Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एक और स्थान भरने पर उपलब्ध विकल्प (n-r+1) होते हैं। परीक्षा में क्रमचय के अगले पद में नया अंतिम factor देखें। / Filling one more position gives (n-r+1) choices. In exams identify the new last factor in the next permutation term.
A. एक चुने हुए सदस्य को चिह्नित करके गिनना/Counting by marking one selected member
Explanation
Simple Explanation
पहले चिह्नित सदस्य चुनने पर (n) विकल्प आते हैं और हर समूह (r) बार गिना जाता है। परीक्षा में (r) वाला denominator overcount समझें। / Choosing the marked member first gives (n) choices and each group is counted (r) times. In exams treat the denominator (r) as overcount.
C. \(\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n-1}C_{r-1}}=\frac{n}{r}\)
Explanation
Simple Explanation
Factorial रूप cancel करने पर \(\frac{n}{r}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent upper और lower indices में ratio method उपयोग करें। / Canceling factorial forms gives \(\frac{n}{r}\). In exams use the ratio method for adjacent upper and lower indices.
एक ही पंक्ति के adjacent terms अगली पंक्ति का बीच वाला term देते हैं। परीक्षा में (r) और (r-1) साथ दिखें तो Pascal identity लगाएं। / Adjacent terms of the same row give the middle term in the next row. In exams apply Pascal identity when (r) and (r-1) appear together.
Unequal equal-combination indices complementary होते हैं, इसलिए (r+r+3=15)। परीक्षा में lower indices का sum upper index के बराबर रखें। / Unequal equal-combination indices are complementary, so (r+r+3=15). In exams set the sum of lower indices equal to the upper index.
Complementary condition से (2r+r+3=18), इसलिए (r=5)। परीक्षा में equality के दो cases सोचें: same index या complementary index। / The complementary condition gives (2r+r+3=18), so (r=5). In exams consider two cases for equality: same index or complementary index.
समान मान वाले अलग indices complementary होते हैं। परीक्षा में ऐसे सवालों में indices जोड़कर (n) से मिलाएं। / Different indices with equal values are complementary. In exams add the indices and match them with (n).
A. चुनी गई (r) वस्तुओं के सभी क्रम/All orders of the selected (r) objects
Explanation
Simple Explanation
Combination केवल समूह देता है और (r!) उस समूह के arrangements जोड़ता है। परीक्षा में permutation को selection plus arrangement समझें। / Combination gives only the group and (r!) adds arrangements of that group. In exams treat permutation as selection plus arrangement.
A. Permutation में order counted होता है और combination में नहीं/Order is counted in permutation but not in combination
Explanation
Simple Explanation
Ordered count से unordered count पाने के लिए (r!) orders हटाए जाते हैं। परीक्षा में order ignored हो तो divide करें। / To get unordered count from ordered count, (r!) orders are removed. In exams divide when order is ignored.
सभी subsets में से (0), (1), और (2) selections घटाते हैं। परीक्षा में at least को total minus small unwanted cases से करें। / Subtract selections of (0), (1), and (2) from all subsets. In exams handle at least by total minus small unwanted cases.
At most (3) में (0), (1), (2), और (3) selections शामिल होते हैं। परीक्षा में upper limit हो तो सभी allowed cases जोड़ें। / At most (3) includes selections of (0), (1), (2), and (3). In exams add all allowed cases when there is an upper limit.
Stars and bars में (18) stars और (3) bars arrange होते हैं। परीक्षा में अऋणात्मक हलों के लिए \(^{n+r-1}C_{r-1}\) लगाएं। / In stars and bars, (18) stars and (3) bars are arranged. In exams use \(^{n+r-1}C_{r-1}\) for non-negative solutions.
हर variable को पहले (3) देने पर (12) बचता है, फिर अऋणात्मक हल गिनते हैं। परीक्षा में minimum condition को shift करें। / Giving (3) first to each variable leaves (12), then count non-negative solutions. In exams shift the minimum condition.
Identical pens और distinct students के लिए (9) stars तथा (3) bars लगते हैं। परीक्षा में zero allowed distribution में stars and bars याद रखें। / For identical pens and distinct students, use (9) stars and (3) bars. In exams remember stars and bars for zero-allowed distribution.
हर box को (1) ball देने के बाद (6) balls बचती हैं। परीक्षा में positive distribution में पहले minimum allot करें। / After giving (1) ball to each box, (6) balls remain. In exams allot the minimum first in positive distribution.
पहले empty person चुनें, फिर बाकी (3) persons में positive distribution करें। परीक्षा में exactly empty condition में choose empty plus positive stars-bars लगाएं। / First choose the empty person, then distribute positively among the remaining (3) persons. In exams use choose empty plus positive stars and bars for exactly empty conditions.
