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तीन तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। परीक्षा में घात समुच्चय की संख्या के लिए \(2^n\) याद रखें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. For exams remember \(2^n\) for number of elements in a power set.
पहले (A'={3,4,5,6}) मिलेगा जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={3,4,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
घात समुच्चय किसी समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय में अंतर रखें। / A power set is the set of all subsets of a given set. In exams keep the difference between element and subset clear.
({a}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय के तत्व हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({a}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}).
A. चर्चा में सभी संबंधित तत्वों का समुच्चय/set of all relevant elements under discussion
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय उस संदर्भ के सभी संबंधित तत्व रखता है। प्रश्न में दिए गए संदर्भ को देखकर (U) तय करें। / The universal set contains all relevant elements in the given context. Decide (U) from the context of the question.
किसी सेट का पूरक (A') उस यूनिवर्सल सेट U के सभी उन तत्वों का समूह है जो A में नहीं हैं। यहाँ U के तत्व \(1,3,5\) A में नहीं आते, इसलिए \(A'=\{1,3,5\}\)। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमे A के तत्व भी शामिल हैं; विकल्प D तब सही होता जब A = U हो, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा टिप: A' निकालने के लिए U से A के तत्व हटा दें। / The complement A' consists of all elements of the universal set U that are not in A. Here the elements 1, 3 and 5 are in U but not in A, so \(A'=\{1,3,5\}\). Option A is incorrect because it is A itself; option C is the whole universal set and still contains elements of A; option D would be correct only if A = U. Exam tip: find A' by removing A's elements from U (compute U \ A).
किसी समुच्चय के घात समुच्चय (power set) में उपसमुच्चयों की संख्या
i.e.
a की सद्स्य संख्या n होने पर कुल उपसमुच्चय = \(2^n\) होते हैं। यहाँ n = 4 है, अतः \(2^4 = 16\)।
गलत विकल्पों पर संक्षेप में: 8 इसलिए गलत है क्योंकि यह \(2\times n\) जैसा गलत अनुमान है; 32 गलत है क्योंकि वह \(2^5\) होगा; 4 तो केवल मूल समुच्चय के सदस्यों की संख्या है, घात समुच्चय की नहीं।
परिक्षा सुझाव: घात समुच्चय के तत्वों की संख्या हमेशा \(2^n\) याद रखें और छोटे n के लिए तुरंत घात निकाल लें। / The number of subsets in the power set of a set with n elements is \(2^n\). Here n = 4, so \(2^4 = 16\).
Why other options are wrong: 8 is incorrect (it would be a mistaken use of doubling or \(2\times n\)); 32 corresponds to \(2^5\), not \(2^4\); 4 is just the original set's size, not the number of subsets.
Exam tip: Memorize the rule \(\text{size of power set} = 2^n\) and compute small powers of 2 quickly.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({x}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{x}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({x}). So its power set is \({\emptyset,{x}}\).
पूरक की परिभाषा: \(B' = U\setminus B\)। \(U\) से \(B\) के तत्व हटाने पर बचे हुए तत्व \(b\) और \(c\) हैं, इसलिए \(B'=\{b,c\}\)। विकल्प A वही सेट B है, विकल्प C पूरा सार्वभौमिक सेट है और विकल्प D में \(d\) मौजूद है जो B का तत्व है — इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: पहले प्रश्न में स्पष्ट रूप से लिखें कि पूरक का अर्थ \(U\setminus B\) होता है और फिर सीधे घटाव कर लें। / By definition the complement is \(B'=U\setminus B\). Removing the elements of \(B=\{a,d\}\) from \(U\) leaves \(b\) and \(c\), so \(B'=\{b,c\}\). Option A is just B itself, option C is the whole universal set, and option D wrongly includes \(d\) which belongs to B. Exam tip: explicitly compute \(U\setminus B\) on scratch to avoid sign mistakes.
