) हैं। शेष दिए गए: \(p(-1)=2\) और \(p(6)=9\) शून्य नहीं हैं क्योंकि उनके लिए फलन मान 0 नहीं है। परीक्षीय सुझाव: तालिका में सीधे उन पंक्तियों को देखें जहाँ फलन मान 0 लिखा हो। / A root (zero) of a polynomial is any \(x\) for which \(p(x)=0\). From the table \(p(-5)=0\) and \(p(4)=0\), so the zeros are \(-5\) and \(4\). The other entries give \(p(-1)=2\) and \(p(6)=9\), which are not zero, so options A and B are incorrect and D is false because not all given x produce 0. Exam tip: when a table lists \(p(x)\) values, locate the rows where the function value equals 0 and read the corresponding \(x\).
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर पार करता है तो उस बिंदु का \(x\)-मान बहुपद का शून्य होता है (उदाहरण: \(x=-2\) पर पार करने का अर्थ \(p(-2)=0\))। उसी प्रकार जब ग्राफ किसी बिंदु पर केवल छूता है तो भी वह बिंदु शून्य देता है (\(x=3\) पर छूने का अर्थ \(p(3)=0\))। इसलिए दोनों \(x=-2\) और \(x=3\) अलग वास्तविक शून्यक हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे केवल \(-2\) या केवल \(3\) इसलिए गलत हैं क्योंकि दोनों बिंदु पर \(p(x)=0\) होता है। परीक्षा टिप: अलग शून्यक लिखते समय सभी भिन्न \(x\)-मान गिनें और यदि पूछा हो तो उनकी गुणात्मक बहुलता (odd/even) भी बताएं। / When a graph crosses the \(x\)-axis at a point, that \(x\)-value is a zero of the polynomial (e.g. crossing at \(x=-2\) means \(p(-2)=0\)). When the graph only touches the axis at a point, that point is also a zero (touching at \(x=3\) means \(p(3)=0\)). Thus both \(x=-2\) and \(x=3\) are distinct real zeros. Close distractors stating only one of the points are incorrect because both give \(p(x)=0\). Exam tip: list all distinct \(x\)-values where the graph meets the axis; check multiplicity (odd for crossing, even for touching) if required.
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या जानना/To know the number of real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष कटान वास्तविक शून्यकों की संख्या बताते हैं। टिप: ग्राफ से पहले कटान गिनें। / The (x)-axis intersections tell the number of real zeroes. Tip: first count intersections from the graph.
x-अक्ष पर जो बिंदु ग्राफ काटता है वे बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक \\(-1\\) और \\(+1\\) हैं, अतः उनका योग \\(-1+1=0\\) है। सबसे संभावित भ्रम विकल्प B (2) तब होता है जब कोई मानों के परिमाण (absolute values) जोड़ देता है। परीक्षा टिप: यदि शून्यक सममित रूप से \(±a\) हैं तो उनका योग हमेशा 0 होगा। / Points where the graph crosses the x-axis are the zeros. Here the zeros are \(-1\) and \(+1\), so their sum is \(-1+1=0\). The common mistake giving option B (2) comes from adding absolute values instead of signed numbers. Exam tip: For symmetric roots \(±a\) the sum is always 0; use signs carefully when adding roots.
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
किसी बिंदु को शून्यक (root) तब माना जाता है जब उस बिंदु के लिए \(y=0\) हो (यानि ग्राफ \(x\)-अक्ष को छूता/काटता है)। बिंदु \((0,7)\) में \(y=7\) है, अतः \(x=0\) पर बहुपद का मान शून्य नहीं है — इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प C निकटतम ग़लत विकल्प है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर होना केवल यह दर्शाता है कि \(x=0\) है, परंतु शून्यक होने के लिये \(y\) का मान \(0\) होना आवश्यक है। परीक्षा संकेत: किसी संभावित शून्य के लिये हमेशा देखिये कि संबंधित \(y\)-मान \(0\) है या नहीं (या बहुपद में उस \(x\) का मान 0 दीखता है)। / A root means the polynomial's value is zero at that x, i.e. the graph meets the x-axis where \(y=0\). The point \((0,7)\) has \(y=7\), so the polynomial is not zero at \(x=0\); therefore \(x=0\) is not a root. The closest wrong distractor is C: lying on the y-axis only indicates \(x=0\), not that \(y=0\). Exam tip: to test a root substitute the x-value into the polynomial and check whether the result is 0 (or check that the graph is on the x-axis).
