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C. परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ/Rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में वास्तविक संख्या रेखा की पूरी संख्या प्रणाली याद रखें। / Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the whole number system on the real number line.
\( \sqrt{5} \) अपरिमेय है और हर अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है। वास्तविक संख्या रेखा पर इसे दिखाया जा सकता है। / \( \sqrt{5} \) is irrational and every irrational number is real. It can be shown on the real number line.
B. हर प्राकृतिक संख्या वास्तविक संख्या होती है/Every natural number is a real number
Explanation
Simple Explanation
प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं। बड़ी संख्या प्रणाली में छोटे समूह शामिल हो सकते हैं। / Natural numbers are a part of real numbers. Smaller sets can be included in a larger number system.
\( \sqrt{16}=4 \) है और (4) परिमेय संख्या है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। / \( \sqrt{16}=4 \), and (4) is rational. The square root of a perfect square is rational.
D. यह अपरिमेय वास्तविक संख्या है/It is an irrational real number
Explanation
Simple Explanation
(7) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{7} \) अपरिमेय है। फिर भी यह वास्तविक संख्या है। / (7) is not a perfect square, so \( \sqrt{7} \) is irrational. Still, it is a real number.
\( \frac{-3}{8} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय और वास्तविक दोनों है। / \( \frac{-3}{8} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is both rational and real.
(0.625) समाप्त दशमलव है इसलिए इसे भिन्न में बदला जा सकता है। समाप्त दशमलव परिमेय होते हैं। / (0.625) is a terminating decimal, so it can be converted into a fraction. Terminating decimals are rational.
\(0.\overline{6}\) आवर्ती दशमलव है इसलिए यह परिमेय है। हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(0.\overline{6}\) is a repeating decimal, so it is rational. Every rational number is also real.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। फिर भी यह वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित होता है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Still, it lies on the real number line.
B. क्योंकि हर शून्य है/Because the denominator is zero
Explanation
Simple Explanation
शून्य से भाग परिभाषित नहीं होता। वास्तविक संख्या बनने के लिए संख्या परिभाषित होनी चाहिए। / Division by zero is undefined. To be a real number, the number must be defined.
( -12 ) पूर्णांक है और हर पूर्णांक वास्तविक संख्या होता है। पूर्णांक को \( \frac{p}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है। / ( -12 ) is an integer and every integer is a real number. An integer can be written as \( \frac{p}{1} \).
प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का उपसमूह हैं। संख्या प्रणाली को उपसमूह के रूप में याद करें। / Natural numbers are a subset of real numbers. Remember the number system as nested sets.
\( \sqrt{25}=5 \) क्योंकि \(5^2=25\)। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जल्दी पहचानें। / \( \sqrt{25}=5 \) because \(5^2=25\). Identify square roots of perfect squares quickly.
\( \frac{3}{4}=0.75 \) है जो (0) और (1) के बीच है। तुलना के लिए दशमलव रूप उपयोगी हो सकता है। / \( \frac{3}{4}=0.75 \), which lies between (0) and (1). Decimal form can help in comparison.
B. ( -3 ) और ( -2 ) के बीच/Between ( -3 ) and ( -2 )
Explanation
Simple Explanation
( -2.5 ) ऋणात्मक है और ( -3 ) तथा ( -2 ) के बीच आता है। ऋणात्मक संख्याओं में बाईं दिशा ध्यान रखें। / ( -2.5 ) is negative and lies between ( -3 ) and ( -2 ). Be careful with the left direction for negative numbers.
\(1^2<2<2^2\) इसलिए \( \sqrt{2} \) (1) और (2) के बीच है। वर्गों की तुलना से वर्गमूल का स्थान मिलता है। / Since \(1^2<2<2^2\), \( \sqrt{2} \) lies between (1) and (2). Compare squares to locate square roots.
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) है इसलिए \( \sqrt{10} \) (3) और (4) के बीच है। पहले निकट पूर्ण वर्ग देखें। / \(3^2=9\) and \(4^2=16\), so \( \sqrt{10} \) lies between (3) and (4). First check nearby perfect squares.
वास्तविक संख्याएँ योग के लिए संवृत होती हैं। दो वास्तविक संख्याओं का योग वास्तविक संख्या ही होता है। / Real numbers are closed under addition. The sum of two real numbers is always a real number.
वास्तविक संख्याएँ गुणन के लिए संवृत होती हैं। इसलिए गुणनफल वास्तविक संख्या होता है। / Real numbers are closed under multiplication. Hence their product is a real number.
समान पदों को जोड़ा जाता है इसलिए \( \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} \)। वर्गमूल को सीधे अंदर जोड़ना गलत है। / Like terms are added, so \( \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} \). Do not add numbers inside square roots directly.
\( \sqrt{9}=3 \) और \( \sqrt{4}=2 \) इसलिए योग (5) है। पहले पूर्ण वर्गों के वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{9}=3 \) and \( \sqrt{4}=2 \), so the sum is (5). First find square roots of perfect squares.
\(18=9\times2\) इसलिए \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \)। वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड अलग करें। / Since \(18=9\times2\), \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). Separate perfect-square factors inside square roots.
\(50=25\times2\) इसलिए \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / Since \(50=25\times2\), \( \sqrt{50}=5\sqrt{2} \). Choose the largest perfect-square factor.