घात समुच्चय \\(\mathcal{P}(\{1,2\})\\) में मूल समुच्चय \(\{1,2\}\\) के सभी उपसमुच्चय आते हैं, अर्थात् \\(\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}\\). चूँकि \(3\\) मूल समुच्चय \(\{1,2\}\\) में नहीं है, \(\{3\}\\) कोई उपसमुच्चय नहीं है और इसलिए घात समुच्चय का तत्व नहीं हो सकता। ध्यान देने योग्य बात: \(\{2\}\\) गलत विकल्प नहीं है क्योंकि यह स्पष्ट रूप से उपसमुच्चय है। परीक्षा टिप: घात समुच्चय बनाते समय हमेशा शून्य समुच्चय और स्वयं समुच्चय दोनों शामिल करना न भूलें। / The power set \\(\mathcal{P}(\{1,2\})\\) consists of all subsets of \(\{1,2\}\\), namely \\(\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}\\). Since 3 is not an element of the original set \(\{1,2\}\\), \(\{3\}\\) is not a subset and thus not an element of the power set. Note the closest distractor \(\{2\}\\) is incorrect because it is indeed a subset of \(\{1,2\}\\). Exam tip: when answering power-set questions, list all subsets (including \(\emptyset\\) and the set itself) to avoid mistakes.
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए \(\emptyset\) हर घात समुच्चय का तत्व है। / The empty set is a subset of every set. Therefore \(\emptyset\) is an element of every power set.
परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय का पूरक \(A'\) वही तत्व रखता है जो सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं: \(A'=\{x\in U:\;x\notin A\}\)। इस कारण से हर तत्व स्पष्ट रूप से \(U\) का ही सदस्य है, अतः \(A'\subseteq U\)। विकल्प (A) गलत है क्योंकि \(A'\) के तत्व सामान्यतः \(A\) में नहीं होते। विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\) ने उपसमुच्चयों का संग्रह है जबकि \(A'\) के तत्व सामान्य तत्त्व हैं न कि उपसमुच्चय। विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(A'\) शून्य भी हो सकता है पर जरूरी नहीं — इसलिए सामान्य उत्तर \(U\) ही है। परीक्षा टिप: पूरक की परिभाषा हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के सन्दर्भ में याद रखें और उसे सेट-बिल्डिंग रूप में लिखकर जाँचें। / By definition the complement \(A'\) consists of those elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\): \(A'=\{x\in U:\;x\notin A\}\). Therefore every element of \(A'\) lies in \(U\), so \(A'\subseteq U\). Option (A) is incorrect because elements of \(A'\) are generally not in \(A\). Option (C) is wrong since \(\mathcal{P}(A)\) is the set of subsets of \(A\) whereas elements of \(A'\) are elements of \(U\), not subsets of \(A\). Option (D) is incorrect because \(A'\) need not be empty in general. Exam tip: Always write the complement in set-builder form relative to \(U\) to avoid confusion.
किसी समुच्चय A के घात समुच्चय (power set) \(\mathcal{P}(A)\) में सभी संभाव्य उपसमुच्चयों (subsets) आते हैं। इसके तत्वों की संख्या सूत्र \(2^{n(A)}\) से दी जाती है। यहाँ \(n(A)=2\) होने पर \(2^{2}=4\)। उदाहरण के लिए यदि \(A=\{a,b\}\) तो \(\mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\) — कुल 4 उपसमुच्चय। निकटतम भ्रामक विकल्प: \(2\) केवल मूल समुच्चय A के तत्वों की संख्या है, और \(8\) तब गलत होगा जब कोई गलती से \(2^{3}\) लगा दे। परीक्षा सुझाव: याद रखें कि घात समुच्चय की गिनती हमेशा \(2^{n(A)}\) होती है और इसमें शून्य समुच्चय भी गिना जाता है। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of A, and its size is given by \(2^{n(A)}\). For \(n(A)=2\), we have \(2^{2}=4\). For example, if \(A=\{a,b\}\), then \(\mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\), which has 4 elements. Closest distractor: 2 is just the number of elements in A itself; 8 would be \(2^{3}\) and is incorrect here. Exam tip: always apply the formula \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) and remember the empty set is counted among the subsets.
