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A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रांत (A) के प्रत्येक तत्व की ठीक एक छवि है। परीक्षा में समान छवि दोहरना फलन को गलत नहीं करता। / Each element of domain (A) has exactly one image. In exams, repetition of the same image does not make a function invalid.
A. क्योंकि (3) की कोई छवि नहीं है/Because (3) has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत के हर तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए पर (3) छूट गया है। परीक्षा में पहले घटकों को पूरे प्रांत से मिलाएं। / In a function every domain element must have exactly one image but (3) is missing. In exams, compare first components with the whole domain.
(2) की दो अलग छवियां (6) और (7) हैं। परीक्षा में एक ही पहले घटक की अलग छवियां तुरंत जांचें। / (2) has two different images (6) and (7). In exams, immediately check different images of the same first component.
हर प्रांत तत्व के लिए (B) की (4) पसंद हैं इसलिए कुल \(4^3=64\) फलन हैं। परीक्षा में सूत्र (n(B)^{n(A)}) लगाएं। / Each domain element has (4) choices in (B), so total functions are \(4^3=64\). In exams, use (n(B)^{n(A)}).
स्थिर फलन में सभी प्रांत तत्व (B) के एक ही चुने हुए तत्व पर जाते हैं। इसलिए स्थिर फलनों की संख्या (3) है। / In a constant function all domain elements map to one chosen element of (B). Therefore the number of constant functions is (3).
\(A\times B\) में \(3\times 4=12\) युग्म हैं इसलिए संबंध \(2^{12}=4096\) होंगे। परीक्षा में संबंध उपसमुच्चयों से गिने जाते हैं। / \(A\times B\) has \(3\times 4=12\) pairs, so relations are \(2^{12}=4096\). In exams, relations are counted as subsets.
(x=0,1,2,3) रखने पर छवियां (3,4,5,6) मिलती हैं। परीक्षा में परिसर निकालने के लिए सभी प्रांत मान रखें। / Putting (x=0,1,2,3) gives images (3,4,5,6). In exams, substitute all domain values to find the range.
किसी संबंध या फलन का प्रांत उसके क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम घटक 2, 4, 6 और 8 हैं, इसलिए प्रांत \(\{2,4,6,8\}\) है। विकल्प A वास्तव में द्वितीय घटकों का समुच्चय, अर्थात् परिसर, है। परीक्षा में प्रांत ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अवयव लें। / The domain of a relation or function is the set of first components of its ordered pairs. Here, the first components are 2, 4, 6, and 8, so the domain is \(\{2,4,6,8\}\). Option A is the set of second components, which represents the range. Exam tip: take the first entry from every ordered pair to find the domain.
परिसर अलग-अलग प्राप्त दूसरे घटकों का समुच्चय है। इसलिए (4) को एक बार लिखकर ({4,5,6}) मिलेगा। / The range is the set of distinct obtained second components. So writing (4) once gives ({4,5,6}).
केवल (3) की छवि गायब है इसलिए ((3,1)) जोड़ना सही है। परीक्षा में छूटे प्रांत तत्व को पहले पहचानें। / Only the image of (3) is missing, so adding ((3,1)) is correct. In exams, first identify the missing domain element.
(2) की दो छवियां हैं और ((2,c)) हटाने पर हर पहले घटक की ठीक एक छवि रह जाएगी। परीक्षा में दोहराए पहले घटक से एक युग्म हटाएं। / (2) has two images and after removing ((2,c)) every first component has exactly one image. In exams, remove one pair from the repeated first component.
A. हर पहले घटक की ठीक एक छवि है/Every first component has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (3,5,7) में से प्रत्येक की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उल्टा संबंध भी फलन शर्त से अलग जांचें। / In the reversed relation, each of (3,5,7) has exactly one image. In exams, test the reversed relation separately by the function condition.
A. क्योंकि (p) की दो छवियां (1) और (2) हैं/Because (p) has two images (1) and (2)
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (p) पहले घटक के रूप में दो अलग छवियों से जुड़ा है। परीक्षा में उल्टा करते समय दोहराए दूसरे घटक पर ध्यान दें। / In the reversed relation, (p) as a first component is linked to two different images. In exams, watch repeated second components while reversing.
A. क्योंकि (x<1) पर \(\sqrt{x-1}\) वास्तविक नहीं है/Because \(\sqrt{x-1}\) is not real for (x<1)
Explanation
Simple Explanation
प्रांत \(\mathbb{R}\) है पर (x<1) के लिए वास्तविक छवि नहीं मिलती। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक न हो यह जांचें। / The domain is \(\mathbb{R}\), but no real image is obtained for (x<1). In exams, check that the expression inside a square root is not negative.
