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वर्ग का क्षेत्रफल ((x+1)2) है और विस्तार \(x^2+2x+1\) मिलता है। परीक्षा में दो (x) आयतों को जोड़ना याद रखें। / The area is ((x+1)2), and the expansion is \(x^2+2x+1\). Exam tip: remember to add the two (x)-rectangles.
छोटे वर्ग की भुजा (2) है इसलिए क्षेत्रफल \(2^2=4\) होगा। परीक्षा में स्थिर पद को छोटे वर्ग से जोड़ें। / The small square has side (2), so its area is \(2^2=4\). Exam tip: connect the constant term with the small square.
((p+5)2) में दो (5p) आयत और (25) छोटा वर्ग होता है। इसलिए क्षेत्रफल \(p^2+10p+25\) है। / In ((p+5)2), there are two (5p) rectangles and a small square (25). So the area is \(p^2+10p+25\).
वर्ग का क्षेत्रफल ((a-b)2) होता है। विस्तार करने पर \(a^2-2ab+b^2\) मिलता है। / The area of the square is ((a-b)2). On expanding, it gives \(a^2-2ab+b^2\).
\(a^2-b^2\) में बड़े \(a^2\) वर्ग से छोटा \(b^2\) वर्ग हटता है। परीक्षा में घटाए गए वर्ग को पहचानें। / In \(a^2-b^2\), the smaller \(b^2\) square is removed from the larger \(a^2\) square. Exam tip: identify the removed square.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot10\cdot1=20\) है। परीक्षा में मध्य भाग को दो बराबर आयतों से जोड़ें। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot10\cdot1=20\). Exam tip: link the middle part with two equal rectangles.
A. एक a² वाला वर्ग, एक b² वाला वर्ग और ab वाले दो आयत/One square of area a², one square of area b², and two rectangles of area ab
Explanation
Simple Explanation
भुजा a+b वाले वर्ग को a और b की लंबाइयों में बाँटने पर a² का एक वर्ग, b² का एक वर्ग तथा ab के दो आयत बनते हैं। दोनों आयतों का योग 2ab है। परीक्षा में मिश्रित पद के लिए दो आयत अवश्य गिनें। / Dividing a square of side a+b into lengths a and b gives one a² square, one b² square, and two ab rectangles. The two rectangles together give 2ab. In exams, count both mixed rectangles, not just one.
आयत मॉडल में स्थिर भाग वह छोटा आयत है जिसकी भुजाएँ 2 और 4 हैं। इसलिए उसका क्षेत्रफल \(2\times4=8\) है। \(6\), \(2+4\) से मिलता है, जो मध्य पद \(6x\) के गुणांक से जुड़ा है, स्थिर क्षेत्रफल से नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद पाने के लिए केवल दोनों संख्यात्मक पदों का गुणन करें। / In the rectangle model, the constant part is the small rectangle with side lengths 2 and 4. Its area is \(2\times4=8\). The value 6 comes from \(2+4\), which is related to the coefficient of the middle term \(6x\), not to the constant area. Exam tip: to find the constant term, multiply only the numerical terms.
A. लंबाई (x+3) और चौड़ाई (x+4)/Length (x+3) and breadth (x+4)
Explanation
Simple Explanation
((x+3)(x+4)=x-2+4x+3x+12=x-2+7x+12) है। परीक्षा में मध्य पद के लिए दोनों (x)-भाग जोड़ें। / ((x+3)(x+4)=x-2+4x+3x+12=x-2+7x+12). Exam tip: add both (x)-parts for the middle term.
बड़े वर्ग की भुजा (10) है इसलिए उसका क्षेत्रफल \(10^2=100\) है। परीक्षा में बड़े और छोटे वर्ग अलग पहचानें। / The large square has side (10), so its area is \(10^2=100\). Exam tip: identify large and small squares separately.
तीन पंक्तियां और तीन स्तंभ मिलकर \(3\cdot3=9\) क्षेत्र बनाते हैं। परीक्षा में पंक्तियों और स्तंभों को गुणा करें। / Three rows and three columns make \(3\cdot3=9\) regions. Exam tip: multiply rows and columns.
