Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (4) सदस्य (13) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{13}{4}=715\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (4) are chosen from (13). Hence \(\binom{13}{4}=715\).
(3) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{5}=462\) तरीके होंगे। / After excluding (3) special students (11) students remain. So the number of ways is \(\binom{11}{5}=462\).
ठीक (3) लड़कियां और (3) लड़के चाहिए। तरीके \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}=2940\) हैं। / Exactly (3) girls and (3) boys are needed. The ways are \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}=2940\).
मामले (2), (3), (4) और (5) महिलाओं के हैं। कुल \(\binom{8}{2}\binom{8}{3}+\binom{8}{3}\binom{8}{2}+\binom{8}{4}\binom{8}{1}+\binom{8}{5}=3752\) है। / The cases are (2), (3), (4), and (5) women. The total is \(\binom{8}{2}\binom{8}{3}+\binom{8}{3}\binom{8}{2}+\binom{8}{4}\binom{8}{1}+\binom{8}{5}=3752\).
ठीक (2) लाल और (3) नीली गेंदें चाहिए। तरीके \(\binom{7}{2}\binom{6}{3}=420\) हैं। / Exactly (2) red and (3) blue balls are needed. The ways are \(\binom{7}{2}\binom{6}{3}=420\).
मामले पहले (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{7}{4}+\binom{4}{3}\binom{7}{3}+\binom{4}{4}\binom{7}{2}=371\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the first (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{7}{4}+\binom{4}{3}\binom{7}{3}+\binom{4}{4}\binom{7}{2}=371\).
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{11}{3}=165\) हैं। इसलिए (1287-165=1122) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\) and ways with both special books are \(\binom{11}{3}=165\). Hence (1287-165=1122).
(3) विशेष में से (2) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{9}{4}=378\) हैं। / Choose (2) from (3) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{9}{4}=378\).
कुल \(\binom{18}{2}=153\) जोड़ियां हैं और (7) समरेखीय बिंदु \(\binom{7}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (153-21+1=133) है। / Total pairs are \(\binom{18}{2}=153\) and (7) collinear points give (1) line instead of \(\binom{7}{2}\). Hence (153-21+1=133).
कुल \(\binom{14}{3}=364\) त्रिक हैं और \(\binom{6}{3}=20\) समरेखीय त्रिक त्रिभुज नहीं बनाते। इसलिए (364-20=344) है। / Total triples are \(\binom{14}{3}=364\) and \(\binom{6}{3}=20\) collinear triples do not form triangles. Hence (364-20=344).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{15}{2}=105\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (210) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{15}{2}=105\). With (2) matches for each pair the total is (210).
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{8}{3}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\) and ways with both special persons are \(\binom{8}{3}=56\). Hence (252-56=196).
मामले (3), (4) और (5) रसायन पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{9}{3}\binom{6}{2}+\binom{9}{4}\binom{6}{1}+\binom{9}{5}=1932\) है। / The cases are (3), (4), and (5) chemistry books. The total is \(\binom{9}{3}\binom{6}{2}+\binom{9}{4}\binom{6}{1}+\binom{9}{5}=1932\).
कुल \(\binom{16}{5}=4368\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{7}{5}=21\) और केवल हिंदी \(\binom{9}{5}=126\) हटाने पर (4221) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{16}{5}=4368\). Removing only English \(\binom{7}{5}=21\) and only Hindi \(\binom{9}{5}=126\) gives (4221) ways.
मामले (3), (4) और (5) डॉक्टरों के हैं। कुल \(\binom{8}{3}\binom{6}{2}+\binom{8}{4}\binom{6}{1}+\binom{8}{5}=1176\) है। / The cases are (3), (4), and (5) doctors. The total is \(\binom{8}{3}\binom{6}{2}+\binom{8}{4}\binom{6}{1}+\binom{8}{5}=1176\).
चयन (3) या (4) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{12}{3}+\binom{12}{4}=715\) है। / The selection can be of (3) or (4) gifts. The total is \(\binom{12}{3}+\binom{12}{4}=715\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (4) रंग (8) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{8}{4}=70\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (4) colors from (8). The ways are \(\binom{8}{4}=70\).
(4) विशेष में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\) हैं। / Choose (2) from (4) special students and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\).
कुल \(\binom{14}{6}=3003\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{10}{6}=210\) हैं। इसलिए (3003-210=2793) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{14}{6}=3003\) and ways with no special student are \(\binom{10}{6}=210\). Hence (3003-210=2793) ways.
ठीक (2) पुरुष और (4) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{9}{2}\binom{7}{4}=1260\) हैं। / Exactly (2) men and (4) women are needed. The ways are \(\binom{9}{2}\binom{7}{4}=1260\).
