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रेखीय फलन (f(x)=x+3) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में हर रेखीय फलन का प्रांत सामान्यतः \(\mathbb{R}\) लें। / The linear function (f(x)=x+3) is defined for every real (x). In exams, the domain of a basic linear function is usually \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। इसलिए सबसे छोटा मान (0) है और परिसर \([0,\infty\)) है। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). So the least value is (0), and the range is \([0,\infty\)).
वास्तविक संख्याओं में वर्गमूल तभी परिभाषित होता है जब उसके अंदर की संख्या शून्य या धनात्मक हो। इसलिए \(x\ge 0\) होना आवश्यक है और फलन का वास्तविक प्रांत \([0,\infty)\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल वास्तविक नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के डोमेन के लिए radicand को \(\ge 0\) रखें। / In the real number system, a square root is defined only when its radicand is non-negative. Thus, \(x\ge 0\), so the real domain is \([0,\infty)\). Option C is incorrect because the square root of a negative real number is not real. Exam tip: For a square-root function, set the expression inside the radical \(\ge 0\) to find the domain.
हर में (x) है, इसलिए (x=0) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर को (0) न बनने दें। / The denominator is (x), so the function is not defined at (x=0). In exams, make sure the denominator is not (0).
यह स्थिर फलन है और हर (x) पर मान (5) ही देता है। स्थिर फलन का परिसर एकल समुच्चय होता है। / This is a constant function and gives only the value (5). The range of a constant function is a singleton set.
फलन में fx के स्थान पर 3 रखने पर f(3)=2(3)-1=6-1=5 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 5 है। 6 चुनने पर अंतिम -1 घटाना छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को चर के स्थान पर सीधे रखें। / Substitute 3 for fx in the function: f(3)=2(3)-1=6-1=5. Therefore, the correct answer is 5. The option 6 results from forgetting to subtract 1. Exam tip: To find a function value, replace the variable with the given input and simplify carefully.
वर्गमूल के अंदर \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x \ge 2\) और प्रांत \([2,\infty\)) है। / The expression inside the square root must satisfy \(x-2 \ge 0\). Thus \(x \ge 2\), so the domain is \([2,\infty\)).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+1\ge 1\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), अतः 1 परास में शामिल है और फलन का परास \([1,\infty)\) है। विकल्प B में \(+1\) का प्रभाव नहीं लिया गया है, जबकि विकल्प D में 1 को अनावश्यक रूप से बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन में पहले वर्ग का न्यूनतम मान ज्ञात करें और फिर स्थिर पद जोड़ें। / For every real value of \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence, \(f(x)=x^2+1\ge 1\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is included in the range, giving \([1,\infty)\). Option B ignores the effect of the added 1, while option D incorrectly excludes the attainable endpoint 1. Exam tip: For a quadratic of the form \(x^2+c\), find the minimum of \(x^2\) first and then add \(c\).
किसी भी वास्तविक x के लिए \(|x|\ge 0\) होता है, और x=0 रखने पर f(x)=0 प्राप्त होता है। इसलिए फलन का परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 0 शामिल नहीं है, जबकि 0 फलन का मान है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस फलन का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / For every real x, \(|x|\ge 0\), and putting x=0 gives f(x)=0. Hence, the range of the function is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because it excludes 0, which is a value of the function. Exam tip: The output of a modulus function can never be negative.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-4\) है, इसलिए \(x-4=0\) होने पर \(x=4\) प्राप्त होता है। अतः 4 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल हैं, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\)। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x-4=0\) gives \(x=4\), so 4 must be excluded while every other real number is allowed. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\). Exam tip: For a fractional function, set the denominator equal to zero to find the values excluded from the domain.
दिए गए फलन में \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=3(-2)=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें। / Substituting \(x=-2\) into the given function gives \(f(-2)=3(-2)=-6\). Therefore, option A is correct. Option B results from missing the negative sign. In such questions, check the sign carefully when multiplying by a negative number.
