If a₁ = 5, b₁ = 10, c₁ = 15 and a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 3, how will the lines be?यदि a₁ = 5, b₁ = 10, c₁ = 15 और a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 3 हैं, तो रेखाएँ कैसी होंगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Coincidentसंपाती
For the pair a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, the graphical classification depends on the ratios of corresponding coefficients. Here, a₁/a₂ = 5/1 = 5, b₁/b₂ = 10/2 = 5, and c₁/c₂ = 15/3 = 5. Since all three ratios are equal, the two equations are scalar multiples of one another: the first equation is five times the second. Multiplying an equation by a nonzero constant does not change its graph, so both equations represent exactly the same line. Hence every point on that line is a common solution, giving infinitely many solutions. Distinct parallel lines would have only the first two ratios equal, not all three.दो रैखिक समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 की रेखाओं का प्रकार संगत गुणांकों के अनुपात से निर्धारित किया जाता है। यहाँ a₁/a₂ = 5/1 = 5, b₁/b₂ = 10/2 = 5 तथा c₁/c₂ = 15/3 = 5 हैं। तीनों अनुपात समान हैं, इसलिए दोनों समीकरण एक-दूसरे के अचर गुणज हैं; वास्तव में पहला समीकरण दूसरे का 5 गुना है। किसी समीकरण को शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसकी ज्यामितीय रेखा नहीं बदलती। इसलिए दोनों समीकरण उसी रेखा को दर्शाते हैं और उनकी रेखाएँ संपाती हैं। उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों का हल होगा, इसलिए अनंत हल मिलेंगे। अलग समांतर रेखाओं में तीसरा अनुपात पहले दो से भिन्न होता।
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