परिभाषा के अनुसार \(\mathcal{P}(A)\) उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है जो \(A\) के हैं। क्योंकि \(\{p,q\}\) स्पष्ट रूप से \(A\) का उपसमुच्चय है, अतः \(\{p,q\}\) \(\mathcal{P}(A)\) का एक तत्व है — यानी \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व हैं \(p,q,r\) (सूत्र-तत्व), न कि सेट \(\{p,q\}\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) तभी सत्य होगा जब \(p\) और \(q\) स्वयं \(A\) के उपसमुच्चय हों, जो यहाँ सत्य नहीं हैं। परीक्षा युक्ति: पावर सेट हमेशा किसी सेट के “उपसमुच्चयों” को तत्व के रूप में रखता है — तत्व और उपसमुच्चय में फर्क साफ रखें। / By definition, \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). Since \(\{p,q\}\) is a subset of \(A\), it is an element of \(\mathcal{P}(A)\); i.e. \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\). Option B is wrong because the elements of \(A\) are \(p,q,r\) (individual elements), not the set \(\{p,q\}\). Option D is wrong because \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) would require \(p\) and \(q\) themselves to be subsets of \(A\), which they are not. Exam tip: distinguish clearly between an element of a set and a subset; the power set contains subsets as its elements.
किसी यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष किसी सेट \(A\) का समपूरक \(A'\) वे सभी तत्त्व होते हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं हैं। यदि \(A=U\) है तो \(U\) में ऐसा कोई तत्त्व नहीं बचता जो \(A\) में न हो, अतः \(A'=\emptyset\)। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(1\) स्वयं \(A\) में है; विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(0\) \(U\) का सदस्य ही नहीं है — समपूरक हमेशा \(U\) के भीतर के तत्त्वों का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा सुझाव: समपूरक की परिभाषा हमेशा यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष याद रखें। / The complement \(A'\) (with respect to the universal set \(U\)) consists of elements that are in \(U\) but not in \(A\). If \(A=U\), there are no such elements, so \(A'=\emptyset\). Option B is incorrect because 1 belongs to \(A\); option D is incorrect because 0 is not an element of \(U\) — complements contain only elements from the universal set. Exam tip: always check which universal set is given before finding a complement.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। परीक्षा में \(\emptyset'=U\) याद रखें। / The empty set has no elements so its complement is the whole (U). Remember \(\emptyset'=U\) for exams.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। इनमें \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल होते हैं। / A two element set has four subsets. These include \(\emptyset\) and the whole set itself.
\(\mathcal{P}(A)\) में सभी उपसमुच्चय आते हैं। किसी भी सेट के एक-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या उस सेट के तत्वों की संख्या के बराबर होती है, क्योंकि प्रत्येक तत्व से ठीक एक सिंग्लेटन \(\{x\}\) बनता है। यहाँ \(|A|=5\), अतः एक-तत्व वाले उपसमुच्चय = \(\binom{5}{1}=5\)। विकल्प D (10) भ्रामक है — 10 वास्तव में दो-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{5}{2}\) है। परीक्षा-टिप: k-तत्व वाले उपसमुच्चयों के लिए प्रयोग करें \(\binom{n}{k}\)। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). The number of one-element (singleton) subsets equals the number of elements in \(A\) because each element x produces exactly one subset \(\{x\}\). Here \(|A|=5\), so singletons = \(\binom{5}{1}=5\). Option D (10) is misleading — 10 equals the number of 2-element subsets \(\binom{5}{2}\). Exam tip: use \(\binom{n}{k}\) to count k-element subsets; for singletons \(\binom{n}{1}=n\).
