Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. रीढ़ या शरीर की मुख्य क्रिया दिशा/Spine or main action direction of the body
Explanation
Simple Explanation
मुख्य क्रिया दिशा पशु की चाल दिखाती है। परीक्षा में विवरण से पहले गति रेखा देखें। / Main action direction shows the animal's movement. Exam tip: observe movement line before details.
B. शिकार से पशुपालन की ओर संक्रमण/Transition from hunting to animal domestication
Explanation
Simple Explanation
आदमगढ़ से पशु उपयोग और जीवन पद्धति में बदलाव के संकेत मिलते हैं। परीक्षा में अस्थि प्रमाण को आर्थिक इतिहास से जोड़ें। / Adamgarh gives clues about animal use and changing lifeways. For exams, connect bone evidence with economic history.
A. जीव दया और नैतिक संयम/Compassion toward living beings and moral restraint
Explanation
Simple Explanation
अशोक ने जीवों के प्रति करुणा और संयम पर बल दिया। परीक्षा में धम्म को व्यवहारिक नैतिकता से जोड़ें। / Ashoka emphasized compassion and restraint toward living beings. For exams, connect Dhamma with practical morality.
A. जंतु तंत्रिका और हार्मोन से तथा पौधे रासायनिक पदार्थों और वृद्धि परिवर्तन से समन्वय करते हैं/Animals coordinate through nerves and hormones while plants coordinate through chemicals and growth changes
Step 1
Concept
जंतुओं में तेज नियंत्रण के लिए तंत्रिका तंत्र होता है। / Animals have a nervous system for quick control.
Step 2
Why this answer is correct
जंतुओं में हार्मोन लंबे समय के नियंत्रण में मदद करते हैं। / Hormones help animals in longer term control.
Step 3
Exam Tip
पौधे रासायनिक पदार्थों और वृद्धि की दिशा बदलकर प्रतिक्रिया दिखाते हैं। / Plants respond through chemicals and changes in growth direction.
B. लंबे ऐतिहासिक समय को दर्ज करने के लिए/To record long historical time
Explanation
Simple Explanation
लंबी गणना प्रणाली लंबी तिथियों और राजकीय घटनाओं को दर्ज करने में सहायक थी। परीक्षा में माया कालगणना को उन्नत मानें। / The Long Count system helped record long dates and royal events. For exams treat Maya chronology as advanced.
A. लंबी अवधि की तिथि गणना और खगोलीय समझ/Long-term date reckoning and astronomical understanding
Explanation
Simple Explanation
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल से जोड़ें। / The Long Count calendar is famous for long-term date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
A. लंबी अवधि की तिथि गणना/Long-term date reckoning
Explanation
Simple Explanation
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना में उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणित और खगोल ज्ञान से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Link it with Maya mathematics and astronomy.
लांग काउंट कैलेंडर लंबी अवधि की तिथियों को दर्ज करने के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया खगोल और गणना से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for recording long periods of dates. Link it with Maya astronomy and calculation.
A. लंबे समय की तिथियों को दर्ज करने के लिए/Recording long periods of dates
Explanation
Simple Explanation
लांग काउंट कैलेंडर लंबी तिथि गणना के लिए उपयोगी था। परीक्षा में इसे माया गणना और खगोल ज्ञान से जोड़ें। / The Long Count calendar was useful for long date reckoning. Connect it with Maya mathematics and astronomy.
पशुओं के लिए चारा और चरागाह जरूरी हैं। परीक्षा में जैविक संसाधन और आजीविका का संबंध समझें। / Animals need fodder and pasture. Exam tip: understand the link between biological resources and livelihood.
A. रोएं की दिशा में छोटे बदलते स्ट्रोक/Short varied strokes following fur direction
Explanation
Simple Explanation
रोएं की दिशा और लंबाई में विविधता प्राकृतिक बनावट देती है। परीक्षा में बाल या रोएं को समूह में देखें। / Variation in direction and length of fur strokes gives natural texture. In exams observe hair or fur in groups.
