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समीकरण के हल (1) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों में वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय में क्रम नहीं देखा जाता। / The equation has roots (1) and (3), so both sets have the same elements. In equal sets order is not considered.
हर (X) में (1) और (4) होना चाहिए तथा (2) नहीं होना चाहिए, इसलिए केवल (3) वैकल्पिक है। ऐसे प्रश्नों में अनिवार्य और निषिद्ध अवयव पहले तय करें। / Every (X) must contain (1) and (4), and must not contain (2), so only (3) is optional. In such questions, fix required and forbidden elements first.
परिभाषा: सेट B, A का उपसमुच्चय तभी होगा जब B का हर अवयव A का भी अवयव हो। विकल्प \(\{2,\{3,4\}\}\) में दोनों अवयव — संख्या 2 और उपसेट \(\{3,4\}\) — सीधे तौर पर \(A\) के अवयव हैं, इसलिए यह \(A\) का उपसमुच्चय है। भ्रमित करने वाला विकल्प \(\{1,3\}\) इसलिए गलत है क्योंकि 3 स्वयं \(A\) का अवयव नहीं है; केवल \(\{3,4\}\) ही \(A\) का अवयव है। परीक्षा युक्ति: तत्व (element) को चिन्हित करने के लिए "∈" और उपसमुच्चय के लिए "⊆" का उपयोग करें और कोष्ठकों \{...\} की परतों (layers) पर ध्यान दें। / Definition: B is a subset of A only if every element of B is also an element of A. In \(\{2,\{3,4\}\}\) both elements — the number 2 and the set \(\{3,4\}\) — are elements of A, so this set is a subset of A. A tempting wrong choice is \(\{1,3\}\): although 1 ∈ A, the element 3 ∉ A because only \(\{3,4\}\) (not 3 alone) is in A. Exam tip: Distinguish between an element (use "∈") and a subset (use "⊆"), and pay careful attention to braces — \{x\} is not the same as x.
\(2^n=64\) से (n=6) है और उचित उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) होंगे। पावर समुच्चय और उचित उपसमुच्चय के सूत्र अलग रखें। / From \(2^n=64\), (n=6), and proper subsets are \(2^6-1=63\). Keep the formulas for power set and proper subsets separate.
(42) के अभाज्य भाजक (2,3,7) हैं। सभी भाजकों और अभाज्य भाजकों में अंतर समझें। / The prime divisors of (42) are (2,3,7). Understand the difference between all divisors and prime divisors.
परिभाषा \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\mid 18\}\) का अर्थ है कि \(A\) में 18 के सभी धनात्मक भाजक आते हैं। 18 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18 — यही सेट \(B\) भी है। अतः \(A=B\) है। गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: (B) गलत है क्योंकि इसमें सम्मिलित हैं 6, 9 और 18 जो अभाज्य नहीं हैं; (C) गलत है क्योंकि \(B\) और \(A\) में एक ही सदस्य हैं, इसलिए \(B\) समुच्चय का सही उपसमुच्चय परिभाषा नहीं बनता; (D) गलत है क्योंकि 18 निश्चित रूप से 18 का भाजक है और इसलिए \(18\in A\)। परीक्षा-सुझाव: विभाजन-आधारित समुच्चय के लिए दिए गए पूर्णांक के सभी धनात्मक भाजकों को सूचीबद्ध कर लें — इससे तुरंत तुलना हो जाती है। / By definition \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\mid 18\}\) is the set of all positive divisors of 18. The positive divisors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9, 18, which is exactly \(B\). Therefore \(A=B\). Why other options fail: (B) is false because 6, 9 and 18 are not prime; (C) is false because \(B\) does not omit any element of \(A\), so it is not a proper subset; (D) is false because 18 divides 18, so \(18\in A\). Exam tip: For sets defined by "\(x\mid n\)", list all positive divisors of \(n\) to compare sets quickly.
