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यह संयोजन का प्रश्न है, क्योंकि पुस्तकों के चयन में क्रम का कोई महत्व नहीं होता। अतः चयन की संख्या \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) होगी। विकल्प 20 क्रमचय \(5P2\) देता है, जहाँ चयन का क्रम भी गिना जाता है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘सेलेक्ट करना’ हो और क्रम महत्वपूर्ण न हो, तो संयोजन लगाएँ। / This is a combination question because the order in which the books are chosen does not matter. Hence, the number of selections is \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\). Option 20 is obtained using permutation \(5P2\), where order is counted. Exam tip: use combinations for selection problems when order is not important.
टीम चुनते समय विद्यार्थियों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए संयोजन का प्रयोग करते हैं। आवश्यक तरीकों की संख्या \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\,3!}=20\) है। विकल्प 18 गलत है क्योंकि यह \(6\) में से \(3\) चुनने के संयोजनों की संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: चयन, टीम या समूह वाले प्रश्नों में, जब क्रम मायने न रखे, \(\binom{n}{r}\) लगाएँ। / The order of students does not matter when forming a team, so we use combinations. The required number is \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\,3!}=20\). Option 18 is incorrect because it is not the number of combinations of choosing 3 students from 6. Exam tip: Use \(\binom{n}{r}\) for selection, teams, or groups when order does not matter.
यह क्रम की परवाह किए बिना 7 अलग-अलग फूलों में से 2 फूल चुनने का प्रश्न है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!\,5!}=\frac{7\times6}{2}=21\) होगी। \(42\) तब मिलता यदि दो स्थानों के लिए क्रम भी महत्वपूर्ण होता, अर्थात व्यवस्था का प्रश्न होता। परीक्षा टिप: केवल ‘चुनने’ पर सामान्यतः संयोजन \(nCr\) का प्रयोग करें। / This is a selection of 2 flowers from 7 different flowers where order does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!\,5!}=\frac{7\times6}{2}=21\). The value \(42\) would arise if order mattered, making it an arrangement question. Exam tip: For words such as “choose” or “select,” usually use combinations, \(nCr\).
समूह में क्रम नहीं होता इसलिए \(\binom{8}{4}=70\) होगा। परीक्षा में समूह शब्द दिखे तो संयोजन लगाएं। / A group has no order, so \(\binom{8}{4}=70\). In exams, the word group usually indicates combination.
9 प्रश्नों में से ठीक 1 प्रश्न चुनने के लिए प्रत्येक प्रश्न एक अलग चयन देता है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{9}{1}=9\) है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि वह एक प्रश्न को छोड़ने के तरीकों की संख्या दर्शाता है, न कि एक प्रश्न चुनने की। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{1}=n\) का नियम सीधे लागू करें। / When exactly one question is selected from 9 questions, each question gives one distinct selection. Therefore, the number of ways is \(\binom{9}{1}=9\). Option 8 is incorrect because it represents the number of ways to leave out one question, not to select one question. Exam tip: apply the identity \(\binom{n}{1}=n\) directly.
A. क्योंकि कोई पेन न चुनने पर चयनित समूह केवल रिक्त समुच्चय होता है/Because choosing no pen gives only the empty set as the selected group
Explanation
Simple Explanation
0 पेन चुनने पर चुना गया समूह रिक्त समुच्चय होता है। सभी 10 पेन को छोड़ देने पर हर बार यही एक समूह मिलता है; इसलिए
\(\binom{10}{0}=1\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि पेन को अलग-अलग न चुनने से अलग चयन नहीं बनते। परीक्षा टिप: सामान्यतः \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\)। / When 0 pens are selected, the selected group is the empty set. Leaving out all 10 pens always gives this same single group; hence \(\binom{10}{0}=1\). Option B is incorrect because excluding different individual pens does not create different selections when no pen is selected. Exam tip: In general, \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\).
B. चयन में वस्तुओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है।/The order of selected objects is not important.