A. हां, क्योंकि \(A\subseteq A\)/Yes, because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(\mathcal{P}(A)\) A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है — इसमें A के proper और improper (यानी A स्वयं) दोनों उपसमुच्चय आते हैं। चूँकि \(A\subseteq A\) सत्य है, इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\) भी सत्य है। विकल्प C भ्रमित करने वाला है — \(\mathcal{P}(A)\) में केवल proper उपसमुच्चय नहीं होते; विकल्प B गलत धारणा है क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व उपसमुच्चय होते हैं न कि सीधे संख्याएँ; विकल्प D भी गलत है क्योंकि A के तत्व (जैसे 2) स्वयं \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व नहीं होते जब तक वे उपसमुच्चय के रूप में न हों। परीक्षा सुझाव: किसी समुच्चय X के \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व होने की जाँच करने के लिए पूछें — क्या \(X\subseteq A\) ? अगर हाँ तो \(X\in\mathcal{P}(A)\)। / By definition \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of A, including both proper subsets and A itself (the improper subset). Since \(A\subseteq A\) is true, we have \(A\in\mathcal{P}(A)\). Option C is a common mistake — the power set includes the set A as well, not only proper subsets. Option B is incorrect because elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets, not plain numbers. Option D confuses elements of A with elements of the power set: numbers like 2 are not elements of \(\mathcal{P}(A)\) unless written as subsets (e.g. \(\{2\}\)). Exam tip: remember the test: X is in \(\mathcal{P}(A)\) iff \(X\subseteq A\); this includes X = A.
B. विद्यालय के वे विद्यार्थी जो कक्षा (11) में नहीं हैं/school students not in class (11)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) के अंदर (A) से बाहर के तत्वों को दिखाता है। यहां यह कक्षा (11) में न पढ़ने वाले विद्यालय के विद्यार्थी हैं। / The complement shows elements inside (U) but outside (A). Here it means school students who are not in class (11).
पावर सेट के सदस्यों की संख्या का सूत्र है n(\mathcal{P}(A)) = 2^{n(A)}. यहाँ 2^{n(A)} = 8 है और 8 = 2^{3} है, इसलिए n(A) = 3. अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि 2^{2}=4, 2^{4}=16 तथा 2^{8}=256। परीक्षा-सूत्र: किसी भी पावर सेट का आकार तुरंत 2^{n(A)} से मिलाएँ। / The size of the power set is given by n(\mathcal{P}(A)) = 2^{n(A)}. Since 2^{n(A)} = 8 and 8 = 2^{3}, we get n(A) = 3. The other options are incorrect: 2^{2}=4, 2^{4}=16 and 2^{8}=256. Exam tip: always use |P(A)| = 2^{|A|} to invert the relation quickly.
A में एक तत्व है — वह तत्व खाली सेट \(\emptyset\) है, इसलिए \(n(A)=1\). शक्तिसेट (power set) का क्रम \(2^{n(A)}\) होता है, अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^1=2\). स्पष्ट रूप से \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\. विकल्प B (1) भ्रम से आता है — यह A के तत्वों की गिनती से नहीं, बल्कि उपसमुच्चयों की संख्या से संबंधित है। परीक्षा टिप: यह ध्यान रखें कि \(\emptyset\) कभी-कभी तत्व के रूप में और कभी उपसमुच्च्य के रूप में आता है; अलग-अलग मामलों में अलग गिनती करें। / The set A has one element — that element is the empty set \(\emptyset\), so \(n(A)=1\). The size of the power set is \(2^{n(A)}\), hence \(n(\mathcal{P}(A))=2^1=2\). Explicitly \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\. Option B (1) is incorrect — it confuses the number of elements of A with the number of its subsets. Exam tip: always count elements of A first; remember \(\emptyset\) can be an element or a subset, and treat those cases separately.
(A) के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\emptyset,{\emptyset}}\) है। / The subsets of (A) are \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). So its power set is \({\emptyset,{\emptyset}}\).
समझ: किसी समष्टि-समुच्चय (universal set) \(U\) के लिए पूरक \(A'\) उन तत्वों का सेट है जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{0,1,2,3,4\}\) और \(A=\{0,2,4\}\) है, अतः \(A'=\{1,3\}\)। इसलिए \(A'\) में 2 तत्व हैं। क्लोज़ेस्ट डिस्ट्रैक्टर: विकल्प C (3) गलत है क्योंकि कोई तीसरा उपयुक्त तत्व नहीं है; विकल्प A (1) भी गलत है क्योंकि कम से कम दो तत्व मौजूद हैं। परीक्षा टिप: तुरंत सेट के बाहर के तत्व गिनें या सीधे फार्मूला इस्तेमाल करें \(n(A')=n(U)-n(A)\)। / Concept: For a universal set \(U\), the complement \(A'\) consists of elements in \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{0,1,2,3,4\}\) and \(A=\{0,2,4\}\), so \(A'=\{1,3\}\). Thus \(A'\) has 2 elements. Why other choices are wrong: option C (3) is incorrect because there is no third element outside \(A\); option A (1) understates the count. Exam tip: either list the elements not in \(A\) or use \(n(A')=n(U)-n(A)\) to get the answer quickly.