(0) को निश्चित रखने पर बाकी तीन अवयव स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयव को चुनकर बाकी पर गिनती करें। / Fixing (0), the remaining three elements are optional, so there are \(2^3=8\) subsets. For a fixed element, count choices for the remaining elements.
(a) हटाने के बाद चार अवयव बचते हैं और उनसे \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। निषिद्ध अवयव को पहले बाहर करें। / After excluding (a), four elements remain and they form \(2^4=16\) subsets. Remove the forbidden element first.
समुच्चय में वह सभी पूर्णांक शामिल हैं जो शर्त \(-3\le x<2\) पूरी करते हैं। पूर्णांकों की सूचि में यह मान होंगे \(-3,-2,-1,0,1\) क्योंकि \(-3\) शामिल है पर \(2\) शामिल नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(2\) भी शामिल किया गया है, जबकि \(2\) शर्त द्वारा बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी अनिश्चित अन्तराल के लिए पहले असमानता के दोनों छोरों को पढ़ें और केवल उन पूर्णांकों को लिखें जो दोनों शर्तों को पूरा करते हैं। / A contains all integers satisfying \(-3\le x<2\). Listing those integers gives \(-3,-2,-1,0,1\): -3 is included (\(\le\)) but 2 is not included (\(<\)), so option A is correct. The closest distractor C is wrong because it incorrectly includes 2. Exam tip: when given an integer inequality, list integers from the left endpoint to the right, respecting \(\le\) vs \(<\).
A. \(A\subset C\) उचित रूप से/(A) is a proper subset of (C)
Explanation
Simple Explanation
ट्रांजिटिव नियम से \(A\subseteq C\) और \(A\not=C\) होने से (A) उचित उपसमुच्चय है। बीच वाला समुच्चय बराबर भी हो सकता है। / By transitivity \(A\subseteq C\), and since \(A\ne C\), (A) is a proper subset. The middle set may or may not be equal.
धनात्मक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16) हैं और (25) सीमा में शामिल नहीं है। हर शर्त को साथ में लागू करें। / The positive perfect squares are (1,4,9,16), and (25) is not included. Apply every condition together.
किसी भी आकार के उपसमुच्चय में अवयव चुनने के लिए संयोजन लागू होते हैं। चार तत्वों में से ठीक दो चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं, इसलिए उत्तर 6 है। विकल्प (12) गलत है क्योंकि यह क्रमबद्ध चयन (permutation) \(P(4,2)=4\times3=12\) को गिनता है जहाँ (p,q) और (q,p) अलग माने जाते हैं; उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता। विकल्प (4) और (8) आम गलती हैं — 4 शायद आंशिक जोड़ी गिनने की गलत धारणा है और 8 किसी अन्य गलत विभाजन/गणना से आया होगा। परीक्षा सुझाव: हमेशा यह तय करें कि क्रम मायने रखता है या नहीं — क्रम नहीं रखें तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Use combinations because order does not matter in subsets. The number of ways to choose exactly two elements from four is \(\binom{4}{2}=6\), so the correct answer is 6. Option 12 is incorrect because it counts ordered selections (permutations) \(P(4,2)=4\times3=12\), treating (p,q) and (q,p) as different; subsets do not consider order. Options 4 and 8 arise from mistaken counting methods. Exam tip: first decide whether order matters — if not, apply \(\binom{n}{r}\).
\(\varnothing\) और (1) दोनों (A) के अवयव हैं इसलिए \({\varnothing,1}\) उपसमुच्चय है। (0) और \(\varnothing\) अलग हैं। / Both \(\varnothing\) and (1) are elements of (A), so \({\varnothing,1}\) is a subset. (0) and \(\varnothing\) are different.
(16) के भाजकों में केवल (1) विषम है। नकारात्मक शर्त वाले प्रश्न में हटाए गए अवयवों पर ध्यान दें। / Among the factors of (16), only (1) is odd. In questions with a negative condition, pay attention to the excluded elements.
