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15 विद्यार्थियों में से 2 विद्यार्थियों की जोड़ी चुनने में क्रम का कोई महत्व नहीं होता। अतः तरीकों की संख्या
\(\binom{15}{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105\) है। इसलिए सही उत्तर 105 है। 210 में एक ही जोड़ी को दो अलग-अलग क्रमों में गिना जाएगा, इसलिए वह क्रमचय से संबंधित मान है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन या जोड़ी बनानी हो, तो संयोजन का प्रयोग करें। / While selecting a pair from 15 students, the order of the two students does not matter. Therefore, the number of ways is
\(\binom{15}{2}=\frac{15\times14}{2\times1}=105\). Hence, 105 is correct. The value 210 counts each pair in two orders and is related to permutations. Exam tip: use combinations when only selection or grouping is involved.
\(\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28\) होता है। अधिक चुनना हो तो न चुने गए लोगों को गिनना आसान होता है। / \(\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28\). When many are selected, counting those not selected is easier.
3 पुस्तकों का सेट चुनते समय पुस्तकों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए संयोजन का प्रयोग करेंगे। आवश्यक संख्या \(\binom{9}{3}=\frac{9!}{3!\,6!}=84\) है। विकल्प 504 क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला क्रमचय \(^{9}P_{3}\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: चयन, समूह या सेट जैसे शब्द हों तो सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / The order of the 3 selected books does not matter, so we use combinations. The required number is \(\binom{9}{3}=\frac{9!}{3!\,6!}=84\). Option 504 is \(^{9}P_{3}\), which counts arrangements where order matters, so it is not correct. Exam tip: words such as selection, group, or set usually indicate combinations.
यह चयन है इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) नहीं बल्कि सही मान \(\binom{11}{4}=330\) है। विकल्पों में सही उत्तर (330) है। / This is selection, so the value is \(\binom{11}{4}=330\). The correct option is (330).
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{12}{3}=\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=220\) होगी। इसलिए सही उत्तर 220 है। 440 प्राप्त करना उत्तर को अनावश्यक रूप से दोगुना गिनने के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: जब केवल वस्तुएँ चुननी हों और उनका क्रम न पूछा गया हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection question, so the order of the pens does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{12}{3}=\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=220\). Therefore, 220 is correct. The value 440 can result from unnecessarily counting the same selections twice. Exam tip: use combinations \(\binom{n}{r}\) when objects are selected and their order is not specified.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए प्रश्नों के क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120\) होगी। विकल्प 5040, \(7!\) है और चुने गए 7 प्रश्नों को क्रम में लगाने की स्थितियों से जुड़ा है, चयन की स्थितियों से नहीं। परीक्षा टिप: जब केवल “चुनना” हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection problem, so the order of the chosen questions does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120\). Option 5040 equals \(7!\) and relates to arranging seven selected questions, not selecting them. Exam tip: Use combinations \(\binom{n}{r}\) when the question asks only to choose items.
तरीके \(\binom{5}{2}\binom{4}{2}=10\cdot6=60\) हैं। अलग वर्गों से चयन में गुणा करते हैं। / The ways are \(\binom{5}{2}\binom{4}{2}=10\cdot6=60\). Multiply selections from different groups.
तरीके \(\binom{6}{2}\binom{5}{1}=15\cdot5=75\) हैं। रंग अलग हों तो चयन अलग-अलग करें। / The ways are \(\binom{6}{2}\binom{5}{1}=15\cdot5=75\). Select separately when colors are different.
तरीके \(\binom{7}{1}\binom{3}{2}=7\cdot3=21\) हैं। प्रत्येक शर्त को अलग संयोजन से लिखें। / The ways are \(\binom{7}{1}\binom{3}{2}=7\cdot3=21\). Write each condition as a separate combination.
तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\) हैं। अलग विषयों के चयन में गुणा नियम लगता है। / The ways are \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\). The multiplication rule applies to selections from different subjects.
एक रेखाखंड के दो अंतिम बिंदु होते हैं। इसलिए 13 बिंदुओं में से 2 बिंदु चुनने के तरीकों की संख्या ही रेखाखंडों की संख्या होगी: \(\binom{13}{2}=\frac{13\times12}{2}=78\)। अतः सही उत्तर 78 है। 156 में प्रत्येक युग्म को दो अलग-अलग क्रमों में गिन लिया जाता है, जबकि रेखाखंड के लिए क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। परीक्षा टिप: दो वस्तुएँ चुननी हों और क्रम का प्रभाव न हो, तो \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A line segment has two endpoints. Hence, the number of line segments equals the number of ways of choosing 2 points from 13 points: \(\binom{13}{2}=\frac{13\times12}{2}=78\). Therefore, 78 is correct. The value 156 counts each pair in two orders, but the order of endpoints does not matter for a line segment. Exam tip: use \(\binom{n}{2}\) when choosing two items and order does not matter.
