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समान आधारों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)। इसलिए \(a^3 \times a^4 = a^{3+4}=a^7\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में घातांकों को गुणा किया गया है, जो इस नियम में गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के गुणन में घातांक जोड़ें, जबकि समान आधारों के भाग में घातांक घटाएँ। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\). Thus, \(a^3 \times a^4 = a^{3+4}=a^7\), so option A is correct. Option B incorrectly multiplies the exponents, which is not the rule for multiplication of like bases. Exam tip: add exponents for multiplication of like bases and subtract them for division.
क्योंकि \(32 = 2^5\), इसलिए \(2^x = 2^5\) होगा। समान आधार वाली घातों में घातांक समान होते हैं, अतः \(x=5\)। विकल्प 4 गलत है क्योंकि \(2^4=16\) होता है। परीक्षा में पहले दी गई संख्या को उसी आधार की घात के रूप में लिखें। / Since \(32 = 2^5\), the equation becomes \(2^x = 2^5\). For powers with the same base, the exponents are equal, so \(x=5\). Option 4 is incorrect because \(2^4=16\). In exams, first express the given number as a power of the same base.
घातांकों के नियम से (x+y=12) और (x-y=2) हल करने पर (x=7, y=5) मिलता है। परीक्षा में दो समीकरण बनाकर हल करना आसान तरीका है। / Using exponent rules we get (x+y=12) and (x-y=2), solving gives (x=7, y=5). Form equations and solve for quick exam accuracy.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: x-5 × x-2 = x^{5+2} = x-7। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में घातांकों को गुणा किया गया है, जो इस नियम में सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के गुणन में आधार वही रहता है और घातांक जुड़ते हैं। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: x-5 × x-2 = x^{5+2} = x-7. Therefore, option A is correct. Option B incorrectly multiplies the exponents, whereas this rule requires their addition. Exam tip: for multiplication of like bases, keep the base unchanged and add the exponents.
क्योंकि 81 को 3 की घात के रूप में लिखने पर \(81 = 3^4\) मिलता है। अतः \(3^x = 3^4\) होने पर समान आधारों की घातें बराबर होती हैं, इसलिए \(x=4\)। विकल्प 3 और 5 क्रमशः \(27\) और \(243\) देते हैं, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले दाईं ओर की संख्या को बाईं ओर के आधार की घात के रूप में बदलें। / Since 81 can be expressed as \(3^4\), the equation becomes \(3^x = 3^4\). For equal positive bases other than 1, their exponents must be equal; therefore, \(x=4\). Options 3 and 5 would give \(27\) and \(243\), respectively, so they are incorrect. Exam tip: rewrite the given number as a power of the same base before comparing exponents.
घात के घात पर नियम
\((a^m)^n=a^{mn}\) लागू होता है। इसलिए
\((a^2)^3=a^{2\times3}=a^6\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में घातों को जोड़कर 9 किया गया है, जो इस नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा-टिप: जब किसी घात पर फिर घात हो, तो दोनों घातों का गुणन करें। / For a power raised to another power, use the rule \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((a^2)^3=a^{2\times3}=a^6\), so option A is correct. Option C is incorrect because it adds the exponents to get 9; exponents are multiplied in this situation. Exam tip: When a power is raised to another power, multiply the exponents.
\(\sqrt{a^6}=\sqrt{(a^3)^2}=|a^3|\) होता है, क्योंकि किसी संख्या के वर्ग का वर्गमूल उसका परिमाण देता है। केवल \(a^3\) तभी लिखा जा सकता है जब \(a\geq 0\) माना गया हो। परीक्षा में सम घात के वर्गमूल को सरल करते समय परिमाण चिह्न लगाना याद रखें। / \(\sqrt{a^6}=\sqrt{(a^3)^2}=|a^3|\), because the square root of a number squared is its absolute value. The expression \(a^3\) is valid directly only when \(a\geq 0\) is assumed. Exam tip: retain the absolute-value sign when simplifying the square root of an even power unless the variable's sign is specified.