कुल \(\binom{15}{5}=3003\) हैं। केवल पेन \(\binom{8}{5}=56\) और केवल पेंसिल \(\binom{7}{5}=21\) हटाने पर (2926) है। / Total ways are \(\binom{15}{5}=3003\). Removing only pens \(\binom{8}{5}=56\) and only pencils \(\binom{7}{5}=21\) gives (2926).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{11}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{11}{5}\).
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (4) तत्व (9) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{9}{4}=126\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (4) elements are chosen from (9). The number of ways is \(\binom{9}{4}=126\).
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{8}{3}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) है। / Total subsets are \(\binom{10}{5}=252\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{8}{3}=56\). Hence (252-56=196).
(1) से (22) तक (11) सम संख्याएं हैं। इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) तरीके हैं। / There are (11) even numbers from (1) to (22). Hence there are \(\binom{11}{4}=330\) ways.
विषम संख्याएं (12) और सम संख्याएं (12) हैं। तरीके \(\binom{12}{3}\binom{12}{2}=14520\) हैं। / There are (12) odd numbers and (12) even numbers. The ways are \(\binom{12}{3}\binom{12}{2}=14520\).
(5) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। / After removing (5) special students (11) students remain. Hence there are \(\binom{11}{6}=462\) ways.
कुल \(\binom{18}{6}=18564\) हैं। (0) शिक्षक और (1) शिक्षक के मामले हटाने पर \(18564-\binom{10}{6}-\binom{8}{1}\binom{10}{5}=16338\) है। / Total ways are \(\binom{18}{6}=18564\). Removing the cases of (0) teacher and (1) teacher gives \(18564-\binom{10}{6}-\binom{8}{1}\binom{10}{5}=16338\).
कुल \(\binom{15}{5}=3003\) हैं। सभी सफेद \(\binom{7}{5}=21\) और सभी काली \(\binom{8}{5}=56\) हटाने पर (2926) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{15}{5}=3003\). Removing all-white \(\binom{7}{5}=21\) and all-black \(\binom{8}{5}=56\) gives (2926).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{12}{4}=495\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{12}{4}=495\).
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) है। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\) and if both special friends do not go then \(\binom{8}{5}=56\). Hence (252-56=196).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{6}{1}\binom{7}{2}\binom{8}{2}=3528\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{6}{1}\binom{7}{2}\binom{8}{2}=3528\).
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (3) अक्षर (7) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{7}{3}=35\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (3) letters from (7). The ways are \(\binom{7}{3}=35\).
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\) and if both special subjects are included there are \(\binom{6}{2}=15\) ways. Hence (70-15=55).
(2) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (3) संख्याएं (9) में से \(\binom{9}{3}=84\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (3) numbers are chosen from (9) in \(\binom{9}{3}=84\) ways.
असफल त्रिभुज के लिए (7) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{7}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (7) collinear points. So the number is \(\binom{7}{3}\).
(3) खराब कुर्सियां हटाने पर (7) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (5) चुनने के तरीके \(\binom{7}{5}=21\) हैं। / After removing (3) broken chairs (7) good chairs remain. The ways to choose (5) are \(\binom{7}{5}=21\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{9}{3}=84\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{9}{5}=126\) तरीके हैं। कुल (84+126=210) है। / If both are included there are \(\binom{9}{3}=84\) ways and if both are excluded there are \(\binom{9}{5}=126\) ways. The total is (210).
मामले अंतिम (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{6}{4}+\binom{4}{3}\binom{6}{3}+\binom{4}{4}\binom{6}{2}=185\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the last (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{4}+\binom{4}{3}\binom{6}{3}+\binom{4}{4}\binom{6}{2}=185\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{7}{0}\binom{9}{5}+\binom{7}{1}\binom{9}{4}+\binom{7}{2}\binom{9}{3}=2772\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{7}{0}\binom{9}{5}+\binom{7}{1}\binom{9}{4}+\binom{7}{2}\binom{9}{3}=2772\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (4) कार्ड (10) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{10}{4}=420\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (4) cards from the remaining (10). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{10}{4}=420\).
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6), (8), (10) सिक्कों का होगा। कुल संख्या \(2^{10-1}=512\) है। / An even selection means (0), (2), (4), (6), (8), or (10) coins. The total number is \(2^{10-1}=512\).
विषम चयन की संख्या \(2^{9-1}=256\) होती है। सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of odd selections is \(2^{9-1}=256\). Even and odd selections are equal.
कप्तान को हटाने पर (9) खिलाड़ी बचते हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके हैं। / After removing the captain (9) players remain. Hence there are \(\binom{9}{4}=126\) ways.
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{5}{0}\binom{9}{5}+\binom{5}{1}\binom{9}{4}=756\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{5}{0}\binom{9}{5}+\binom{5}{1}\binom{9}{4}=756\).
