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दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है, इसलिए (4k=20) और (k=5)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (4) times the first, so (4k=20) and (k=5). For infinite solutions, the lines must be coincident.
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए। इसलिए (3p=96) और (p=32)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (3) times the first. Therefore (3p=96) and (p=32).
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3k=12) और (k=4)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (3) times the first, so (3k=12) and (k=4). For infinite solutions, the lines must be coincident.
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (2p=42) और (p=21)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (2) times the first. Therefore (2p=42) and (p=21).
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए (2k=6) और (k=3)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (2) times the first, so (2k=6) and (k=3). For infinite solutions, the lines must be coincident.
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (2p=20) और (p=10)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (2) times the first. Therefore (2p=20) and (p=10).
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अनंत समाधान तब होते हैं जब दोनों रेखाएं एक ही रेखा हों। इसके लिए तीनों अनुपात बराबर होते हैं। / Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में हर बिंदु समाधान होता है। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. In coincident lines, every point is a solution.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए रेखाएँ संपाती हैं और उनके अनंत सामान्य बिंदु हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many common points.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत सामान्य बिंदु हैं। / The second equation is (2) times the first. Hence the lines are coincident and have infinitely many common points.
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
संपाती रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं। इसलिए ऐसे समीकरण युग्म के अनंत हल होते हैं। / Coincident lines have infinitely many common points. Therefore, such a pair of equations has infinitely many solutions.
संपाती रेखाओं के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। परीक्षा में इसे संगत और आश्रित स्थिति कहें। / Every point on coincident lines satisfies both equations. In exams, call this a consistent and dependent case.
असमान गुणांक अनुपात से रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Unequal coefficient ratios make the lines intersect at one point. Therefore the pair is consistent and independent.
दोनों क्षैतिज रेखाएँ अलग-अलग स्तरों पर हैं। वे समांतर हैं, इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / Both horizontal lines are at different levels. They are parallel, so there is no common point.
अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore, such a pair has no solution.
दोनों क्षैतिज रेखाएँ अलग-अलग स्तरों पर हैं। वे समांतर हैं इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / Both horizontal lines are at different levels. They are parallel, so there is no common point.
अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore, such a pair has no solution.
एक प्रतिच्छेद बिंदु होने पर समीकरणों का एक ही हल होता है। याद रखें, कटती हुई रेखाएँ संगत और स्वतंत्र होती हैं। / One intersection point means the equations have exactly one solution. Remember, intersecting lines are consistent and independent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ है कि दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म के अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean both lines are identical. Therefore, the pair has infinitely many solutions.
अनंत हल के लिए (p/10=6/15=18/45) होना चाहिए। इसलिए (p=4) नहीं, (p=4) नहीं बल्कि (p=4) अनुपात बिगाड़ता है और सही (p=4) नहीं है। / For infinitely many solutions, (p/10=6/15=18/45) must hold. Since the common ratio is (2/5), (p=4) would be required.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए इसलिए (k=48)। अनंत हल के लिए सभी अनुपात बराबर होने चाहिए। / The second equation must be (3) times the first so (k=48). For infinitely many solutions all ratios must be equal.
अनंत हल के लिए (3/12=m/28=24/96) होना चाहिए। इसलिए (m=7) सही है। / For infinitely many solutions, (3/12=m/28=24/96) must hold. Therefore, (m=7) is correct.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए, इसलिए (k=36)। अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर रखें। / The second equation must be (2) times the first, so (k=36). For infinitely many solutions, keep all three ratios equal.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
अनंत हल के लिए (p/9=2/6=6/18), इसलिए (p=3)। तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। / For infinitely many solutions, (p/9=2/6=6/18), so (p=3). All three ratios must be equal.
अनंत हल के लिए (3/6=a/8=12/24), इसलिए (a=4)। पहले गुणांकों और स्थिर पदों के अनुपात मिलाएं। / For infinitely many solutions, (3/6=a/8=12/24), so (a=4). Match the ratios of coefficients and constants first.
एक ही रेखा के हर बिंदु से दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Every point on the same line satisfies both equations. Therefore such a pair has infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
संगत और आश्रित युग्म में दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। इसलिए हर सामान्य बिंदु हल होता है। / In a consistent and dependent pair both equations represent the same line. Therefore every common point is a solution.
पहले विकल्प में दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / In the first option the second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (7) गुना होना चाहिए इसलिए (a=14)। इससे दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। / The first equation must be (7) times the second so (a=14). Then both equations represent the same line.
अनंत हल के लिए (2/4=a/10=7/14) होना चाहिए इसलिए (a=5)। तीनों अनुपात बराबर करना जरूरी है। / For infinitely many solutions (2/4=a/10=7/14) must hold so (a=5). Making all three ratios equal is necessary.
अनंत सामान्य हल तभी मिलते हैं जब दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। परीक्षा में इसे coincident lines लिख सकते हैं। / Infinitely many common solutions occur only when both equations represent the same line. In exams this can be written as coincident lines.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first so both lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The first equation is (2) times the second, so both lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
अनंत हल के लिए (5/10=a/6=15/30), इसलिए (a=3)। तीनों अनुपात बराबर होने जरूरी हैं। / For infinitely many solutions, (5/10=a/6=15/30), so (a=3). All three ratios must be equal.
अनंत हल के लिए (1/2=k/6=2/4), इसलिए (k=3)। अनुपात बराबर रखने से equations dependent बनती हैं। / For infinitely many solutions, (1/2=k/6=2/4), so (k=3). Keeping ratios equal makes the equations dependent.
अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। इससे दोनों समीकरण एक ही रेखा बनाते हैं। / For infinitely many solutions, all three ratios must be equal. Then both equations form the same line.
अनंत हल के लिए (2/6=k/9=4/12), इसलिए (k=3)। तीनों अनुपात बराबर करना मुख्य तरीका है। / For infinitely many solutions, (2/6=k/9=4/12), so (k=3). Making all three ratios equal is the key method.
एक ही रेखा के हर बिंदु से दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। इसलिए ऐसे युग्म के अनंत हल होते हैं। / Every point on the same line satisfies both equations. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों रेखाएं संपाती होती हैं। ऐसी स्थिति में अनंत हल होते हैं। / If all three ratios are equal, the two lines are coincident. Such a pair has infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना होना चाहिए। इसलिए (a=6)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (3) times the second. Therefore (a=6).
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (p=6)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (2) times the second. Hence (p=6).
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा दर्शाते हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both represent the same line and have infinitely many solutions.
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (a=4)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (2) times the second. Therefore (a=4).
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (p=6)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (2) times the second. Therefore (p=6).
दूसरा समीकरण पहले का \(\frac{3}{2}\) गुना है, इसलिए दोनों समान रेखा दर्शाते हैं। परीक्षा में सभी अनुपात बराबर हों तो अनंत हल होते हैं। / The second equation is \(\frac{3}{2}\) times the first, so both represent the same line. In exams, if all ratios are equal, there are infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा दर्शाते हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both represent the same line and have infinitely many solutions.
अनंत हल के लिए गुणांक और स्थिरांक समान अनुपात में होने चाहिए। (4:6=10:15=2:3), इसलिए (a=2)। / For infinitely many solutions, coefficients and constants must be in the same ratio. Since (4:6=10:15=2:3), (a=2).
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (p=4)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (2) times the second. Hence (p=4).
पहले समीकरण का (2) गुना दूसरा समीकरण बनना चाहिए। इसलिए (2p=6), अतः (p=3)। / Twice the first equation must become the second equation. Hence (2p=6), so (p=3).
अनंत हल के लिए दोनों समीकरण समानुपाती होने चाहिए। (4) और (2) का अनुपात (2) है, इसलिए (a=6) होना चाहिए। / For infinitely many solutions, both equations must be proportional. The ratio of (4) and (2) is (2), so (a=6).
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए, इसलिए (k=126)। संपाती रेखाओं में स्थिर पद भी उसी अनुपात में बदलता है। / The second equation must be (3) times the first, so (k=126). In coincident lines, the constant term also changes in the same ratio.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत समाधान देती हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore the lines are coincident and give infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (4) गुना होना चाहिए, इसलिए (a=20)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान गुणक से बदलते हैं। / The first equation must be (4) times the second, so (a=20). In coincident lines, all terms change by the same multiplier.
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण एक ही रेखा बताते हैं। इसलिए रेखाएं संपाती होती हैं और अनंत समाधान देती हैं। / If all three ratios are equal, both equations represent the same line. Hence the lines are coincident and give infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। एक ही रेखा के सभी बिंदु समाधान होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so both lines are the same. All points on the same line are solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3k=15) और (k=5)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान अनुपात में होते हैं। / The second equation is (3) times the first, so (3k=15) and (k=5). In coincident lines, all terms are in the same ratio.
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत समाधान देती हैं। / The first equation is (3) times the second. Therefore the lines are coincident and give infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना होना चाहिए, इसलिए (a=12)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान गुणक से बदलते हैं। / The first equation must be (3) times the second, so (a=12). In coincident lines, all terms change by the same multiplier.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। एक ही रेखा के सभी बिंदु समाधान होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so both lines are the same. All points on the same line are solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3k=6) और (k=2)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान अनुपात में होते हैं। / The second equation is (3) times the first, so (3k=6) and (k=2). In coincident lines, all terms are in the same ratio.
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत समाधान देती हैं। / The first equation is (3) times the second. Therefore the lines are coincident and give infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए, इसलिए (a=4)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान गुणक से बदलते हैं। / The first equation must be (2) times the second, so (a=4). In coincident lines, all terms change by the same multiplier.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाएं संगत और आश्रित युग्म देती हैं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines give a consistent and dependent pair.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। एक ही रेखा के सभी बिंदु समाधान होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so both lines are the same. All points on the same line are solutions.
संपाती रेखाओं के लिए \(\frac{k}{6}=\frac{4}{8}=\frac{12}{24}\), इसलिए (k=3)। संपाती स्थिति में पूरा समीकरण समान अनुपात में होता है। / For coincident lines, \(\frac{k}{6}=\frac{4}{8}=\frac{12}{24}\), so (k=3). In coincidence, the whole equation stays in the same ratio.
दूसरी रेखा पहली की (2) गुनी है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। एक ही रेखा के अनंत बिंदु समाधान होते हैं। / The second line is (2) times the first, so both are the same line. A same line has infinitely many solution points.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। ग्राफ में एक ही रेखा दिखे तो अनंत समाधान होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so both lines are the same. If one line overlaps the other, there are infinitely many solutions.
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=7\)। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती होंगी। / Here \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=7\). Therefore both lines will be coincident.
पहला समीकरण (4) से भाग देने पर (2x-3y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (4) gives (2x-3y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=5\)। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती होंगी। / Here \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=5\). Therefore both lines will be coincident.