Explanation
Simple Explanation
संयोजन में चुनी गई वस्तुओं का क्रम नहीं देखा जाता; जैसे A और B चुनना, B और A चुनने के समान है। क्रम महत्वपूर्ण हो तो वह क्रमचय होता है। परीक्षा टिप: “order matters” दिखे तो permutation सोचें। / In a combination, the order of chosen objects is ignored; choosing A and B is the same as choosing B and A. If order matters, it is a permutation. Exam tip: the phrase “order matters” indicates permutation.
6 दोस्तों में से 2 की जोड़ी चुनने में क्रम का महत्व नहीं होता। इसलिए संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\)। अतः सही उत्तर 15 है। 30, \(6\times5\), क्रम को अलग-अलग गिनता है; इसमें एक ही जोड़ी दो बार गिनी जाती है। परीक्षा टिप: जब चयन में क्रम महत्त्वपूर्ण न हो, तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / The order of the two friends does not matter when forming a pair, so we use combinations: \(\binom{6}{2}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\). Hence, the correct answer is 15. The value 30, \(6\times5\), counts order separately and therefore counts each pair twice. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) whenever selection is made without regard to order.
चयन \(\binom{4}{1}\binom{3}{1}=12\) है। अलग-अलग वर्गों से चयन में गुणा करते हैं। / The selection is \(\binom{4}{1}\binom{3}{1}=12\). Multiply choices when selecting from different groups.
केवल लड़कों में से चयन है इसलिए \(\binom{5}{2}=10\) होगा। अनावश्यक सूचना से भ्रमित न हों। / Only boys are being selected, so \(\binom{5}{2}=10\). Do not get confused by extra information.
तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\) हैं। अलग फल वर्गों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\). Multiply selections from separate fruit groups.
एक रेखा निर्धारित करने के लिए 2 बिंदु चुने जाते हैं। अतः रेखाओं की संख्या \(\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=28\) होगी। यहाँ क्रम का कोई महत्व नहीं है; बिंदु A और B चुनना, B और A चुनने के समान है। 56 क्रमचय \(8\times7\) गिनने पर मिलता है, जिसमें प्रत्येक जोड़ी दो बार गिनी जाती है। परीक्षा टिप: जब चयन में क्रम महत्वपूर्ण न हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / A line is determined by choosing 2 points. Therefore, the number of lines is \(\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=28\). Order does not matter: choosing A and B is the same as choosing B and A. The value 56 comes from \(8\times7\), which counts every pair twice. Exam tip: use combinations \(\binom{n}{r}\) when order is not important.
त्रिभुज के लिए (3) बिंदु चाहिए इसलिए \(\binom{7}{3}=35\) है। सीध में न होने की शर्त त्रिभुज को संभव बनाती है। / A triangle needs (3) points, so \(\binom{7}{3}=35\). The non-collinear condition makes triangles possible.
एक वृत्त तीन असंरेखीय बिंदुओं से अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है। चूँकि दिए गए किसी भी तीन बिंदु एक सीध में नहीं हैं, इसलिए 6 बिंदुओं में से 3 बिंदु चुनने के प्रत्येक तरीके से एक वृत्त बनेगा। अतः वृत्तों की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। \(\binom{6}{2}=15\) रेखाखंडों या बिंदुओं के युग्मों की संख्या है, वृत्तों की नहीं। परीक्षा टिप: वृत्तों की गणना में हमेशा तीन बिंदुओं का चयन करें। / A circle is uniquely determined by three non-collinear points. Since no three of the given points are collinear, every selection of 3 points from 6 forms one circle. Therefore, the number of circles is \(\binom{6}{3}=20\). The value \(\binom{6}{2}=15\) counts pairs of points or line segments, not circles. Exam tip: For counting circles from points, choose sets of three points.
एक हाथ मिलाना दो व्यक्तियों की एक जोड़ी बनाता है और इसमें क्रम का कोई महत्व नहीं होता। अतः कुल हाथ मिलाने की संख्या \(\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45\) होगी। विकल्प 90 क्रमित जोड़ियों को गिनने पर आ सकता है, जिसमें एक ही हाथ मिलाने को दो बार गिना जाता है। परीक्षा टिप: हाथ मिलाने वाले प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A handshake forms a pair of two persons, and the order of the two people does not matter. Hence, the total number of handshakes is \(\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45\). The value 90 can result from counting ordered pairs, which counts each handshake twice. Exam tip: For handshake questions, usually use \(\binom{n}{2}\).