समान आधारों के गुणन में घातों को जोड़ा जाता है: 23 × 24 = 2^(3+4) = 27। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में घातों को गुणा किया गया है, जो इस नियम में गलत है। परीक्षा टिप: समान आधारों के गुणन के लिए a^m × a^n = a^(m+n) याद रखें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: 23 × 24 = 2^(3+4) = 27. Therefore, option A is correct. Option B incorrectly multiplies the exponents, which is not the rule for multiplying like bases. Exam tip: remember a^m × a^n = a^(m+n) for multiplication of powers with the same base.
घात के घात पर नियम (\(a^m\)^n=a^{mn}) लागू होता है। इसलिए (\(x^{1/2}\)4=x^{(1/2)\times4}=x-2) । अतः सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में मूल घात को नहीं बदला गया है, जबकि विकल्प C और D में गुणन गलत किया गया है। परीक्षा-युक्ति: जब किसी घात पर फिर घात हो, तो दोनों घातों का गुणन करें। / Use the power-of-a-power rule (\(a^m\)^n=a^{mn}) . Thus, (\(x^{1/2}\)4=x^{(1/2)\times4}=x-2) , so option A is correct. Option B leaves the original exponent unchanged, while options C and D result from multiplying the exponents incorrectly. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the two exponents.
समान आधार वाली घातों को भाग देने पर घातांक घटाए जाते हैं: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), जहाँ \(a\ne0\)। इसलिए \(\frac{a^6}{a^2}=a^{6-2}=a^4\)। परीक्षा में भाग के समय घातांकों को जोड़ने के बजाय घटाना याद रखें। / When powers with the same non-zero base are divided, their exponents are subtracted: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), where \(a\ne0\). Thus, \(\frac{a^6}{a^2}=a^{6-2}=a^4\). Exam tip: subtract exponents for division of like bases; do not add them.
समान आधार वाली घातों के भाग में घात घटाई जाती हैं: \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\), जहाँ \(x\neq0\)। इसलिए \(\frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3\)। विकल्प B में घातों को जोड़ दिया गया है, जो भाग के लिए सही नियम नहीं है। परीक्षा टिप: गुणा में घातें जुड़ती हैं, जबकि भाग में घटती हैं। / For division of powers with the same non-zero base, subtract the exponents: \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\), where \(x\neq0\). Thus, \(\frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3\). Option B incorrectly adds the exponents, which is the rule for multiplication, not division. Exam tip: add exponents in multiplication and subtract them in division when the bases are the same.
यदि a और b ऐसे मान हों कि a-2b-3 ≠ 0, तो शून्य घात का नियम लागू होता है: किसी भी अशून्य संख्या या अभिव्यक्ति के लिए x-0 = 1। इसलिए (\(a^2 b^3\)0) = 1 है। विकल्प 0 घात का मान नहीं, बल्कि आधार के शून्य होने से जुड़ी अलग स्थिति हो सकती है। परीक्षा-युक्ति: पहले जाँचें कि आधार अशून्य है, फिर शून्य घात पर सीधे 1 लिखें। / If a and b have values such that a-2b-3 ≠ 0, the zero-exponent rule applies: for every non-zero number or expression, x-0 = 1. Therefore, (\(a^2 b^3\)0) = 1. Option 0 is not the value of a non-zero expression raised to the zero power; it relates to a different case in which the base is zero. Exam tip: check that the base is non-zero, then use the zero-exponent rule directly.
किसी भी अशून्य संख्या या चर के लिए घातांक का नियम है: \(a^m \div a^m = a^{m-m}=a^0\)। बाएँ पक्ष का मान 1 होता है, इसलिए \(a^0=1\), जहाँ \(a\neq 0\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C केवल तब सही होता जब घात 1 होता, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी अशून्य आधार की शून्य घात का मान हमेशा 1 याद रखें। / For any non-zero number or variable, the exponent rule gives \(a^m \div a^m=a^{m-m}=a^0\). The left-hand side equals 1, so \(a^0=1\) for \(a\neq 0\). Therefore, option A is correct. Option C would apply when the exponent is 1, not 0. Exam tip: the zeroth power of every non-zero base is 1.