A. जब हर object independently किसी भी box में जा सकता है/When each object can independently go to any box
Explanation
Simple Explanation
हर distinct object के पास (r) independent choices होते हैं। परीक्षा में distinct objects और unrestricted boxes में power rule लगाएं। / Each distinct object has (r) independent choices. In exams use the power rule for distinct objects and unrestricted boxes.
हर prize के लिए (10) independent choices हैं। परीक्षा में distinct prizes और repeated recipients allowed हों तो power formula लें। / Each prize has (10) independent choices. In exams use the power formula when distinct prizes and repeated recipients are allowed.
Prizes अलग हैं और recipients repeat नहीं हो सकते, इसलिए ordered assignment बनता है। परीक्षा में distinct prizes without repetition को permutation समझें। / Prizes are distinct and recipients cannot repeat, so it becomes an ordered assignment. In exams treat distinct prizes without repetition as permutation.
Identical prizes distribution में (6) stars और (9) bars लगते हैं। परीक्षा में identical items और distinct receivers में stars and bars लगाएं। / In identical prize distribution, use (6) stars and (9) bars. In exams apply stars and bars for identical items and distinct receivers.
तीनों पद अलग हैं, इसलिए order of selection meaningful है। परीक्षा में different posts हों तो permutation लगाएं। / The three posts are different, so the order of selection is meaningful. In exams use permutation for different posts.
A. क्योंकि committee में क्रम का महत्व नहीं है/Because order has no importance in a committee
Explanation
Simple Explanation
बिना पद वाली committee में केवल group गिना जाता है। परीक्षा में पद न हों तो combination उपयोग करें। / A committee without posts counts only the group. In exams use combination when there are no posts.
कोई भी (3) points एक triangle बनाते हैं और order important नहीं है। परीक्षा में geometry selection में combination लगाएं। / Any (3) points form a triangle and order is not important. In exams use combination in geometry selection.
Total (3)-point selections से collinear (3)-point selections हटते हैं। परीक्षा में invalid selections घटाएं। / Subtract collinear (3)-point selections from total (3)-point selections. In exams subtract invalid selections.
चार vertices का selection एक quadrilateral तय करता है। परीक्षा में polygon से shapes बनें तो vertices का combination लें। / A selection of four vertices determines a quadrilateral. In exams use combinations of vertices when shapes are formed from polygons.
A. क्योंकि handshake में pair unordered होता है/Because a handshake pair is unordered
Explanation
Simple Explanation
(A) का (B) से handshake और (B) का (A) से handshake same है। परीक्षा में mutual relation को combination मानें। / A handshake of (A) with (B) and (B) with (A) is the same. In exams treat mutual relations as combinations.
एक match दो teams के unordered pair से तय होता है। परीक्षा में one-to-one pair events में \(^{n}C_2\) लगाएं। / A match is determined by an unordered pair of two teams. In exams use \(^{n}C_2\) for one-to-one pair events.
(3) special books को one block मानने पर (5) objects arrange होते हैं। परीक्षा में block के अंदर (3!) arrangements भी गिनें। / Treating the (3) special books as one block gives (5) objects to arrange. In exams also count (3!) arrangements inside the block.
Total arrangements से (A) और (B) together block arrangements घटते हैं। परीक्षा में not together को complement से करना आसान है। / Subtract the arrangements where (A) and (B) are together as a block from total arrangements. In exams use complement for not together.
(6) boys के बाद (7) gaps बनते हैं, जिनमें (5) girls arrange होती हैं। परीक्षा में no two together में gap method लगाएं। / After (6) boys, (7) gaps are formed, and (5) girls are arranged in them. In exams use the gap method for no two together.
Starting gender के (2) patterns होते हैं और दोनों groups अपने-अपने (5!) ways में arrange होते हैं। परीक्षा में equal alternate groups में (2) pattern न भूलें। / There are (2) patterns for the starting gender and both groups arrange in (5!) ways. In exams do not forget the (2) patterns for equal alternate groups.
Circular rotations हटाने से (7!) आता है और reflection same होने पर (2) से divide करते हैं। परीक्षा में necklace में mirror image condition पढ़ें। / Removing circular rotations gives (7!), and divide by (2) when reflection is the same. In exams read the mirror-image condition in necklace problems.
A. एक व्यक्ति fix करके rotations हटाए जाते हैं/One person is fixed to remove rotations
Explanation
Simple Explanation
Round table में rotations same arrangements देते हैं। परीक्षा में circular seating में ((n-1)!) लिखें। / Rotations give the same arrangements at a round table. In exams write ((n-1)!) for circular seating.