समिति चयन का प्रश्न है इसलिए \(\binom{9}{3}=84\) है। समिति में पद न हों तो क्रम नहीं गिना जाता। / This is a committee selection question, so \(\binom{9}{3}=84\). If posts are not assigned, order is not counted.
पुरस्कार के लिए केवल 2 उम्मीदवारों का चयन करना है, इसलिए चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों का प्रयोग करेंगे: \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2\times1}=66\)। इसलिए सही उत्तर 66 है। 132 प्राप्त होता यदि दो उम्मीदवारों के क्रम को अलग-अलग गिना जाता, जो यहाँ आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: चयन, समिति या टीम बनाने वाले प्रश्नों में सामान्यतः संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग होता है। / Only a group of 2 candidates is to be selected, so the order of selection does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{12}{2}=\frac{12\times11}{2\times1}=66\). Hence, the correct answer is 66. The value 132 would result from counting different orders of the same two candidates separately, which is not required here. Exam tip: Questions about selecting a team, committee, or group generally use combinations, \(\binom{n}{r}\).
यहाँ 11 अलग-अलग कार्डों में से केवल 3 कार्ड चुने जा रहे हैं, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः संयोजनों की संख्या \(\binom{11}{3}=\frac{11\times10\times9}{3\times2\times1}=165\) होगी। विकल्प 990 क्रमचय से संबंधित मान है, क्योंकि उसमें चयन का क्रम भी गिना जाता है। परीक्षा टिप: जब प्रश्न में केवल “चुनने” या “चयन” कहा हो, तो सामान्यतः संयोजन का प्रयोग करें। / Here, 3 cards are selected from 11 distinct cards, and the order of selection does not matter. Therefore, the number of combinations is \(\binom{11}{3}=\frac{11\times10\times9}{3\times2\times1}=165\). The value 990 is related to permutations, where the order of selection is also counted. Exam tip: When a question asks only to “choose” or “select,” it usually requires combinations.
तरीके \(\binom{6}{1}\binom{4}{1}=24\) हैं। अलग रंगों के चयन में गुणा नियम लगाएं। / The ways are \(\binom{6}{1}\binom{4}{1}=24\). Apply multiplication rule for selections from different colors.
चयन केवल 5 लाल गेंदों में से 2 लाल गेंदों का करना है; काली गेंदों की संख्या यहाँ अप्रासंगिक है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) है। विकल्प 15, \(\binom{6}{2}\) के बराबर होता है, इसलिए यह 5 लाल गेंदों के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब क्रम का महत्व न हो, तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / The selection is made only from the 5 red balls, so the number of black balls is irrelevant. Therefore, the number of ways is \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\). Option 15 equals \(\binom{6}{2}\), so it does not apply to 5 red balls. Exam tip: Use \(\binom{n}{r}\) when the order of selection does not matter.
यहाँ केवल 3 कुर्सियों का चयन करना है; चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=35\) होगी। \(210\) क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला क्रमचय \(^{7}P_{3}\) है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: “चुनना” और “क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं” दिखे तो संयोजन का प्रयोग करें। / Only 3 chairs are to be selected, so the order of selection does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=35\). The value \(210\) is \(^{7}P_{3}\), which counts arrangements where order matters, so it is not applicable here. Exam tip: Use combinations when items are selected and order is irrelevant.
समिति के लिए केवल चयन है इसलिए \(\binom{13}{2}=78\) होगा। पद अलग न हों तो क्रम नहीं गिना जाता। / It is only selection for a committee, so \(\binom{13}{2}=78\). If posts are not different, order is not counted.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!\,2!}=15\) होगी। विकल्प 24 क्रमचय जैसी गणना से प्राप्त हो सकता है, पर यहाँ विषयों का क्रम नहीं पूछा गया है। परीक्षा टिप: केवल चुनना हो तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection problem, so the order of subjects does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!\,2!}=15\). The value 24 may arise from an incorrect arrangement-based calculation, but no order is involved in choosing subjects. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) when only selection is required.