उजुंग कुलोन जावन गैंडे के संरक्षण के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। परीक्षा में इंडोनेशिया और संकटग्रस्त प्रजाति याद रखें। / Ujung Kulon is very important for conservation of the Javan rhinoceros. For exams remember Indonesia and endangered species.
कोमोडो राष्ट्रीय उद्यान विशाल छिपकली कोमोडो ड्रैगन और द्वीपीय पारिस्थितिकी के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इंडोनेशिया याद रखें। / Komodo National Park is famous for the giant lizard Komodo dragon and island ecology. For exams remember Indonesia.
A. पर्वतीय गोरिल्ला और घना उष्णकटिबंधीय वन/Mountain gorillas and dense tropical forest
Explanation
Simple Explanation
ब्विंडी पर्वतीय गोरिल्ला संरक्षण का अत्यंत महत्वपूर्ण स्थल है। परीक्षा में युगांडा और गोरिल्ला याद रखें। / Bwindi is a very important site for mountain gorilla conservation. For exams remember Uganda and gorillas.
काहुजी बीएगा पूर्वी निम्नभूमि गोरिल्ला संरक्षण के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में लोकतांत्रिक कांगो गणराज्य याद रखें। / Kahuzi Biega is famous for conservation of eastern lowland gorillas. For exams remember Democratic Republic of the Congo.
काजीरंगा एक सींग वाले गैंडे और बाढ़ मैदान पारिस्थितिकी के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में असम याद रखें। / Kaziranga is famous for one horned rhinoceros and floodplain ecology. For exams remember Assam.
A. कोमोडो ड्रैगन और द्वीपीय जैव विविधता/Komodo dragon and island biodiversity
Explanation
Simple Explanation
कोमोडो राष्ट्रीय उद्यान दुर्लभ प्रजाति और द्वीपीय पारिस्थितिकी के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इंडोनेशिया याद रखें। / Komodo National Park is famous for rare species and island ecology. For exams remember Indonesia.
काजीरंगा एक सींग वाले गैंडे के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे असम से जोड़ें। / Kaziranga is famous for the one horned rhinoceros. For exams connect it with Assam.
कोमोडो राष्ट्रीय उद्यान कोमोडो ड्रैगन के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इंडोनेशिया संदर्भ याद रखें। / Komodo National Park is famous for the Komodo dragon. For exams remember the Indonesia context.
B. प्रतीक अर्थ व्यापार और पहचान/Symbolic meaning trade and identity
Explanation
Simple Explanation
पशु आकृतियां आर्थिक और धार्मिक दोनों अर्थ दे सकती हैं। परीक्षा में मुहरों को बहुउद्देशीय स्रोत समझें। / Animal figures can carry both economic and religious meanings. For exams understand seals as multi-purpose sources.
A. व्यापारिक पहचान और संचार/Commercial identity and communication
Explanation
Simple Explanation
मुहरें व्यापार पहचान और संक्षिप्त संचार से जुड़ी मानी जाती हैं। परीक्षा में मुहरों को आर्थिक जीवन से जोड़ें। / Seals are linked with trade identity and brief communication. Connect seals with economic life in exams.
सिंधु मुहरों पर एक सींग वाला पशु अक्सर दिखता है। परीक्षा में मुहरों को व्यापार और पहचान से जोड़ें। / A unicorn-like animal often appears on Indus seals. In exams, link seals with trade and identity.
वैशाली का अशोक स्तंभ सिंह शीर्ष के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में अशोक स्तंभों के स्थान और पशु शीर्ष याद रखें। / The Ashokan pillar at Vaishali is famous for its lion capital. For exams remember locations and animal capitals of Ashokan pillars.
A. हड़प्पाई प्रतीकवाद और व्यापारिक पहचान/Harappan symbolism and trade identity
Explanation
Simple Explanation
एक सींग वाला पशु हड़प्पाई मुहरों का प्रमुख प्रतीक है। परीक्षा में प्रतीकों को निश्चित देवता मानने से बचें। / The unicorn animal is a major symbol on Harappan seals. For exams, avoid treating symbols as certain deities without proof.
