Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में क्रम नहीं अवयव देखें। / The solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4) so both sets have the same elements. In exams compare elements not order.
एक-अवयवी उपसमुच्चय ({a},{b},{c}) होते हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में अवयव और उपसमुच्चय के स्तर को ध्यान से देखें। / The singleton subsets are ({a},{b},{c}), so the two sets are equal. In exams carefully check the level of elements and subsets.
दस से छोटे धनात्मक सम पूर्णांक (2,4,6,8) हैं। वर्णनात्मक रूप को रोस्टर रूप में बदलकर मिलान करें। / The positive even integers less than ten are (2,4,6,8). Convert set builder form to roster form before comparing.
विकल्प D में \({{\varnothing}}\) अवयव है जो (A) में नहीं है। रिक्त समुच्चय वाले प्रश्नों में कोष्ठकों की संख्या गिनें। / Option D contains \({{\varnothing}}\) as an element, which is not in (A). In empty set questions count the braces carefully.
समुच्चय में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता पर ({3}) और (3) अलग हैं। नेस्टेड अवयव को अलग पहचानें। / Changing order does not change a set but ({3}) and (3) are different. Identify nested elements carefully.
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के अलावा कोई नया अवयव नहीं है इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। बराबरी सिद्ध करने में दोनों ओर सम्मिलन की सोच उपयोगी है। / Since \(A\subseteq B\) and (B) has no new element outside (A), both have the same elements. Thinking about inclusion from both sides helps prove equality.
तीन अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। कुल उपसमुच्चय में रिक्त समुच्चय और वही समुच्चय भी गिनें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. Count the empty set and the set itself among all subsets.
(|x-2|<2) से पूर्णांक (1,2,3) मिलते हैं और ({1,3}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव अंदर होते हैं लेकिन पूरा समुच्चय नहीं होता। / The condition (|x-2|<2) gives integers (1,2,3), and ({1,3}) lies inside it but is not equal to it. A proper subset has all elements inside but is not the whole set.
किसी n-तत्व समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों की संख्या अर्थात् power set की संख्या होती है \(2^n\)। इसलिए उचित उपसमुच्चयों (proper subsets) की संख्या \(2^n-1\) होगी। दिए गए प्रश्न में \(2^n-1=31\) से \(2^n=32\) और इसलिए \(n=5\) आता है। विकल्प C (6) गलत है क्योंकि \(2^6-1=63\) और विकल्प A (4) भी गलत है क्योंकि \(2^4-1=15\)। परीक्षा सुझाव: "उचित उपसमुच्चयों की संख्या +1 = power set की संख्या" यह सरल चेक हमेशा याद रखें। / For a set with n elements, the total number of subsets (power set) is \(2^n\), so the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=31\), we get \(2^n=32\) and hence \(n=5\). Option C (6) is incorrect because \(2^6-1=63\), and option A (4) is incorrect because \(2^4-1=15\). Exam tip: add 1 to the given number of proper subsets to get the power set size, then solve \(2^n\).
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और ({0}) रिक्त नहीं है। \(\varnothing\) और (0) को अलग रखें। / The empty set is a subset of every set and ({0}) is not empty. Keep \(\varnothing\) and (0) different.
दोनों समुच्चय के तत्व एक जैसे हैं: \(m,a,t,h\)। समुच्चय में क्रम और दोहराव का कोई अर्थ नहीं रहता, इसलिए \(A\) और \(B\) के सभी तत्व समान होने पर \(A=B\) होगा। विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि किसी समुच्चय में दूसरे का सख्त भाग (proper subset) होने के लिए कम से कम एक अतिरिक्त तत्व होना चाहिए — यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प (D) गलत है क्योंकि उनका साझा भाग खाली नहीं है। परीक्षा-Tip: जब सेट वर्णन में शब्द दिए हों तो उसे खुले-वस्तु (list) में लिखकर सभी अलग-अलग तत्व निकाल लें और फिर तुलना करें। / Both sets contain exactly the same elements \(m,a,t,h\). In set theory order and repetition do not matter, so if two sets have identical elements then \(A=B\). Options (B) and (C) are false because a proper subset relation requires one set to lack at least one element present in the other — that is not the case here. Option (D) is false because the intersection is not empty. Exam tip: convert a verbal set description into an explicit list of distinct elements and then compare the lists for equality or subset relations.