शून्येतर किसी भी संख्या की घात 0 का मान 1 होता है। इसलिए \(5^0=1\), \(2^0=1\) और \(3^0=1\)। अतः \(\frac{5^0+2^0}{3^0}=\frac{1+1}{1}=2\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(a^0=1\) का नियम केवल \(a\neq0\) के लिए लागू होता है। / The zeroth power of every non-zero number is 1. Thus, \(5^0=1\), \(2^0=1\), and \(3^0=1\). Therefore, \(\frac{5^0+2^0}{3^0}=\frac{1+1}{1}=2\), so option A is correct. Exam tip: remember that \(a^0=1\) for \(a\neq0\); do not confuse it with the undefined expression \(0^0\).
पहले घात के घात नियम से
\((x^2)^3=x^{2\times3}=x^6\)। फिर समान आधार वाली घातों के गुणन के नियम \(x^m\times x^n=x^{m+n}\) के अनुसार \(x^6\times x^{-1}=x^{6+(-1)}=x^5\)। इसलिए सही उत्तर x-5 है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक घात को जोड़ते समय उसका चिह्न भी शामिल किया जाता है; केवल 6 लिखना गलत होगा। / Using the power-of-a-power rule, \((x^2)^3=x^{2\times3}=x^6\). Then, for the product of powers with the same base, \(x^m\times x^n=x^{m+n}\), so \(x^6\times x^{-1}=x^{6+(-1)}=x^5\). Therefore, the correct answer is x-5. Exam tip: when adding exponents, include the negative sign; treating
\(x^{-1}\) as \(x^1\) would incorrectly give x-7.
घात के ऊपर घात होने पर घातांक आपस में गुणा किए जाते हैं:
\((x^3)^2 = x^{3\times2}=x^6\)। इसलिए सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि \((x^3)^2\) में घातांकों का जोड़ नहीं, बल्कि गुणा होता है; अतः \(x^5\) गलत है। / When a power is raised to another power, the exponents are multiplied: \((x^3)^2=x^{3\times2}=x^6\). Therefore, option A is correct. Remember that the exponents are multiplied, not added, so \(x^5\) is incorrect.
भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं: \(a^{3-(-1)}=a^4\) और \(b^{-2-1}=b^{-3}\)। इसलिए पूरा मान \(a^4b^{-3}\) है, अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में घातों का सही घटाव नहीं किया गया है। याद रखें: \(x^m/x^n=x^{m-n}\), और यहाँ हर शून्य नहीं होना चाहिए। / When dividing powers with the same base, subtract the exponents: \(a^{3-(-1)}=a^4\) and \(b^{-2-1}=b^{-3}\). Therefore, the value is \(a^4b^{-3}\), so option A is correct. Option B results from an incorrect subtraction of the exponents. Remember: \(x^m/x^n=x^{m-n}\), with the denominator required to be non-zero.
घात के घात का नियम है:
\((a^m)^n=a^{mn}\)। इसलिए \((2^2)^3=2^{2\times3}=2^6=64\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में घातों को गलत तरीके से जोड़ने या बढ़ाने का संकेत मिलता है; यहाँ घातों का गुणन किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी घात पर फिर घात हो, तो दोनों घातों को गुणा करें। / Use the power-of-a-power rule: \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((2^2)^3=2^{2\times3}=2^6=64\), so option A is correct. Option C is incorrect because the exponents are not combined by adding or arbitrarily increasing them; they must be multiplied. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents.
क्योंकि 4 = 22, इसलिए \(4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}\)। अतः \(2^3 \cdot 4^{-1} = 2^3 \cdot 2^{-2} = 2^{3-2} = 2\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों को गुणा करते समय घातांक घटाएँ, और ऋणात्मक घात को व्युत्क्रम के रूप में भी जाँच सकते हैं। / Since 4 = 22, we have \(4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}\). Therefore, \(2^3 \cdot 4^{-1} = 2^3 \cdot 2^{-2} = 2^{3-2} = 2\). Hence, option A is correct. Exam tip: When multiplying powers with the same base, subtract the exponents; you can also verify a negative exponent by taking the reciprocal.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: 34 × 31 = 3^(4+1) = 35। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि समान आधारों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं, जबकि भाग में घटाए जाते हैं। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: 34 × 31 = 3^(4+1) = 35. Therefore, option A is correct. Remember: add exponents for multiplication with the same base, but subtract them for division.
