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यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{18}{2}=\frac{18\times17}{2}=153\) होगी। \(306\) प्राप्त होता यदि दो बैजों के क्रम को भी अलग-अलग माना जाता। परीक्षा टिप: “चुनना” या “selection” शब्द हो और क्रम न दिया हो, तो सामान्यतः संयोजन का प्रयोग करें। / This is a selection problem, so the order of the badges does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{18}{2}=\frac{18\times17}{2}=153\). The value \(306\) would result if the order of the two badges were also counted. Exam tip: When a question says “choose” or “select” and no order is specified, use combinations.
टीम चुनना संयोजन है इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) होगा। पद न दिए हों तो क्रम नहीं देखें। / Selecting a team is a combination, so \(\binom{10}{5}=252\). If posts are not assigned, do not consider order.
यहाँ 13 अलग-अलग अध्यायों में से केवल 3 अध्याय चुनने हैं; चयन का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों का प्रयोग होगा: \(\binom{13}{3}=\frac{13\times12\times11}{3\times2\times1}=286\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प D, \(13\times12\times11=1716\), क्रम को भी गिनता है, इसलिए यह क्रमचय के लिए होता है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन हो और क्रम का उल्लेख न हो, तो \(nCr\) लगाएँ। / Here, only 3 chapters are to be chosen from 13 different chapters, so the order of selection does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{13}{3}=\frac{13\times12\times11}{3\times2\times1}=286\). Hence, option C is correct. Option D, \(13\times12\times11=1716\), counts different orders as well, so it represents a permutation. Exam tip: Use \(nCr\) when only selection is involved and order is not specified.
यह क्रम की नहीं, केवल चयन की स्थिति है; इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा। आवश्यक तरीके \(\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!3!}=84\) हैं। इसे \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\) भी लिख सकते हैं, क्योंकि 6 फाइलें चुनना 3 फाइलें छोड़ने के बराबर है। \(126\) निकट का भ्रामक विकल्प है, पर वह \(\binom{9}{4}\) का मान है। परीक्षा टिप: जब चयन का क्रम महत्वपूर्ण न हो, तो \(nCr\) लगाएँ। / This is a selection problem, not an arrangement problem, so combinations are used. The required number of ways is \(\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!3!}=84\). Equivalently, \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\), because choosing 6 files is the same as leaving out 3 files. The nearby distractor \(126\) is the value of \(\binom{9}{4}\), not \(\binom{9}{6}\). Exam tip: use \(nCr\) when the order of selection does not matter.
तरीके \(\binom{6}{3}\binom{5}{1}=20\cdot5=100\) हैं। अलग वर्गों से चयन में गुणा करें। / The ways are \(\binom{6}{3}\binom{5}{1}=20\cdot5=100\). Multiply selections from different groups.
चयन \(\binom{8}{2}\binom{7}{2}=28\cdot21=588\) है। हर रंग के लिए अलग संयोजन लगाएं। / The selection is \(\binom{8}{2}\binom{7}{2}=28\cdot21=588\). Use a separate combination for each color.
2 डॉक्टरों का चयन \(\binom{7}{2}=21\) तरीकों से और 1 नर्स का चयन \(\binom{4}{1}=4\) तरीकों से किया जा सकता है। स्वतंत्र चयन होने के कारण गुणन नियम से कुल तरीके \(\binom{7}{2}\binom{4}{1}=21\times4=84\) होंगे। \(56\) जैसा विकल्प डॉक्टरों और नर्सों के चयन को सही ढंग से संयोजित नहीं करता। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से निश्चित संख्या में सदस्य चुनने पर उनके संयोजनों का गुणन करें। / Two doctors can be selected in \(\binom{7}{2}=21\) ways, and one nurse can be selected in \(\binom{4}{1}=4\) ways. Since these selections are independent, the multiplication principle gives \(\binom{7}{2}\binom{4}{1}=21\times4=84\) teams. The option \(56\) does not correctly combine the selections of doctors and nurses. Exam tip: when fixed numbers are chosen from separate groups, multiply the corresponding combinations.
तरीके \(\binom{5}{2}\binom{6}{3}=10\cdot20=200\) हैं। अलग विषयों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{5}{2}\binom{6}{3}=10\cdot20=200\). Multiply selections from different subjects.