तीन या अधिक अवयवों की संख्या \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\) है। आकार आधारित गिनती में संयोजन जोड़ें। / The number is \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\). For size based counting, add the combinations.
समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता इसलिए अलग अक्षर (L,E,V) हैं। अक्षरों वाले प्रश्न में केवल अलग अवयव गिनें। / Repetition is not counted in a set, so the distinct letters are (L,E,V). In letter based questions count only distinct elements.
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) है इसलिए वही समुच्चय उपसमुच्चय है पर उचित नहीं है। उचित उपसमुच्चय पूरा समुच्चय नहीं होता। / Here \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so the same set is a subset but not proper. A proper subset is not the whole set.
सूत्र \(x=2n\) में \(n\) को \(1,2,3,4\) रखने पर प्राप्त मान \(x=2,4,6,8\) होते हैं। अतः \(B=\{2,4,6,8\}\) जो कि दी गई \(A\) के समान है, इसलिए \(A=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) केवल \(B\) का उपसमुच्चय ही नहीं बल्कि बराबर भी है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\) में केवल सम संख्याएँ आती हैं, न कि \(1,2,3,4\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\cap B=A\) है, खाली समुच्चय नहीं। परीक्षा टिप: पैरामेट्रिक समुच्चय में तुरंत मान डालकर सभी सदस्य लिखें — इससे बराबरी/उपसमुच्चय के संबंध स्पष्ट हो जाते हैं। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(x=2n\) gives \(x=2,4,6,8\). Hence \(B=\{2,4,6,8\}=A\), so \(A=B\). Option B is wrong because A is not a proper subset—both sets are identical. Option C is incorrect since \(B\) lists even numbers, not \(1,2,3,4\). Option D is false because \(A\cap B= A\), not the empty set. Exam tip: For parametric definitions plug in the allowed parameter values to list elements before comparing sets.
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं और (2) स्वयं उपसमुच्चय नहीं है। ({2}) और (2) अलग हैं। / The elements of (P(A)) are subsets of (A), and (2) itself is not a subset. ({2}) and (2) are different.
कक्षा (11) में सामान्यतः \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) लिया जाता है इसलिए दोनों (1) से (9) तक हैं। संकेत में दी गई संख्या पद्धति को ध्यान से देखें। / In Class (11), usually \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), so both sets are (1) to (9). Read the given number system carefully.
दोनों संख्याओं के सामान्य धनात्मक भाजक (1,3,5,15) हैं। और की शर्त में समान अवयव चुनें। / The common positive divisors of both numbers are (1,3,5,15). For an and condition, choose common elements.
पावर समुच्चय में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। (a) नहीं बल्कि ({a}) उसका अवयव होगा। / A power set lists all subsets as elements. It contains ({a}), not (a) as the singleton subset.
\(|x|\leq 2\) में (-2) से (2) तक के सभी पूर्णांक आते हैं। मापांक में धन और ऋण दोनों पक्ष देखें। / The condition \(|x|\leq 2\) includes all integers from (-2) to (2). In modulus, check both positive and negative sides.
यहाँ 1 अवश्य शामिल है और 4 निषिद्ध है, अतः शेष तत्व केवल 2 और 3 स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं — प्रत्येक के लिए दो विकल्प (रहना या न रहना)। इसलिए स्वतंत्र विकल्पों की संख्या है
\(2^2=4\)। अतः सही उत्तर 4 है। निकटवर्ती भ्रम: 2 तब गलत होगा जब केवल एक ही तत्व स्वतंत्र माना जाए (\(2^1\)); 8 तब गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र तत्व मानने पर मिलता है (\(2^3\))। परीक्षा-सूत्र: यदि k तत्व स्वतंत्र हों तो उपसमुच्चयों की संख्या \(2^k\) है। / Here 1 must be included and 4 is excluded, so the remaining elements 2 and 3 are free to be either in or out of a subset — each has 2 choices. Thus the number of possibilities is \(2^2=4\). Therefore the correct count is 4. Closest distractor explained: 2 would be correct only if there were one free element (\(2^1\)), while 8 corresponds to three free elements (\(2^3\)), so both are incorrect. Exam tip: if k elements are free, number of subsets = \(2^k\).