वास्तविक वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(5-x\ge 0\), अर्थात् \(x\le 5\)। अतः परिभाषा-क्षेत्र \((-�infty,5]\) है। विकल्प B में \(x\ge 5\) लिया गया है, जो असमता की दिशा उलटने से प्राप्त गलत परिणाम है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के लिए radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / The expression inside a real square root must be non-negative. Thus, \(5-x\ge 0\), which gives \(x\le 5\). Therefore, the domain is \((-�infty,5]\). Option B incorrectly reverses the resulting inequality and gives \(x\ge 5\). Exam tip: For a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=2x^2\ge 0\)। साथ ही \(x=0\) पर \(f(0)=0\), और प्रत्येक धनात्मक मान \(y\) के लिए \(x=\sqrt{y/2}\) लेने पर \(f(x)=y\) मिलता है। इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2\) में \(a>0\) हो और परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो, तो परास \([0,\infty)\) होता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=2x^2\ge 0\). Also, \(f(0)=0\), and for every positive value \(y\), choosing \(x=\sqrt{y/2}\) gives \(f(x)=y\). Hence the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(0\). Exam tip: when the domain is \(\mathbb{R}\) and the function is \(ax^2\) with \(a>0\), its range is \([0,\infty)\).
A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\)/Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
घन फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। / The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
प्रांत के प्रत्येक मान पर फलन लगाएँ: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\) और \(f(3)=4\)। इसलिए परास \(\{2,3,4\}\) है। विकल्प B प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा में सीमित प्रांत के लिए सभी दिए गए मानों पर फलन लागू करके प्राप्त मानों का समुच्चय लिखें। / Apply the function to every element of the domain: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\), and \(f(3)=4\). Therefore, the range is \(\{2,3,4\}\). Option B is the domain itself, not the range. Exam tip: for a finite domain, evaluate the function at each given input and collect the resulting outputs.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। अतः हर वास्तविक \(x\) पर हर भाजक शून्य से भिन्न रहता है और फलन परिभाषित है। इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर भी भाजक \(1\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन का प्रांत निकालते समय भाजक को शून्य करने वाले मानों को हटाएँ। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+1\ge 1>0\). Thus the denominator is never zero, and the function is defined for every real number. Therefore, its domain is \(\mathbb{R}\). Option B is incorrect because at \(x=0\), the denominator is \(1\), not zero. Exam tip: For a rational function, exclude only those values that make the denominator zero.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x+3\ge 0\), अर्थात \(x\ge -3\)। अतः प्रांत \([-3,\infty)\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है और \(x=-3\) को शामिल किया गया है, जबकि सही प्रांत में \(-3\) शामिल है और इसके बाद की सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be zero or positive. Thus, \(x+3\ge 0\), which gives \(x\ge -3\). Therefore, the domain is \([-3,\infty)\). Option B reverses the inequality and includes values less than or equal to \(-3\), which do not make \(x+3\) non-negative except at the endpoint. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
निरपेक्ष मान 8|x-2|9 हमेशा 0 या उससे बड़ा होता है। जब 8x=29, तब 8|x-2|=|2-2|=09 होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0 है। विकल्प 2 केवल कुछ मानों पर फलन का मान हो सकता है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा में 8|x-a|9 का न्यूनतम मान सीधे 0 याद रखें, जो 8x=a9 पर प्राप्त होता है। / An absolute value 8|x-2|9 is always greater than or equal to 0. At 8x=29, 8|x-2|=|2-2|=09, so the minimum value is 0. The value 2 can occur for some inputs, but it is not the minimum. Exam tip: for 8|x-a|9, the minimum value is 0, attained at 8x=a9.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x-2|\ge 0\) होता है। \(x=2\) पर इसका न्यूनतम मान \(0\) मिलता है, और प्रत्येक गैर-ऋणात्मक मान प्राप्त किया जा सकता है; इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B में 2 का आना इनपुट के स्थानांतरण को दर्शाता है, परास को नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का परास हमेशा \([0,\infty)\) होता है। / For every real \(x\), \(|x-2|\ge 0\). Its minimum value is \(0\), attained at \(x=2\), and every non-negative value can be obtained; hence the range is \([0,\infty)\). Option B incorrectly treats the shift in the input as a shift in the range. Exam tip: the range of \(|x-a|\) over the real numbers is always \([0,\infty)\).