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, सीधे तत्व नहीं। ({1}) उपसमुच्चय है इसलिए सही है। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets, not direct elements. ({1}) is a subset, so it is correct.
समूह का पूरक (complement) वही तत्व होते हैं जो सार्वभौमिक समूह \(U\) में हैं पर दिए गए समूह \(E\) में नहीं। इसलिए \(E'=U\setminus E=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,4,6\}=\{1,3,5\}\)। विकल्प \(\{2,4,6\}\) गलत है क्योंकि वह \(E\) स्वयं है; \(\{1,2,3\}\) गलत है क्योंकि इसमें \(2\) शामिल है जो \(E\) में है; \(\emptyset\) तब ही सही होता जब \(E=U\)। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए सीधे उन तत्वों को चुनें जो \(U\) में हैं पर \(E\) में नहीं। / The complement of a set consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(E\). So \(E'=U\setminus E=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,4,6\}=\{1,3,5\}\). Option \(\{2,4,6\}\) is just \(E\) itself, \(\{1,2,3\}\) wrongly includes \(2\) which belongs to \(E\), and \(\emptyset\) would be correct only if \(E=U\). Exam tip: compute \(U\setminus E\) — pick elements of \(U\) that are not in \(E\).
({1,5}) (A) का उपसमुच्चय है लेकिन (A) का सीधा तत्व नहीं है। इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / ({1,5}) is a subset of (A) but not a direct element of (A). So it is an element of (\mathcal{P}(A)).
क्योंकि \(32=2^5\), मूल समुच्चय में (5) तत्व होंगे। घात समुच्चय की संख्या हमेशा (2) की घात होती है। / Since \(32=2^5\), the original set has (5) elements. The size of a power set is always a power of (2).
(0) तत्वों वाले समुच्चय के लिए \(2^0=1\) होता है। इसलिए रिक्त समुच्चय का घात समुच्चय एक तत्व वाला है। / For a set with (0) elements, \(2^0=1\). So the power set of the empty set has one element.
किसी सेट का पूरक उन सभी तत्वों का सेट होता है जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर दिया गया सेट \(A\) में नहीं हैं। यहाँ \(U\) के तत्व \{क,ख,ग,घ\} में से \(A=\{क,ग\}\) को निकालने पर बचे हुए तत्व \{ख,घ\} होंगे, अर्थात् \(A'=\{ख,घ\}\)। विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें "ग" शामिल है जो \(A\) का सदस्य है और इसलिए पूरक में नहीं आ सकता। परीक्षा-सुझाव: पूरक खोजते समय \(U\) के सभी तत्व लिखकर जिनको \(A\) में काट दें — जो बचे वही पूरक हैं। / The complement of a set consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). From \(U=\{a,b,c,d\}\) remove the elements of \(A=\{a,c\}\); the remaining elements are \{b,d\}, so \(A'=\{b,d\}\). Option D is incorrect because it includes "c" (i.e. element from \(A\)), which cannot be in the complement. Exam tip: write down all elements of \(U\) and cross out those in \(A\); the leftovers form \(A'\).
3 तत्वों वाले समुच्चय के दो-तत्त्वीय उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{3}{2}=3\) से प्राप्त होती है। यह उपसमुच्चय हैं \(\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\)। विकल्प D (6) भूल से क्रमबद्ध जोड़ (permutations) गिनने का परिणाम है क्योंकि \(P(3,2)=6\) है, जबकि उपसमुच्चयों में क्रम का कोई अर्थ नहीं होता। परीक्षा टिप: छोटे सेट के लिए सीधे उपसमुच्चयों को गिनें या \(\binom{n}{r}\) का उपयोग करें। / The number of 2-element subsets from a 3-element set is given by \(\binom{3}{2}=3\). The subsets are \(\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\). Option D (6) confuses ordered pairs (permutations) with subsets — \(P(3,2)=6\) counts order, but subsets do not. Exam tip: for small sets list subsets or use \(\binom{n}{r}\).