एक ही सम और अभाज्य दोनों गुणों को संतुष्ट करने वाली केवल संख्या 2 है — क्योंकि 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। विकल्प B में सभी संख्याएँ सम हैं पर 4,6,8 अभाज्य नहीं हैं; विकल्प C में 3,5,7 अभाज्य हैं पर वे विषम हैं; विकल्प D खाली समुच्चय है जो शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा युक्ति: जब सेट पर ‘‘और’’ की शर्त दी हो तो दोनों शर्तें एक साथ लागू कीजिए। / Only 2 satisfies both conditions: it is the only even prime. Option B lists even numbers less than 10 but 4, 6, 8 are composite; option C lists primes less than 10 but except 2 the primes are odd; option D is the empty set and does not meet the predicate. Exam tip: for predicates joined by “and”, require all conditions simultaneously when forming the set.
जो उपसमुच्चय (A) के अंदर हैं वही दोनों के लिए उपसमुच्चय होंगे और उनकी संख्या \(2^3=8\) है। साझा सीमा को छोटे समुच्चय से तय करें। / The subsets lying inside (A) are subsets of both, and their number is \(2^3=8\). Decide the common limit using the smaller set.
\(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) है और (8) इसमें नहीं है। एक बाहरी अवयव पूरा उपसमुच्चय कथन गलत कर देता है। / Here \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), and (8) is not in it. One outside element makes the subset statement false.
दोनों संख्याओं के सामान्य अभाज्य भाजक (2) और (3) हैं। सामान्य भाजक और सामान्य अभाज्य भाजक अलग हो सकते हैं। / The common prime divisors of both numbers are (2) and (3). Common divisors and common prime divisors can be different.
यहाँ (1), (2), और ({1,2}) तीन अलग अवयव हैं। पूरा समुच्चय भी किसी बड़े समुच्चय का अवयव हो सकता है। / Here (1), (2), and ({1,2}) are three distinct elements. A whole set can be an element of a larger set.
B. (A) (B) का उचित उपसमुच्चय है/(A) is a proper subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{-3,3\}\) है और (B) में अतिरिक्त (9) है। समीकरण के हल और समीकरण में आए स्थिरांक को अलग समझें। / Here \(A=\{-3,3\}\), and (B) has the extra element (9). Distinguish roots of an equation from constants in it.
\(A=\{25,50,75\}\) में (3) अवयव हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। सीमा में (100) शामिल नहीं है। / \(A=\{25,50,75\}\) has (3) elements, so it has \(2^3=8\) subsets. The boundary (100) is not included.
x-2 - 1 = 0 को हल करने पर x = ±1 मिलता है और दोनों मान पूर्णांक हैं, अतः A = {-1, 1}। B में वे पूर्णांक दिए गए हैं जो -2 से छोटे और 2 से छोटे (कठोर असमानता) हैं और x ≠ 0; इससे पूर्णांकों का समूह {-1,0,1} होता है पर x ≠ 0 हटाने पर B = {-1,1}। इसलिए A और B के तत्व समान हैं और A = B है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A को {1} बताता है जबकि A में -1 भी शामिल है; विकल्प C व D भी गलत हैं क्योंकि B खाली नहीं है और A ∩ B = {-1,1} है, शून्यसमूह नहीं। परीक्षा-सूत्र: सेटों को बराबरी के लिए हमेशा तत्व लिखकर जाँचें — समीकरण हल करके और असमानताओं में पूर्णांकों को सूचीबद्ध करें। / Solve x-2 - 1 = 0 to get x = ±1, which are integers, so A = {-1, 1}. For B, integers satisfying -2 < x < 2 are -1, 0, 1; removing x = 0 gives B = {-1, 1}. Thus A and B have exactly the same elements, so A = B. Option B is incorrect because it omits -1 from A; options C and D are wrong because B is not empty and A ∩ B = {-1,1}, not empty. Exam tip: when sets are defined by equations and inequalities, list the actual elements to compare equality quickly.