दिए गए फलन में x=0 रखने पर (f(0)=4-0=4) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प B में फलन के मान के बजाय केवल x का मान लिया गया है। परीक्षा में (f(a)) निकालने के लिए फलन के सूत्र में x के स्थान पर a रखें। / Substituting x=0 into the function gives (f(0)=4-0=4), so the correct answer is 4. Option B is only the input value, not the function value. Exam tip: To find (f(a)), replace x by a in the given formula.
भिन्नात्मक फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x+1\) है, जो \(x=-1\) पर शून्य हो जाता है। इसलिए \(-1\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में होंगी, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)। विकल्प B में \(1\) को हटाया गया है, जबकि \(x=1\) पर फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a fractional function cannot be zero. Here, the denominator \(x+1\) is zero when \(x=-1\), so every real number except \(-1\) belongs to the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Option B incorrectly excludes \(1\), although the function is defined at \(x=1\). Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2 \le 9\), यानी \(-3 \le x \le 3\) मिलता है। / For the square root, \(9-x^2 \ge 0\) is needed. This gives \(x^2 \le 9\), that is \(-3 \le x \le 3\).
शर्त \(9-x^2 \ge 0\) से ([-3,3]) मिलता है। सिरों को शामिल करें क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / The condition \(9-x^2 \ge 0\) gives ([-3,3]). Include the endpoints because the square root can be (0).
किसी भी वास्तविक संख्या \\(x\\) के लिए \\(x^2\ge 0\\) होता है। इसलिए \\(f(x)=x^2-4\ge -4\\), और \\(x=0\\) पर \\(f(0)=-4\\) प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम मान \\(-4\\) है। ध्यान रखें: \\(x^2+c\\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \\(c\\) होता है, जब \\(x=0\\)। / For every real number \\(x\\), \\(x^2\ge 0\\). Hence, \\(f(x)=x^2-4\ge -4\\), and equality occurs at \\(x=0\\), giving \\(f(0)=-4\\). Therefore, the minimum value is \\(-4\\). Exam tip: For a function of the form \\(x^2+c\\), the minimum value is \\(c\\) at \\(x=0\\).
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2-4\) का न्यूनतम मान (-4) है। अतः परिसर \([-4,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2-4\) is (-4). Hence the range is \([-4,\infty\)).
दिए गए प्रत्येक अवयव का मान निकालने पर f(−1) = (−1)² = 1, f(0) = 0² = 0 और f(1) = 1² = 1 मिलता है। इसलिए प्राप्त अलग-अलग मानों का समुच्चय {0, 1} है, जो फलन का परास है। विकल्प B मूल समुच्चय A यानी प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास लिखते समय दोहराए गए फलन-मूल्यों को केवल एक बार लिखें। / Evaluating the function at each element gives f(−1) = (−1)² = 1, f(0) = 0² = 0, and f(1) = 1² = 1. Thus, the set of distinct output values is {0, 1}, which is the range. Option B is the original set A, the domain, not the range. Exam tip: list each output value only once when forming the range.
हर \(x^2\) है, जो केवल \(x=0\) पर शून्य होता है। चूँकि किसी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x=0\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल होंगी। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ भी प्रांत में शामिल हैं; इसलिए विकल्प C और D सही नहीं हैं। / The denominator is \(x^2\), which equals zero only when \(x=0\). Since a fraction cannot have a zero denominator, every real number except zero belongs to the domain. Hence, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Remember that negative real numbers are also included, so options C and D are incomplete.