A' को U के सापेक्ष A का पूरक कहा जाता है, अतः A' = U A. इसलिए A = U \ A' = {1,2,3}. विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें 4 और 5 हैं जो A' में हैं। परीक्षा-टिप: हमेशा जाँचें कि A ∪ A' = U और A ∩ A' = ∅। / A' is the complement of A relative to U, so A' = U \ A. Hence A = U \ A' = {1,2,3}. Option C is incorrect because it includes 4 and 5, which belong to A'. Exam tip: verify using A ∪ A' = U and A ∩ A' = ∅ to avoid mistakes.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है — समुच्चय \(A\) के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय। रिक्त समुच्चय \(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अतः \(\emptyset\) भी \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\emptyset\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प (B) गलत है क्योंकि यह ठीक विपरीत बताता है। विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(A=\{2,3\}\) में सदस्य हैं जबकि \(\emptyset\) में कोई सदस्य नहीं। विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\) में \(\emptyset\) के अलावा \(\{2\},\{3\},\{2,3\}\) भी होते हैं, अतः \(\mathcal{P}(A)\) रिक्त समुच्चय के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: घात समुच्चय के बारे में याद रखें कि उसके तत्व वही उपसमुच्चय होते हैं — इसलिए ‘‘उपसमुच्चय होना’’ और ‘‘घात समुच्चय का सदस्य होना’’ में भेद समझें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so \(\emptyset\) is a subset of \(A\) and therefore an element of \(\mathcal{P}(A)\); hence \(\emptyset\in\mathcal{P}(A)\). Option (B) is the negation and thus incorrect. Option (C) is false because \(A=\{2,3\}\) is nonempty. Option (D) is false because \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\), not equal to \(\emptyset\). Exam tip: distinguish between ‘‘subset of A’’ and ‘‘element of \(\mathcal{P}(A)\)’’ — elements of the power set are subsets of the original set.
A. क्योंकि हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है/because every set is a subset of itself
Explanation
Simple Explanation
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) को परिभाषित रूप से उस समुच्चयों का समुच्चय कहते हैं जो \(A\) के उपसमुच्चय हों। किसी भी समुच्चय \(A\) के लिये \(A\subseteq A\) सत्य होता है (हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है), अतः \(A\) यानी \(\{7,8\}\) भी \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है। विकल्प B (रिक्त समुच्चय) ध्यान देने योग्य है क्योंकि \(\varnothing\) भी \(\mathcal{P}(A)\) में आता है, पर यह \(\{7,8\}\) का कारण नहीं है; C और D तथ्यात्मक रूप से गलत हैं। परीक्षा टिप: यदि \(|A|=n\) है तो \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) और \(\mathcal{P}(A)\) में हमेशा \(\varnothing\) और \(A\) दोनों शामिल होते हैं। / By definition the power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). For any set \(A\), we have \(A\subseteq A\) (every set is a subset of itself), so \(A\) i.e. \(\{7,8\}\) is an element of \(\mathcal{P}(A)\). Option B is a common distractor — the empty set \(\varnothing\) is also in \(\mathcal{P}(A)\), but that does not explain why \(\{7,8\}\) is there; options C and D are incorrect. Exam tip: remember \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}\) and that both \(\varnothing\) and \(A\) always belong to \(\mathcal{P}(A)\).
पूरक का अर्थ है U में वे सभी तत्त्व जो A में नहीं हैं। U = {1,2,3,4,5,6,7} और A = {1,3,5,7} के लिए U में बचे हुए तत्त्व 2, 4 और 6 हैं। इसलिए A′ = {2,4,6}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A खुद है, न कि A का पूरक। परीक्षा टिप: हमेशा पहले U के सभी तत्त्व लिखें और फिर A के तत्त्व हटाकर बाँकी तत्त्व ही पूरक होते हैं। / The complement of A (with respect to U) consists of those elements of U that are not in A. Given U = {1,2,3,4,5,6,7} and A = {1,3,5,7}, the remaining elements are 2, 4 and 6. Hence A′ = {2,4,6}. Option B is incorrect because it lists A itself, not its complement. Exam tip: list elements of U and remove the elements of A to get A′ quickly and avoid mistakes.