एक त्रिभुज बनाने के लिए 8 बिंदुओं में से किसी भी 3 बिंदुओं का चयन करना होता है। चूँकि कोई भी 3 बिंदु एक ही सीध में नहीं हैं, इसलिए प्रत्येक चयन एक त्रिभुज बनाएगा। अतः त्रिभुजों की संख्या \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\) है। विकल्प 112 क्रमचय गिनने जैसी त्रुटि से आ सकता है, जबकि बिंदुओं के चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: ‘चयन’ वाले प्रश्नों में सामान्यतः संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / To form a triangle, choose any 3 of the 8 points. Since no 3 points are collinear, every such selection forms a triangle. Therefore, the number of triangles is \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\). The option 112 may result from incorrectly counting arrangements, but the order of selecting points does not matter. Exam tip: Use combinations \(\binom{n}{r}\) when the order of selection is irrelevant.
तीन असंरेख बिंदुओं से एक और केवल एक वृत्त निर्धारित होता है। चूँकि दिए गए किसी भी 3 बिंदु एक सीध में नहीं हैं, अतः 9 बिंदुओं में से 3 बिंदु चुनने के प्रत्येक तरीके से एक वृत्त बनेगा। इसलिए वृत्तों की संख्या \(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\) है। विकल्प 126, \(\binom{9}{4}\) का मान है, इसलिए वह यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: वृत्त बनाने के लिए 3 असंरेख बिंदु चुनते हैं। / A unique circle is determined by three non-collinear points. Since no three of the given points are collinear, every selection of 3 points from 9 gives one circle. Thus, the number of circles is \(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\). Option 126 equals \(\binom{9}{4}\), so it does not apply here. Exam tip: for circles, choose 3 non-collinear points.
हर हाथ मिलाना दो अलग-अलग व्यक्तियों की एक जोड़ी बनाता है और किसी जोड़ी को केवल एक बार गिना जाता है। अतः कुल हाथ मिलाने की संख्या \(\binom{14}{2}=\frac{14\times13}{2}=91\) होगी। विकल्प 182 में प्रत्येक जोड़ी को दो बार गिनने की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: हाथ मिलाने के प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / Each handshake corresponds to one pair of distinct persons, and each pair is counted only once. Therefore, the total number of handshakes is \(\binom{14}{2}=\frac{14\times13}{2}=91\). The value 182 results from counting every pair twice. Exam tip: for handshake questions, usually use \(\binom{n}{2}\).
हर मैच दो अलग-अलग टीमों के बीच होता है। अतः 16 टीमों में से 2 टीमों का चयन करने पर कुल मैचों की संख्या \,\(\binom{16}{2}=\frac{16\times15}{2}=120\) होगी। 240 प्राप्त करना गलत है, क्योंकि उसमें प्रत्येक जोड़ी को दो बार गिना जाता है। परीक्षा टिप: ‘हर दूसरी टीम से एक बार’ वाले प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / Each match is played between a pair of distinct teams. Therefore, the number of matches is \,\(\binom{16}{2}=\frac{16\times15}{2}=120\). Getting 240 would count every pair twice. Exam tip: For “each team plays every other team once” questions, usually use \(\binom{n}{2}\).
अध्यक्ष या सचिव जैसे पद नहीं दिए गए हैं, इसलिए समिति में सदस्यों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः 6 सदस्यों में से 3 चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}=20\) हैं। विकल्प 120 क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला क्रमचय \(^{6}P_3\) है, इसलिए यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद निर्धारित न हों तो सामान्यतः संयोजन का प्रयोग करें। / Since no positions such as president or secretary are assigned, the order of selected members does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}=20\). The value 120 is \(^{6}P_3\), which counts arrangements where order matters, so it is not applicable here. Exam tip: use combinations when only selection is involved and no posts are assigned.
निश्चित सदस्य पहले से चुना है इसलिए बाकी (3) सदस्य (9) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{9}{3}=84\) हैं। / The fixed member is already selected, so choose the remaining (3) from (9). The ways are \(\binom{9}{3}=84\).