पहले, \(y^{-3}=\frac{1}{y^3}\), इसलिए \(x^3y^{-3}=\frac{x^3}{y^3}\)। अब पूरे व्यंजक का घात \(-1\) है, जो भिन्न का व्युत्क्रम कर देता है: \(\left(\frac{x^3}{y^3}\right)^{-1}=\frac{y^3}{x^3}\)। अतः सही उत्तर A है। यहाँ \(x\) और \(y\) शून्येतर माने जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) और \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}\) याद रखें। / First, \(y^{-3}=\frac{1}{y^3}\), so \(x^3y^{-3}=\frac{x^3}{y^3}\). The exponent \(-1\) on the entire expression takes the reciprocal: \(\left(\frac{x^3}{y^3}\right)^{-1}=\frac{y^3}{x^3}\). Therefore, option A is correct. Here, \(x\) and \(y\) are assumed to be nonzero. Exam tip: remember \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) and \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}\).
समान आधार वाली घातों के भाग के नियम के अनुसार \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)। इसलिए \(\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में घातों को जोड़ दिया गया है, जो गुणा के मामले में होता है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के भाग में घात घटाएँ। / For division of powers with the same base, use \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\). Thus, \(\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4\), so option A is correct. Option B results from adding the exponents, which is the rule for multiplication, not division. Exam tip: subtract the exponents when dividing powers with the same non-zero base.
दिए गए व्यंजक में \(a^{-2}\) हर में है। ऋणात्मक घात का नियम \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) लगाने पर \(\frac{1}{a^{-2}b^3}=\frac{a^2}{b^3}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक घात को भिन्न की दूसरी ओर ले जाने पर उसका चिह्न बदल जाता है; \(b^3\) हर में ही रहता है। / In the given expression, \(a^{-2}\) is in the denominator. Using the rule \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), we get \(\frac{1}{a^{-2}b^3}=\frac{a^2}{b^3}\). Therefore, option A is correct. Exam tip: when a factor with a negative exponent moves across a fraction bar, the sign of its exponent changes, while \(b^3\) remains in the denominator.
ऋणात्मक घात का नियम है \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), जहाँ \(a\neq0\)। इसलिए \(a^{-2}=\frac{1}{a^2}\)। विकल्प B धनात्मक घात है, जबकि विकल्प D केवल \(a^{-1}\) के बराबर है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक घात दिखे तो आधार का व्युत्क्रम लेकर घात को धनात्मक कर दें। / The rule for a negative exponent is \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), where \(a\neq0\). Therefore, \(a^{-2}=\frac{1}{a^2}\). Option B is the positive exponent form, while option D represents only \(a^{-1}\). Exam tip: for a negative exponent, take the reciprocal of the base and change the exponent to positive.
भिन्न घात के नियम के अनुसार, पहले 27 को 33 के रूप में लिखते हैं: 27 = 33। इसलिए (27)^{2/3} = \(3^3\)^{2/3} = 3^{(3×2/3)} = 32 = 9। अतः सही उत्तर 9 है। ध्यान रखें कि घात 2/3 में पहले घनमूल और फिर वर्ग लेना सुविधाजनक होता है: ∛27 = 3 और 32 = 9। विकल्प 3 केवल घनमूल बताता है, जबकि 27 मूल संख्या है। / Using the fractional exponent rule, write 27 as 33: 27 = 33. Therefore, (27)^{2/3} = \(3^3\)^{2/3} = 3^{(3×2/3)} = 32 = 9. Hence, option A is correct. An efficient exam method is to take the cube root first and then square: ∛27 = 3, so 32 = 9. Option 3 gives only the cube root, while 27 is the original number.
ऋणात्मक घात का नियम है: \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\), जहाँ \(x\neq0\)। इसलिए \(x^{-3}=\frac{1}{x^3}\) होगा। विकल्प B धनात्मक घात देता है, जबकि विकल्प C ऋण चिह्न को अलग से लगा देता है, जो इस नियम के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक घात दिखे तो आधार का व्युत्क्रम लेकर घात को धनात्मक कर दें। / The negative-exponent rule is \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\), where \(x\neq0\). Therefore, \(x^{-3}=\frac{1}{x^3}\). Option B represents a positive exponent, while option C incorrectly adds a minus sign instead of taking the reciprocal. Exam tip: for a negative exponent, take the reciprocal of the base and make the exponent positive.
