Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्रमचय recurrence में नया गुणक (r)वें स्थान के विकल्प (n-r+1) होता है। परीक्षा में multiplier को next position से जोड़ें। / In the permutation recurrence, the new factor is the choices for the (r)th position, (n-r+1). In exams connect the multiplier with the next position.
अनुपात \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) है, इसलिए (r=4) पर \(\frac{n-3}{4}=2\) मिलेगा। परीक्षा में adjacent combinations में ratio formula लगाएँ। / The ratio is \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\), so for (r=4), \(\frac{n-3}{4}=2\). In exams use the ratio formula for adjacent combinations.
समान combinations में अलग lower indices पूरक होते हैं, इसलिए (5+8=n) है। परीक्षा में equal (C) terms में indices का योग देखें। / In equal combinations, different lower indices are complementary, so (5+8=n). In exams check the sum of indices in equal (C) terms.
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\) है, इसलिए यहाँ factor (4!) होगा। परीक्षा में (C) से (P) जाने पर चुनी वस्तुओं की arrangements जोड़ें। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\), so here the factor is (4!). In exams add the arrangements of selected objects when going from (C) to (P).
सामान्य अनुपात \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) है। (r=6) रखने पर \(\frac{n-5}{6}\) मिलता है। / The general ratio is \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\). Putting (r=6) gives \(\frac{n-5}{6}\).
अनुपात (n-6+1=n-5) होता है और (n-5=9) से (n=14) है। परीक्षा में consecutive permutations का ratio last factor देता है। / The ratio is (n-6+1=n-5), and (n-5=9) gives (n=14). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
\(^{14}C_{11}=^{14}C_3\) और \(^{14}C_3=\frac{^{14}P_3}{3!}\) है। परीक्षा में पहले complement से छोटा index लें। / \(^{14}C_{11}=^{14}C_3\), and \(^{14}C_3=\frac{^{14}P_3}{3!}\). In exams first use the complement to get a smaller index.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=11) और (r=7) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) कम होता है। / Put (n=11) and (r=7) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
पास्कल पहचान में दूसरा case विशेष वस्तु को न चुनने का \(^{n-1}C_r\) होता है। परीक्षा में included और excluded case अलग करें। / In Pascal's identity, the other case is not choosing the special object, \(^{n-1}C_r\). In exams separate included and excluded cases.
Coefficients \(^{10}C_3\) और \(^{10}C_7\) हैं और (3+7=10) है। परीक्षा में पूरक powers के coefficients बराबर होते हैं। / The coefficients are \(^{10}C_3\) and \(^{10}C_7\), and (3+7=10). In exams coefficients of complementary powers are equal.
Coefficients \(^{11}C_5\) और \(^{11}C_6\) हैं जो पूरक indices हैं। परीक्षा में binomial symmetry पहचानें। / The coefficients are \(^{11}C_5\) and \(^{11}C_6\), which have complementary indices. In exams identify binomial symmetry.
Odd indexed combinations का योग even indexed sum के बराबर \(2^{n-1}\) होता है। परीक्षा में ((1-1)^n) से alternating identity याद रखें। / The sum of odd indexed combinations equals the even indexed sum, \(2^{n-1}\). In exams remember the alternating identity from ((1-1)^n).
अंतिम factor (n-r+1) होता है, इसलिए (r=6) पर (n-5) मिलेगा। परीक्षा में (+1) को न भूलें। / The last factor is (n-r+1), so for (r=6) it is (n-5). In exams do not forget the (+1).
(r=6) स्थान भरने हैं इसलिए (6) गुणनखंड होंगे। परीक्षा में factors की संख्या को positions से जोड़ें। / There are (r=6) positions to fill, so there are (6) factors. In exams connect the number of factors with positions.
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) और \(\frac{15\times14}{2}=105\) है। परीक्षा में pair formula से (n) पहचानें। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}), and \(\frac{15\times14}{2}=105\). In exams identify (n) using the pair formula.
(^{n}P_2=n(n-1)) और \(15\times14=210\) है। परीक्षा में ordered pair count में (2) से भाग न दें। / (^{n}P_2=n(n-1)), and \(15\times14=210\). In exams do not divide by (2) in ordered pair count.
(^{n}C_5=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}) होता है। परीक्षा में \(^{n}C_r\) के denominator में (r!) रखें। / (^{n}C_5=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}). In exams keep (r!) in the denominator of \(^{n}C_r\).