निश्चित सदस्य को शामिल नहीं करना है, इसलिए चयन के लिए केवल 8 सदस्य उपलब्ध हैं। समिति में क्रम का महत्व नहीं होता, अतः संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)। इसलिए सही उत्तर 56 है। विकल्प 84, \(\binom{9}{3}\) है, जो निषिद्ध सदस्य को हटाए बिना प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: समिति बनाने वाले प्रश्नों में क्रम महत्त्वपूर्ण न हो तो \(nCr\) का उपयोग करें। / Since the fixed member cannot be included, only 8 members are available for selection. The order of members in a committee does not matter, so use combinations: \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\). Hence, the correct answer is 56. Option 84 equals \(\binom{9}{3}\), which incorrectly includes the excluded member among the available people. Exam tip: use \(nCr\) when forming a committee because order is irrelevant.
दो विशेष विद्यार्थी पहले से चुने गए हैं। तीसरा विद्यार्थी शेष (5) में से \(\binom{5}{1}=5\) तरीकों से चुनेगा। / The two special students are already selected. The third student is chosen from the remaining (5) in \(\binom{5}{1}=5\) ways.
कुल \(\binom{8}{4}=70\) और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। इसलिए (70-15=55) तरीके बचेंगे। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\), and ways with both special students are \(\binom{6}{2}=15\). Thus (70-15=55) ways remain.
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{14}{1}=\frac{14!}{1!\,13!}=14\)। इसलिए सही उत्तर 14 है। \(\binom{14}{0}=1\) होता है, इसलिए 1 एक सामान्य लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या हमेशा उपलब्ध कुल वस्तुओं के बराबर होती है। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), we get \(\binom{14}{1}=\frac{14!}{1!\,13!}=14\). Hence, 14 is correct. Note that \(\binom{14}{0}=1\), so 1 is a common but incorrect distractor here. Exam tip: the number of ways to choose one item is always equal to the total number of available items.
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{15}{0}=\frac{15!}{0!\,15!}=1\), क्योंकि \(0!=1\)। शून्य वस्तुएँ चुनने का केवल एक ही तरीका है—कोई वस्तु न चुनना। निकटतम भ्रम यह है कि उत्तर 0 मान लिया जाए, परन्तु वह चुनी गई वस्तुओं की संख्या है, तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें कि \(\binom{n}{0}=1\)। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), we get \(\binom{15}{0}=\frac{15!}{0!\,15!}=1\), since \(0!=1\). There is exactly one way to choose zero objects: choose none. A common confusion is to write 0, but 0 is the number of objects chosen, not the number of possible selections. Exam tip: remember that \(\binom{n}{0}=1\).
\(\binom{10}{10}\) का अर्थ 10 वस्तुओं में से सभी 10 वस्तुओं का चयन करना है। सभी वस्तुओं को चुनने का केवल एक ही तरीका होता है, इसलिए \(\binom{10}{10}=1\)। \(10\) वस्तुओं की संख्या है, संयोजनों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{n}=1\) तथा \(\binom{n}{0}=1\) हमेशा याद रखें। / \(\binom{10}{10}\) means selecting all 10 objects from 10 objects. There is only one way to select every object, so \(\binom{10}{10}=1\). The number 10 represents the objects, not the number of combinations. Exam tip: always remember that \(\binom{n}{n}=1\) and \(\binom{n}{0}=1\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{13}{2}=\frac{13!}{2!11!}=\frac{13\times12}{2}=78\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(156\) तब मिलता है जब \(13\times12\) को \(2!\) से विभाजित नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) का सूत्र सीधे प्रयोग करें। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), we get \(\binom{13}{2}=\frac{13!}{2!11!}=\frac{13\times12}{2}=78\). Hence, option C is correct. \(156\) results if \(13\times12\) is not divided by \(2!\). Exam tip: use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) directly for selections of two objects.
\(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495\)। अतः सही उत्तर 495 है। विकल्प 11880, \(^{12}P_4\) का मान है, क्योंकि उसमें क्रम को अलग-अलग गिना जाता है। परीक्षा टिप: संयोजन में क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए \(r!\) से भाग दिया जाता है। / \(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495\). Therefore, 495 is the correct answer. The value 11880 is \(^{12}P_4\), where different orders are counted separately. Exam tip: In combinations, order does not matter, so divide by \(r!\).