64 को घात के रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं: \(64=4^3\)। इसलिए \((64)^{1/3}=(4^3)^{1/3}=4\)। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि \(8^3=512\), 64 नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या की घात \(1/n\) उसके nवें मूल को दर्शाती है। / Write 64 as a perfect cube: \(64=4^3\). Therefore, \((64)^{1/3}=(4^3)^{1/3}=4\), so option A is correct. Option 8 is incorrect because \(8^3=512\), not 64. Exam tip: an exponent of \(1/n\) represents the nth root of a number.
जहाँ \(a\neq 0\), ऋणात्मक घात का नियम \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) होता है। इसलिए \(a^{-4}=\frac{1}{a^4}\), और \(\frac{1}{a^{-4}}=\frac{1}{1/a^4}=a^4\)। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्न के हर में उपस्थित ऋणात्मक घात को पहले धनात्मक घात में बदलकर भिन्न को सरल करें। / For \(a\neq 0\), the negative-exponent rule is \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Thus, \(a^{-4}=\frac{1}{a^4}\), so \(\frac{1}{a^{-4}}=\frac{1}{1/a^4}=a^4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: first rewrite a negative exponent as a reciprocal, then simplify the resulting fraction.
किसी घात के ऊपर फिर घात हो, तो दोनों घातों का गुणन किया जाता है: \((a^m)^n=a^{m\times n}=a^{mn}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में घातों को जोड़ना गलत है; जोड़ का नियम समान आधारों के गुणन में लागू होता है। परीक्षा में “घात का घात” देखते ही घातों को गुणा करने का नियम याद रखें। / When a power is raised to another power, the exponents are multiplied: \((a^m)^n=a^{m\times n}=a^{mn}\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because adding exponents applies to multiplication of powers with the same base, not to a power raised to another power. Exam tip: for “power of a power,” multiply the exponents.
घातांक के नियम के अनुसार, समान आधारों के भाग में घातांक घटते हैं: \(x^m/x^n=x^{m-n}\)। फिर समान आधारों के गुणन में घातांक जुड़ते हैं, इसलिए \(x^{m-n}\cdot x^p=x^{m-n+p}\)। विकल्प C में भाग देने पर घातांक घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है और विकल्प D में \(p\) का चिह्न गलत है। यह सरलीकरण \(x\neq0\) के लिए मान्य है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों में भाग के लिए घातांक घटाएँ और गुणन के लिए जोड़ें। / Using the laws of exponents, division of like bases gives \(x^m/x^n=x^{m-n}\). Multiplication of like bases then adds the exponents, so \(x^{m-n}\cdot x^p=x^{m-n+p}\). Option C incorrectly adds the exponents in the quotient, while option D uses the wrong sign for \(p\). This simplification is valid for \(x\neq0\). Exam tip: subtract exponents when dividing like bases and add them when multiplying like bases.
घात के घात के नियम के अनुसार
\((a^m)^n=a^{mn}\)। इसलिए
\((a^{-1})^3=a^{(-1)\times3}=a^{-3}\), जहाँ \(a\ne0\) होना आवश्यक है। विकल्प B में ऋणात्मक घात की उपेक्षा की गई है और विकल्प C में घातों का गलत गुणन किया गया है। परीक्षा-टिप: ‘घात का घात’ होने पर दोनों घातों को गुणा करें। / Using the power-of-a-power rule, \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((a^{-1})^3=a^{(-1)\times3}=a^{-3}\), provided \(a\ne0\). Option B ignores the negative exponent, while option C results from an incorrect calculation of the exponents. Exam tip: When a power is raised to another power, multiply the exponents.
क्योंकि 8 = 23, इसलिए x = 3 और 27 = 33, इसलिए y = 3। अतः x + y = 3 + 3 = 6, इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा में ऐसी समस्याओं में पहले प्रत्येक चर का मान अलग-अलग ज्ञात करके अंत में उनका योग करें। / Since 8 = 23, x = 3, and since 27 = 33, y = 3. Therefore, x + y = 3 + 3 = 6, so option C is correct. In exponent questions, first determine each variable separately and then perform the required operation.