A. क्योंकि (x=-3) पर हर (0) हो जाता है/Because the denominator becomes (0) at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
(x=-3) प्रांत में है पर (f(-3)) परिभाषित नहीं है। परीक्षा में भिन्न में हर को (0) बनाने वाले मान खोजें। / (x=-3) is in the domain but (f(-3)) is not defined. In exams, find values that make the denominator (0).
A. क्योंकि (x=-3) को प्रांत से हटा दिया गया है/Because (x=-3) is removed from the domain
Explanation
Simple Explanation
अब हर प्रांत तत्व के लिए \(\frac{1}{x+3}\) परिभाषित है और एक ही मान देता है। परीक्षा में प्रांत बदलने से नियम वैध हो सकता है। / Now \(\frac{1}{x+3}\) is defined for every domain element and gives one value. In exams, changing the domain can make a rule valid.
क्योंकि \(3\geq 3\), इसलिए \(x\geq 3\) वाली शर्त लागू होगी और \(h(3)=1\)। विकल्प 0 केवल उन मानों के लिए है जिनके लिए \(x<3\), इसलिए वह \(x=3\) पर सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सीमा मान पर \(<\) और \(\geq\) जैसे चिह्नों को ध्यान से जाँचें। / Since \(3\geq 3\), the condition \(x\geq 3\) applies, so \(h(3)=1\). The value 0 is assigned only when \(x<3\), not when \(x=3\). Exam tip: Pay close attention to whether the boundary value is included by symbols such as \(<\) and \(\geq\).
(2,3,4,5) के शेषफल क्रमशः (2,0,1,2) हैं इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में केवल अलग-अलग छवियां लिखें। / The remainders of (2,3,4,5) are (2,0,1,2), so the range is ({0,1,2}). In exams, write only distinct images.
दिए गए मान \(x=0,1,2\) को \(y=2x+1\) में रखने पर क्रमशः \(y=1,3,5\) प्राप्त होते हैं। इसलिए क्रमित युग्म \((0,1),(1,3),(2,5)\) हैं और विकल्प A सही है। विकल्प B में \(+1\) पद छोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म में पहला अवयव \(x\) और दूसरा अवयव संबंधित \(y\) होता है। / Substituting \(x=0,1,2\) into \(y=2x+1\) gives \(y=1,3,5\), respectively. Hence, the ordered pairs are \((0,1),(1,3),(2,5)\), so option A is correct. Option B results from omitting the \(+1\) term. Exam tip: in an ordered pair, the first component is \(x\) and the second component is its corresponding \(y\)-value.
A. क्योंकि (f(3)=4) और \(4\notin{1,2,3}\)/Because (f(3)=4) and \(4\notin{1,2,3}\)
Explanation
Simple Explanation
(3) की छवि (4) आती है जो सहप्रांत में नहीं है। परीक्षा में हर आउटपुट सहप्रांत में है या नहीं जांचें। / The image of (3) is (4), which is not in the codomain. In exams, check whether every output lies in the codomain.
(f(1)=2), (f(2)=5) और (f(3)=10) हैं। परीक्षा में सहप्रांत में सभी संभावित छवियां शामिल होनी चाहिए। / (f(1)=2), (f(2)=5), and (f(3)=10). In exams, the codomain must contain all possible images.
A. यह फलन है क्योंकि हर \(x\in\mathbb{Z}\) की एक निश्चित छवि है/It is a function because every \(x\in\mathbb{Z}\) has one definite image
Explanation
Simple Explanation
हर पूर्णांक (x) के लिए \(x^2\) एक निश्चित पूर्णांक देता है। समान छवि आना फलन की शर्त नहीं तोड़ता। / For every integer (x), \(x^2\) gives one definite integer. Having the same image does not break the function condition.
दो अलग तत्वों की एक ही छवि आ रही है इसलिए यह अनेक-एक प्रकार का फलन है। परीक्षा में समान छवि स्वीकार्य होती है। / Two different elements have the same image, so it is a many-one type function. In exams, the same image is allowed.
विकल्प (A) में अलग-अलग प्रांत तत्वों की छवियां भी अलग-अलग हैं। परीक्षा में एक-एक फलन के लिए छवियों की पुनरावृत्ति न हो। / In option (A), different domain elements have different images. In exams, images should not repeat for a one-one function.
हर प्रांत तत्व की छवि (7) है इसलिए परिसर ({7}) है। परीक्षा में अप्राप्त सहप्रांत तत्व को परिसर में न लिखें। / Every domain element has image (7), so the range is ({7}). In exams, do not write an unattained codomain element in the range.
(f(a)=b) में (a) पूर्वछवि और (b) छवि है। परीक्षा में इन दोनों शब्दों को उल्टा न करें। / In (f(a)=b), (a) is the preimage and (b) is the image. In exams, do not reverse these two terms.