\(8=4\times2\) इसलिए \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \)। पूर्ण वर्ग (4) को बाहर निकालें। / Since \(8=4\times2\), \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \). Take the perfect square (4) outside.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \)। गुणन में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा की जा सकती हैं। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \). In multiplication, numbers inside square roots can be multiplied.
\( \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{9}=3 \)। समान वर्गमूल नियम भाग में भी लागू होता है। / \( \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{9}=3 \). The same square-root rule also works in division.
\(2^2<6<3^2\) इसलिए \( \sqrt{6} \) (2) और (3) के बीच है। अनुमान के लिए वर्गों की तुलना करें। / Since \(2^2<6<3^2\), \( \sqrt{6} \) lies between (2) and (3). Compare squares for estimation.
\( \sqrt{49}=7 \) है और (7) परिमेय वास्तविक संख्या है। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक हो सकता है। / \( \sqrt{49}=7 \), and (7) is a rational real number. The square root of a perfect square can be an integer.
\( \pi \) अपरिमेय संख्या है और वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित है। इसे \( \frac{22}{7} \) के बिल्कुल बराबर न मानें। / \( \pi \) is an irrational number and lies on the real number line. Do not treat it as exactly equal to \( \frac{22}{7} \).
\( \frac{22}{7} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \frac{22}{7} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is a rational real number.
\( \frac{1}{2} \), \( \sqrt{3} \) और ( -5 ) सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। हर में शून्य वाला भिन्न वास्तविक नहीं होता। / \( \frac{1}{2} \), \( \sqrt{3} \), and ( -5 ) are all real numbers. A fraction with zero denominator is not real.
\( \sqrt{4}=2 \) इसलिए \( -\sqrt{4}=-2 \)। वर्गमूल निकालने के बाद बाहर का ऋण चिह्न लगाएँ। / \( \sqrt{4}=2 \), so \( -\sqrt{4}=-2 \). Apply the outside negative sign after finding the square root.
किसी भी दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। यह संख्या रेखा का महत्वपूर्ण गुण है। / There are infinitely many real numbers between any two distinct real numbers. This is an important property of the number line.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। यह वास्तविक संख्या हो सकता है। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. It can still be a real number.
आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या होता है। इसलिए (2.333...) वास्तविक परिमेय संख्या है। / A repeating decimal is a rational number. Therefore (2.333...) is a rational real number.
\( \sqrt{36}=6 \) और \( \sqrt{64}=8 \) इसलिए (6<8)। तुलना से पहले वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{36}=6 \) and \( \sqrt{64}=8 \), so (6<8). Find square roots before comparing.
\( \frac{3}{2}=1.5 \) और \( \sqrt{2}\approx1.414 \) है। इसलिए \( \frac{3}{2} \) बड़ी है। / \( \frac{3}{2}=1.5 \) and \( \sqrt{2}\approx1.414 \). Therefore \( \frac{3}{2} \) is greater.
किसी भी वास्तविक संख्या में (0) जोड़ने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए (0) योग का तत्समक अवयव है। / Adding (0) to any real number gives the same number. Hence (0) is the additive identity.
किसी भी वास्तविक संख्या को (1) से गुणा करने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए (1) गुणन का तत्समक अवयव है। / Multiplying any real number by (1) gives the same number. Hence (1) is the multiplicative identity.
गुणात्मक प्रतिलोम में अंश और हर बदल जाते हैं। \( \frac{4}{7}\times\frac{7}{4}=1 \)। / In the multiplicative inverse, numerator and denominator are interchanged. \( \frac{4}{7}\times\frac{7}{4}=1 \).
(0) न धनात्मक होता है न ऋणात्मक। संख्या वर्गीकरण में (0) को अलग रखें। / (0) is neither positive nor negative. Keep (0) separate in number classification.
संख्या रेखा पर बाईं संख्या छोटी और दाईं संख्या बड़ी होती है। इसलिए ( -3<-1<2 ) सही है। / On the number line, the left number is smaller and the right number is greater. Therefore ( -3<-1<2 ) is correct.
\(11^2=121\) इसलिए \( \sqrt{121}=11 \)। पूर्ण वर्गों की सूची याद रखना उपयोगी है। / Since \(11^2=121\), \( \sqrt{121}=11 \). Remembering perfect squares is useful.
\(12=4\times3\) इसलिए \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड को वर्गमूल से बाहर निकालें। / Since \(12=4\times3\), \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \). Take the perfect-square factor outside the square root.
(5) परिमेय है और \( \sqrt{2} \) अपरिमेय है। दोनों वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित हैं। / (5) is rational and \( \sqrt{2} \) is irrational. Both lie on the real number line.
धनात्मक संख्याओं में बड़ी संख्या का वर्गमूल भी बड़ा होता है। (6>5) इसलिए \( \sqrt{6}>\sqrt{5} \)। / For positive numbers, the square root of the greater number is also greater. Since (6>5), \( \sqrt{6}>\sqrt{5} \).
परिमेय संख्या (3) में अपरिमेय \( \sqrt{2} \) जोड़ने पर सामान्यतः अपरिमेय संख्या मिलती है। यह वास्तविक संख्या भी है। / Adding the irrational \( \sqrt{2} \) to the rational number (3) generally gives an irrational number. It is also real.