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28\)। इसलिए सही विकल्प 28 है। विकल्प 56 में 8 और 7 का गुणन तो है, पर 2! से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) का संक्षिप्त सूत्र याद रखें। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), we get \(\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28\). Therefore, 28 is the correct answer. The value 56 comes from multiplying 8 and 7 without dividing by \(2!\). Exam tip: remember the shortcut \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\).
\(\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120\) है। छोटे (r) के लिए सीधे गुणा करें। / \(\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120\). For small (r), multiply directly.
\(\binom{9}{0}\) का अर्थ 9 वस्तुओं में से 0 वस्तुएँ चुनने के तरीकों की संख्या है। कुछ भी न चुनने का केवल एक तरीका होता है, इसलिए \(\binom{9}{0}=1\)। \(9\) कुल वस्तुओं की संख्या है, संयोजनों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: याद रखें, प्रत्येक \(n\) के लिए \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\)। / \(\binom{9}{0}\) represents the number of ways of choosing 0 objects from 9 objects. There is exactly one way to choose nothing, so \(\binom{9}{0}=1\). The number 9 is the total number of objects, not the number of combinations. Exam tip: For every \(n\), \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\).
\(\binom{7}{7}\) का अर्थ 7 वस्तुओं में से सभी 7 वस्तुओं का चयन करना है। ऐसा चयन केवल एक ही प्रकार से संभव है, इसलिए \(\binom{7}{7}=1\)। \(7\) विकल्प वस्तुओं की संख्या है, चयन के तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: सामान्यतः \(\binom{n}{n}=1\) और \(\binom{n}{0}=1\) होता है। / \(\binom{7}{7}\) means choosing all 7 objects from 7 objects. This can be done in only one way, so \(\binom{7}{7}=1\). The value 7 is the number of objects, not the number of possible selections. Exam tip: in general, \(\binom{n}{n}=1\) and \(\binom{n}{0}=1\).
संयोजन का सूत्र \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\) है। अतः \(\binom{12}{1}=\frac{12!}{1!\,11!}=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 11, \(\binom{12}{1}\) नहीं बल्कि \(\binom{11}{1}\) का मान है। परीक्षा टिप: एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या हमेशा कुल वस्तुओं की संख्या के बराबर होती है। / Using \(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), \(\binom{12}{1}=\frac{12!}{1!\,11!}=12\). Therefore, 12 is correct. The value 11 would be \(\binom{11}{1}\), not \(\binom{12}{1}\). Exam tip: The number of ways to choose one item always equals the total number of items.
\(\binom{9}{2}=\frac{9\cdot8}{2}=36\) है। दो वस्तुओं के चयन में (2!) से भाग देना न भूलें। / \(\binom{9}{2}=\frac{9\cdot8}{2}=36\). Do not forget to divide by (2!) when choosing two objects.
\(\binom{11}{1}\) का अर्थ 11 वस्तुओं में से 1 वस्तु चुनना है, इसलिए \(\binom{11}{1}=11\)। इसी प्रकार, \(\binom{11}{0}=1\), क्योंकि 0 वस्तुएँ चुनने का केवल एक तरीका होता है। अतः \(\binom{11}{1}+\binom{11}{0}=11+1=12\)। विकल्प 11 केवल पहले पद का मान है; इसमें \(\binom{11}{0}\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{1}=n\) हमेशा याद रखें। / \(\binom{11}{1}\) means choosing 1 object from 11 objects, so \(\binom{11}{1}=11\). Also, \(\binom{11}{0}=1\), because there is exactly one way to choose no object. Hence, \(\binom{11}{1}+\binom{11}{0}=11+1=12\). Option 11 gives only the first term and ignores \(\binom{11}{0}\). Exam tip: Remember that \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{1}=n\).
एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या \(\binom{n}{1}\) हमेशा \(n\) के बराबर होती है, क्योंकि \(n\) वस्तुओं में से प्रत्येक को अलग-अलग चुना जा सकता है। अतः \(\binom{n}{1}=14\) से \(n=14\) प्राप्त होता है। विकल्प 13 गलत है, क्योंकि तब \(\binom{13}{1}=13\) होता। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{1}=n\) और \(\binom{n}{n}=1\) जैसे मूल परिणाम याद रखें। / The number of ways to choose one object from \(n\) objects is \(\binom{n}{1}=n\), since each of the \(n\) objects can be chosen separately. Hence, \(\binom{n}{1}=14\) gives \(n=14\). Option 13 is incorrect because \(\binom{13}{1}=13\). Exam tip: Remember the basic results \(\binom{n}{1}=n\) and \(\binom{n}{n}=1\).
A. 8 विद्यार्थियों में से 3 विद्यार्थियों की समिति चुनना/Choosing a committee of 3 students from 8 students
Explanation
Simple Explanation
समिति चुनने में सदस्यों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता; अतः 3 विद्यार्थियों का वही समूह एक ही चयन है और संयोजन लागू होता है। रैंक देने में क्रम बदलने पर परिणाम बदलता है, इसलिए वहाँ क्रमचय होगा। परीक्षा टिप: “चयन” में क्रम न हो तो संयोजन लें। / In choosing a committee, the order of selected members does not matter, so the same group of 3 is counted once; hence combinations apply. In awarding ranks, changing the order changes the result, so permutations are used. Exam tip: use combinations when order is irrelevant.
संयोजन का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(n=6\) और \(r=2\) है, इसलिए \(\binom{6}{2}=\binom{6}{6-2}=\binom{6}{4}\)। वास्तव में दोनों का मान 15 है। इसलिए पहला दूसरे का दुगुना नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\) और \(n-r\) वाले संयोजन सदैव बराबर होते हैं। / Combinations follow the symmetry property \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Here, \(n=6\) and \(r=2\), so \(\binom{6}{2}=\binom{6}{6-2}=\binom{6}{4}\). In fact, both values are 15, so the first is not twice the second. Exam tip: combinations with \(r\) and \(n-r\) are always equal.
\(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) तथा \(\binom{5}{3}=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10\)। अतः \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\)। विकल्प 25 गलत है, क्योंकि दोनों संयोजनों का योग 20 ही होता है। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) का उपयोग करके जल्दी जाँच करें; यहाँ \(\binom{5}{2}=\binom{5}{3}\)। / \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) and \(\binom{5}{3}=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10\). Therefore, \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\). Option 25 is incorrect because the sum of these two combinations is 20. Exam tip: use \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) for a quick check; here \(\binom{5}{2}=\binom{5}{3}\).
1 गणित पुस्तक चुनने के
a
3 तरीके और 1 विज्ञान पुस्तक चुनने के 4 तरीके हैं। ये स्वतंत्र चयन हैं, इसलिए गुणन नियम से कुल तरीके
a
3 \(\times\) 4 = 12 होंगे। विकल्प 24 तब मिलता यदि किसी एक प्रकार की दो पुस्तकों के चयन को भी गलत ढंग से जोड़ा या गुणा किया जाए। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से निश्चित संख्या में चयन हो, तो संबंधित संयोजनों का गुणन करें: \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}=12\)। / There are 3 ways to choose 1 mathematics book and 4 ways to choose 1 science book. Since these are independent selections, apply the multiplication principle: \(3 \times 4=12\). The value 24 would result from incorrectly adding or multiplying extra selections. Exam tip: for fixed selections from separate groups, multiply the relevant combinations: \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}=12\).
2 पेन चुनने के तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं और 1 पेंसिल चुनने के तरीके \(\binom{6}{1}=6\) हैं। ये दोनों चयन स्वतंत्र हैं, इसलिए गुणन नियम से कुल तरीके \(\binom{5}{2}\binom{6}{1}=10\times6=60\) होंगे। \(120\) लेने पर पेन के चयन को क्रमित मान लिया जाता है, जबकि यहाँ केवल चयन करना है। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से निश्चित वस्तुएँ चुननी हों, तो उनके संयोजनों का गुणन करें। / The number of ways to choose 2 pens is \(\binom{5}{2}=10\), and the number of ways to choose 1 pencil is \(\binom{6}{1}=6\). These choices are independent, so by the multiplication principle, the total number of selections is \(\binom{5}{2}\binom{6}{1}=10\times6=60\). Getting \(120\) would incorrectly treat the two selected pens as ordered, whereas this is a selection. Exam tip: for fixed selections from separate groups, multiply the relevant combinations.
