Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है और (4!=24) नहीं बल्कि (20) किसी (r!) के बराबर नहीं है। दिए गए विकल्पों में कोई सटीक नहीं है इसलिए यह प्रश्न अमान्य होता यदि विकल्प यही हों। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (20) is not equal to any (r!) for these options. With these options the question would be invalid.
\(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) और (4!=24) है। परीक्षा में (P) और (C) के अनुपात को (r!) से जोड़ें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) and (4!=24). In exams connect the ratio of (P) and (C) with (r!).
बराबर संचयों में अलग lower indices पूरक होते हैं इसलिए (3+7=n) है। परीक्षा में समान (C) terms में indices का योग जाँचें। / In equal combinations different lower indices are complementary, so (3+7=n). In exams check the sum of indices in equal (C) terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) है। यहाँ (r=5) रखने पर \(\frac{n-4}{5}\) मिलता है। / The general ratio is \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\). Putting (r=5) gives \(\frac{n-4}{5}\).
अनुपात (n-5+1=n-4) होता है और (n-4=6) से (n=10) है। परीक्षा में consecutive permutations का अनुपात अंतिम factor देता है। / The ratio is (n-5+1=n-4), and (n-4=6) gives (n=10). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
\(^{11}C_8=^{11}C_3\) और \(^{11}C_3=\frac{^{11}P_3}{3!}\) है। परीक्षा में पहले complement से छोटा index लें। / \(^{11}C_8=^{11}C_3\) and \(^{11}C_3=\frac{^{11}P_3}{3!}\). In exams first use complement to get a smaller index.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=10) और (r=6) रखें। परीक्षा में दोनों पदों का upper index (1) कम होता है। / Put (n=10) and (r=6) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
पास्कल पहचान में दूसरा पद \(^{n-1}C_{r-1}\) होता है। परीक्षा में एक विशेष वस्तु के included case को याद रखें। / In Pascal's identity the second term is \(^{n-1}C_{r-1}\). In exams remember the included case of one special object.
Coefficient क्रमशः \(^{9}C_4\) और \(^{9}C_5\) हैं और ये पूरक indices हैं। परीक्षा में binomial coefficients में symmetry देखें। / The coefficients are \(^{9}C_4\) and \(^{9}C_5\), which have complementary indices. In exams check symmetry in binomial coefficients.
Coefficients \(^{8}C_3\) और \(^{8}C_5\) हैं और (3+5=8) है। परीक्षा में पूरक powers के coefficients बराबर होते हैं। / The coefficients are \(^{8}C_3\) and \(^{8}C_5\), and (3+5=8). In exams coefficients of complementary powers are equal.
A. क्योंकि even और odd indexed sums बराबर होते हैं/Because even and odd indexed sums are equal
Explanation
Simple Explanation
((1+1)^n) और ((1-1)^n) से even और odd sums बराबर मिलते हैं। परीक्षा में alternating sum identity याद रखें। / From ((1+1)^n) and ((1-1)^n), even and odd sums are equal. In exams remember the alternating sum identity.
अंतिम factor (n-r+1) होता है इसलिए (r=5) पर (n-4) मिलेगा। परीक्षा में (+1) को न भूलें। / The last factor is (n-r+1), so for (r=5) it is (n-4). In exams do not forget the (+1).
(r=5) स्थान भरने हैं इसलिए (5) गुणनखंड होंगे। परीक्षा में factors की संख्या को selected positions से जोड़ें। / There are (r=5) positions to fill, so there will be (5) factors. In exams connect the number of factors with selected positions.
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) और \(\frac{13\times12}{2}=78\) है। परीक्षा में pair formula से (n) पहचानें। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) and \(\frac{13\times12}{2}=78\). In exams identify (n) using the pair formula.
(^{n}P_2=n(n-1)) और \(13\times12=156\) है। परीक्षा में ordered pair count में division नहीं करें। / (^{n}P_2=n(n-1)) and \(13\times12=156\). In exams do not divide in ordered pair count.
(^{n}C_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}) होता है। परीक्षा में \(^{n}C_r\) के denominator में (r!) आता है। / (^{n}C_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}). In exams (r!) appears in the denominator of \(^{n}C_r\).
((n-4)!) कटने के बाद चार factors (n) से (n-3) तक बचते हैं। परीक्षा में numerator factors की संख्या (r) होती है। / After cancelling ((n-4)!), four factors from (n) to (n-3) remain. In exams the number of numerator factors is (r).