आठ से छोटे धनात्मक विषम पूर्णांक (1,3,5,7) हैं। शब्दों में दिए समुच्चय को अवयवों में लिखें। / The positive odd integers less than eight are (1,3,5,7). Write the described set in elements before comparing.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
(B) के सभी अवयव (A) में हैं लेकिन (A) में अतिरिक्त अवयव भी हैं। इसे उचित उपसमुच्चय कहते हैं। / All elements of (B) are in (A), but (A) has extra elements. This is a proper subset relation.
12 का अभाज्य गुणनखंड लिखने पर 12 = 22 × 3 मिलता है। समुच्चय में केवल अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं, इसलिए A = {2,3} होता है। अतः A और B के तत्व एक जैसे हैं और A = B सत्य है। निकटतम भ्रामक विकल्प C गलत है क्योंकि B कोई सही उपसमुच्चय (proper subset) नहीं है — B और A समान हैं। परीक्षा टिप: संख्या का अभाज्य गुणनखंड निकालते समय केवल अलग-अलग अभाज्य गुणक लेकर सेट बनाएं (गुणांक की घात को न दोहराएँ)। / Prime factorization gives 12 = 22 × 3, so the distinct prime factors are 2 and 3. A set lists distinct elements, hence A = {2,3} which equals B. Therefore A = B is correct. Closest distractor C is wrong because B is not a proper subset of A — they are equal. Exam tip: when forming a set of prime factors, include each prime once (ignore multiplicity from powers).
(B) का एकमात्र अवयव पूरा समुच्चय ({1,2}) है। उपसमुच्चय और अवयव के चिन्ह में सावधानी रखें। / The only element of (B) is the whole set ({1,2}). Be careful with subset and element symbols.
क्योंकि \(B\subset A\), इसलिए (B) का हर उपसमुच्चय (A) का भी उपसमुच्चय है। यह ट्रांजिटिव सोच का प्रयोग है। / Because \(B\subset A\), every subset of (B) is also a subset of (A). This uses transitive reasoning.
\(\varnothing\) उपसमुच्चय है लेकिन \({\varnothing}\) में अवयव \(\varnothing\) है जो (A) में नहीं है। यह सामान्य गलती है। / \(\varnothing\) is a subset, but \({\varnothing}\) has \(\varnothing\) as an element, which is not in (A). This is a common mistake.
यदि किसी सेट \(A\) में \(n\) अवयव हों तो उसकी पावर सेट \(P(A)\) में \(2^n\) अवयव होते हैं। यहाँ दिया गया है \(2^n=16\)। क्योंकि \(16=2^4\), इसलिए \(n=4\)। विकल्प (a) और (b) गलत हैं क्योंकि \(2^2=4\) और \(2^3=8\) पावर सेट के अवयवों की संख्या देते हैं, न कि 16। विकल्प (d) गलत है क्योंकि 16 पावर सेट की संख्या है, न कि मूल सेट \(A\) की। परीक्षा टिप: पावर सेट का आकार हमेशा \(2^n\) होता है; देखा हुआ संख्या को द्विघात श्रृंखला \(2^k\) के रूप में तेज़ी से पहचानें। / If set \(A\) has \(n\) elements then the power set \(P(A)\) has \(2^n\) elements. Here \(2^n=16\). Since \(16=2^4\), we get \(n=4\). Options (a) and (b) are incorrect because \(2^2=4\) and \(2^3=8\), not 16. Option (d) is incorrect because 16 is the number of elements of the power set, not of \(A\). Exam tip: remember |P(A)| = \(2^{|A|}\); match the given number to a power of 2 quickly.