केवल काली गेंदों में से चयन है इसलिए \(\binom{5}{2}=10\) होगा। बाकी सूचना केवल संदर्भ है। / Only black balls are selected, so \(\binom{5}{2}=10\). The remaining information is only context.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः संभावित चयन
t ext? / Since this is a selection, the order of the two students does not matter. Therefore, the number of selections is
t ext?
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{6}{5}=\binom{6}{1}=6\) होगी। इसे ऐसे भी समझ सकते हैं कि 6 विद्यार्थियों में से केवल 1 विद्यार्थी नहीं चुना जाएगा, और उसके लिए 6 विकल्प हैं। विकल्प 5 केवल चुने जाने वाले विद्यार्थियों की संख्या है, तरीकों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: चयन में क्रम न हो तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / This is a selection problem, so order does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{6}{5}=\binom{6}{1}=6\). Equivalently, exactly one of the 6 students is left out, and there are 6 choices for that student. Option 5 is the number of students selected, not the number of selections. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) when order is not involved in a selection.
यहाँ 10 अलग-अलग प्रश्नों में से केवल 3 प्रश्न चुनने हैं; प्रश्नों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=120\)। अतः सही उत्तर 120 है। \(720\) क्रम को भी गिनने पर मिलने वाला क्रमचय-संबंधी मान हो सकता है, इसलिए वह यहाँ उपयुक्त नहीं है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन या सेट बनाना हो, तो सामान्यतः \(nCr\) का उपयोग करें। / Here, 3 questions are to be selected from 10 distinct questions, and the order of the selected questions does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=120\). Hence, 120 is the correct answer. A value such as \(720\) can result from counting arrangements as well, so it is not appropriate here. Exam tip: When a question asks for a selection or a set, usually use \(nCr\).
थाली के लिए 5 व्यंजनों में से 2 व्यंजन चुने जाते हैं और चुनने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\) होगी। 20 क्रम को महत्वपूर्ण मानने पर प्राप्त होगा, इसलिए वह संयोजन का उत्तर नहीं है। परीक्षा टिप: जब केवल चयन हो और क्रम का उल्लेख न हो, तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Two dishes are selected from 5 dishes, and the order of selection does not matter. Therefore, the number of possible plates is \(\binom{5}{2}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\). The value 20 would result from treating order as important, so it is not the combination count. Exam tip: when items are only selected and order is not mentioned, use \(\binom{n}{r}\).
निगरानी टीम चुनते समय अध्यापकों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए संयोजन का प्रयोग करेंगे। आवश्यक तरीकों की संख्या \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2\times1}=21\) है। विकल्प 42 क्रम को अलग मानने पर मिलने वाली व्यवस्था-संख्या \(7P2\) है, इसलिए वह टीम-चयन के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: चयन या समिति/टीम बनने पर सामान्यतः संयोजन लगाया जाता है। / The order of teachers does not matter when forming an invigilation team, so we use combinations. The number of ways is \(\binom{7}{2}=\frac{7\times6}{2\times1}=21\). Option 42 is \(7P2\), which counts different orders separately, so it is not appropriate for selecting a team. Exam tip: use combinations for selections, committees, and teams when order is irrelevant.
गीत चुनना व्यवस्था नहीं है इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। क्रम चाहिए होता तो अलग प्रश्न होता। / Choosing songs is not arrangement, so \(\binom{9}{4}=126\). If order were needed, it would be a different question.