एक समिति में 8 सदस्य हैं। इनमें से अध्यक्ष और सचिव के दो अलग-अलग पद भरने हैं। यदि किसी सदस्य को दोनों पद नहीं दिए जा सकते, तो अध्यक्ष और सचिव चुनने के कितने तरीके हैं?
पद अलग-अलग हैं, इसलिए चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण है। अध्यक्ष के लिए 8 और फिर सचिव के लिए शेष 7 विकल्प हैं। अतः तरीके \(8\times7=56\) होंगे। \(\binom{8}{2}=28\) केवल दो सदस्यों का क्रमरहित चयन है। परीक्षा टिप: अलग पद हों तो क्रमचय लगाएँ। / Because the posts are distinct, order matters. There are 8 choices for chairperson and then 7 remaining choices for secretary, so \(8\times7=56\). \(\binom{8}{2}=28\) counts an unordered pair only. Exam tip: use permutations when positions are different.
प्रत्येक मैच दो अलग-अलग टीमों की एक जोड़ी से बनता है। अतः 11 टीमों में से 2 टीमों को चुनने के तरीकों की संख्या ही कुल मैचों की संख्या होगी: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2}=55\)। इसलिए विकल्प B सही है। 110 गिनने पर प्रत्येक मैच को दो बार गिना जाएगा, जैसे A बनाम B और B बनाम A। परीक्षा टिप: एक बार खेलने वाली लीग के लिए कुल मैच \(\binom{n}{2}\) होते हैं। / Each match is determined by a pair of distinct teams. Therefore, the number of matches equals the number of ways to choose 2 teams from 11: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2}=55\). Hence, option B is correct. Counting 110 would count every match twice, such as A versus B and B versus A. Exam tip: for a single round-robin league with \(n\) teams, total matches are \(\binom{n}{2}\).
एक त्रिभुज बनाने के लिए 14 बिंदुओं में से कोई भी 3 बिंदु चुने जाते हैं। चूँकि कोई भी 3 बिंदु एक सीध में नहीं हैं, इसलिए चुना गया प्रत्येक समूह एक त्रिभुज बनाएगा। अतः त्रिभुजों की संख्या \(\binom{14}{3}=\frac{14\times13\times12}{3\times2\times1}=364\) है। विकल्प 1092 क्रमचय जैसी गणना से आ सकता है, पर त्रिभुज में बिंदुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। परीक्षा टिप: जब केवल वस्तुओं का चयन हो और क्रम का प्रभाव न हो, तो संयोजन का प्रयोग करें। / A triangle is formed by selecting any 3 of the 14 points. Since no 3 points are collinear, every selected group of 3 points forms a triangle. Therefore, the number of triangles is \(\binom{14}{3}=\frac{14\times13\times12}{3\times2\times1}=364\). The value 1092 can result from an arrangement-based calculation, but the order of vertices does not matter for a triangle. Exam tip: use combinations when objects are selected and their order is irrelevant.
प्रत्येक सीधी रेखा दो भिन्न बिंदुओं को मिलाने पर बनती है। चूँकि कोई तीन बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं, इसलिए प्रत्येक बिंदु-युग्म एक अलग रेखा देगा। अतः रेखाओं की संख्या \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\) है। \(132\) लेने पर एक ही बिंदु-युग्म की व्यवस्था को दो बार गिना जाएगा। परीक्षा टिप: बिंदुओं से बनने वाली रेखाओं के लिए, जब कोई तीन बिंदु समरेखीय न हों, \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A straight line is determined by a pair of distinct points. Since no three points are collinear, every pair of points gives a different line. Therefore, the number of lines is \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\). The value \(132\) would count each pair in two orders. Exam tip: when no three of \(n\) points are collinear, use \(\binom{n}{2}\) to find the number of lines.