पहले committee के \(^{9}C_4\) तरीके हैं और leader के (4) विकल्प हैं। परीक्षा में चयन के बाद role हो तो multiply करें। / First there are \(^{9}C_4\) ways for the committee and (4) choices for leader. In exams multiply when a role follows selection.
एक leader अलग है और बाकी (3) सदस्यों का क्रम महत्वहीन है इसलिए \(^{9}P_4\) को (3!) से भाग देंगे। परीक्षा में roles और ordinary members अलग करें। / One leader is distinct and the order of the other (3) members is irrelevant, so divide \(^{9}P_4\) by (3!). In exams separate roles and ordinary members.
दो category में बिना क्रम selection हो रहा है इसलिए combinations multiply होंगे। परीक्षा में category-wise selection को अलग-अलग गिनें। / There is unordered selection in two categories, so combinations are multiplied. In exams count category-wise selections separately.
ठीक (2) girls और (3) boys चुनने हैं। परीक्षा में exact condition में केवल वही case लें। / Exactly (2) girls and (3) boys must be selected. In exams take only that case for exact conditions.
A. \(^{6}C_3{}^{5}C_2+^{6}C_4{}^{5}C_1+^{6}C_5{}^{5}C_0\)
Explanation
Simple Explanation
Boys की संख्या (3), (4) या (5) हो सकती है। परीक्षा में at least condition में सभी valid cases जोड़ें। / The number of boys can be (3), (4), or (5). In exams add all valid cases in at least conditions.
पहले (5) letters चुनते हैं और फिर उन्हें (5!) तरीकों से जमाते हैं। परीक्षा में word में order महत्वपूर्ण होता है। / First choose (5) letters and then arrange them in (5!) ways. In exams order is important in a word.
हर स्थान पर (8) choices फिर से उपलब्ध हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो power rule \(n^r\) लगाएँ। / Each position has (8) choices available again. In exams use the power rule \(n^r\) when repetition is allowed.
पहला digit (0) नहीं हो सकता इसलिए (6) choices हैं और बाकी तीन स्थानों पर (7) choices हैं। परीक्षा में leading zero को अलग देखें। / The first digit cannot be (0), so there are (6) choices and (7) choices for each remaining place. In exams treat leading zero separately.
पहले स्थान के लिए (6) non-zero choices हैं और फिर बाकी (3) स्थान (6) बची digits से भरते हैं। परीक्षा में पहले स्थान को अलग handle करें। / There are (6) non-zero choices for the first place and then (3) places are filled from the remaining (6) digits. In exams handle the first place separately.
अलग lower indices पूरक होंगे इसलिए (r+(r-2)=n) है। परीक्षा में equal combination को complement rule से हल करें। / Different lower indices are complementary, so (r+(r-2)=n). In exams solve equal combinations using the complement rule.
अनुपात \(\frac{n-r}{r+1}\) है और उसे (2) के बराबर रखा गया है। परीक्षा में ratio formula से सीधे equation बनाएं। / The ratio is \(\frac{n-r}{r+1}\) and it is set equal to (2). In exams form the equation directly from the ratio formula.
अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) होता है। इसे (3) के बराबर रखने पर (n-r+1=3r) मिलता है। / The ratio is \(\frac{n-r+1}{r}\). Setting it equal to (3) gives (n-r+1=3r).
Quadrilateral के लिए (4) points का unordered selection चाहिए। परीक्षा में shape बनाते समय points का order न गिनें। / A quadrilateral needs an unordered selection of (4) points. In exams do not count the order of points when forming a shape.
Directed segment में start और end बदलने से object बदलता है। परीक्षा में direction हो तो permutation लगाएँ। / In a directed segment changing start and end changes the object. In exams use permutation when direction exists.
सामान्य line segment में endpoints का order नहीं बदलता। परीक्षा में unordered pair के लिए \(^{n}C_2\) लगाएँ। / In an ordinary line segment the order of endpoints does not matter. In exams use \(^{n}C_2\) for unordered pairs.
हर circular arrangement linear count में (8) rotations से गिनी जाती है। परीक्षा में circle में rotations को extra count मानें। / Each circular arrangement is counted (8) times in the linear count due to rotations. In exams treat rotations as extra count in a circle.
पहले rotation हटाकर (6!) मिलता है और फिर mirror images same होने से (2) से भाग देते हैं। परीक्षा में necklace में reflection जरूर जाँचें। / First removing rotations gives (6!), then mirror images being the same makes us divide by (2). In exams always check reflection in necklace problems.
Repeated letters की अंदरूनी अदला-बदली नई arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में हर repeated group के factorial से भाग दें। / Internal interchanges of repeated letters do not create new arrangements. In exams divide by the factorial of each repeated group.