घात के घात पर लागू नियम
\((a^m)^n=a^{mn}\) के अनुसार, \((2^{-2})^2=2^{(-2)\times2}=2^{-4}=\frac{1}{16}\) होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में घात का चिह्न गलत रूप से धनात्मक कर दिया गया है। परीक्षा-टिप: किसी घात को दूसरी घात तक उठाने पर दोनों घातों का गुणन किया जाता है। / Using the power-of-a-power rule \((a^m)^n=a^{mn}\), \((2^{-2})^2=2^{(-2)\times2}=2^{-4}=\frac{1}{16}\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because it changes the negative exponent to a positive one. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents.
अंश और हर में समान आधारों की घातें घटाई जाती हैं: \(a^{3-1}b^{2-1}=a^2b\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C में \(a\) और \(b\) की एक-एक घात को भी पूरी तरह घटा दिया गया है, जो गलत है। परीक्षा-टिप: भाग करते समय समान आधारों के लिए \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\) का नियम लगाएँ; यहाँ \(a\neq0\) और \(b\neq0\) माना जाता है। / For like bases in a quotient, subtract the exponent in the denominator from the exponent in the numerator: \(a^{3-1}b^{2-1}=a^2b\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because it reduces both factors too far. Exam tip: use \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\) for the same nonzero base; here \(a\neq0\) and \(b\neq0\) are assumed.
गुणनफल पर घात का नियम
\((xy)^n=x^ny^n\) होता है। इसलिए \((ab)^2=a^2b^2\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B और C में केवल एक चर पर घात लगाई गई है, जबकि विकल्प D में गुणन को जोड़ में बदल दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी गुणनफल पर घात हो तो घात प्रत्येक गुणक पर अलग-अलग लगाएँ। / The power of a product follows the rule \((xy)^n=x^ny^n\). Therefore, \((ab)^2=a^2b^2\), so option A is correct. Options B and C apply the exponent to only one variable, while option D incorrectly changes multiplication into addition. Exam tip: when a product is raised to a power, apply that power to every factor.
यहाँ 4 को 22 के रूप में लिखते हैं। इसलिए \(2^5 \times 4^2 = 2^5 \times (2^2)^2 = 2^5 \times 2^4 = 2^{5+4}=2^9\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में घातों का गलत योग किया गया है। परीक्षा-टिप: समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं। / Write 4 as \(2^2\). Then \(2^5 \times 4^2 = 2^5 \times (2^2)^2 = 2^5 \times 2^4 = 2^{5+4}=2^9\). Therefore, option A is correct. Option B results from adding the exponents incorrectly. Exam tip: when powers with the same base are multiplied, their exponents are added.
8 को 2 की घात के रूप में लिखें: 8 = 23, इसलिए 82 = \(2^3\)2 = 26। अतः \(\frac{8^2}{2^4}=\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4\)। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प D केवल हर को 24 मान लेने से प्राप्त हो सकता है और अंश को शामिल नहीं करता। परीक्षा में समान आधार होने पर भाग देने के लिए घातों का घटाव करें। / Rewrite 8 as a power of 2: 8 = 23, so 82 = \(2^3\)2 = 26. Therefore, \(\frac{8^2}{2^4}=\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4\). Hence, option A is correct; option D results from considering only the denominator and ignoring the numerator. In exams, subtract the exponents when dividing powers with the same base.
घात के नियम \,\((ab)^n=a^n b^n\)\, के अनुसार \((x^2y^3)^2=(x^2)^2(y^3)^2=x^{2\times2}y^{3\times2}=x^4y^6\) है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में \(x\) का घात नहीं बढ़ाया गया और विकल्प C में \(y\) का घात गलत रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी गुणनफल पर घात हो तो घात प्रत्येक गुणनखंड पर लगाकर उसके मूल घात से गुणा करें। / Using the law \((ab)^n=a^n b^n\), we get \((x^2y^3)^2=(x^2)^2(y^3)^2=x^{2\times2}y^{3\times2}=x^4y^6\). Therefore, option A is correct. In option B, the exponent of \(x\) was not multiplied by 2, while option C leaves the exponent of \(y\) unchanged. Exam tip: when a product is raised to a power, apply that power to every factor and multiply the exponents.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: \(3^{-1} \times 3^2 = 3^{-1+2} = 3^1 = 3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक घातांक को पहले अलग-अलग दशमलव में बदलना आवश्यक नहीं होता। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(3^{-1} \times 3^2 = 3^{-1+2} = 3^1 = 3\). Therefore, the correct answer is 3. Exam tip: do not add the bases; apply the law \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).