संचय का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। अतः \(\binom{9}{5}=\binom{9}{9-5}=\binom{9}{4}\)। \(\binom{9}{3}\) में चयन की संख्या अलग है, इसलिए वह बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) को तुरंत \(\binom{n}{n-r}\) से बदला जा सकता है। / Combinations satisfy the symmetry property \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Therefore, \(\binom{9}{5}=\binom{9}{9-5}=\binom{9}{4}\). \(\binom{9}{3}\) has a different number of selected objects, so it is not equal to the given expression. Exam tip: You can quickly replace \(\binom{n}{r}\) with \(\binom{n}{n-r}\).
\(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2\times1}=21\) है। पूरकता गुण \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) से \(\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21\) होगा। अतः \(21+21=42\), इसलिए सही विकल्प C है। \(35\) मान \(\binom{7}{3}\) का है, \(\binom{7}{5}\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) में पहले जाँचें कि \(r\) और \(n-r\) में कौन-सा छोटा है। / \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2\times1}=21\). Using the complementary property \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\), \(\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21\). Hence, \(21+21=42\), so option C is correct. The value \(35\) is \(\binom{7}{3}\), not \(\binom{7}{5}\). Exam tip: in \(\binom{n}{r}\), use the smaller of \(r\) and \(n-r\) to calculate quickly.
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=21\Rightarrow n(n-1)=42\)। \(7\times6=42\) होने से \(n=7\) है। \(n=6\) के लिए \(\binom{6}{2}=15\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: संयोजन के प्रश्न में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर हल करें। / We use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n-1)}{2}=21\Rightarrow n(n-1)=42\). Since \(7\times6=42\), \(n=7\). For example, \(\binom{6}{2}=15\), so 6 is not correct. Exam tip: For questions involving \(\binom{n}{2}\), first write it as \(\frac{n(n-1)}{2}\).
संयोजन के सूत्रों से \(\binom{n}{1}=n\) तथा \(\binom{n}{0}=1\) होता है। अतः दिया गया समीकरण \(n+1=16\) बनेगा, जिससे \(n=15\) प्राप्त होता है। \(n=16\) लेने पर योग 17 हो जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{1}=n\) को तुरंत पहचानें। / Using the combination identities, \(\binom{n}{1}=n\) and \(\binom{n}{0}=1\). Thus, the given equation becomes \(n+1=16\), which gives \(n=15\). If \(n=16\), the sum would be 17, so it is not correct. Exam tip: Remember directly that \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{1}=n\).
\(\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!}=15\) है। साथ ही, \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=15\), क्योंकि \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। अतः \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\)। विकल्प 15 केवल एक पद का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: पूरक चयन वाले पदों के लिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) का उपयोग करें। / \(\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!}=15\). Also, \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=15\), using \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Therefore, \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\). Option 15 is the value of only one term, not their sum. Exam tip: use \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) for complementary selections.
पास्कल पहचान \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) है। इसलिए उत्तर \(\binom{6}{3}\) है। / Pascal's identity is \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{6}{3}\).
प्रत्येक 6 अलग-अलग सिक्कों के लिए दो विकल्प हैं—उसे चुनना या न चुनना। इसलिए कुल चयन, खाली चयन सहित, \(2^6=64\) हैं। प्रश्न में कम से कम 1 सिक्का चुनना है, अतः खाली चयन को हटाने पर \(64-1=63\) तरीके मिलते हैं। विकल्प 64 गलत है क्योंकि उसमें कोई भी सिक्का न चुनने का तरीका भी शामिल है। परीक्षा टिप: “कम से कम एक” वाले चयन में प्रायः कुल उपसमुच्चयों में से खाली चयन घटाएँ। / For each of the 6 distinct coins, there are two choices: select it or do not select it. Hence, the total number of selections, including the empty selection, is \(2^6=64\). Since at least 1 coin must be selected, exclude the empty selection: \(64-1=63\). Option 64 is incorrect because it also includes selecting no coin. Exam tip: for “at least one” selection questions, subtract the empty selection from the total number of subsets.
प्रत्येक 5 अलग-अलग कार्ड के लिए दो स्वतंत्र विकल्प हैं—उसे चुनना या न चुनना। अतः कुल चयन \(2^5=32\) होंगे। इसमें कोई कार्ड न चुनने का एक तरीका भी शामिल है, क्योंकि प्रश्न में “किसी भी संख्या” कहा गया है। \(31\) तरीके केवल तब होते हैं जब कम-से-कम एक कार्ड चुनना अनिवार्य हो। परीक्षा टिप: “any number” में सामान्यतः 0 भी शामिल होता है; “one or more” होने पर रिक्त चयन घटा दें। / For each of the 5 distinct cards, there are two independent choices: select it or do not select it. Therefore, the total number of selections is \(2^5=32\). This includes the one way of selecting no card, because the question says “any number.” The answer would be \(31\) only if selecting at least one card were required. Exam tip: “any number” usually includes 0; subtract the empty selection only when the question says “one or more.”