पावर समुच्चय \(P(A)\) के अवयव वही उपसमुच्चय होते हैं जिनके सभी सदस्य मूल समुच्चय \(A\) के भी सदस्य हों। विकल्प B, {2,3}, में दिए गए दोनों तत्व 2 और 3, दोनों ही \(A\) के सदस्य हैं, अतः {2,3} एक उपसमुच्चय है और इसलिए \(P(A)\) का अवयव है। विकल्प A (2) केवल एक तत्व है न कि उपसमुच्चय — पावर सेट के तत्व हमेशा सेट होते हैं। विकल्प C ({4}) में 4 \(A\) का सदस्य नहीं है, अतः यह उपसमुच्चय नहीं है। विकल्प D ({{1}}) का एकमात्र तत्व {1} है, जबकि \(A\) के तत्व संख्याएँ हैं; इसलिए {{1}} भी \(A\) का उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षात्मक टिप: पावर सेट के सदस्य हमेशा ब्रेसेज़ में लिखे गए उपसमुच्चय होते हैं; पहले जाँचें कि विकल्प में ब्रेसेज़ हैं और उसके भीतर के सभी सदस्य \(A\) में मौजूद हैं। / Elements of the power set \(P(A)\) are precisely the subsets of the original set \(A\). Option B, {2,3}, contains only elements 2 and 3 which are in \(A\), so {2,3} is a subset of \(A\) and hence an element of \(P(A)\). Option A (2) is an element of \(A\) but not a subset — elements of a power set must themselves be sets. Option C ({4}) fails because 4 is not in \(A\), so {4} is not a subset. Option D ({{1}}) is a set whose single element is the set {1}, not the number 1, so it is not a subset of \(A\). Exam tip: distinguish between 'element' and 'subset' — look for braces around the correct type of members and verify membership in \(A\).
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है। / Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
18 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 6, 9, 18। इनमें से विषम अंक केवल 1, 3 और 9 हैं। इसलिए A = {1,3,9} ही सही है। विकल्प B केवल सम (even) भाजक हैं, विकल्प C में सभी भाजक (सम और विषम) हैं, और विकल्प D में 6 शामिल है जो सम है — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा टिप: पहले सभी भाजक लिखें फिर उनमें से विषम/सम की शर्त लागू करें। / The positive divisors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9, 18. Of these, the odd ones are 1, 3 and 9, so A = {1,3,9}. Option B lists only even divisors, option C lists all divisors (both even and odd), and option D wrongly includes 6 which is even. Exam tip: enumerate the divisors first, then apply the parity condition.
सेट \(A\) के अवयव हैं: \(1,\ \{2\},\ 3\). विकल्प \(\{\{2\},3\}\) के अवयव \(\{2\}\) और \(3\) दोनों \(A\) में अवयव के रूप में मौजूद हैं, इसलिए यह उपसमुच्चय है। दूसरे विकल्पों का विश्लेषण: \(\{1,2\}\) और \(\{2,3\}\) में तत्व \(2\) है जबकि \(A\) में \(2\) नहीं है (केवल \(\{2\}\) है), अतः वे उपसमुच्चय नहीं हैं। \(\{\{1,2\}\}\) में एकल अवयव \(\{1,2\}\) है जो \(A\) का अवयव नहीं है, इसलिए वह भी नहीं है। परीक्षा टिप: सदैव ध्यान दें कि क्या दिया गया प्रतीक एक संख्या (जैसे \(2\)) है या एक सेट (जैसे \(\{2\}\)) — यह तय करता है कि वह \(A\) का अवयव है या नहीं। / The elements of \(A\) are \(1,\ \{2\},\ 3\). The set \(\{\{2\},3\}\) contains \(\{2\}\) and \(3\), both of which are elements of \(A\); thus it is a subset. For the other options: \(\{1,2\}\) and \(\{2,3\}\) contain the element \(2\), but \(2\) is not an element of \(A\) (only \(\{2\}\) is), so they are not subsets. \(\{\{1,2\}\}\) has the single element \(\{1,2\}\), which is not present in \(A\). Exam tip: Always check whether an item is the number \(2\) or the set \(\{2\}\); confusing these is a common error in subset questions.