दो identical groups के internal orders अलग नहीं दिखते इसलिए (3!2!) से भाग देते हैं। परीक्षा में factorial denominator को multiply करें। / Internal orders of two identical groups are not different, so divide by (3!2!). In exams multiply the factorials in the denominator.
क्योंकि \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) और (r!=1) केवल (r=0) या (r=1) पर होता है। परीक्षा में equality को factorial से जाँचें। / Because \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (r!=1) only for (r=0) or (r=1). In exams verify equality using factorials.
\(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\) और (5!=120) है। परीक्षा में divisor को (r!) से मिलाएँ। / \(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\) and (5!=120). In exams match the divisor with (r!).
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है और (6!=720) है। परीक्षा में multiplier को (r!) की तरह पहचानें। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (6!=720). In exams identify the multiplier as (r!).
पूरक indices का योग (16) होगा इसलिए (a+a+4=16) और (a=6) है। परीक्षा में equal combinations से linear equation बनाएं। / Complementary indices have sum (16), so (a+a+4=16) and (a=6). In exams form a linear equation from equal combinations.
अलग lower indices पूरक हैं इसलिए (x+2x=18) और (x=6) है। परीक्षा में equal (C) terms को complement rule से हल करें। / Different lower indices are complementary, so (x+2x=18) and (x=6). In exams solve equal (C) terms using the complement rule.
यह non-empty selections का sum \(2^n-1\) है और \(2^6-1=63\) है। परीक्षा में empty selection हटाने पर (1) घटाएँ। / This is the sum of non-empty selections \(2^n-1\), and \(2^6-1=63\). In exams subtract (1) when the empty selection is removed.
कुल sum \(2^n\) है और \(2^8=256\) होता है। परीक्षा में all combinations sum को power of (2) से जोड़ें। / The total sum is \(2^n\), and \(2^8=256\). In exams connect the sum of all combinations with a power of (2).
Even indexed sum \(2^{n-1}\) है और \(2^7=128\) से (n=8) है। परीक्षा में even और odd sums बराबर याद रखें। / The even indexed sum is \(2^{n-1}\), and \(2^7=128\) gives (n=8). In exams remember that even and odd sums are equal.
A. न चुनी गई वस्तुओं के internal orders हटाने के लिए/To remove internal orders of unchosen objects
Explanation
Simple Explanation
(n!) वाली गिनती में न चुने गए समूह के क्रम भी extra गिने जाते हैं। परीक्षा में (r!) और ((n-r)!) दोनों corrections समझें। / In the (n!) count the orders inside the unchosen group are also counted extra. In exams understand both corrections (r!) and ((n-r)!).
A. बची हुई वस्तुओं के क्रम को ignore करना/Ignoring the order of remaining objects
Explanation
Simple Explanation
Permutation में केवल चुनी (r) वस्तुओं का order चाहिए और बची वस्तुओं का order नहीं चाहिए। परीक्षा में (n!) से unwanted tail हटाएँ। / Permutation needs the order of only the selected (r) objects and not the order of remaining objects. In exams remove the unwanted tail from (n!).
हर group के अंदर order महत्वहीन है इसलिए (a!b!c!) से भाग दिया जाता है। परीक्षा में labelled groups में groups को आपस में divide न करें। / Order inside each group is irrelevant, so divide by (a!b!c!). In exams do not divide among labelled groups themselves.
दो equal groups unlabelled हैं इसलिए group interchange दो बार गिनता है। परीक्षा में equal unlabelled groups पर extra (2!) correction लगाएँ। / The two equal groups are unlabelled, so interchanging the groups counts twice. In exams apply the extra (2!) correction for equal unlabelled groups.
पहला (4)-group चुनने पर दूसरा तय है और दोनों groups interchange होने से duplicate count आता है। परीक्षा में equal groups हों तो (2!) से भाग दें। / After choosing the first (4)-group the second is fixed, and interchanging the two groups creates duplicate count. In exams divide by (2!) for equal groups.
A. \(^{n}C_r\) selection गिनता है और \(^{n}P_r\) ordered selection गिनता है/\(^{n}C_r\) counts selection and \(^{n}P_r\) counts ordered selection
Explanation
Simple Explanation
Permutation में combination के साथ चुनी वस्तुओं की व्यवस्था भी जुड़ती है। परीक्षा में \(P=C\times r!\) को concept से याद रखें। / Permutation adds the arrangement of chosen objects to combination. In exams remember \(P=C\times r!\) conceptually.