तरीके \(\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=6+4+1=11\) हैं। कम से कम में सभी मान जोड़ें। / The ways are \(\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=6+4+1=11\). Add all possible values in at least questions.
अधिकतम 1 विषय चुनने में दो स्थितियाँ शामिल हैं: कोई विषय न चुनना और ठीक 1 विषय चुनना। अतः कुल तरीके \(\binom{7}{0}+\binom{7}{1}=1+7=8\) हैं। विकल्प 7 केवल ठीक 1 विषय चुनने के तरीके बताता है; इसमें कोई विषय न चुनने का एक तरीका शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: “अधिकतम” में दी गई संख्या से कम सभी सम्भव चयन भी गिने जाते हैं। / Selecting at most 1 subject includes two cases: selecting no subject and selecting exactly 1 subject. Thus, the total number of ways is \(\binom{7}{0}+\binom{7}{1}=1+7=8\). Option 7 counts only the selections of exactly one subject and misses the one way of selecting none. Exam tip: “At most” includes every possible selection below the stated number as well.
क्रम महत्वपूर्ण नहीं होने पर संयोजन का प्रयोग करते हैं। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\) है। \(72\) लेने पर क्रम को अलग-अलग गिन लिया जाएगा, जबकि यहाँ ऐसा नहीं करना है। परीक्षा टिप: जब चयन में क्रम का प्रभाव न हो, तो \(nCr\) का प्रयोग करें। / Since the order of selection does not matter, use combinations. Thus, the number of ways is \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\). Choosing 72 would count different orders separately, which is not required here. Exam tip: use \(nCr\) whenever order does not affect a selection.
अक्षर केवल चुने जा रहे हैं इसलिए \(\binom{10}{4}=210\) होगा। व्यवस्था न पूछी जाए तो संयोजन लगाएं। / Letters are only being selected, so \(\binom{10}{4}=210\). Use combination when arrangement is not asked.
दो चित्र चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। लगाने की जगह न दी हो तो केवल चयन मानें। / The ways to choose two pictures are \(\binom{6}{2}=15\). If positions are not given, consider only selection.
तीन स्वादों का चयन \(\binom{7}{3}=35\) तरीकों से होगा। स्वादों का क्रम सामान्यतः नहीं गिना जाता। / The (3) flavors can be selected in \(\binom{7}{3}=35\) ways. The order of flavors is usually not counted.
यह चयन का प्रश्न है, क्योंकि टिकटों को चुनने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{8}{5}=\frac{8!}{5!3!}=56\) होगी। \(\binom{8}{3}\) भी लिया जा सकता है, क्योंकि 5 टिकट चुनना 3 टिकट छोड़ने के बराबर है। परीक्षा टिप: जब क्रम का कोई महत्व न हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection problem because the order in which the tickets are chosen does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{8}{5}=\frac{8!}{5!3!}=56\). We can also use \(\binom{8}{3}\), since choosing 5 tickets is equivalent to leaving out 3 tickets. Exam tip: use combinations \(\binom{n}{r}\) when order is not important.
दोनों पुस्तकें हिंदी होनी हैं इसलिए \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। शर्त पढ़कर सही समूह चुनें। / Both books must be Hindi, so there are \(\binom{3}{2}=3\) ways. Read the condition and choose the correct group.
तरीके \(\binom{4}{2}\binom{5}{1}=6\cdot5=30\) हैं। अलग श्रेणियों का चयन गुणा से जुड़ता है। / The ways are \(\binom{4}{2}\binom{5}{1}=6\cdot5=30\). Selections from different categories are multiplied.
तरीके \(\binom{5}{1}\binom{6}{3}=5\cdot20=100\) हैं। पहले शर्तों को अलग करें फिर गुणा करें। / The ways are \(\binom{5}{1}\binom{6}{3}=5\cdot20=100\). Separate the conditions first and then multiply.