\(f(5)=12\) में 5 फलन का आगत (input) और 12 उसका निर्गत (output) है। इसलिए 12, 5 की छवि कहलाती है। पूर्वछवि 5 होगी, 12 नहीं; जबकि प्रांत सभी संभव आगतों का समुच्चय होता है। परीक्षा-युक्ति: \(f(a)=b\) में \(a\) पूर्वछवि और \(b\) छवि होती है। / In \(f(5)=12\), 5 is the input and 12 is the output of the function. Therefore, 12 is the image of 5. The preimage is 5, not 12, while the domain is the set of all possible inputs. Exam tip: In \(f(a)=b\), \(a\) is the preimage and \(b\) is the image.
A. (8) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(8) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
छवियां (2,4,6) हैं इसलिए (8) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर का अंतर स्पष्ट रखें। / The images are (2,4,6), so (8) is not obtained. In exams, keep the difference between codomain and range clear.
प्रत्येक प्रांत तत्व (B) के (2) तत्वों में से किसी एक पर जा सकता है। परीक्षा में कुल फलनों के लिए इन पसंदों को गुणा करें। / Each domain element can map to one of the (2) elements of (B). In exams, multiply these choices to count total functions.
फलन के नियम में \(x=4\) रखने पर \(f(4)=2(4)-1=8-1=7\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प B में अंतिम \(-1\) घटाना छूट गया है। परीक्षा-टिप: फलन का मान निकालते समय दिए गए इनपुट को सीधे नियम में प्रतिस्थापित करें और संक्रियाओं का क्रम बनाए रखें। / Substituting \(x=4\) into the rule gives \(f(4)=2(4)-1=8-1=7\). Therefore, option C is correct. Option B results from forgetting to subtract 1 at the end. Exam tip: substitute the given input into the function rule and follow the order of operations carefully.
किसी क्रमित युग्म \((x,y)\) के फलन \(f\) का अवयव होने के लिए \(y=f(x)=x^2\) होना चाहिए। इसलिए \(f(0)=0\), \(f(1)=1\) और \(f(2)=4\), अतः A, B और C सही युग्म हैं। लेकिन \(f(3)=3^2=9\), न कि 6; इसलिए \((3,6)\) फलन \(f\) में नहीं है। परीक्षा-युक्ति: हर युग्म में दूसरे घटक की तुलना पहले घटक के वर्ग से करें। / For an ordered pair \((x,y)\) to belong to the function \(f\), it must satisfy \(y=f(x)=x^2\). Thus, \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), and \(f(2)=4\), so options A, B, and C are valid pairs. However, \(f(3)=3^2=9\), not 6; therefore, \((3,6)\) does not belong to \(f\). Exam tip: compare the second component of each pair with the square of its first component.
\(1^3=1\), \(2^3=8\) और \(3^3=27\) हैं। परीक्षा में पहला घटक इनपुट और दूसरा घटक आउटपुट होता है। / \(1^3=1\), \(2^3=8\), and \(3^3=27\). In exams, the first component is the input and the second is the output.
A. (5) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(5) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
परिसर ({2,3,4}) है इसलिए (5) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत का हर तत्व परिसर में हो यह जरूरी नहीं है। / The range is ({2,3,4}), so (5) is not obtained. In exams, every element of the codomain need not be in the range.
विकल्प (A) में (1) को (a) और (b) दोनों से जोड़ा गया है। परीक्षा में समान पहले घटक के दो अलग दूसरे घटक खोजें। / In option (A), (1) is associated with both (a) and (b). In exams, look for the same first component with two different second components.
विकल्प (A) में (4) के लिए कोई युग्म नहीं है। परीक्षा में फलन के लिए हर प्रांत तत्व शामिल होना चाहिए। / In option (A), there is no pair for (4). In exams, every domain element must be included for a function.
यदि \(f:\{1,2,3,4\}\to\{0,1\}\) को इस नियम से परिभाषित किया गया है कि \(x\) अभाज्य होने पर \(f(x)=1\) और \(x\) अभाज्य न होने पर \(f(x)=0\), तो \(f(4)\) का मान क्या है?
4 अभाज्य संख्या नहीं है, क्योंकि इसके 1 और 4 के अतिरिक्त 2 से भी गुणनखंड बनते हैं। इसलिए दिए गए नियम के अनुसार \(f(4)=0\)। विकल्प 1 तब सही होता जब 4 अभाज्य होता। परीक्षा में पहले जाँचें कि दिया गया इनपुट अभाज्य है या नहीं। / The number 4 is not prime because it has a factor other than 1 and itself, namely 2. Therefore, by the given rule, \(f(4)=0\). Option 1 would apply only if 4 were prime. In an exam, first check whether the input is prime or non-prime.