((n-5)!) कटने के बाद (n) से (n-4) तक कुल (5) factors बचते हैं। परीक्षा में numerator factors की संख्या (r) होती है। / After cancelling ((n-5)!), there are (5) factors from (n) to (n-4). In exams the number of numerator factors is (r).
पहले committee के \(^{10}C_5\) तरीके हैं और संयोजक के (5) विकल्प हैं। परीक्षा में selection के बाद role हो तो multiply करें। / First there are \(^{10}C_5\) ways to form the committee and (5) choices for coordinator. In exams multiply when a role follows selection.
एक व्यक्ति का role अलग है और बाकी (4) सदस्यों का क्रम महत्वहीन है। परीक्षा में special role होने पर remaining members का overcount हटाएँ। / One person has a distinct role and the order of the remaining (4) members is irrelevant. In exams remove overcounting of remaining members when there is a special role.
दो categories में बिना क्रम selection हो रहा है, इसलिए combinations multiply होंगे। परीक्षा में category-wise selection को अलग-अलग गिनें। / There is unordered selection in two categories, so combinations are multiplied. In exams count category-wise selections separately.
ठीक (3) लड़के और (2) लड़कियाँ चुननी हैं। परीक्षा में exact condition में केवल वही case लें। / Exactly (3) boys and (2) girls must be selected. In exams take only that case for exact conditions.
C. \(^{6}C_3{}^{7}C_2+^{6}C_4{}^{7}C_1+^{6}C_5{}^{7}C_0\)
Explanation
Simple Explanation
लड़कियों की संख्या (3), (4) या (5) हो सकती है। परीक्षा में at least condition में सभी valid cases जोड़ें। / The number of girls can be (3), (4), or (5). In exams add all valid cases in at least conditions.
पहले (6) letters चुनते हैं और फिर उन्हें (6!) तरीकों से जमाते हैं। परीक्षा में word में order महत्वपूर्ण होता है। / First choose (6) letters and then arrange them in (6!) ways. In exams order is important in a word.
हर स्थान पर (9) choices फिर से उपलब्ध हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो power rule \(n^r\) लगाएँ। / Each position has (9) choices available again. In exams use the power rule \(n^r\) when repetition is allowed.
पहला digit (0) नहीं हो सकता, इसलिए (7) choices हैं और बाकी चार स्थानों पर (8) choices हैं। परीक्षा में leading zero को अलग देखें। / The first digit cannot be (0), so there are (7) choices and (8) choices for each of the remaining four places. In exams treat leading zero separately.
पहले स्थान के लिए (7) non-zero choices हैं और फिर बाकी (4) स्थान (7) बची digits से भरते हैं। परीक्षा में पहले स्थान को अलग handle करें। / There are (7) non-zero choices for the first place, and then (4) places are filled from the remaining (7) digits. In exams handle the first place separately.
अलग lower indices पूरक होंगे, इसलिए (r+(r-3)=n) है। परीक्षा में equal combination को complement rule से हल करें। / Different lower indices are complementary, so (r+(r-3)=n). In exams solve equal combinations using the complement rule.
अनुपात \(\frac{n-r}{r+1}\) है और उसे (3) के बराबर रखा गया है। परीक्षा में ratio formula से सीधे equation बनाएं। / The ratio is \(\frac{n-r}{r+1}\), and it is set equal to (3). In exams form the equation directly from the ratio formula.
अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) होता है। इसे (4) के बराबर रखने पर (n-r+1=4r) मिलता है। / The ratio is \(\frac{n-r+1}{r}\). Setting it equal to (4) gives (n-r+1=4r).
Pentagon के लिए (5) points का unordered selection चाहिए। परीक्षा में shape बनाते समय points का order न गिनें। / A pentagon needs an unordered selection of (5) points. In exams do not count the order of points when forming a shape.
Directed segment में start और end बदलने से object बदलता है। परीक्षा में direction हो तो permutation लगाएँ। / In a directed segment, changing start and end changes the object. In exams use permutation when direction exists.
सामान्य segment में endpoints का order नहीं बदलता। परीक्षा में unordered pair के लिए \(^{n}C_2\) लगाएँ। / In an ordinary segment, the order of endpoints does not matter. In exams use \(^{n}C_2\) for unordered pairs.
हर circular arrangement linear count में (9) rotations से गिनी जाती है। परीक्षा में circle में rotations को extra count मानें। / Each circular arrangement is counted (9) times in the linear count due to rotations. In exams treat rotations as extra count in a circle.
पहले rotations हटाकर (7!) मिलता है, फिर mirror images same होने से (2) से भाग देते हैं। परीक्षा में necklace में reflection जरूर जाँचें। / First removing rotations gives (7!), then mirror images being the same makes us divide by (2). In exams always check reflection in necklace problems.