घातांक के नियम के अनुसार, हर में स्थित ऋणात्मक घात को उलटने पर \(\frac{1}{x^{-2}}=x^2\) प्राप्त होता है, जहाँ \(x\neq 0\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B, \(\frac{1}{x^2}\), ऋणात्मक घात को सही ढंग से सरल न करने पर मिलता है। परीक्षा में याद रखें: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), इसलिए \(\frac{1}{a^{-n}}=a^n\)। / By the law of exponents, a negative exponent in the denominator changes sign when simplified: \(\frac{1}{x^{-2}}=x^2\), where \(x\neq 0\). Therefore, option A is correct. Option B, \(\frac{1}{x^2}\), results from changing the exponent in the wrong direction. Exam tip: remember \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), so \(\frac{1}{a^{-n}}=a^n\).
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांकों को जोड़ा जाता है। इसलिए \\(a^m \times a^n \times a^p = a^{m+n+p}\\) होगा। विकल्प B में घातांकों को गुणा किया गया है, जो इस नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के गुणन में घात जोड़ें, जबकि समान आधारों के भाग में घात घटाएँ। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added. Therefore, \\(a^m \times a^n \times a^p = a^{m+n+p}\\). Option B is incorrect because the exponents are multiplied there, whereas the exponent law requires their addition. Exam tip: add exponents for multiplication of like bases and subtract them for division.
शून्य घात का नियम कहता है कि किसी भी अशून्य संख्या या चर के लिए \(x^0=1\) होता है, और \(x^1=x\) होता है। इसलिए \(x^0+x^1=1+x\)। विकल्प D \(x+2\) गलत है क्योंकि उसमें 1 को दो बार जोड़ दिया गया है। परीक्षा में याद रखें: \(x^0=1\) केवल \(x\ne0\) के लिए लागू होता है। / By the zero-exponent rule, \(x^0=1\) for a non-zero value of \(x\), and \(x^1=x\). Therefore, \(x^0+x^1=1+x\). Option D, \(x+2\), is incorrect because it adds 1 twice. Exam tip: remember that \(x^0=1\) only when \(x\ne0\).
समान घात वाले पदों के लिए नियम \(a^n \times b^n=(ab)^n\) लागू होता है। इसलिए \(2^3 \times 5^3=(2\times5)^3=10^3\)। विकल्प B में आधारों का योग लिया गया है, जबकि विकल्प C और D में गुणन या अन्य संक्रिया गलत है। परीक्षा में समान घात दिखे तो पहले आधारों को गुणा करके वही घात लगाएँ। / For powers with the same exponent, use the rule \(a^n \times b^n=(ab)^n\). Thus, \(2^3 \times 5^3=(2\times5)^3=10^3\). Option B incorrectly adds the bases, while options C and D use incorrect operations. Exam tip: when the exponents are equal, multiply the bases and retain the common exponent.
जब \(b\neq 0\) हो, तो समान घात वाले अंश और हर के लिए \(\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\) लागू होता है। इसलिए \(\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{a}{b}\right)^2\)। विकल्प D में हर पर घात 2 लागू नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न के अंश और हर पर समान घात हो, तो उसे पूरे भिन्न पर लगाया जा सकता है। / For \(b\neq 0\), the exponent rule \(\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\) applies when the numerator and denominator have the same exponent. Therefore, \(\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{a}{b}\right)^2\). Option D is incorrect because it does not apply the exponent 2 to the denominator. Exam tip: equal powers in the numerator and denominator can be written as the same power of the entire fraction.
घात के गुणन नियम के अनुसार,
\((xyz)^n=x^n y^n z^n\)। इसलिए \((xyz)^2=x^2y^2z^2\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में केवल z का घात बढ़ाया गया है, जबकि घात प्रत्येक गुणक पर लागू होना चाहिए। परीक्षा में याद रखें: किसी गुणनफल पर घात लगाने पर वही घात उसके प्रत्येक गुणक पर लगता है। / By the law of exponents, \((xyz)^n=x^n y^n z^n\). Therefore, \((xyz)^2=x^2y^2z^2\), so option A is correct. In option B, the exponent has been applied only to z, whereas it must apply to every factor. Exam tip: when a power is applied to a product, apply the same power to each factor.