A के ठीक दो अवयव चुनने की संख्या संयोजन द्वारा दी जाती है: \(\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10\)। उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए हम संयोजनों का उपयोग करते हैं। विकल्प C (20) गलत है क्योंकि यह \({}_5P_2=5\times4=20\) है, जो क्रमगणना (ordered pairs) को गिनता है। विकल्प A (5) और D (25) भी गलत हैं — 25 बराबर है \(5^2\) जिसका अर्थ है क्रम तथा रिप्लेसमेंट के साथ जोड़े; 5 किसी भी उपसमुच्चयों की सही गिनती नहीं दर्शाता। परीक्षा सुझाव: सीधे सूत्र \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) याद रखें। / The number of ways to choose exactly two elements from A is given by the combination \(\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10\). Subsets are unordered, so combinations are used. Option C (20) is wrong because \({}_5P_2=5\times4=20\) counts ordered pairs (permutations). Options A (5) and D (25) are also incorrect — 25 equals \(5^2\) (ordered selections with replacement), while 5 is not the correct count for two-element subsets. Exam tip: use \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) for quick answers.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और शून्य या एक अवयव वाले (1+4=5) हैं। इसलिए उत्तर (16-5=11) है। / There are (16) total subsets and (1+4=5) subsets with zero or one element. So the answer is (16-5=11).
दस से छोटे एक-अंक (0–9) में अभाज्य पूर्णांक केवल 2, 3, 5 और 7 हैं। इसलिए B = {2,3,5,7} जो कि A के समान ही सेट है। 1 या 0 को अभाज्य नहीं माना जाता, इसलिए B में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं हैं और A = B सत्य है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(A \subset B\) गलत है क्योंकि B में A के अलावा कोई तत्व नहीं है। परीक्षा-सुझाव: जब सेट किसी गुण के आधार पर दिया हो, तो पहले गुण से स्पष्ट तत्वों की सूची लिखकर तुलना करें। / The prime digits less than 10 are 2, 3, 5 and 7, so B = {2,3,5,7} which is exactly A. Neither 0 nor 1 is prime, so B has no extra element and thus A = B is true. The closest distractor \(A \subset B\) but \(A \ne B\) is false because B contains no element outside A. Exam tip: when a set is defined descriptively, list its elements explicitly before comparing sets.
समाधान निकालने के लिए द्विघात बहुपद को विगुणित करें: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण के मूल (roots) \(2\) और \(3\) हैं, अतः सेट \(A=\{2,3\}\) बनता है। चूँकि \(B\) भी \(\{2,3\}\) है, इसलिए \(A=B\) सही है। नजदीकी भ्रामक विकल्प \(C\) गलत है क्योंकि वहाँ कहा गया है कि \(B\) का समुच्चय \(A\) में आकर भी वे बराबर नहीं हैं—पर वास्तव में दोनों के अवयव समान हैं। परीक्षीय सुझाव: द्विघात समीकरणों में हमेशा गुणनखंड निकालें और प्राप्त मूलों से समुच्चय बनाकर तुलना करें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Hence the roots are \(2\) and \(3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). The closest distractor (C) is incorrect because it asserts a proper subset relationship even though the two sets have identical elements. Exam tip: Always factor quadratics to find roots and then express the solution set explicitly before comparing sets.
A. सत्य है और (A) उचित उपसमुच्चय है/It is true and (A) is a proper subset
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has one extra element. Hence (A) is a proper subset.
(20) के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,10,20) हैं। भाजक वाले प्रश्न में (1) और संख्या स्वयं न भूलें। / The positive divisors of (20) are (1,2,4,5,10,20). In divisor questions do not forget (1) and the number itself.