यहाँ 6 मिठाइयों में से 2 मिठाइयों का केवल चयन करना है; चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। इसलिए तरीकों की संख्या \(\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\) होगी। 30 तब मिलता यदि क्रम भी गिना जाता, अर्थात क्रमचय \(^{6}P_2\) लिया जाता। परीक्षा टिप: ‘चुनने’ या ‘select’ शब्द हो और क्रम न दिया हो, तो सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / Only a selection of 2 sweets from 6 is required, so the order of selection does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\). The value 30 would result if order were counted, using the permutation \(^{6}P_2\). Exam tip: When a question says “choose” or “select” and does not mention order, use combinations.
रंगों के स्थान तय नहीं हैं, इसलिए लाल-नीला और नीला-लाल एक ही चयन माने जाएंगे। अतः क्रम का महत्व नहीं है और संयोजन लगेगा: \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2}=36\)। इसलिए सही उत्तर 36 है। 72 क्रमचय \(9\times8\) से मिलता है, जिसमें रंगों के क्रम को अलग माना जाता है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन हो और क्रम महत्त्वपूर्ण न हो, तब \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Since the positions of the colours are not fixed, choosing red and blue is the same as choosing blue and red. Thus, order does not matter and combinations are used: \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2}=36\). Therefore, the correct answer is 36. The value 72 comes from the permutation \(9\times8\), where different orders are counted separately. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) when only selection matters and order is irrelevant.
0 उपहार चुनने का केवल 1 तरीका है: कोई उपहार न चुनना। 1 उपहार चुनने के
\(\binom{10}{1}=10\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{10}{0}+\binom{10}{1}=1+10=11\) हैं। केवल 10 लेना गलत है, क्योंकि उसमें 0 उपहार चुनने का एक तरीका शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ‘या’ वाले अलग-अलग चयन मामलों के तरीकों को जोड़ें। / There is exactly 1 way to choose 0 gifts: choose none. There are \(\binom{10}{1}=10\) ways to choose 1 gift. Hence, the total is \(\binom{10}{0}+\binom{10}{1}=1+10=11\). Choosing 10 alone is incorrect because it omits the one way of choosing no gift. Exam tip: Add the counts for mutually exclusive selection cases joined by “or.”
यहाँ केवल 7 अध्यायों में से 4 अध्याय चुनने हैं; चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों का प्रयोग होगा: \(\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!3!}=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। विकल्प 210 क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला \(7P4\) है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब वस्तुओं को केवल चुनना हो, उनका क्रम न हो, तो \(nCr\) का प्रयोग करें। / Here, 4 chapters are to be selected from 7 chapters, and the order of selection does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!3!}=35\). Hence, the correct answer is 35. Option 210 is \(7P4\), which applies when order matters, so it is not correct here. Exam tip: use \(nCr\) when objects are selected without considering their order.
यहाँ 11 प्रश्नों में से केवल 2 प्रश्नों को छोड़ने के लिए चुनना है। प्रश्नों को छोड़ने का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2\times1}=55\)। अतः सही उत्तर 55 है। 110 प्राप्त होता यदि क्रम को भी गिना जाता, अर्थात क्रमचय लिया जाता। परीक्षा टिप: जब केवल वस्तुओं का चयन हो और क्रम का उल्लेख न हो, तो \(\binom{n}{r}\) प्रयोग करें। / We need to select 2 questions out of 11 to be left out. Since the order in which the questions are selected does not matter, use combinations: \(\binom{11}{2}=\frac{11\times10}{2\times1}=55\). Therefore, the correct answer is 55. The value 110 would result if order were counted, that is, if permutations were used. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) when items are selected and their order is not specified.
12 विद्यार्थियों में से 9 को चुनने पर शेष 3 विद्यार्थी नहीं चुने जाते हैं। इसलिए \(\binom{12}{9}=\binom{12}{12-9}=\binom{12}{3}\)। विकल्प 9, चुने गए विद्यार्थियों की संख्या है, न चुने गए विद्यार्थियों की नहीं। परीक्षा टिप: संयोजन में \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) का उपयोग करें। / If 9 students are selected from 12, then 3 students are left unselected. Hence, \(\binom{12}{9}=\binom{12}{12-9}=\binom{12}{3}\). Option 9 represents the number selected, not the number unselected. Exam tip: use the identity \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) in combination questions.
कुल \(\binom{8}{3}=56\) हैं और केवल लड़के \(\binom{5}{3}=10\) हैं। इसलिए (56-10=46) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{8}{3}=56\), and all-boy selections are \(\binom{5}{3}=10\). Therefore (56-10=46) ways.