क्योंकि x\ne0 है, इसलिए x-2>0 और \(\frac{1}{x^2}>0\)। अतः फलन का मान हमेशा धनात्मक होता है। 0 कभी प्राप्त नहीं हो सकता, जबकि प्रत्येक धनात्मक मान के लिए उपयुक्त x लिया जा सकता है; इसलिए परास \((0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 0 शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(1/(x^2)\) जैसे फलन का परास धनात्मक होता है, पर 0 शामिल नहीं होता। / Since x\ne0, we have x-2>0, so \(\frac{1}{x^2}>0\). Therefore, the function can take only positive values. It can never equal 0, while every positive value is attainable for a suitable nonzero x; hence the range is \((0,\infty)\). Option B is incorrect because it includes 0. Exam tip: For a function of the form \(1/x^2\), the range is positive but does not include zero.
किसी भी वास्तविक �(x) के लिए �\(x^2\geq 0\) होता है और �(x=0) पर �\(x^2=0\) प्राप्त होता है। इसलिए �(f(x)=x-2+4\geq 4), तथा न्यूनतम मान 4 है। विकल्प 0 केवल �\(x^2\) का न्यूनतम मान है, पूरे फलन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: �\(x^2+a\) का न्यूनतम मान �(a) होता है, जब �(x) वास्तविक हो। / For every real �(x), �\(x^2\geq 0\), with equality at �(x=0). Hence �(f(x)=x-2+4\geq 4), so the minimum value is 4. Option 0 is the minimum of �\(x^2\) alone, not of the complete function. Exam tip: for a function of the form �\(x^2+a\) with real �(x), the minimum value is �(a).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=x^2+4\ge 4\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=4\), इसलिए 4 भी परास में शामिल है। अतः परास \([4,\infty)\) है। विकल्प B केवल \(x^2\) का परास दर्शाता है, जबकि विकल्प C में 4 को अनावश्यक रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन में न्यूनतम मान पहले पहचानें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=x^2+4\ge 4\). At \(x=0\), \(f(0)=4\), so 4 is included in the range. Therefore, the range is \([4,\infty)\). Option B is the range of \(x^2\) before adding 4, while option C incorrectly excludes the endpoint 4. Exam tip: For a quadratic involving a square, first identify its minimum value.
\(\sqrt{x^2}\) का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए यह (|x|) के बराबर है। सामान्य गलती इसे सीधे (x) लिखना है। / \(\sqrt{x^2}\) is always non-negative, so it equals (|x|). A common mistake is writing it directly as (x).
A. जिसका हर मान \(\mathbb{R}\) में हो/Its every value lies in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाला फलन वह है जिसके निर्गत मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। यहाँ मुख्य ध्यान सहप्रांत या मानों पर होता है। / A real valued function has output values in the real numbers. The key focus is on the codomain or values.
फलन \(f:A\to\mathbb{R}\) में \(A\) वह समुच्चय है जिससे फलन के लिए इनपुट मान लिए जाते हैं, इसलिए इसे प्रांत (Domain) कहते हैं। \(\mathbb{R}\) सहप्रांत है, जबकि परिसर केवल वे वास्तविक मान हैं जो फलन वास्तव में प्राप्त करता है और यह \(\mathbb{R}\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा-युक्ति: तीर के बाईं ओर का समुच्चय प्रांत और दाईं ओर का समुच्चय सहप्रांत होता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), the set \(A\) contains the input values of the function, so it is called the domain. The set \(\mathbb{R}\) is the codomain, while the range consists only of the values actually produced by the function and is a subset of \(\mathbb{R}\). Exam tip: in function notation, the set before the arrow is the domain and the set after the arrow is the codomain.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में \(\mathbb{R}\) वह समुच्चय है जिसमें मान जाने हैं। यह सहप्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) is the set where outputs are expected to lie. It is called the codomain.