(5) couple-blocks की circular arrangement (4!) है और हर block में (2) internal orders हैं। परीक्षा में circular blocks में one less factorial लें। / The circular arrangement of (5) couple-blocks is (4!) and each block has (2) internal orders. In exams use one less factorial for circular blocks.
A. क्योंकि (A) और (R) दो-दो बार आते हैं/Because (A) and (R) appear twice each
Explanation
Simple Explanation
समान letters की आपसी अदला-बदली नई arrangement नहीं देती। परीक्षा में repeated letters के factorials denominator में रखें। / Interchanging identical letters does not create a new arrangement. In exams put factorials of repeated letters in the denominator.
(S) तीन बार, (T) तीन बार और (I) दो बार आता है। परीक्षा में word arrangement से पहले letter frequencies गिनें। / (S) appears three times, (T) appears three times, and (I) appears twice. In exams count letter frequencies before word arrangement.
उन (3) books की (3!) possible relative orders में केवल (1) allowed है। परीक्षा में fixed relative order में total को (k!) से divide करें। / Only (1) of the (3!) possible relative orders of those (3) books is allowed. In exams divide total by (k!) for fixed relative order.
इन (3) लोगों के (3!) relative orders में केवल एक valid है। परीक्षा में fixed order restriction को symmetry division से करें। / Only one of the (3!) relative orders of these (3) people is valid. In exams handle fixed order restriction by symmetry division.
Odd number के लिए last digit odd होनी चाहिए। परीक्षा में digit problems में unit place condition पहले तय करें। / For an odd number, the last digit must be odd. In exams decide the unit-place condition first in digit problems.
First digit (0) नहीं हो सकती, बाकी दो places पर (6) choices हैं। परीक्षा में leading zero restriction अलग रखें। / The first digit cannot be (0), and the remaining two places have (6) choices. In exams handle the leading-zero restriction separately.
A. हर स्थान पर (7) independent choices हैं/Each position has (7) independent choices
Explanation
Simple Explanation
Repetition allowed होने पर selected symbol फिर उपलब्ध रहता है। परीक्षा में independent positions में power rule लगाएं। / When repetition is allowed, a selected symbol remains available again. In exams use the power rule for independent positions.
Password में order important है और repetition नहीं है। परीक्षा में without repetition ordered slots में permutation लगाएं। / Order matters in passwords and repetition is not allowed. In exams use permutation for ordered slots without repetition.
A. क्योंकि (r) brackets से (b) चुनते हैं/Because (b) is chosen from (r) brackets
Explanation
Simple Explanation
\(b^r\) बनाने के लिए (n) brackets में से (r) brackets चुनते हैं। परीक्षा में binomial coefficient को bracket selection से जोड़ें। / To form \(b^r\), choose (r) brackets from (n) brackets. In exams connect binomial coefficients with bracket selection.
(10) brackets में से (4) brackets से (x) चुनना होता है। परीक्षा में coefficient के लिए order नहीं गिनें। / Choose (x) from (4) of the (10) brackets. In exams do not count order for coefficients.
A. सभी possible subset sizes को जोड़ना/Adding all possible subset sizes
Explanation
Simple Explanation
Left side हर size के subsets को जोड़ता है और right side प्रत्येक object के choose or not choose choices देता है। परीक्षा में subset identity को दो तरीकों से गिनें। / The left side adds subsets of every size and the right side gives choose-or-not choices for each object. In exams count subset identities in two ways.
(x=-1) रखने पर ((1-1)^n=0) मिलता है। परीक्षा में alternating sum में (x=-1) याद रखें। / Putting (x=-1) gives ((1-1)^n=0). In exams remember (x=-1) for alternating sums.
A. एक selected सदस्य को mark करना/Marking one selected member
Explanation
Simple Explanation
पहले subset चुनकर उसमें एक member mark करें या पहले marked member चुनकर बाकी freely चुनें। परीक्षा में (r) factor को marked choice समझें। / Choose a subset and mark one member, or first choose the marked member and freely choose the rest. In exams treat the factor (r) as a marked choice.
पहले marked pair चुनें, फिर बाकी (n-2) objects freely choose करें। परीक्षा में nested combination sums में marked objects पहले चुनें। / First choose the marked pair, then freely choose from the remaining (n-2) objects. In exams choose marked objects first in nested combination sums.
दो groups से कुल (r) objects चुनने में first group से (k) objects लिए जाते हैं। परीक्षा में two-group selection में Vandermonde पहचानें। / When choosing (r) objects from two groups, (k) objects are taken from the first group. In exams identify Vandermonde in two-group selection.
पहले (a) objects और फिर बचे हुए से (b) objects चुनना labelled grouping जैसा है। परीक्षा में sequential selections को factorial division में बदलें। / Choosing (a) objects first and then (b) from the remaining objects is like labelled grouping. In exams convert sequential selections into factorial division.