x-अक्ष के साथ जो बिंदु साझा किया गया है वह (6,0) है; यहाँ y = 0 और x का मान 6 है। बहुपद के वास्तविक शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य होता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 6 है। सबसे पास का भ्रामक विकल्प −6 है — यह गलत है क्योंकि दिया गया बिंदु x = −6 नहीं बल्कि x = 6 है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु (a,0) को देखकर तुरंत लिखें कि a बहुपद का एक शून्यक है। / The given intersection point is (6,0); here y = 0 and the x‑coordinate is 6. Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis (y = 0). Hence the distinct real zero is 6. The closest distractor −6 is incorrect because the x‑coordinate is positive 6, not −6; 0 is incorrect because that would mean the intersection is (0,0), which is not given; “कोई नहीं” (none) is wrong since an intersection at (6,0) is explicitly given. Exam tip: From any x‑intercept (a,0) immediately read off the root a — don’t confuse sign.
जब किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (5,0) पर छूता है तो उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, यानी \(p(5)=0\)। इसलिए \(x=5\) शून्यक है। ध्यान दें कि "छूना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणनफल (multiplicity) सम (even) हो सकता है, पर प्रश्न केवल शून्य होने की बात पूछता है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि दिए गए बिंदु का x-समान्यांक 0 या −5 नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि छूने का अर्थ ही किसी शून्य पर होना है। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ में जहाँ x-अक्ष को छूया या काटा गया हो, उस बिंदु का x‑मान बदलें और सीधे \(p(x)=0\) जाँचें। / If the graph touches the x-axis at (5,0) then the polynomial evaluates to zero at x=5, i.e. \(p(5)=0\). Hence x=5 is a zero. "Touching" typically implies the root has even multiplicity, but the essential fact here is the value is zero. Options B and D are incorrect because the contact point has x-coordinate 5, not 0 or -5; option C is wrong because touching the axis means the polynomial is zero at that point. Exam tip: use the x-coordinate of the contact point and substitute into \(p(x)\) to verify a zero; if it only touches (doesn't cross), expect even multiplicity.
A. उनके भावनात्मक, सांस्कृतिक और राजनीतिक अर्थ को साथ समझना/Understanding their emotional, cultural and political meanings together
Step 1
Concept
राष्ट्रवादी प्रतीक कई स्तरों पर काम करते थे। / Nationalist symbols worked at many levels.
Step 2
Why this answer is correct
वे भावना जगाते थे, संस्कृति से जुड़ते थे और राजनीतिक लक्ष्य को मजबूत करते थे। / They created emotion, connected with culture and strengthened political aims.
Step 3
Exam Tip
उत्तर में प्रतीकों को बहुआयामी रूप में समझाएं। / Explain symbols as multi-dimensional, not as simple decorations.
A. क्योंकि इससे पता चलता है कि स्वतंत्रता संघर्ष अनेक अनुभवों का मेल था/Because it shows that the freedom struggle was a combination of many experiences
Step 1
Concept
इतिहास केवल बड़े नेताओं की कहानी नहीं है। / History is not only the story of great leaders.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें किसानों, मजदूरों, आदिवासियों और व्यापारियों की अलग भूमिकाएं भी हैं। / It also includes different roles of peasants, workers, tribals, and merchants.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में बहुस्तरीय समझ अधिक मजबूत उत्तर बनाती है। / In exams, a layered understanding makes a stronger answer.
A. क्योंकि अलग वर्ग और समूह प्रतीकों को अलग अनुभवों से जोड़ सकते थे/Because different classes and groups could connect symbols with different experiences
Step 1
Concept
प्रतीक लोकप्रिय हो सकते हैं पर उनका अर्थ सभी के लिए समान नहीं होता। / Symbols may be popular but their meaning is not always the same for everyone.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग लिंग और क्षेत्र के अनुसार समझ बदल सकती है। / Understanding can change according to class gender and region.
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ स्तर पर विविध अनुभवों को ध्यान में रखें। / At expert level consider diverse experiences.