तीन असंरेख बिंदु एक अद्वितीय वृत्त निर्धारित करते हैं। चूँकि दिए गए किसी भी तीन बिंदु एक ही सीध में नहीं हैं, इसलिए 10 बिंदुओं में से किसी भी 3 बिंदुओं का चयन किया जा सकता है। अतः वृत्तों की संख्या \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\) होगी। विकल्प 90 क्रमित चयन जैसा परिणाम है, जबकि यहाँ बिंदुओं का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: जब चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण न हो, तब संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Any three non-collinear points determine one unique circle. Since no three of the given points are collinear, any set of 3 points can be chosen. Therefore, the number of circles is \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\). The value 90 does not represent the required unordered selection; the order of chosen points is irrelevant here. Exam tip: Use combinations \(\binom{n}{r}\) when the order of selection does not matter.
यहाँ केवल 8 अतिथियों में से 4 का चयन करना है; मंच पर बुलाने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए संयोजनों का प्रयोग होगा: \(\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!\,4!}=70\)। विकल्प 1680, \(8P_4\) है, जो तब होता जब चारों अतिथियों को क्रम के साथ बुलाना होता। परीक्षा टिप: क्रम महत्वपूर्ण न हो तो \(nCr\) का प्रयोग करें। / Only a selection of 4 guests from 8 is required; the order of calling them is not important. Hence, use combinations: \(\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!\,4!}=70\). The value 1680 is \(8P_4\), which would apply if the four guests were called in a specific order. Exam tip: use \(nCr\) when order does not matter.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{16}{4}=\frac{16!}{4!\,12!}=1820\)। अतः 16 कार्डों में से 4 कार्ड चुनने के 1820 तरीके हैं। \(43680\) क्रमचय \(^{16}P_4\) का मान है, जिसमें कार्डों का क्रम भी महत्त्वपूर्ण होता है; यहाँ क्रम नहीं पूछा गया है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘select’ हो और क्रम का उल्लेख न हो, तो सामान्यतः \(nCr\) लगाएँ। / This is a selection question, so combinations are used: \(\binom{16}{4}=\frac{16!}{4!\,12!}=1820\). Therefore, there are 1820 ways to choose 4 cards from 16 cards. \(43680\) is the value of the permutation \(^{16}P_4\), where the order of the cards matters; no order is asked for here. Exam tip: When a question says “choose” or “select” without mentioning order, usually use \(nCr\).
A. पुस्तकालय से 3 पुस्तकों का चयन/Selecting 3 books from a library
Explanation
Simple Explanation
पुस्तकालय से 3 पुस्तकों के चयन में पुस्तकों का क्रम बदलने पर समूह वही रहता है, इसलिए यह संयोजन है। इसके विपरीत पद, स्थान और पासवर्ड में क्रम बदलने से परिणाम बदलता है। परीक्षा टिप: “चयन” में क्रम न हो तो संयोजन सोचें। / When 3 books are selected, changing their order gives the same group, so it is a combination. In ranks, offices and passwords, changing the order changes the outcome. Exam tip: use combinations when only selection matters, not arrangement.
प्रत्येक सिक्के के लिए दो विकल्प हैं—उसे चुनना या न चुनना। इसलिए 8 अलग-अलग सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^8=256\) है। इनमें एक चयन ऐसा है जिसमें कोई भी सिक्का नहीं चुना जाता; इसे हटाने पर \(256-1=255\) तरीके मिलते हैं। अतः सही उत्तर 255 है। 256 विकल्प खाली चयन को भी शामिल करता है। परीक्षा टिप: “कम से कम एक” के प्रश्नों में प्रायः कुल चयन में से रिक्त चयन घटाएँ। / Each coin has two choices: it may be selected or not selected. Hence, the total number of subsets of 8 distinct coins is \(2^8=256\). One of these is the empty selection, in which no coin is chosen. Therefore, the required number is \(256-1=255\). Thus, 255 is correct; 256 incorrectly includes the empty selection. Exam tip: for “at least one” selection questions, subtract the empty selection from the total.
6 रंगों के प्रत्येक रंग को चुनने या न चुनने के 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं। इनमें 0 रंग चुनने का 1 तरीका और केवल 1 रंग चुनने के \(\binom{6}{1}=6\) तरीके मान्य नहीं हैं। अतः आवश्यक तरीके \(64-1-6=57\) हैं। विकल्प 63 में केवल रिक्त चयन को हटाया गया है, जबकि एक रंग वाले चयन भी हटाने होंगे। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में प्रायः पूरक गणना जल्दी होती है। / Each of the 6 colours has two possibilities: selected or not selected. Hence, there are \(2^6=64\) total subsets. The 1 selection with no colour chosen and the \(\binom{6}{1}=6\) selections with exactly one colour chosen are not allowed. Therefore, the required number is \(64-1-6=57\). Option 63 excludes only the empty selection, but selections of exactly one colour must also be excluded. Exam tip: For “at least” questions, counting the complement is often quicker.
