Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(r+1)वें स्थान के लिए (n-r) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में अगला गुणनखंड ध्यान से पहचानें। / For the ((r+1))th position (n-r) choices remain. In exams identify the next factor carefully.
(^{n}P_2=n(n-1)) होता है और \(10\times9=90\) है। परीक्षा में \(^{n}P_2\) को दो क्रमबद्ध स्थानों से जोड़ें। / (^{n}P_2=n(n-1)) and \(10\times9=90\). In exams connect \(^{n}P_2\) with two ordered positions.
\(\frac{10-4+1}{4}=\frac{7}{4}\) मिलता है। परीक्षा में पास-पास वाले संचयों के लिए अनुपात उपयोग करें। / \(\frac{10-4+1}{4}=\frac{7}{4}\). In exams use ratio for adjacent combinations.
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) है और \(\frac{10\times9}{2}=45\) होता है। परीक्षा में pair-counting formula तुरंत लगाएँ। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2}) and \(\frac{10\times9}{2}=45\). In exams apply the pair-counting formula quickly.
C. फैक्टोरियल रूपों का अनुपात लेना/Taking the ratio of factorial forms
Explanation
Simple Explanation
दोनों फैक्टोरियल सूत्रों को भाग देने पर \(\frac{n}{n-r}\) गुणक आता है। परीक्षा में संबंधित पहचान को फैक्टोरियल से जाँचें। / Dividing the two factorial formulas gives the factor \(\frac{n}{n-r}\). In exams verify related identities using factorials.
तीन चुनी वस्तुओं की अंदरूनी व्यवस्थाएँ (3!) होती हैं। परीक्षा में (P) और (C) को जोड़ते समय (r!) याद रखें। / The internal arrangements of three chosen objects are (3!). In exams remember (r!) while connecting (P) and (C).
तीन चुनी वस्तुओं को (3!) तरीकों से क्रम दिया जा सकता है। परीक्षा में \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) याद रखें। / The three chosen objects can be ordered in (3!) ways. In exams remember \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\).
\(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\) है इसलिए यहाँ गुणक (4!) है। परीक्षा में चुनी वस्तुओं की व्यवस्था अलग से गिनें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\), so the multiplier here is (4!). In exams count the arrangement of chosen objects separately.
(12) चुनना (3) छोड़ने जैसा है इसलिए \(^{15}C_{12}=^{15}C_3\) है। परीक्षा में बड़े lower index को complement से छोटा करें। / Choosing (12) is like leaving (3), so \(^{15}C_{12}=^{15}C_3\). In exams reduce a large lower index using its complement.
बराबर combinations में अलग lower indices पूरक होते हैं इसलिए (4+6=n) होगा। परीक्षा में equal combination में indices का योग देखें। / In equal combinations, different lower indices are complementary, so (4+6=n). In exams check the sum of indices in equal combinations.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=9) और (r=5) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) घटता है। / Put (n=9) and (r=5) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
दोनों संचयों में निचला सूचक (r) है। परीक्षा में ऊपरी और निचले सूचक अलग-अलग देखें। / The lower index is (r) in both combinations. In exams read upper and lower indices separately.
फैक्टोरियल रूपों का अनुपात लेने पर \(^{n}C_{r+1}=^{n}C_r\frac{n-r}{r+1}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent terms पर ratio method उपयोग करें। / Taking the ratio of factorial forms gives \(^{n}C_{r+1}=^{n}C_r\frac{n-r}{r+1}\). In exams use ratio method for adjacent terms.
अनुपात (n-4+1=n-3) होता है और (n-3=7) से (n=10) है। परीक्षा में consecutive permutations का ratio last factor देता है। / The ratio is (n-4+1=n-3), and (n-3=7) gives (n=10). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
तीन चुनी वस्तुओं के (3!) orders permutation में extra गिने जाते हैं। परीक्षा में combination पाने के लिए (r!) से भाग दें। / The (3!) orders of three chosen objects are counted extra in permutation. In exams divide by (r!) to get combination.
कुल selections \(2^6\) हैं और खाली selection हटता है। परीक्षा में non-empty selection के लिए (1) घटाएँ। / Total selections are \(2^6\) and the empty selection is removed. In exams subtract (1) for non-empty selections.
(^{n}C_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}) में ((n-3)!) कटने पर (n(n-1)(n-2)) बचता है। परीक्षा में cancellation step साफ लिखें। / In (^{n}C_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}), cancelling ((n-3)!) leaves (n(n-1)(n-2)). In exams write the cancellation step clearly.
(3!=6) होता है और यह चुनी गई तीन वस्तुओं के internal orders हटाता है। परीक्षा में छोटे factorial values याद रखें। / (3!=6), and it removes internal orders of three chosen objects. In exams remember small factorial values.