सुरकोटदा को घोड़े जैसे अवशेषों की चर्चा से जोड़ा जाता है। परीक्षा में विवादित पुरातात्त्विक प्रमाणों को सावधानी से पढ़ें। / Surkotada is discussed in relation to horse-like remains. For exams, read debated archaeological evidence carefully.
सिंधु मुहरों पर एक सींग वाले पशु की आकृति बहुत सामान्य है। परीक्षा में मुहरों के प्रतीकों को सावधानी से पहचानें। / The unicorn like animal is very common on Indus seals. For exams, identify seal symbols carefully.
A. कुछ पशुओं की हत्या पर रोक और संयम/Restraint and prohibition on killing certain animals
Explanation
Simple Explanation
अशोक ने नैतिक आचरण और जीव दया पर जोर दिया। परीक्षा में धम्म को प्रशासनिक नैतिक नीति के रूप में समझें। / Ashoka emphasized moral conduct and compassion for living beings. For exams, understand Dhamma as an administrative moral policy.
हड़प्पा मुहरों पर एक सींग वाले पशु का चित्र प्रसिद्ध है। परीक्षा में मुहरों को व्यापार और पहचान से जोड़ें। / A unicorn-like animal is famous on Harappan seals. Link seals with trade and identity in exams.
सिंधु मुहरों पर एक सींग वाले पशु की आकृति प्रसिद्ध है। परीक्षा में मुहर और पशु आकृति को साथ याद रखें। / A unicorn like animal is famous on Indus seals. For exams remember seals with animal motifs.
A. वे संबद्ध आर्थिक संस्थाएं हैं मुख्य चार्टर अंग नहीं/They are affiliated economic institutions not principal Charter organs
Explanation
Simple Explanation
विश्व बैंक और आई एम एफ संयुक्त राष्ट्र प्रणाली से जुड़े आर्थिक संस्थान हैं पर छह प्रमुख अंग नहीं हैं। परीक्षा में संस्था प्रकार याद रखें। / The World Bank and IMF are economic institutions linked with the UN system but not principal organs. Exam tip: remember institution types.
A. पशु अस्थियों से भोजन और पशुपालन समझना/Understanding food and animal husbandry from animal bones
Explanation
Simple Explanation
पशु हड्डियां आहार और पशुपालन के प्रमाण देती हैं। परीक्षा में अस्थि अवशेषों को आर्थिक स्रोत मानें। / Animal bones provide evidence of diet and domestication. For exams, treat bone remains as economic sources.
A. भाषा प्रशासन शिक्षा रोजगार और सांस्कृतिक सम्मान से जुड़ी थी/Language was linked with administration education employment and cultural respect
Explanation
Simple Explanation
भाषा नीति अवसर और पहचान दोनों को प्रभावित करती है। परीक्षा में सांस्कृतिक राष्ट्र निर्माण याद रखें। / Language policy affects both opportunity and identity. For exams remember cultural nation building.
B. 2014 में दो और 2024 में पांच नाम थे/2014 had two names and 2024 had five names
Explanation
Simple Explanation
2014 में दो प्राप्तकर्ता थे जबकि 2024 में पांच नाम घोषित हुए। परीक्षा में हाल के वर्षों की संख्या याद रखें। / There were two recipients in 2014 while five names were announced in 2024. Remember the counts of recent years.
2024 में पांच व्यक्तियों के नाम भारत रत्न के लिए घोषित हुए। परीक्षा में 2024 की संख्या विशेष रूप से याद रखें। / In 2024 five persons were announced for the Bharat Ratna. Remember the 2024 count especially.
2024 में पांच व्यक्तियों के नाम घोषित हुए जो इस सूची में सबसे बड़ा समूह है। परीक्षा में 2024 की संख्या विशेष रूप से याद रखें। / In 2024 five names were announced making it the largest group in this list. Remember the 2024 count especially.