अधिकतम (2) का अर्थ (0), (1) या (2) चयन है। इसलिए \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=16\) है। / At most (2) means selecting (0), (1), or (2). Hence \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=16\).
ठीक (4) चुनने के तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। ठीक शब्द आने पर एक ही (r) मान लें। / The ways to choose exactly (4) are \(\binom{9}{4}=126\). When exactly is given, use only one (r) value.
एक कर्मचारी पहले से चुना है इसलिए बाकी (4) कर्मचारी (11) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{11}{4}=330\) हैं। / One employee is already selected, so choose the remaining (4) from (11). The ways are \(\binom{11}{4}=330\).
निश्चित सदस्य को शामिल नहीं करना है, इसलिए चयन के लिए केवल 10 सदस्य उपलब्ध हैं। समिति में पदों का कोई क्रम नहीं होता, अतः संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{10}{4}=210\)। इसलिए सही उत्तर 210 है। विकल्प 330 गलत है, क्योंकि वह \(\binom{11}{4}\) है और उसमें निश्चित सदस्य को बाहर नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: किसी व्यक्ति के अनिवार्य रूप से बाहर होने पर पहले कुल सदस्यों में से उसे घटाएँ, फिर संयोजन लगाएँ। / Since the fixed member must not be included, only 10 members are available for selection. As the positions in a committee do not matter, use combinations: \(\binom{10}{4}=210\). Hence, the correct answer is 210. Option 330 is incorrect because it equals \(\binom{11}{4}\), which does not exclude the fixed member. Exam tip: When a person must be excluded, first remove that person from the total and then apply combinations.
दो विशेष विद्यार्थी पहले से चुने हैं। बाकी (2) विद्यार्थी (7) में से \(\binom{7}{2}=21\) तरीकों से चुने जाएंगे। / The two special students are already selected. The remaining (2) students are chosen from (7) in \(\binom{7}{2}=21\) ways.
कुल \(\binom{10}{5}=252\) और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। इसलिए (252-56=196) नहीं बल्कि सही बचा (196) है। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\), and ways with both special players are \(\binom{8}{3}=56\). Thus the valid ways are (196).
मामले हैं (2) लड़कियां, (3) लड़कियां या (4) लड़कियां। कुल \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}+\binom{4}{3}\binom{6}{1}+\binom{4}{4}=115\) नहीं, सही गणना (90+24+1=115) है। / The cases are (2), (3), or (4) girls. The correct count is \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}+\binom{4}{3}\binom{6}{1}+\binom{4}{4}=115\).
कुल \(\binom{10}{3}=120\) और केवल पुरुष \(\binom{5}{3}=10\) हैं। इसलिए (120-10=110) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{3}=120\), and all-men selections are \(\binom{5}{3}=10\). Hence (120-10=110) ways.
ठीक (1) वाणिज्य विद्यार्थी के लिए \(\binom{3}{1}\binom{7}{2}=3\cdot21=63\) तरीके हैं। ठीक शब्द पर वही संख्या लें। / For exactly (1) commerce student, the ways are \(\binom{3}{1}\binom{7}{2}=3\cdot21=63\). Use that exact number when exactly is given.
संयोजन का सूत्र है: \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)। अतः \(\binom{18}{1}=\frac{18!}{1!\,17!}=18\) होगा। इसलिए विकल्प B सही है। \(36\) और \(324\) क्रमशः \(18\) का दोगुना और वर्ग हैं, संयोजन का मान नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{1}=n\) को सीधे याद रखें। / Using the combination formula, \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\). Thus, \(\binom{18}{1}=\frac{18!}{1!\,17!}=18\). Therefore, option B is correct. The values 36 and 324 are respectively twice and the square of 18, not the value of this combination. Exam tip: remember directly that \(\binom{n}{1}=n\).