((-2)2=4) और \(2^2=4\), इसलिए केवल एक अलग मान मिलता है। परिसर में दोहराए गए मान एक बार लिखते हैं। / ((-2)2=4) and \(2^2=4\), so only one distinct value is obtained. Repeated values are written once in the range.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-2\) है, इसलिए \(x-2=0\) रखने पर \(x=2\) मिलता है और 2 प्रांत से बाहर होगा। \(x=0\) मान्य है, क्योंकि \(f(0)=0\), इसलिए विकल्प B गलत है। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य करने वाले मानों को वास्तविक संख्याओं से हटा दें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x-2=0\) when \(x=2\), so 2 must be excluded from the real numbers. The value \(x=0\) is allowed because \(f(0)=0\), so option B is incorrect. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Exam tip: For a fractional function, set the denominator equal to zero and exclude the resulting values from the real numbers.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(2x-6\ge 0\)। अतः \(x\ge 3\), इसलिए प्रांत \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=3\) पर वर्गमूल का मान \(0\) होता है और 3 प्रांत में शामिल है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(2x-6\ge 0\). Thus, \(x\ge 3\), so the domain is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because \(x=3\) gives \(f(3)=0\), so 3 is included in the domain. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find its real domain.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(4-2x\ge 0\)। इससे \(x\le 2\) प्राप्त होता है, इसलिए प्रांत \((- infty,2]\) है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट दी गई है, जबकि \(x=2\) को शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) की शर्त लगाएँ। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(4-2x\ge 0\). Solving this inequality gives \(x\le 2\), so the domain is \((- infty,2]\). Option B reverses the inequality, and the endpoint \(x=2\) must be included because the square root of zero is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) to find the domain.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\geq 0\), इसलिए \(f(x)=|x|+2\geq 2\)। \(|x|\) का न्यूनतम मान \(0\) तब मिलता है जब \(x=0\), अतः फलन का न्यूनतम मान \(2\) है। इसके बाद \(|x|\) कोई भी गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है, इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में 2 का जोड़ छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x|\) वाले फलन में पहले उसका न्यूनतम मान ज्ञात करें। / For every real \(x\), \(|x|\geq 0\), so \(f(x)=|x|+2\geq 2\). The minimum value of \(|x|\) is \(0\), attained at \(x=0\); hence the minimum value of the function is \(2\). Since \(|x|\) can take every non-negative value, the range is \([2,\infty)\). Option B omits the added 2. Exam tip: For a modulus function, first identify the minimum value of the modulus expression.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=3-|x|\leq 3\), और यह अधिकतम मान \(|x|=0\), अर्थात् \(x=0\), पर प्राप्त होता है। विकल्प 0 केवल \(|x|=3\) पर फलन का एक मान है, अधिकतम मान नहीं। परीक्षा टिप: \(a-|x|\) का अधिकतम मान हमेशा \(a\) होता है और वह \(x=0\) पर मिलता है। / For every real \(x\), \(|x|\geq 0\). Hence \(f(x)=3-|x|\leq 3\), and the maximum value 3 is attained when \(|x|=0\), that is, at \(x=0\). The value 0 occurs when \(|x|=3\), but it is not the maximum. Exam tip: For a function of the form \(a-|x|\), the maximum value is \(a\), attained at \(x=0\).
(|x|) जितना बड़ा होगा, (3-|x|) उतना छोटा होगा। अधिकतम (3) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x|) becomes larger, (3-|x|) becomes smaller. The maximum is (3), and there is no lower bound.
दिए गए फलन में \(x=5\) रखने पर \(f(5)=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। 2 केवल अंश को सही ढंग से 6 निकालने के बाद 2 से भाग न देने पर मिल सकता है। परीक्षा-टिप: फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए मान को हर \(x\) के स्थान पर रखें और फिर सरल करें। / Substituting \(x=5\) into the function gives \(f(5)=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\). Therefore, the correct answer is 3. The option 2 results from failing to divide the numerator value 6 by 2. Exam tip: To find a function value, substitute the given input for every occurrence of \(x\) and simplify the resulting expression.