\(a^2\), \(b^2\), और \(c^2\) अलग-अलग वर्गों के क्षेत्रफल हैं। परीक्षा में वर्ग पद और आयत पद अलग पहचानें। / \(a^2\), \(b^2\), and \(c^2\) are areas of separate squares. Exam tip: identify square terms and rectangle terms separately.
(ab) और (ba) बराबर क्षेत्रफल वाले दो आयत हैं। परीक्षा में गुणन के क्रम से क्षेत्रफल नहीं बदलता। / (ab) and (ba) are two rectangles with equal area. Exam tip: the order of multiplication does not change area.
वर्ग मॉडल में दो (uv) आयत होते हैं। इसलिए विस्तार \(u^2+2uv+v^2\) है। / The square model has two (uv) rectangles. Therefore the expansion is \(u^2+2uv+v^2\).
((20-2)2) में छोटा वर्ग \(2^2=4\) है। परीक्षा में दो आयत घटाने के बाद छोटा वर्ग जोड़ें। / In ((20-2)2), the small square is \(2^2=4\). Exam tip: after subtracting two rectangles, add the small square.
((x+2)(x+4)=x-2+4x+2x+8=x-2+6x+8) है। परीक्षा में स्थिर पद के कारक देखें। / ((x+2)(x+4)=x-2+4x+2x+8=x-2+6x+8). Exam tip: look at the factors of the constant term.
((x-5)2) में दो (5x) आयत घटते हैं और (25) जुड़ता है। इसलिए \(x^2-10x+25\) मिलता है। / In ((x-5)2), two (5x) rectangles are subtracted and (25) is added. So \(x^2-10x+25\) is obtained.
वर्ग की भुजा \(x+7\) होने पर उसके दृश्य मॉडल में एक बड़ा वर्ग \(x\times x\), दो समान आयतें \(x\times 7\), तथा एक छोटा वर्ग बनता है। दोनों आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\times 7x=14x\) है, इसलिए छोटे वर्ग की प्रत्येक भुजा \(7\) होगी और उसका क्षेत्रफल \(49\) होगा। \(49\) क्षेत्रफल है, भुजा नहीं। परीक्षा टिप: \((a+b)^2\) के मॉडल में छोटे वर्ग की भुजा हमेशा \(b\) होती है। / For a square of side \(x+7\), the visual model contains one large \(x\times x\) square, two equal \(x\times 7\) rectangles, and one small square. The two rectangles have total area \(2\times 7x=14x\), so each side of the small square is \(7\), and its area is \(49\). Thus, \(49\) is the area, not the side length. Exam tip: In the model of \((a+b)^2\), the side of the small square is always \(b\).
B. वर्ग हटाने और पुनर्व्यवस्था मॉडल/Square removal and rearrangement model
Explanation
Simple Explanation
बड़े वर्ग से छोटा वर्ग हटाकर बचे क्षेत्र को आयत में सजाया जाता है। इससे ((a-b)(a+b)) मिलता है। / The smaller square is removed from the larger square and the remaining area is arranged as a rectangle. This gives ((a-b)(a+b)).
यहाँ \(24=25-1\) और \(26=25+1\) हैं। पहचान \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) लगाने पर \((25-1)(25+1)=25^2-1^2=625-1=624\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 624 है। 625 केवल मध्य संख्या 25 का वर्ग है; उसमें से \(1^2\) घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: समान दूरी वाले दो संख्याओं के गुणनफल में मध्य संख्या का वर्ग लेकर दूरी का वर्ग घटाएँ। / Here, \(24=25-1\) and \(26=25+1\). Using \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \((25-1)(25+1)=25^2-1^2=625-1=624\). Therefore, 624 is correct. 625 is only the square of the middle number 25; \(1^2\) must still be subtracted. Exam tip: for two numbers equally spaced from a middle number, square the middle number and subtract the square of the distance.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot2a\cdot3=12a\) है। परीक्षा में गुणांक सहित भुजा लें। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot2a\cdot3=12a\). Exam tip: take the side along with its coefficient.