ऋणात्मक घात का नियम है: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)। इसलिए \(4^{-1}=\frac{1}{4}\) और \(2^{-1}=\frac{1}{2}\)। समान हर लेकर \(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}\), अतः सही उत्तर A है। \(\frac{1}{8}\) गुणा करने पर मिलता, जोड़ने पर नहीं। परीक्षा में ऋणात्मक घात को पहले व्युत्क्रम में बदलें। / Use the negative-exponent rule \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Thus, \(4^{-1}=\frac{1}{4}\) and \(2^{-1}=\frac{1}{2}\). Taking a common denominator gives \(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}\), so option A is correct. \(\frac{1}{8}\) would result from multiplying the two fractions, not adding them. Exam tip: convert negative exponents to reciprocals before performing the operation.
ऋणात्मक घात का नियम है: \(b^{-2}=\frac{1}{b^2}\), जहाँ \(b\neq0\)। इसलिए \(a^2b^{-2}=a^2\times\frac{1}{b^2}=\frac{a^2}{b^2}\)। विकल्प B में अंश और हर उलट दिए गए हैं। परीक्षा-टिप: किसी भी ऋणात्मक घात वाले गुणनखंड को धनात्मक घात के साथ हर में लिखें। / Using the negative-exponent rule, \(b^{-2}=\frac{1}{b^2}\), for \(b\neq0\). Hence, \(a^2b^{-2}=a^2\times\frac{1}{b^2}=\frac{a^2}{b^2}\). Option B reverses the numerator and denominator, while option C incorrectly changes the negative exponent to a positive one without taking the reciprocal. Exam tip: move a factor with a negative exponent across the fraction bar and change the exponent to positive.
समान आधारों के भाग में घात घटाए जाते हैं: \(\frac{2^{-3}}{2^{-1}}=2^{-3-(-1)}=2^{-2}\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक घात का अर्थ व्युत्क्रम होता है, अतः \(2^{-2}=\frac{1}{4}\), जबकि \(2^2\) धनात्मक घात वाला अलग मान है। परीक्षा-युक्ति: भाग करते समय दूसरे घातांक का चिन्ह सहित घटाव करें। / When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(\frac{2^{-3}}{2^{-1}}=2^{-3-(-1)}=2^{-2}\). Therefore, option A is correct. Remember that a negative exponent represents a reciprocal, so \(2^{-2}=\frac{1}{4}\); \(2^2\) is a different value with a positive exponent. Exam tip: subtract the second exponent with its sign included.
शून्य घात का नियम कहता है कि किसी भी गैर-शून्य संख्या या व्यंजक की घात 0 का मान 1 होता है। इसलिए, जब x ≠ 0 हो, तो \((x^3)^0 = 1\)। विकल्प C गलत है क्योंकि 0 घात का मान सामान्यतः 0 नहीं होता। परीक्षा में ध्यान रखें कि आधार शून्य नहीं होना चाहिए। / The zero-exponent rule states that the zeroth power of any non-zero number or expression is 1. Therefore, for x ≠ 0, \((x^3)^0 = 1\). Option C is incorrect because a zeroth power is not generally 0. In an exam, remember that the base must be non-zero.
जब हर (denominator) शून्य न हो, अर्थात् \(a \ne 0\), तब समान अशून्य व्यंजक \(a^m\) का भागफल \(1\) होता है। इसलिए \(\frac{a^m}{a^m}=1\)। विकल्प B केवल \(a^m\) को दर्शाता है, भागफल को नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी व्यंजक को स्वयं से भाग देने पर, वह शून्य न हो, परिणाम 1 होता है। / When the denominator is non-zero, that is, \(a \ne 0\), a non-zero expression divided by itself equals \(1\). Therefore, \(\frac{a^m}{a^m}=1\). Option B is just \(a^m\), not the value of the quotient. Exam tip: Any non-zero expression divided by itself is 1.