Repeated letters की अंदरूनी अदला-बदली नई arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में हर repeated group के factorial से भाग दें। / Internal interchanges of repeated letters do not create new arrangements. In exams divide by the factorial of each repeated group.
दो identical groups के internal orders अलग नहीं दिखते इसलिए (4!3!) से भाग देते हैं। परीक्षा में factorial denominator को multiply करें। / Internal orders of two identical groups are not different, so divide by (4!3!). In exams multiply the factorials in the denominator.
B. यह असंभव है क्योंकि (r!>1)/This is impossible because (r!>1)
Explanation
Simple Explanation
\(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) और (r>1) पर (r!>1) होता है। परीक्षा में (P) और (C) की equality को factorial से जाँचें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and for (r>1), (r!>1). In exams verify equality of (P) and (C) using factorials.
\(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\) और (7!=5040) है। परीक्षा में divisor को (r!) से मिलाएँ। / \(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\), and (7!=5040). In exams match the divisor with (r!).
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है और (5!=120) है। परीक्षा में multiplier को (r!) की तरह पहचानें। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (5!=120). In exams identify the multiplier as (r!).
पूरक indices का योग (20) होगा इसलिए (a+a+6=20) और (a=7) है। परीक्षा में equal combinations से linear equation बनाएं। / Complementary indices have sum (20), so (a+a+6=20) and (a=7). In exams form a linear equation from equal combinations.
अलग lower indices पूरक हैं इसलिए (x+2x=21) और (x=7) है। परीक्षा में equal (C) terms को complement rule से हल करें। / Different lower indices are complementary, so (x+2x=21) and (x=7). In exams solve equal (C) terms using the complement rule.
यह non-empty selections का sum \(2^n-1\) है और \(2^7-1=127\) है। परीक्षा में empty selection हटाने पर (1) घटाएँ। / This is the sum of non-empty selections \(2^n-1\), and \(2^7-1=127\). In exams subtract (1) when the empty selection is removed.
कुल sum \(2^n\) है और \(2^9=512\) होता है। परीक्षा में all combinations sum को power of (2) से जोड़ें। / The total sum is \(2^n\), and \(2^9=512\). In exams connect the sum of all combinations with a power of (2).
Even indexed sum \(2^{n-1}\) है और \(2^8=256\) से (n=9) है। परीक्षा में even और odd sums बराबर याद रखें। / The even indexed sum is \(2^{n-1}\), and \(2^8=256\) gives (n=9). In exams remember that even and odd sums are equal.
A. चुने और न चुने groups के internal orders हटाने के लिए/To remove internal orders of chosen and unchosen groups
Explanation
Simple Explanation
(n!) वाली गिनती में दोनों groups के अंदर के क्रम extra गिने जाते हैं। परीक्षा में (r!) और ((n-r)!) दोनों corrections समझें। / In the (n!) count, the orders inside both groups are counted extra. In exams understand both corrections (r!) and ((n-r)!).
हर labelled group के अंदर order महत्वहीन है इसलिए (a!b!c!) से भाग दिया जाता है। परीक्षा में labelled groups को आपस में extra divide न करें। / Order inside each labelled group is irrelevant, so divide by (a!b!c!). In exams do not divide extra among labelled groups themselves.
पहला (5)-group चुनने पर दूसरा तय है और दोनों groups interchange होने से duplicate count आता है। परीक्षा में equal groups हों तो (2!) से भाग दें। / After choosing the first (5)-group the second is fixed, and interchanging the two groups creates duplicate count. In exams divide by (2!) for equal groups.
A. गलत, क्योंकि सही गुणक (4!=24) है/False, because the correct multiplier is (4!=24)
Explanation
Simple Explanation
\(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है, इसलिए (r=4) पर गुणक (24) होगा। परीक्षा में multiplier को factorial से verify करें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), so for (r=4) the multiplier is (24). In exams verify the multiplier using factorials.
A. \(^{n}P_r\) में चयन के साथ चुनी वस्तुओं की व्यवस्था भी गिनी जाती है/\(^{n}P_r\) counts selection along with arrangement of selected objects
Explanation
Simple Explanation
Permutation combination से (r!) गुना होता है क्योंकि चुनी वस्तुओं को क्रम देना पड़ता है। परीक्षा में \(P=C\times r!\) को concept से याद रखें। / Permutation is (r!) times combination because the selected objects must be ordered. In exams remember \(P=C\times r!\) conceptually.