\(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 4\}\) का विस्तार \(\{1,2,3,4\}\) है और \(B\) भी \(\{1,2,3,4\}\) ही है। समुच्चय में क्रम और पुनरावृत्ति का कोई महत्व नहीं होता, अत: \(A=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि समुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\subset B\) बताने के लिए \(A\) और \(B\) के बीच proper subset होना चाहिए, पर यहाँ वे बराबर हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि \(B\) शून्य समुच्चय नहीं है। परीक्षा सुझाव: समुच्चय की समानता जाँचने के लिए दोनों का सदस्यता सेट लिखकर तुलना करें — क्रम महत्वपूर्ण नहीं। / Expanding \(A\) gives \(\{1,2,3,4\}\), which is exactly the set \(B\). Sets are unordered and list order or repetition does not affect equality, so \(A=B\). Option B is wrong because order of listing does not change a set. Option C is wrong because a proper subset claim fails when the two sets are equal. Option D is wrong because \(B\) is not the empty set. Exam tip: To test set equality, list elements of each set and compare membership; ignore order and duplicates.
दोहराए गए अवयव समुच्चय में एक बार ही माने जाते हैं। इसलिए दोनों में वही अलग अवयव हैं। / Repeated elements are counted only once in a set. Therefore both have the same distinct elements.
(1) और \(\varnothing\) दोनों (A) के अवयव हैं। उपसमुच्चय में हर चुना अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। / Both (1) and \(\varnothing\) are elements of (A). Every chosen element of a subset must belong to the original set.
तीन अवयवों के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। उचित उपसमुच्चय में पूरा (A) हटाने पर (7) बचते हैं। / A three element set has \(2^3=8\) total subsets. Removing the whole set (A) gives (7) proper subsets.
जब \(A\subseteq B\) और दोनों के अवयवों की संख्या समान हो तो कोई अतिरिक्त अवयव नहीं बचता। इसलिए (A=B)। / When \(A\subseteq B\) and both have the same number of elements, no extra element remains. Hence (A=B).
समाधान: पूर्णांकों में समीकरण \(x^2=1\) के हल \(x=1\) और \(x=-1\) हैं। अतः \(A=\{-1,1\}\), जो कि दिया गया \(B\) सेट है। इसलिए \(A=B\) सत्य है। नज़दीकी विचलन: विकल्प (B) सिर्फ \(1\) को रखता है और \(-1\) को छोड़ देता है, इसलिए गलत है। परखने की टिप: जब सेट समीकरण दें तो पहले डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) में सभी हल लिखें और फिर तत्वों की एक सूची बनाकर तुलना करें। / Reasoning: Over integers the equation \(x^2=1\) has solutions \(x=1\) and \(x=-1\). Thus \(A=\{-1,1\}\), which equals \(B\); so \(A=B\) is correct. Closest distractor: option (B) lists only \(1\) and omits \(-1\), so it is incorrect. Exam tip: always solve the equation within the specified domain (here \(\mathbb{Z}\)) and compare full element lists to test set equality.
36 का गुणनखंड रूप 36 = 22 × 32 है। किसी पूर्ण वर्ग भाजक के लिए 2 और 3 के घातांकों को भी सम (even) होना चाहिए और मूल संख्या के घातांक से अधिक नहीं। इसलिए 2 के लिए संभव घातांक 0 या 2 और 3 के लिए भी 0 या 2 हैं। इससे मिलने वाले पूर्ण वर्ग भाजक हैं 20·30=1, 22·30=4, 20·32=9, 22·32=36, अत: A = {1,4,9,36}। विकल्प B ({4,9}) सही तो है पर पूर्ण उत्तर नहीं देता (1 और 36 गायब हैं)। विकल्प C में 6 एक पूर्ण वर्ग नहीं है और विकल्प D में कोई भी पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी संख्या के पूर्ण वर्ग भाजक निकालने के लिए उसके प्राथमिक गुणनखंडों के घातांक सम होने के सभी संयोजनों का प्रयोग करें। / Factor 36 = 22 × 32. A perfect-square divisor must have even exponents for each prime, not exceeding the exponents in 36. So possible exponents for 2 are 0 or 2, and for 3 are 0 or 2. That yields 20·30=1, 22·30=4, 20·32=9 and 22·32=36. Hence A = {1,4,9,36}. Option B ({4,9}) is a subset but omits 1 and 36. Option C contains 6 which is not a perfect square; option D contains no perfect squares. Exam tip: use prime factorization and choose even exponents ≤ those in the number to list perfect-square divisors systematically.