Triangle बनाने के लिए (3) points का unordered selection चाहिए। परीक्षा में shape बनाने में points का order नहीं गिनें। / A triangle needs an unordered selection of (3) points. In exams do not count the order of points while forming a shape.
पहले (3) candidates चुनें और फिर उन्हें (3!) ways से posts दें। परीक्षा में अलग posts हों तो arrangement जोड़ें। / First choose (3) candidates and then assign the posts in (3!) ways. In exams add arrangement when posts are different.
A. दो groups के अंदर के क्रम हटाना/Removing orders inside two groups
Explanation
Simple Explanation
(n!) में चुने और न चुने groups के internal orders अलग गिने जाते हैं। परीक्षा में group division में internal order हटाएँ। / In (n!), internal orders of chosen and unchosen groups are counted separately. In exams remove internal order in group division.
एक group चुनते ही दूसरा group तय हो जाता है इसलिए \(^{n}C_r\) पर्याप्त है। परीक्षा में complement fixed हो तो एक ही selection गिनें। / Once one group is chosen, the other group is fixed, so \(^{n}C_r\) is enough. In exams count only one selection when the complement is fixed.
पहले team के \(^{8}C_3\) तरीके हैं और captain के (3) विकल्प हैं। परीक्षा में selection के बाद extra role हो तो multiply करें। / First there are \(^{8}C_3\) ways to form the team and (3) choices for captain. In exams multiply when an extra role follows selection.
तीन में से एक captain distinguished है इसलिए बाकी (2) members का order हटाने पर \(^{8}P_3\div2!\) मिलता है। परीक्षा में roles की संख्या देखकर overcounting घटाएँ। / One of the three is distinguished as captain, so removing the order of the remaining (2) members gives \(^{8}P_3\div2!\). In exams reduce overcounting by checking the roles.
हर repeated group के internal orders अलग नहीं होते इसलिए (2!2!3!) से भाग देते हैं। परीक्षा में repeated letters को अलग-अलग group मानें। / Internal orders of each repeated group are not different, so divide by (2!2!3!). In exams treat repeated letters as separate groups.
A. Repeated letters के कारण division principle/Division principle due to repeated letters
Explanation
Simple Explanation
समान अक्षरों की अदला-बदली नया arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में repeated letters की frequency लिखकर factorial से भाग दें। / Interchanging identical letters does not make a new arrangement. In exams write frequencies of repeated letters and divide by factorials.
A. (r)वें स्थान के विकल्प/Choices for the (r)th position
Explanation
Simple Explanation
पहले (r-1) स्थान भरने के बाद (r)वें स्थान पर (n-r+1) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में recurrence को अगले स्थान के विचार से जोड़ें। / After filling the first (r-1) positions (n-r+1) choices remain for the (r)th position. In exams connect recurrence with the next-place idea.
Circular count (7!) और linear count (8!) है इसलिए ratio \(\frac{7!}{8!}=\frac{1}{8}\) है। परीक्षा में circular count में rotations हटते हैं। / The circular count is (7!) and the linear count is (8!), so the ratio is \(\frac{7!}{8!}=\frac{1}{8}\). In exams rotations are removed in circular counting.
पहले rotation हटाने से (5!) आता है फिर reflection same होने से (2) से भाग देते हैं। परीक्षा में necklace में rotation और reflection दोनों देखें। / Removing rotation first gives (5!), then reflection being same makes us divide by (2). In exams check both rotation and reflection in necklaces.
बराबर संचयों में निचले सूचक समान या पूरक होते हैं। यहाँ अलग सूचक हैं इसलिए उनका योग (n) होगा। / In equal combinations the lower indices are equal or complementary. Here the indices are different so their sum is (n).
लड़कों और लड़कियों के selections स्वतंत्र हैं और committee में order नहीं है। परीक्षा में category-wise selection पर combinations multiply करें। / The selections of boys and girls are independent and order does not matter in a committee. In exams multiply combinations for category-wise selection.
A. \(^{4}C_2{}^{5}C_2+^{4}C_3{}^{5}C_1+^{4}C_4{}^{5}C_0\)
Explanation
Simple Explanation
Girls की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है और cases जोड़े जाते हैं। परीक्षा में at least वाले प्रश्नों में valid cases अलग लिखें। / The number of girls can be (2), (3), or (4), and the cases are added. In exams write valid cases separately in at least questions.
Even और odd indexed combination sums बराबर होते हैं और कुल योग \(2^n\) है। परीक्षा में even-sum identity के लिए ((1-1)^n) याद रखें। / Even and odd indexed combination sums are equal and the total sum is \(2^n\). In exams remember ((1-1)^n) for the even-sum identity.
Odd indexed combinations का योग even indexed combinations के बराबर \(2^{n-1}\) होता है। परीक्षा में alternating identity से इसे साबित करें। / The sum of odd indexed combinations equals the even indexed sum and is \(2^{n-1}\). In exams prove it using the alternating identity.