2019 में तीन और 2024 में पांच व्यक्तियों को भारत रत्न मिला या घोषित किया गया। परीक्षा में हाल के वर्षों की संख्या याद रखें। / In 2019 three persons and in 2024 five persons received or were announced for the Bharat Ratna. Remember the recent year counts.
यहाँ (D=4(a+4)2-4\(a^2+8a+20\)=-16<0) है। इसलिए वास्तविक मूलों की संख्या (0) है। / Here (D=4(a+4)2-4\(a^2+8a+20\)=-16<0). So the number of real roots is (0).
किसी भी वास्तविक (t) के लिए \(t^2+4>0\), इसलिए (D<0) है। अतः वास्तविक मूल (0) होंगे। / For any real (t), \(t^2+4>0\), so (D<0). Hence the number of real roots is (0).
इसमें (D=-19<0) है इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। (D<0) दिखते ही वास्तविक मूल (0) लिखें। / Here (D=-19<0), so there is no real root. When (D<0), write (0) real roots.
क्योंकि (D=-16<0) है इसलिए वास्तविक मूल (0) हैं। परीक्षा में (D<0) दिखते ही यही निष्कर्ष लिखें। / Because (D=-16<0), the number of real roots is (0). In exams write this conclusion as soon as (D<0) appears.
(D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं इसलिए अलग वास्तविक मूल (1) होता है। समान और भिन्न में अंतर याद रखें। / When (D=0), both roots are equal, so there is (1) different real root. Remember the difference between equal and distinct.
(D=0) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए अलग-अलग वास्तविक मूलों की संख्या (1) है। ध्यान रखें मूल दो बार दोहरता है। / At (D=0), both roots are equal, so the number of distinct real roots is (1). Remember the root is repeated.
(-12), (4), (15) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-2)=6) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-12), (4), and (15). Tip: do not treat (p(-2)=6) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
(-10), (3), (12) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-1)=4) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-10), (3), and (12). Tip: do not treat (p(-1)=4) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
(-9), (2), (6) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-4)=2) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-9), (2), and (6). Tip: do not treat (p(-4)=2) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
(-7), (1), (4) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(-3)=2) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-7), (1), and (4). Tip: do not treat (p(-3)=2) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
(-4), (2), (5) पर फलन मान (0) है। टिप: (p(0)=3) को शून्यक न मानें। / The function value is (0) at (-4), (2), and (5). Tip: do not treat (p(0)=3) as a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
पाँच अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (5) होनी चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For five distinct real zeroes the degree must be at least (5). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: (p(a)=0) से ((a,0)) मिलता है। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: (p(a)=0) gives ((a,0)).
हर अलग कटान या स्पर्श बिंदु एक अलग वास्तविक शून्यक देता है। टिप: अलग बिंदुओं को गिनें। / Each distinct crossing or touching point gives a distinct real zero. Tip: count distinct points.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होना चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
कटान केवल एक है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: घन बहुपद में अधिकतम तीन वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, जरूरी नहीं कि तीन हों। / There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
केवल एक (x)-अक्ष कटान दिख रहा है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: संख्या बिंदुओं की गिनती से आती है। / Only one (x)-axis intersection is visible so there is one real zero. Tip: the count comes from the number of points.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। / (30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें। / Do not count reversed order as a new pair.
संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें। / Do not split the same prime factor into both parts.
संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। / (42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें। / While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime.
संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए। / (m) and (n) must not share a prime factor.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। / (18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें। / For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs.
यदि \(d=2^a\times3^b\times7^c\), तो \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\) होगा। / If \(d=2^a\times3^b\times7^c\), then \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), इसलिए (a=0,1,2,3) चार तरीके, (b=0,1) दो तरीके, (c=0,1) दो तरीके। कुल \(4\times2\times2=16\)। / Conditions are \(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), so choices are (4,2,2). Total (=16).
Step 3
Exam Tip
वर्ग विभाजन में घातों को दुगना करके सीमा लगाएं। / For square divisibility, double the exponents and compare.
(5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें। / Do not include zero power for the required prime.