A. क्योंकि (C) का हर अवयव (A) में है और \(A\ne C\)/Because every element of (C) is in (A) and \(A\ne C\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय के लिए हर अवयव का सम्मिलन और असमानता दोनों चाहिए। केवल अवयवों की संख्या कम होना पर्याप्त नहीं है। / A proper subset needs inclusion of every element and inequality. Having fewer elements alone is not enough.
A में 3 के धनात्मक गुणज जिनकी मान x < 15 है, वे 3, 6, 9, 12 हैं। अतः A = {3,6,9,12} है। B भी {3,6,9,12} है, इसलिए A और B बराबर हैं। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (B ⊂ A पर A ≠ B) इसलिए गलत है क्योंकि वह मानकर चलता है कि A में B के अलावा कोई और तत्व है — परन्तु A में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि वह 15 को शामिल करता है जबकि शर्त x < 15 है (कठोर असमानता)। परीक्षा टिप: किसी सेट का निर्धारण करते समय तत्वों को सूचीबद्ध कर लें और सीमा (≤ या <) पर विशेष ध्यान दें। / The positive multiples of 3 that satisfy x < 15 are 3, 6, 9 and 12. Thus A = {3,6,9,12}, which is exactly B, so A = B. The closest distractor C (B ⊂ A but A ≠ B) is wrong because it assumes A contains extra elements beyond B; here it does not. Option D is incorrect because it includes 15 even though the condition is x < 15 (strict inequality). Exam tip: When sets are defined by a rule, list the actual elements and check boundary conditions (strict vs non‑strict inequalities).
हर अगले समुच्चय में पिछले के सभी अवयव और एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए उचित उपसमुच्चय की शृंखला बनती है। / Each next set contains all elements of the previous one and one extra element. Hence it forms a chain of proper subsets.
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5}) lies inside it but is not equal to it. So it is a proper subset.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में अतिरिक्त अवयव ({1}) है। ({1}) को (1) से अलग मानें। / All elements of (A) are in (B), and (B) has the extra element ({1}). Treat ({1}) as different from (1).
समुच्चय \(A\) में 10 के धनात्मक गुणज जो 50 से कम हैं: \(A=\{10,20,30,40\}\)। इसमें कुल अवयव \(n=4\) हैं। किसी भी समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) होती है; उचित उपसमुच्च्य वह होते हैं जो मूल समुच्चय के बराबर नहीं होते — अतः संख्या \(2^4-1=15\)। विकल्प C (16) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है (जिसमें स्वयं समुच्चय भी शामिल है), इसलिए गलत है। परीक्षा युक्ति: पहले तत्वों की गिनती कर लें फिर हमेशा उचित उपसमुच्चयों के लिए \(2^n-1\) का नियम लागू करें। / The positive multiples of 10 less than 50 are \(A=\{10,20,30,40\}\), so \(n=4\). The total number of subsets is \(2^n\); proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^4-1=15\). Option C (16) gives the total number of subsets including the set itself, not just proper subsets. Quick exam tip: count elements first, then use \(2^n\) for total subsets and \(2^n-1\) for proper subsets.
समीकरण के हल (-2,2) हैं पर प्राकृतिक हल केवल (2) है। दिए हुए संख्या समुच्चय की शर्त अवश्य देखें। / The equation has roots (-2,2), but the natural solution is only (2). Always check the given number set condition.