पूरक तब रिक्त होगा जब (A) ने पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को ले लिया हो। इसलिए (A=U) सही स्थिति है। / The complement is empty when (A) takes the whole universal set. Therefore (A=U) is the correct case.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में यह मूल नियम बहुत उपयोगी है। / The empty set has no element, so its complement is the whole (U). This basic rule is very useful in exams.
चार तत्वों में से तीन चुनने के (4) तरीके हैं। इसलिए तीन तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होंगे। / There are (4) ways to choose three elements from four. So there are (4) three element subsets.
शून्य‑तत्व वाला उपसमुच्चय केवल एक ही हो सकता है — रिक्त समुच्चय \(\emptyset\). इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में शून्य‑तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या 1 है. नजदीकी विचलन: विकल्प (8) सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या है क्योंकि \(|\mathcal{P}(A)|=2^3=8\), और विकल्प (3) केवल एक‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या बताता है। परीक्षा टिप: किसी भी सेट के लिए खाली उपसमुच्चय हमेशा एकमात्र होता है, इसलिए खाली‑उपसमुच्चय की गिनती हमेशा 1 होती है। / There is exactly one zero‑element subset: the empty set \(\emptyset\). Hence the number of zero‑element subsets in \(\mathcal{P}(A)\) is 1. Closest distractor: 8 is the total number of all subsets since \(|\mathcal{P}(A)|=2^3=8\), and 3 counts the one‑element (singleton) subsets. Exam tip: remember the empty set is unique, so any power set contains exactly one empty subset regardless of the original set's size.
समूह सिद्धांत में A का पूरक A' वही सदस्य होते हैं जो सार्वभौमिक समुह U में हैं पर A में नहीं हैं। इसे A' = U \ A से लिखा जाता है। यहाँ U = {लाल, नीला, हरा} और A = {लाल} होने पर U \ A = {नीला, हरा} होता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह केवल हरा देता है और नीला छोड़ देता है, तथा विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट नहीं है। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय तत्वों को सूचीबद्ध कर के सीधे U से A के तत्व हटा दें — गलतियों की संभावना कम रहती है। / By definition the complement A' consists of elements in the universal set U that are not in A; symbolically A' = U \ A. With U = {red, blue, green} and A = {red}, we have U \ A = {blue, green}, so option B is correct. Option A is just A itself, option C misses blue (gives only green), and option D (empty set) is incorrect. Exam tip: write out U and cross out elements of A — this simple list method avoids sign/notation mistakes.
घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा मूल समुच्चय दोनों होते हैं। यहां पूरा मूल समुच्चय ({5}) है। / A power set contains both \(\emptyset\) and the whole original set. Here the whole original set is ({5}).
A. क्योंकि (3) (A) में नहीं है/because (3) is not in (A)
Explanation
Simple Explanation
({1,2,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि इसमें अतिरिक्त तत्व (3) है। घात समुच्चय में केवल उपसमुच्चय आते हैं। / ({1,2,3}) is not a subset of (A) because it has the extra element (3). A power set contains only subsets.
किसी समूह का पूरक \(A'\) वह होता है जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में है पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{1,2,3,4\}\) और \(A=\{1,4\}\) इसलिए \(A'=U\setminus A=\{2,3\}\). विकल्प D (\(\{3,4\}\)) भ्रमित कर सकता है क्योंकि उसमें 3 सही है पर 4 \(A\) में भी है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालते समय हमेशा \(A'=U\setminus A\) लिखकर तत्व हटाएँ। / The complement \(A'\) consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{1,2,3,4\}\) and \(A=\{1,4\}\), so \(A'=U\setminus A=\{2,3\}\). Option D (\(\{3,4\}\)) looks plausible but is wrong because it includes 4, which belongs to \(A\). Exam tip: compute complements as \(A'=U\setminus A\) to avoid mistakes.
किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या नियम से \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) होगी। विकल्प A (2) गलत है क्योंकि वह मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है, उपसमुच्चयों की नहीं। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय गिनते समय खाली समुच्चय और पूरा समुच्चय दोनों को जरूर शामिल करें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). Here \(n=2\), so \(2^2=4\) subsets in \(\mathcal{P}(A)\). Option A (2) is incorrect — it gives the number of elements in A, not the number of subsets. Exam tip: always count the empty set and the set itself when listing subsets.
A. \({4,8}\subseteq A\) और \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)/\({4,8}\subseteq A\) and \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
(4) और (8) दोनों (A) में हैं इसलिए \({4,8}\subseteq A\) है। इसी कारण यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / Both (4) and (8) are in (A), so \({4,8}\subseteq A\). Therefore it is an element of (\mathcal{P}(A)).
समुच्चय का पूरक \(A'\) वह समुच्चय है जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(A=\{3,6,9\}\), अतः \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,5,7,8\}\)। इसलिए 8 \(A'\) में है। विकल्प 9 या 3 और 6 \(A\) के सदस्य हैं, अतः वे \(A'\) में नहीं होंगे। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए सीधे \(U\) से \(A\) के तत्व घटा दें या \(U\setminus A\) लिखकर तत्वों की सूची बनाएँ। / The complement \(A'\) consists of elements that are in \(U\) but not in \(A\). Since \(A=\{3,6,9\}\), we have \(A'=U\setminus A=\{1,2,4,5,7,8\}\). Thus 8 is in \(A'\). Options 3, 6 and 9 belong to \(A\), so they are not in the complement. Exam tip: compute \(A'\) by listing \(U\setminus A\) — subtract A's elements from U.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में सभी उपसमुच्चय एक-एक करके शामिल होते हैं; पूरा समुच्चय \(A\) भी एक उपसमुच्चय है और केवल एक बार आता है। ध्यान रखें कि \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) से कुल उपसमुच्चयों की संख्या 16 है (यह संख्या बताती है कितने अलग‑अलग उपसमुच्चय हैं) — यह इस बारे में नहीं बताती कि कोई विशिष्ट उपसमुच्चय कितनी बार आता है। इसलिए सही उत्तर 1 है। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय या उपसमुच्चय की आवृत्ति हमेशा 0 (यदि वह शामिल नहीं है) या 1 (यदि वह शामिल है) होती है। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains each subset exactly once; the whole set \(A\) is itself a subset and therefore appears exactly once. Note that \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) gives 16 total subsets for \(n=4\), but that number is the count of distinct subsets, not the frequency of a particular subset. Hence the correct answer is 1. Exam tip: a given subset is either present (appears once) or absent (zero times) in the power set — never multiple times.
समुच्चय का पूरक A' का अर्थ है U में से A के सभी तत्वों को हटाना: A' = U \ A. U = {a, e, i, o, u} और A = {a, i, u} होने पर बचे हुए तत्व {e, o} होंगे। इसलिए सही उत्तर {e, o} है। विकल्प A गलती से A को ही दे रहा है (पूरक नहीं), विकल्प C में 'a' मौजूद है जो A का तत्व है — अतः वह भी गलत है, और विकल्प D में i व u शामिल हैं जो A में पहले से हैं। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालते समय U के सारे तत्वों को रेखांकित करके A में जितने भी तत्व हैं उन्हें काट दें — जो बचे वही A' होगा। / The complement A' means removing all elements of A from the universal set U: A' = U \ A. With U = {a, e, i, o, u} and A = {a, i, u}, the remaining elements are {e, o}. Thus {e, o} is correct. Option A simply repeats A (not its complement); option C wrongly keeps 'a' which belongs to A; option D includes i and u that should be removed. Exam tip: Cross out all elements of A from U — the leftovers form A'.
({20}) (A) का एक उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) में होगा। सीधे (20) को घात समुच्चय का तत्व न समझें। / ({20}) is a subset of (A), so it will be in (\mathcal{P}(A)). Do not treat direct (20) as an element of the power set.