(2) और (3) से (1) मिलता है तथा (1) और (4) से (0) मिलता है। परीक्षा में परिसर में प्राप्त अलग-अलग मान लिखें। / (2) and (3) give (1), while (1) and (4) give (0). In exams, write distinct obtained values in the range.
A. क्योंकि प्रांत के हर तत्व की ठीक एक छवि होती है/Because every domain element has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध है पर इसमें प्रत्येक प्रांत तत्व ठीक एक छवि से जुड़ता है। परीक्षा में याद रखें कि हर संबंध फलन नहीं होता। / A function is a relation in which every domain element is associated with exactly one image. In exams, remember that every relation is not a function.
विकल्प (A) में (1) और (2) दोनों की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उपसमुच्चय को फलन कहने से पहले पूरा प्रांत जांचें। / In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, check the whole domain before calling a subset a function.
(f(2)=4) है इसलिए (4) की पूर्वछवि (2) है। परीक्षा में पूर्वछवि खोजने के लिए आउटपुट से इनपुट पहचानें। / (f(2)=4), so the preimage of (4) is (2). In exams, identify the input from the output to find a preimage.
\(3^2=9\) इसलिए (9) की पूर्वछवि (3) है। परीक्षा में छवि से संबंधित प्रांत तत्व खोजें। / \(3^2=9\), so the preimage of (9) is (3). In exams, find the domain element associated with the image.
प्रांत में (4) नहीं है इसलिए (16) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में पूर्वछवि केवल प्रांत से ही ली जाती है। / (4) is not in the domain, so (16) is not obtained. In exams, a preimage must come from the domain only.
A. (f) फलन है और परिसर ({2,4,6}) है/(f) is a function and the range is ({2,4,6})
Explanation
Simple Explanation
हर प्रांत तत्व की ठीक एक छवि है और छवियां (2,4,6) हैं। परीक्षा में फलन और परिसर दोनों को नियम से जांचें। / Every domain element has exactly one image and the images are (2,4,6). In exams, check both function validity and range using the rule.
दिए गए फलन नियम में \(x=2\) रखने पर \(f(2)=5-2=3\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 1, 2 और 4 इस नियम से प्राप्त मान नहीं हैं। परीक्षा में फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को सीधे नियम में प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=2\) into the given rule gives \(f(2)=5-2=3\). Therefore, option C is correct. The values 1, 2 and 4 do not result from applying the stated rule. Exam tip: to find a function value, substitute the given input directly into the function rule.
डोमेन के प्रत्येक मान के लिए \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\) और \(f(4)=1\) प्राप्त होता है। इसलिए प्राप्त सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय \(\{1,2,3,4\}\) है, जो इस फलन का परास है। विकल्प C में 1 छूट गया है और विकल्प B में 4 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव की image निकालकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / For every element of the domain, \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\), and \(f(4)=1\). Thus, the set of all images is \(\{1,2,3,4\}\), which is the range of the function. Option C omits 1, while option B omits 4. Exam tip: To find the range, evaluate the function for every element of the domain and collect the distinct output values.
विकल्प (A) में हर प्रांत तत्व की एक छवि है पर (1) और (2) दोनों की छवि (a) है। परीक्षा में फलन और एक-एक की जांच अलग करें। / In option (A), every domain element has one image, but (1) and (2) both have image (a). In exams, test function and one-one separately.
A. यह फलन है क्योंकि दोहराया युग्म अलग छवि नहीं देता/It is a function because the repeated pair does not give a different image
Explanation
Simple Explanation
समान युग्म दोहराने से कोई नई अलग छवि नहीं बनती। परीक्षा में दोहराए युग्म और अलग छवि में अंतर करें। / Repeating the same pair does not create a new different image. In exams, distinguish between a repeated pair and a different image.
(A) में सम और विषम दोनों तत्व हैं इसलिए दोनों छवियां (0) और (1) प्राप्त होती हैं। परीक्षा में सभी प्रकार के इनपुट जांचें। / (A) contains both even and odd elements, so both images (0) and (1) are obtained. In exams, check all types of inputs.
फलन में प्रांत के हर तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है इसलिए युग्मों की संख्या (3) होगी। परीक्षा में फलन के युग्म प्रांत के तत्वों के बराबर होते हैं। / A function has exactly one pair for every domain element, so the number of pairs will be (3). In exams, pairs in a function equal the number of domain elements.
(|-2|=2), (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1) और (|2|=2), इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में परिसर में केवल अलग-अलग प्राप्त छवियां लिखें। / The values are (|-2|=2), (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), and (|2|=2), so the range is ({0,1,2}). In exams, write only distinct obtained images in the range.