यहाँ केवल 3 चित्रों का चयन करना है; उनके प्रदर्शित करने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=56\)। अतः सही उत्तर 56 है। 336, \(8\times7\times6\) है, जो क्रम को महत्वपूर्ण मानने पर क्रमचय के लिए आता है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘selection’ शब्द हो और क्रम न दिया हो, तो सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / Only 3 pictures are being selected, so the order in which they are displayed does not matter. Hence, use combinations: \(\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=56\). Therefore, the correct answer is 56. The value 336, \(8\times7\times6\), would arise from permutations when order is considered important. Exam tip: When a question says “choose” or “select” and no order is specified, use combinations.
क्रम नहीं देखना है इसलिए \(\binom{6}{2}=15\) है। यही संयोजन और क्रमचय का मुख्य अंतर है। / Order is not considered, so \(\binom{6}{2}=15\). This is the main difference between combination and permutation.
एक रेखाखंड बनाने के लिए 10 बिंदुओं में से 2 बिंदु चुनने होते हैं। अतः रेखाखंडों की संख्या \(\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45\) होगी। \(90\) क्रमित युग्मों की संख्या \(10\times9\) है, पर रेखाखंड AB और BA एक ही होते हैं। परीक्षा टिप: दो बिंदुओं के चयन वाले प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / A line segment is determined by choosing any 2 of the 10 points. Hence, the number of segments is \(\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45\). The value \(90\) counts ordered pairs, but segments AB and BA are the same. Exam tip: for questions involving the selection of two points, usually use \(\binom{n}{2}\).
A. 5 विद्यार्थियों की समिति चुनना/Selecting a committee of 5 students
Explanation
Simple Explanation
समिति में चुने गए 5 विद्यार्थियों का क्रम बदलने पर समिति नहीं बदलती, इसलिए संयोजन लागू होता है। पदों, रैंक और पासवर्ड में क्रम अलग परिणाम देता है। परीक्षा टिप: “चयन” में पद न हों तो संयोजन सोचें। / Changing the order of the same 5 students does not change a committee, so combinations apply. In ranks, offices and passwords, order creates a different outcome. Exam tip: use combinations for selections without designated roles.
A. तीन छात्रों की समिति चुनना/Selecting a committee of three students
Explanation
Simple Explanation
समिति चुनने में चुने गए छात्रों का क्रम नहीं बदलता; वही तीन छात्र एक ही समिति बनाते हैं, इसलिए संयोजन प्रयुक्त होता है। विकल्प B में स्थान अलग-अलग हैं, अतः क्रम महत्त्वपूर्ण है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘समिति’ दिखे तो पहले संयोजन पर विचार करें। / While selecting a committee, the order of the chosen students does not create a new committee, so combinations apply. In option B, positions are different, making order important. Exam tip: words such as “select” and “committee” usually indicate combinations.
यह चयन का प्रश्न है, इसलिए क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=495\) होगी। \(11880\) क्रमचय \(^{12}P_4\) का मान है, जिसमें चुने गए खिलौनों का क्रम भी अलग माना जाता है। परीक्षा टिप: “चुनना” या “समिति बनाना” जैसे शब्द हों तो सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / This is a selection problem, so the order of the toys does not matter. Hence, the number of ways is \(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=495\). The value \(11880\) is \(^{12}P_4\), which counts arrangements where different orders of the chosen toys are treated separately. Exam tip: Words such as “choose” or “form a committee” usually indicate combinations.
7 पेंसिलों में से प्रत्येक पेंसिल के लिए दो विकल्प हैं—उसे चुनना या न चुनना। इसलिए कुल चयन (रिक्त चयन सहित) \(2^7=128\) हैं। प्रश्न में कम से कम 1 पेंसिल चुननी है, अतः रिक्त चयन को हटाने पर \(128-1=127\) तरीके मिलते हैं। विकल्प 128 में रिक्त चयन भी शामिल है। परीक्षा टिप: ‘कम से कम एक’ वाले चयन प्रश्नों में अक्सर \(2^n-1\) का प्रयोग किया जाता है। / For each of the 7 pencils, there are two choices: select it or do not select it. Thus, the total number of selections, including the empty selection, is \(2^7=128\). Since at least one pencil must be selected, exclude the empty selection: \(128-1=127\). Option 128 incorrectly includes selecting no pencil. Exam tip: For selections of at least one item from \(n\) distinct items, use \(2^n-1\).