A. वह (B) ही है और (A) का उपसमुच्चय भी है/It is (B) itself and also a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
तीन अवयवों वाला (B) का केवल उपसमुच्चय (B) स्वयं है। क्योंकि \(B\subset A\) है इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय भी है। / The only three element subset of (B) is (B) itself. Since \(B\subset A\), it is also a subset of (A).
(2) या (3) के गुणजों को मिलाने पर (2,3,4,6,8,9,10) मिलते हैं। या की शर्त में संघ जैसी सोच रखें। / Combining multiples of (2) or (3) gives (2,3,4,6,8,9,10). For an or condition, think like a union.
A. (B=C) और (A) (B) का उचित उपसमुच्चय है/(B=C) and (A) is a proper subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
(B) और (C) में वही अवयव हैं और (A) में (4) नहीं है। समानता और उचित उपसमुच्चय दोनों अलग-अलग जांचें। / (B) and (C) have the same elements, and (A) does not contain (4). Check equality and proper subset separately.
यदि किसी समुच्चय में n अवयव हैं तो उसके पावर समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या \\(2^n\\) होती है और उचित उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n-1\\) होती है। प्रश्न के अनुसार \\(2^n-1=15\\) है, अतः \\(2^n=16\\)। इसलिए पावर समुच्चय में \\(16\\) अवयव होंगे।
गलत विकल्पों का संक्षेप: 15 वह संख्या है जो प्रश्न में पहले से दी गई है (यह केवल उचित उपसमुच्चयों की संख्या है, पावर सेट का नहीं)। 31 उस स्थिति के लिए सही होता यदि \\(2^n-1=31\\) अर्थात् \\(n=5\\) होता — लेकिन यहाँ दिया 15 है। 30 असंभव है क्योंकि \\(2^n\\) कभी 30 नहीं हो सकता (30 किसी भी पूर्णांक n के लिए शक्ति-2 नहीं है)।
परीक्षा टिप: पावर सेट = \\(2^n\\), उचित उपसमुच्चय = \\(2^n-1\\)। यह फार्मूला तुरंत याद रखें। / For a set with n elements the power set size is \(2^n\) and the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=15\), so \(2^n=16\). Therefore the power set contains 16 elements.
Why other choices are wrong: 15 is the given number of proper subsets (not the power set size). 31 would be the number of proper subsets when \(n=5\) because \(2^5-1=31\), which does not match the given 15. 30 is impossible because \(2^n\) cannot equal 30 for any integer n (30 is not a power of two).
Exam tip: remember power set = \(2^n\) and proper subsets = \(2^n-1\); use these to form a simple equation from the given data.
B. \(B\) \(A\) का उचित उपसमुच्चय है/\(B\) is a proper subset of \(A\)
Explanation
Simple Explanation
सबसे पहले सेटों के सदस्य लिखें: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) क्योंकि \(A\) में नैचुरल नंबर्स हैं जो 6 या उससे कम हैं; और \(B=\{1,2,3,6\}\) क्योंकि ये 6 के धनात्मक भाजक हैं. \(B\) के सभी अवयव \(A\) में आते हैं, पर \(A\) में अतिरिक्त अवयव (4 और 5) भी हैं, अतः \(B\subset A\) परंतु \(B\ne A\)। इसलिए \(B\) \(A\) का उचित उपसमुच्चय है। निकटतम ग़लत विकल्प \(A=B\) इसलिए गलत है क्योंकि \(A\) में 4 और 5 भी हैं; \(A\cap B=\varnothing\) भी गलत है क्योंकि साझा अवयव मौजूद हैं। परीक्षा-सूत्र: सेट संबंध पर निर्णय करने के लिए हमेशा दोनों सेटों के तत्व लिखकर तुलना करें। / Write the elements: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) because A is the natural numbers ≤6; and \(B=\{1,2,3,6\}\) because these are the positive divisors of 6. Every element of B belongs to A, but A has extra elements (4 and 5), so \(B\subset A\) and \(B\ne A\). Thus B is a proper subset of A. The closest wrong choice \(A=B\) fails because A contains 4 and 5; \(A\cap B=\varnothing\) is false since they share elements. Exam tip: list set members explicitly to compare subset relations quickly.