\(A=\{2,4,6,8,12,24\}\) है और विकल्प में (2,6,8) सभी (A) में हैं। बाहरी अवयव वाला विकल्प उपसमुच्चय नहीं होता। / Here \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\), and (2,6,8) all belong to (A). An option with an outside element is not a subset.
तीन अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है। ये सभी उचित हैं क्योंकि पूरा समुच्चय चार अवयवों का है। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{4}{3}=4\). All are proper because the whole set has four elements.
शर्त \(0\le x<5\) और "\(x\) पूर्णांक" का अर्थ है कि \(x\) केवल उन पूर्णांकों में से होगा जो 0,1,2,3 और 4 हैं। इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\), जो ठीक \(B\) के बराबर है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) किसी वास्तविक प्रविष्टि में \(B\) से अलग नहीं है; वे बराबर हैं, इसलिए "आंशिक उपसमुच्चय पर समानता नहीं" सही नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि \(B\subset A\) मात्र सत्य नहीं है—यह दोनों समान्तर हैं (बराबर)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(5\) शर्त \(x<5\) के कारण शामिल नहीं है। परीक्षा युक्ति: जब सेट पर शर्तें हों (जैसे पूर्णांक और असमानता), तो पहले स्पष्ट रूप से समुच्चय के सभी तत्व लिख लें और फिर तुलना करें। / The condition "integer" with \(0\le x<5\) yields only the integers 0,1,2,3,4. Thus \(A=\{0,1,2,3,4\}=B\), so \(A=B\) is correct. Option B is wrong because it claims \(A\) is a proper subset of \(B\); here they are equal, not proper. Option C is incorrect for the same reason (it treats \(B\) as a proper subset). Option D is false because 5 does not satisfy \(x<5\). Exam tip: convert set-builder notation into an explicit list of elements when bounds and integrality are given—this avoids subset/equality mistakes.
क्योंकि \({1,3}\subseteq A\), इसलिए ({1,3}) पावर समुच्चय का अवयव है। पावर समुच्चय में उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। / Since \({1,3}\subseteq A\), ({1,3}) is an element of the power set. In a power set, subsets become elements.
अऋण पूर्णांक (0) से शुरू होते हैं और (9) से छोटे होने पर (8) तक जाते हैं। इसलिए दोनों बराबर हैं। / Non-negative integers start from (0) and those less than (9) go up to (8). Hence the two sets are equal.
समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है पर अपने आप का उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित संबंध में बराबरी हटती है। / A set is a subset of itself but not a proper subset of itself. Proper relation excludes equality.
30 का अभाज्य गुणनखंड है \(30=2\times3\times5\)। इसलिए 30 के अभाज्य भाजक केवल \(2,3,5\) हैं और इस प्रकार सेट \(A\) का सदस्य exactly \(\{2,3,5\}\) है। अतः \(A= B\)। विकल्प (C) और (B) गलत हैं क्योंकि वे यह मानते हैं कि एक सेट दूसरे से अलग तत्व रखता है; यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प (D) में \(1\) और \(30\) शामिल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रश्न में तुरंत संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड लिखें (यहाँ \(30=2\times3\times5\)) ताकि अभाज्य भाजक सीधे मिल जाएँ। / Factorize 30: \(30=2\times3\times5\). Hence the prime divisors of 30 are exactly \(2,3,5\), so \(A=\{2,3,5\}=B\). Options (B) and (C) are wrong because they assert a proper subset relation (extra or missing elements), which is not the case here. Option (D) incorrectly includes 1 and 30, neither of which are prime divisors. Exam tip: quickly write the prime factorization (e.g. \(30=2\times3\times5\)) to identify prime divisors without error.
A. (B=C) और \(B\subset A\)/(B=C) and \(B\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सम अवयव (2,4,6) हैं इसलिए (C=B) है और (B) (A) का उचित उपसमुच्चय है। शर्त को मूल समुच्चय के अंदर लागू करें। / The even elements of (A) are (2,4,6), so (C=B) and (B) is a proper subset of (A). Apply the condition inside the original set.