संयोजन का सूत्र है \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)। यहाँ \(n=17\) और \(r=0\) रखने पर \(\binom{17}{0}=\frac{17!}{0!\,17!}=1\), क्योंकि \(0!=1\)। इसका अर्थ है कि 17 वस्तुओं में से कोई भी वस्तु न चुनने का केवल एक तरीका है। विकल्प 0 चयनित वस्तुओं की संख्या है, तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें कि \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{n}=1\)। / Using the combination formula, \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\). Substituting \(n=17\) and \(r=0\), we get \(\binom{17}{0}=\frac{17!}{0!\,17!}=1\), since \(0!=1\). This means there is exactly one way to choose no objects from 17 objects. Option 0 represents the number of objects selected, not the number of ways. Exam tip: Remember that \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{n}=1\).
संयोजन में \(\binom{n}{n}\) का अर्थ \(n\) वस्तुओं में से सभी \(n\) वस्तुओं को चुनना है। सभी 11 वस्तुओं को चुनने का केवल एक ही तरीका है, इसलिए \(\binom{11}{11}=1\)। \(11\) वस्तुओं का होना विकल्पों की संख्या नहीं बताता; चयन का तरीका केवल एक है। परीक्षा टिप: याद रखें, \(\binom{n}{n}=\binom{n}{0}=1\)। / In combinations, \(\binom{n}{n}\) means choosing all \(n\) objects from \(n\) objects. There is exactly one way to choose all 11 objects, so \(\binom{11}{11}=1\). The number 11 is the number of objects, not the number of possible selections. Exam tip: remember that \(\binom{n}{n}=\binom{n}{0}=1\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{15}{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105\)। इसलिए सही उत्तर 105 है। 210 में 2 से भाग नहीं दिया गया है, जबकि दो वस्तुओं के क्रम बदलने पर नया चयन नहीं बनता। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) का सूत्र सीधे प्रयोग करें। / The combination formula is \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\). Therefore, \(\binom{15}{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105\), so 105 is correct. The value 210 results from not dividing by 2; changing the order of two selected objects does not create a new combination. Exam tip: use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) directly.
संयोजन का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। अतः \(\binom{8}{5}=\binom{8}{8-5}=\binom{8}{3}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(\binom{8}{2}\) में पूरक संख्या 6 होती है, 5 नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) को तुरंत \(\binom{n}{n-r}\) में बदलकर विकल्पों से मिलाइए। / Combinations follow the symmetry property \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Therefore, \(\binom{8}{5}=\binom{8}{8-5}=\binom{8}{3}\), so option B is correct. In \(\binom{8}{2}\), the complementary selection is 6, not 5. Exam tip: Rewrite \(\binom{n}{r}\) as \(\binom{n}{n-r}\) to match such options quickly.
\(\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560\) है। छोटे (r) के लिए सीधा सूत्र उपयोगी है। / \(\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560\). Direct formula is useful for small (r).
पूरकता के गुण के अनुसार \\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\\)। इसलिए \\(\binom{12}{10}=\binom{12}{2}\\)। अब \\(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\\), अतः योग \\(66+66=132\\) है। 66 केवल एक पद का मान है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \\(\binom{n}{r}\\) और \\(\binom{n}{n-r}\\) हमेशा बराबर होते हैं। / Using the complementary property, \\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\\). Hence, \\(\binom{12}{10}=\binom{12}{2}\\). Now, \\(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2}=66\\), so the sum is \\(66+66=132\\). Option 66 is the value of only one term, so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: \\(\binom{n}{r}\\) and \\(\binom{n}{n-r}\\) are always equal.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{7}{3}\) नहीं, सही \(\binom{7}{3}\) है। / By Pascal's identity, \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the correct expression is \(\binom{7}{3}\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=45\Rightarrow n(n-1)=90\)। \(10\times9=90\), इसलिए \(n=10\) है। \(n=9\) लेने पर \(\binom{9}{2}=36\) मिलता है, जो 45 नहीं है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}\) वाले प्रश्न में पहले \(\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर हल करें। / Using the combination formula, \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n-1)}{2}=45\Rightarrow n(n-1)=90\). Since \(10\times9=90\), \(n=10\). For comparison, \(\binom{9}{2}=36\), not 45. Exam tip: For \(\binom{n}{2}\), first write it as \(\frac{n(n-1)}{2}\).