(A) में अवयव समुच्चय के रूप में लिखे हैं और ({1,2}) उनमें से एक है। अंदर के (1) और (2) सीधे (A) के अवयव नहीं हैं। / The elements of (A) are written as sets, and ({1,2}) is one of them. The inner (1) and (2) are not directly elements of (A).
(40) के (10) तक के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,8,10) हैं। सीमा की शर्त को भाजक सूची पर लगाएं। / The positive divisors of (40) up to (10) are (1,2,4,5,8,10). Apply the boundary condition to the divisor list.
(2) और (3) निश्चित हैं तथा (1,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयवों को पहले शामिल करें। / (2) and (3) are fixed, while (1,4) are optional, so \(2^2=4\) subsets are obtained. Include fixed elements first.
दिये गये समीकरण को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)=0\)। अतः हल \(x=0\) और \(x=2\) हैं। चूँकि परिभाषा में \(x\in\mathbb{Z}\) है, इसलिए \(A=\{0,2\}=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि सही संबंध समता है, न कि उचित उपसमुच्चय; विकल्प B और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि A में दोनों 0 और 2 हैं और खाली समुच्चय नहीं है। परीक्षा-सुझाव: समीकरणों में हमेशा शून्य को जड़ के रूप में याद रखें और परिभाषित डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) की जाँच करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)=0\). Thus the integer solutions are \(x=0\) and \(x=2\). Since \(A\) is defined over \(\mathbb{Z}\), \(A=\{0,2\}=B\), so A equals B. The nearest distractor C is wrong because it asserts a proper subset rather than equality; B omits 0 and D contradicts the found roots. Exam tip: always factor and list all roots (including 0) and check the domain of the variable.
(1) अभाज्य नहीं है और (20) तक अभाज्य संख्याएं वही हैं जो (B) में हैं। अभाज्य संख्या की परिभाषा याद रखें। / The number (1) is not prime, and the primes up to (20) are exactly those in (B). Remember the definition of a prime number.
बराबर नहीं होने वाले उपसमुच्चय ही उचित उपसमुच्चय हैं और उनकी संख्या \(2^5-1=31\) है। पूरा समुच्चय केवल एक बार हटता है। / Subsets not equal to (A) are proper subsets, and their number is \(2^5-1=31\). Only the whole set is removed once.
कोई भी वास्तविक संख्या \(x\) ऐसी नहीं हो सकती कि \(x^2+1=0\)। वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^2\ge0\) होता है, अतः \(x^2+1\ge1>0\)। इसलिए दिए गए शर्त को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक तत्व नहीं है और \(A\) शून्य समुच्चय है, यानी \(\varnothing\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\{i,-i\}\) में समीकरण के जटिल हल हैं लेकिन वे \(\mathbb{R}\) में नहीं आते; \(\{1,-1\}\) और \(\{0\}\) समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा टिप: हमेशा दिए गए संख्या क्षेत्र (यहाँ \(\mathbb{R}\)) की जाँच करें — कुछ समीकरणों के हल केवल जटिल संख्याओं में होते हैं। / No real number \(x\) satisfies \(x^2+1=0\) because for real \(x\), \(x^2\ge0\) so \(x^2+1\ge1>0\). Hence there are no elements of \(\mathbb{R}\) meeting the condition and \(A\) is the empty set \(\varnothing\). The closest distractor \(\{i,-i\}\) lists the complex roots of the polynomial but they are not in \(\mathbb{R}\); \(\{1,-1\}\) and \(\{0\}\) do not satisfy the equation. Exam tip: always check the domain (real vs complex) before accepting roots as valid solutions.
