Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
Step 3
Exam Tip
For even factors, exclude the case \(2^0\). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें।
The production is the decreasing AP \(420,402,384,\ldots\) and \(S_{15}=4410\). Exam tip: treat a decrease as a negative common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (4410). The production is the decreasing AP \(420,402,384,\ldots\) and \(S_{15}=4410\). Exam tip: treat a decrease as a negative common difference.
Step 3
Exam Tip
उत्पादन \(420,402,384,\ldots\) घटती समान्तर श्रेणी है और \(S_{15}=4410\)। परीक्षा में कमी को ऋणात्मक सार्व अंतर मानें।
The difference of the two equal block sums is (144d), so \(d=\frac{768}{144}=\frac{16}{3}\). Exam tip: recheck block-sum formulas carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5). The difference of the two equal block sums is (144d), so \(d=\frac{768}{144}=\frac{16}{3}\). Exam tip: recheck block-sum formulas carefully.
Step 3
Exam Tip
दो बराबर खंडों के योगों का अंतर (144d) है इसलिए \(d=\frac{768}{144}=5\frac{1}{3}\) नहीं बनता अतः सही संतुलित गणना से \(d=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा में खंड सूत्र दोबारा जांचें।
The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अनंत हल / Infinitely many solutions. The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
Step 3
Exam Tip
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं।
\(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), and \(924=2^2\times3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2^2\times3=12\) and \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), so \(L\div H=385\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, check common primes first and then all distinct primes. चरण 1: \(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), \(924=2^2\times3\times7\times11\) है। चरण 2: \(H=2^2\times3=12\) और \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), इसलिए \(L\div H=385\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी अलग अभाज्य देखें।
\(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=3\times7=21\) and \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), so \(L\div H=60\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, find HCF and LCM by their separate rules. चरण 1: \(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\) है। चरण 2: \(H=3\times7=21\) और \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), इसलिए \(L\div H=60\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य अलग-अलग नियमों से निकालें।
Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) and (n) must not share a prime factor. चरण 1: संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: (m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए।
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such two whole numbers are possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(420\div15=28\), which is a whole number, so such two whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
For existence checks, test divisibility first. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(420\div15=28\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। चरण 3: अस्तित्व जाँचते समय पहले विभाज्यता देखें।
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such two whole numbers are not possible
Step 1
Concept
The HCF must be an exact divisor of the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) is not exactly divisible by (20), so such two whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
Check this condition before trying to form a pair. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना जरूरी है। चरण 2: (420) को (20) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़ा बनाने से पहले यह शर्त अवश्य जाँचें।
Since (ab=420), \(b=\frac{420}{20}=21\), and (20) and (21) are coprime.
Step 3
Exam Tip
The coprime condition helps verify the final answer. चरण 1: \(a=2^2\times5=20\) है। चरण 2: (ab=420), इसलिए \(b=\frac{420}{20}=21\) है, और (20) तथा (21) सहाभाज्य भी हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त अंतिम उत्तर की जाँच में मदद करती है।
Simplify the division to save time. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(=\frac{15120}{420}=36\) है। चरण 3: भाग देने से पहले दोनों संख्याओं को सरल करके समय बचाएँ।
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
Check this necessary condition before trying pairs. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। चरण 2: (420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें।
\(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
Use only primes common to all numbers. चरण 1: सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। चरण 3: सभी संख्याओं में उपस्थित समान गुणनखंड ही लें।
The product of two numbers equals the product of their HCF and LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(420\times18480=7761600\).
Step 3
Exam Tip
Apply this formula directly only when exactly two numbers are involved. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: \(420\times18480=7761600\)। चरण 3: सवाल में ठीक दो संख्याएं हों, तभी यह सूत्र सीधे लगाएं।
Product of the two numbers is \(84\times4620=388080\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 420, so the other is \(388080\div420=924\).
Step 3
Exam Tip
As a check, the HCF of 420 and 924 is 84. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(84\times4620=388080\) होगा। चरण 2: एक संख्या 420 है, इसलिए दूसरी संख्या \(388080\div420=924\) है। चरण 3: जांच में 420 और 924 का महत्तम समापवर्तक 84 मिलता है।
In this relation, multiply the two given values directly. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(28\times420=11760\)। चरण 3: इस संबंध में दोनों मानों को सीधे गुणा करें।
Use the HCF-LCM relation in the correct situation. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(21\times420=8820\)। चरण 3: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के संबंध को सही स्थिति में प्रयोग करें।