अलग lower indices पूरक होंगे इसलिए (2+4=n) है। परीक्षा में समान (C) terms में पूरक index तुरंत देखें। / Different lower indices must be complementary, so (2+4=n). In exams quickly check complementary indices in equal (C) terms.
दो वस्तुओं के (2!) orders होते हैं और (2!=2) है। परीक्षा में pair में ordered और unordered count का संबंध याद रखें। / Two objects have (2!) orders and (2!=2). In exams remember the relation between ordered and unordered counts in pairs.
A. यह \(^{7}C_4\times4!\) है/It is \(^{7}C_4\times4!\)
Explanation
Simple Explanation
पहले (4) letters चुनते हैं फिर उन्हें (4!) orders में रखते हैं। परीक्षा में words में order महत्वपूर्ण होता है। / First choose (4) letters and then arrange them in (4!) orders. In exams order is important in words.
पहले स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (4) choices हैं और बाकी स्थानों पर (5) choices हैं। परीक्षा में leading zero condition पहले देखें। / The first place cannot have (0), so it has (4) choices and the remaining places have (5) choices. In exams check the leading zero condition first.
पहले digit के लिए (5) non-zero choices हैं और फिर बाकी (3) स्थान (5) remaining digits से भरते हैं। परीक्षा में पहला स्थान अलग case की तरह लें। / There are (5) non-zero choices for the first digit and then the remaining (3) places are filled from (5) remaining digits. In exams treat the first place as a separate case.
अलग lower indices पूरक होंगे इसलिए (r+(r-1)=n) मिलता है। परीक्षा में adjacent equal combinations में यह relation उपयोगी है। / Different lower indices are complementary, so (r+(r-1)=n). In exams this relation is useful for adjacent equal combinations.
अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) है और इसे (1) रखने पर (n-r+1=r) मिलता है। परीक्षा में ratio identity से equation बनाइए। / The ratio is \(\frac{n-r+1}{r}\), and setting it equal to (1) gives (n-r+1=r). In exams form an equation using the ratio identity.
recurrence में extra factor (r)वें स्थान के choices यानी (n-r+1) होता है। परीक्षा में multiplier को next-place choices मानें। / In the recurrence, the extra factor is the choices for the (r)th place, which is (n-r+1). In exams treat the multiplier as next-place choices.
(^{n}C_{n-r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}) है जो वही denominator देता है। परीक्षा में symmetry को factorial से verify करें। / (^{n}C_{n-r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}), which gives the same denominator. In exams verify symmetry using factorials.
A. Denominator में वही दो factorial रहते हैं/The same two factorials remain in the denominator
Explanation
Simple Explanation
(\frac{n!}{r!(n-r)!}) में (r!) और ((n-r)!) का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। परीक्षा में multiplication denominator में order matter नहीं करता। / In (\frac{n!}{r!(n-r)!}), changing the order of (r!) and ((n-r)!) does not change the value. In exams order does not matter in a product denominator.
(4) selected चुनते ही (7) rejected तय हो जाते हैं। परीक्षा में selected-rejected split को combination से जोड़ें। / Once (4) selected objects are chosen, the (7) rejected objects are fixed. In exams connect selected-rejected split with combination.
(n!) में न चुनी गई ((n-r)) वस्तुओं के अंदरूनी क्रम extra हैं इसलिए उन्हें हटाया जाता है। परीक्षा में permutation formula में remaining part पहचानें। / In (n!), internal orders of the unchosen ((n-r)) objects are extra, so they are removed. In exams identify the remaining part in the permutation formula.
एक चुनी वस्तु का केवल (1) order होता है। परीक्षा में (r=1) पर permutation और combination दोनों (n) होते हैं। / One selected object has only (1) order. In exams permutation and combination both equal (n) when (r=1).
A. क्योंकि खाली चयन और खाली व्यवस्था दोनों (1) हैं/Because empty selection and empty arrangement are both (1)
Explanation
Simple Explanation
शून्य वस्तुओं के लिए count (1) माना जाता है। परीक्षा में (0!=1) और empty case याद रखें। / For zero objects the count is taken as (1). In exams remember (0!=1) and the empty case.
Combination permutation में गिने गए (r!) internal orders को हटाकर मिलता है। परीक्षा में ordered से unordered जाने पर divide करें। / Combination is obtained by removing (r!) internal orders counted in permutation. In exams divide when going from ordered to unordered.
B. न चुनी गई वस्तुओं की संख्या/Number of unchosen objects
Explanation
Simple Explanation
(r) वस्तुएँ चुनने के बाद (n-r) वस्तुएँ बचती हैं। परीक्षा में complement counting के लिए यह अर्थ याद रखें। / After choosing (r) objects (n-r) objects remain. In exams remember this meaning for complement counting.