बड़े वर्ग का क्षेत्रफल \(4x^2\), मध्य भाग (12x), और छोटा वर्ग (9) है। परीक्षा में तीनों भाग जोड़ें। / The larger square area is \(4x^2\), the middle part is (12x), and the small square is (9). Exam tip: add all three parts.
क्षेत्र मॉडल में भुजाएँ \(a+1\) और \(a+6\) होती हैं। स्थिर भाग उन दो स्थिर संख्याओं के गुणन से मिलता है: \(1\times 6=6\)। इसलिए सही उत्तर \(6\) है। \(7\), \(1+6\) है, जो मध्य पद के गुणांक से जुड़ा है, स्थिर भाग नहीं। परीक्षा टिप: क्षेत्र मॉडल में केवल संख्या × संख्या वाले छोटे आयत को पहचानें। / In the area model, the side lengths are \(a+1\) and \(a+6\). The constant part comes from multiplying the two constants: \(1\times 6=6\). Therefore, the correct answer is \(6\). The value \(7\) is \(1+6\), which relates to the coefficient of the middle term, not the constant term. Exam tip: identify the small rectangle formed by number × number.
((x+2)(x+3)=x-2+3x+2x+6=x-2+5x+6) है। परीक्षा में दो कारकों का योग (5) और गुणन (6) देखें। / ((x+2)(x+3)=x-2+3x+2x+6=x-2+5x+6). Exam tip: check that the two factors add to (5) and multiply to (6).
(30+2=32) और क्षेत्रफल \(32^2=1024\) है। परीक्षा में क्षेत्र मॉडल से भागों का योग भी कर सकते हैं। / (30+2=32), and the area is \(32^2=1024\). Exam tip: you can also add the parts of the area model.
((a-b)2) में (2ab) घटता है। यहां घटने वाला क्षेत्र \(2\cdot50\cdot3\) है। / In ((a-b)2), (2ab) is subtracted. Here the subtracted area is \(2\cdot50\cdot3\).
(x-2-4x+4=(x-2)2) है। परीक्षा में ऋण मध्य पद देखकर घटाव वाला वर्ग पहचानें। / (x-2-4x+4=(x-2)2). Exam tip: identify the subtraction square from the negative middle term.
A. क्योंकि कोना दो बार हट जाता है/Because the corner is removed twice
Explanation
Simple Explanation
घटाव मॉडल में \(b^2\) कोना दो बार हट जाता है। सही क्षेत्र के लिए उसे एक बार वापस जोड़ा जाता है। / In the subtraction model, the \(b^2\) corner is removed twice. It is added back once for the correct area.
A. भुजा (x) वाले वर्ग से भुजा (3) वाला वर्ग हटाना/Removing a square of side (3) from a square of side (x)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-9=x^2-3^2\) है। इसलिए (x) वर्ग से (3) वर्ग हटाने का मॉडल सही है। / \(x^2-9=x^2-3^2\). Therefore removing a square of side (3) from a square of side (x) is correct.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot3\cdot2=12\) है। परीक्षा में मध्य भाग को दो समान आयत मानें। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot3\cdot2=12\). Exam tip: treat the middle part as two equal rectangles.
((5+2)2) का वर्ग मॉडल \(5^2\), \(5\cdot2\), \(5\cdot2\), और \(2^2\) चार भाग देता है। परीक्षा में चारों भाग जोड़ें। / The square model of ((5+2)2) gives four parts \(5^2\), \(5\cdot2\), \(5\cdot2\), and \(2^2\). Exam tip: add all four parts.
\(81=9^2\) और दो (9x) आयत मिलकर (18x) देते हैं। इसलिए पूरा वर्ग ((x+9)2) है। / \(81=9^2\), and the two (9x) rectangles give (18x). So the whole square is ((x+9)2).