A में वे धनात्मक गुणज आते हैं जो 30 से छोटे हैं। 5 के धनात्मक गुणज: 5, 10, 15, 20, 25 (5×1 से 5×5) ही हैं; 30 शामिल नहीं क्योंकि शर्त x < 30 है। अतः A = {5,10,15,20,25} और इसलिए A तथा B समान हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि उसने 30 जोड़ दिया जो शर्त का उल्लंघन है। परीक्षा का टिप: "<30" जैसा कड़ाई से लिया गया असमानता चिन्ह ध्यान से पढ़ें—30 शामिल नहीं होगा। / A consists of positive multiples of 5 that are less than 30. These are 5, 10, 15, 20, 25 (5×1 through 5×5); 30 is not included because x < 30. Therefore A = {5,10,15,20,25} = B. The closest distractor (option B) is wrong because it incorrectly includes 30. Exam tip: pay attention to strict inequalities like "<30"—they exclude the boundary value.
(A) में ({1,2}) एक अवयव है पर (1) और (2) अलग से अवयव नहीं हैं। इसलिए ({1,2}) उपसमुच्चय नहीं है। / In (A), ({1,2}) is one element, but (1) and (2) are not separate elements. So ({1,2}) is not a subset.
\(A=\{1,2,3\}\) है और इसके एक-अवयवी उपसमुच्चय (3) हैं। पावर समुच्चय में ये उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। / Here \(A=\{1,2,3\}\), and it has (3) singleton subsets. These subsets become elements of the power set.
A. \(C\subset A\subset B\) उचित रूप से/\(C\subset A\subset B\) properly
Explanation
Simple Explanation
(C) के सभी अवयव (A) में हैं और (A) के सभी अवयव (B) में हैं। प्रत्येक चरण में अतिरिक्त अवयव होने से संबंध उचित है। / All elements of (C) are in (A), and all elements of (A) are in (B). Each step is proper because there is an extra element.
शर्त \(0<x^2<10\) के लिये पूर्णांक \(x\) के वर्ग केवल 1, 4 और 9 हो सकते हैं (क्योंकि अगला वर्ग 16\(>10\) है)। इसलिए \(x=\pm1,\pm2,\pm3\) होते हैं। चूँकि \(0<x^2\) है, \(0\) शामिल नहीं होगा। अतः सही समुच्चय \{ -3,-2,-1,1,2,3\} है। निकट भ्रामक विकल्प \{ -2,-1,0,1,2\} में 0 है और \(\pm3\) गायब हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: समुच्चय आधारित प्रश्न में पहले संभावित वर्ग (1,4,9,16,...) लिखें और दिए गए असमानता से तुलना करें। / For integers satisfying \(0<x^2<10\), the possible squares are 1, 4 and 9 (the next square 16 exceeds 10). Hence \(x=\pm1,\pm2,\pm3\). Since \(0<x^2\), zero is excluded. Therefore the set is \{ -3,-2,-1,1,2,3\}. A close distractor, \{ -2,-1,0,1,2\}, incorrectly includes 0 and misses \(\pm3\). Exam tip: list integer squares (1,4,9,16,...) and check the inequality bounds to find allowed values quickly.
(1) और (3) निश्चित हैं तथा (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। किसी उपसमुच्चय को शामिल रखना हो तो उसके अवयव पहले तय करें। / (1) and (3) are fixed, while (2,4) are optional, so there are \(2^2=4\) subsets. When a subset must be contained, fix its elements first.