क्रम महत्त्वपूर्ण न होने पर चयन संयोजन होता है, इसलिए 3 विद्यार्थियों के चयन की संख्या \(\binom{n}{3}\) है। \({}^nP_3\) क्रमित व्यवस्थाओं को गिनता है। परीक्षा टिप: ‘चयन’ और ‘क्रम नहीं’ दिखे तो संयोजन चुनें। / When order does not matter, the selection is a combination, so choosing 3 students from \(n\) students is \(\binom{n}{3}\). \({}^nP_3\) counts ordered arrangements. Exam tip: use combinations for selection without order.
संयोजनों के सीमांत मानों के अनुसार \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{n}=1\) होते हैं। अतः उनका योग \(1+1=2\) है। यह सीमांत पहचान है, क्योंकि इसमें चयनित वस्तुओं की संख्या 0 या कुल \(n\) होती है। पास्कल पहचान में सामान्यतः \(\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}\) रूप होता है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{0}\) और \(\binom{n}{n}\) दोनों का मान हमेशा 1 याद रखें। / For the boundary values of combinations, \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{n}=1\). Therefore, their sum is \(1+1=2\). This is a boundary identity because the number of selected objects is either 0 or all \(n\) objects. Pascal's identity instead has the form \(\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}\). Exam tip: Always remember that \(\binom{n}{0}\) and \(\binom{n}{n}\) are both 1.
विशेष मिठाई पहले से चुनी है। बाकी (2) मिठाइयां (5) में से \(\binom{5}{2}=10\) तरीकों से चुनेंगे। / The special sweet is already selected. Choose the remaining (2) sweets from (5) in \(\binom{5}{2}=10\) ways.
एक खिलौना टूटा हुआ है, इसलिए उसे चुनने के लिए उपलब्ध नहीं माना जाएगा। अतः 8 में से केवल 7 अच्छे खिलौनों में से 3 खिलौने चुनने हैं। चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए तरीकों की संख्या \,\(\binom{7}{3}=35\) होगी। विकल्प 56, \(\binom{8}{3}\) है, जो टूटे खिलौने को भी उपलब्ध मानने पर मिलता है। परीक्षा टिप: ‘चुनने’ वाले प्रश्नों में क्रम न हो तो संयोजन का प्रयोग करें। / Since one toy is broken, it is not available for selection. Thus, 3 toys must be chosen from the remaining 7 good toys. As the order of selection does not matter, the number of ways is \,\(\binom{7}{3}=35\). Option 56 equals \(\binom{8}{3}\), which incorrectly includes the broken toy. Exam tip: use combinations when objects are selected and their order is irrelevant.
ठीक 2 हरी पेंसिल चुनने के लिए \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। तीसरी पेंसिल नीली होनी चाहिए, जिसे \(\binom{4}{1}=4\) तरीकों से चुना जा सकता है। अतः कुल तरीके \(\binom{6}{2}\binom{4}{1}=15\times4=60\) हैं। 45 केवल हरी पेंसिलों के चुनाव से संबंधित गलत गणना हो सकती है। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से स्वतंत्र चुनाव हों, तो उनके तरीकों को गुणा करें। / There are \(\binom{6}{2}=15\) ways to choose exactly 2 green pencils. The remaining pencil must be blue, which can be chosen in \(\binom{4}{1}=4\) ways. Hence, the total number of selections is \(\binom{6}{2}\binom{4}{1}=15\times4=60\). A value such as 45 results from an incorrect count that does not properly include the required blue pencil. Exam tip: multiply the numbers of ways when choices from separate groups are made independently.
तरीके \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{5}{1}=60\) हैं। तीन अलग समूहों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{5}{1}=60\). Multiply selections from the three different groups.
पहले (2) प्रश्न तय हैं इसलिए बाकी (2) प्रश्न (10) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{10}{2}=45\) हैं। / The first (2) questions are fixed, so choose the remaining (2) from (10). The ways are \(\binom{10}{2}=45\).