दिए गए फलन में x=1 रखने पर 8f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=49 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 3 में एक पद को छोड़ देने जैसी गणना-त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए x के मान को प्रत्येक पद में सावधानी से रखें। / Substituting x=1 in the given function gives 8f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=49. Therefore, the correct answer is 4. Option 3 may result from omitting one term during calculation. In an exam, substitute the given value of x carefully in every term.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x-1)^2\ge 0\) होता है। \(x=1\) पर इसका न्यूनतम मान \(0\) मिलता है, और \(x\) के बढ़ने या घटने पर फलन के मान अनंत तक बढ़ सकते हैं। इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि न्यूनतम मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन का परास ज्ञात करने के लिए उसके न्यूनतम या अधिकतम मान की जाँच करें। / For every real \(x\), \((x-1)^2\ge 0\). Its minimum value is \(0\) when \(x=1\), and the function can increase without bound as \(x\) moves away from 1. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because the minimum value is \(0\), not \(1\). Exam tip: For a squared function, find its minimum or maximum value first to determine the range.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x+2)^2\geq 0\) होता है। इसका न्यूनतम मान \(0\) तब मिलता है जब \(x=-2\)। इसलिए \(f(x)=(x+2)^2+1\) का न्यूनतम मान \(1\) है और इसके बाद सभी बड़े मान प्राप्त होते हैं; अतः परास \([1,\infty)\) है। विकल्प B में \(+1\) का स्थानांतरण नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन का परास ज्ञात करने के लिए पहले वर्ग पद का न्यूनतम मान निर्धारित करें। / For every real \(x\), \((x+2)^2\geq 0\). Its minimum value is \(0\), attained at \(x=-2\). Therefore, \(f(x)=(x+2)^2+1\) has minimum value \(1\), and every value greater than or equal to \(1\) is obtained. Hence, the range is \([1,\infty)\). Option B ignores the upward shift by \(1\). Exam tip: For a squared expression, find its minimum first and then apply any constant shift.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4>0\)। अतः हर कभी शून्य नहीं होता और किसी भी वास्तविक \(x\) को हटाने की आवश्यकता नहीं है; इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B और C में 2 या \(-2\) को हटाना गलत है, क्योंकि \((-2)^2+4=8\) और \(2^2+4=8\), दोनों शून्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले फलन में उन मानों को ही प्रांत से हटाएँ जिन पर हर शून्य हो जाता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4>0\). Thus the denominator is never zero, and no real value of \(x\) must be excluded; hence the domain is \(\mathbb{R}\). Options B and C are incorrect because at \(x=2\) and \(x=-2\), the denominator equals 8, not 0. Exam tip: for a fractional function, exclude only those input values that make the denominator zero.
\(\sqrt{x}\) वास्तविक होने के लिए \(x \ge 0\) चाहिए। (2) से गुणा करने पर प्रांत नहीं बदलता। / For \(\sqrt{x}\) to be real, \(x \ge 0\) is needed. Multiplication by (2) does not change the domain.
वास्तविक \(x\) के लिए \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\ge 0\), और इसका मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। इसलिए \(f(x)=2\sqrt{x}\ge 0\)। \(x=0\) पर \(f(0)=0\), इसलिए 0 भी परास में शामिल है और परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B में 0 को गलत रूप से बाहर कर दिया गया है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का परास निकालते समय पहले जाँचें कि न्यूनतम मान प्राप्त होता है या नहीं। / For real \(x\), \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\ge 0\), and its value is always non-negative. Hence \(f(x)=2\sqrt{x}\ge 0\). Since \(f(0)=0\), the value 0 is included in the range, so the range is \([0,\infty)\). Option B incorrectly excludes 0. Exam tip: For a square-root function, check whether the minimum value is attained when writing the range.
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) चाहिए। इस कारण (x>1) और प्रांत (\(1,\infty\)) है। / The denominator is \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is required. Thus (x>1), and the domain is (\(1,\infty\)).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x+1|\geq 0\) होता है। इसका न्यूनतम मान \(0\) तब प्राप्त होता है जब \(x=-1\)। इसलिए \(f(x)=|x+1|-3\) का न्यूनतम मान \(0-3=-3\) है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है। / For every real \(x\), \(|x+1|\geq 0\). Its minimum value is \(0\), attained when \(x=-1\). Hence, the minimum value of \(f(x)=|x+1|-3\) is \(0-3=-3\). Exam tip: An absolute-value expression has minimum value \(0\) before any constant is added or subtracted.