3 विशेष प्रश्नों का चयन नहीं करना है, इसलिए वे उपलब्ध प्रश्नों में शामिल नहीं होंगे। अतः 15 - 3 = 12 प्रश्नों में से 5 प्रश्न चुनने के तरीके \(\binom{12}{5}=792\) हैं। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प 1365, \(\binom{15}{4}\) के बराबर है और यह दी गई चयन-शर्त के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: निषिद्ध वस्तुओं वाले संयोजन में पहले उन्हें कुल संख्या से घटाइए, फिर संयोजन लगाइए। / The 3 special questions cannot be selected, so they are excluded from the available questions. Thus, 5 questions must be chosen from \(15-3=12\) questions: \(\binom{12}{5}=792\). Therefore, option B is correct. The value 1365 equals \(\binom{15}{4}\), which does not follow the given selection condition. Exam tip: For combinations with forbidden items, first subtract the forbidden items from the total, then apply the combination formula.
खास पोस्टर पहले से चुना है। दूसरा पोस्टर शेष (6) में से \(\binom{6}{1}=6\) तरीकों से चुनेगा। / The particular poster is already selected. The second poster is chosen from the remaining (6) in \(\binom{6}{1}=6\) ways.
जिस खास पुरस्कार को नहीं रखना है, उसे पहले हटा देते हैं। तब चुनने के लिए 8 पुरस्कार बचते हैं। प्रदर्शनी में केवल 3 पुरस्कार चुनने हैं, उनका क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए तरीकों की संख्या \(\binom{8}{3}=56\) होगी। विकल्प 84 तब मिलता है जब गलती से 9 में से 3 पुरस्कार चुने जाएँ। परीक्षा टिप: चयन में क्रम का महत्व न हो तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Exclude the particular prize that must not be displayed. This leaves 8 prizes, and we need to select 3 of them. Since the order of selected prizes does not matter, the number of ways is \(\binom{8}{3}=56\). The value 84 would result from incorrectly choosing 3 prizes from all 9 prizes. Exam tip: use combinations, \(\binom{n}{r}\), when order is not important.
सभी काली गेंदें चाहिए इसलिए \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। बाकी सफेद गेंदों का प्रयोग नहीं होगा। / All balls must be black, so there are \(\binom{7}{4}=35\) ways. The white balls are not used.
शर्त है कि कोई भी गणित की पुस्तक नहीं चुननी है, इसलिए सभी 3 पुस्तकें 6 अंग्रेजी पुस्तकों में से चुनी जाएँगी। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{6}{3}=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20\) है। विकल्प 15, \(\binom{6}{2}\) का मान है, जो 2 पुस्तकें चुनने के लिए होता है। परीक्षा टिप: ‘कोई गणित पुस्तक न हो’ जैसी शर्त मिलने पर पहले उन पुस्तकों को चयन से पूरी तरह हटा दें। / The condition excludes every mathematics book, so all 3 books must be chosen from the 6 English books. Hence, the number of selections is \(\binom{6}{3}=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20\). Option 15 is \(\binom{6}{2}\), which counts selections of only 2 books. Exam tip: When a category is completely excluded, remove it before forming the combination.
जिस खास चाबी को नहीं चुनना है, उसे पहले हटा दें। तब चुनने के लिए 7 चाबियां बचती हैं। इनमें से 2 चाबियां चुनने के तरीके \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2}=21\) हैं। \(\binom{8}{2}=28\) लेने पर प्रतिबंधित चाबी वाले चयन भी शामिल हो जाते हैं। परीक्षा टिप: ‘न चुनी जाए’ वाले प्रश्न में उस वस्तु को पहले कुल वस्तुओं से हटा दें। / First exclude the particular key that must not be selected. This leaves 7 keys, and the number of ways to choose 2 of them is \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2}=21\). Using \(\binom{8}{2}=28\) would incorrectly include selections containing the prohibited key. Exam tip: for a “must not be selected” condition, remove that object before forming the combination.
कुल \(\binom{10}{3}=120\) हैं और दोनों खास फोटो साथ हों तो \(\binom{8}{1}=8\) तरीके हैं। इसलिए (120-8=112) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{3}=120\), and ways with both particular photos are \(\binom{8}{1}=8\). Thus (120-8=112) ways.
