Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \( \frac{1003\pi}{72000} \) रेडियन/\( \frac{1003\pi}{72000} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(2^\circ30'45''=\frac{1003}{400}^\circ\) और रेडियन \( \frac{1003\pi}{72000} \) है। पहले डिग्री में बदलकर \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें। / \(2^\circ30'45''=\frac{1003}{400}^\circ\) and the radian value is \( \frac{1003\pi}{72000} \). First convert to degrees and multiply by \( \frac{\pi}{180} \).
\( \frac{37\pi}{15}\times\frac{180^\circ}{\pi}=444^\circ\) है। हर (15) हो तो \(180^\circ\div15=12^\circ\) लें। / \( \frac{37\pi}{15}\times\frac{180^\circ}{\pi}=444^\circ\). If the denominator is (15), use \(180^\circ\div15=12^\circ\).
\( -\frac{49\pi}{12}+\frac{60\pi}{12}=\frac{11\pi}{12} \) है। ऋणात्मक रेडियन कोण में \(2\pi\) के पर्याप्त गुणज जोड़ें। / \( -\frac{49\pi}{12}+\frac{60\pi}{12}=\frac{11\pi}{12} \). Add enough multiples of \(2\pi\) to a negative radian angle.
\( -2215^\circ+2520^\circ=305^\circ \) है? सही गणना में \( -2215^\circ+2520^\circ=305^\circ \) मिलता है। / \( -2215^\circ+2520^\circ=305^\circ \). Add a suitable multiple of \(360^\circ\) and then check the range.
\( \frac{31\pi}{8}-\frac{16\pi}{8}=\frac{15\pi}{8} \) और संदर्भ कोण \(2\pi-\frac{15\pi}{8}=\frac{\pi}{8}\) है। पहले मुख्य कोण निकालें। / \( \frac{31\pi}{8}-\frac{16\pi}{8}=\frac{15\pi}{8} \) and the reference angle is \(2\pi-\frac{15\pi}{8}=\frac{\pi}{8}\). First find the principal angle.
\( \frac{19\pi}{7}-2\pi=\frac{5\pi}{7} \) है और यह \( \frac{\pi}{2} \) तथा \( \pi \) के बीच है? सावधानी से \( \frac{5\pi}{7} \) द्वितीय चतुर्थांश में है। / \( \frac{19\pi}{7}-2\pi=\frac{5\pi}{7} \), and \( \frac{5\pi}{7} \) lies in the second quadrant. Always reduce the angle before deciding the quadrant.
\(1480^\circ-1440^\circ=40^\circ\) है और यह प्रथम चतुर्थांश में है। बड़े कोण में पहले मुख्य कोण निकालें। / \(1480^\circ-1440^\circ=40^\circ\), and it lies in the first quadrant. First find the principal angle for large angles.
\( \theta=\frac{s}{r}=\frac{15\pi}{18}=\frac{5\pi}{6}=150^\circ \) है। पहले रेडियन कोण निकालकर डिग्री में बदलें। / \( \theta=\frac{s}{r}=\frac{15\pi}{18}=\frac{5\pi}{6}=150^\circ \). First find the radian angle and then convert to degrees.
\( \frac{81\pi}{8}=\frac{1}{2}\times81\times\theta \) से \( \theta=\frac{\pi}{4}=45^\circ \) है। क्षेत्रफल सूत्र में कोण रेडियन में निकलता है। / From \( \frac{81\pi}{8}=\frac{1}{2}\times81\times\theta \), \( \theta=\frac{\pi}{4}=45^\circ \). The angle from the sector area formula is in radians.
\(A=\frac{1}{2}rs\) से \(121=\frac{1}{2}r\cdot22\) इसलिए (r=11) और \( \theta=\frac{s}{r}=2 \) है। चाप और क्षेत्रफल साथ दिए हों तो पहले (r) निकालें। / Using \(A=\frac{1}{2}rs\), \(121=\frac{1}{2}r\cdot22\), so (r=11) and \( \theta=\frac{s}{r}=2 \). When arc and area are given, find (r) first.
C. \( \frac{3\pi}{5} \) रेडियन/\( \frac{3\pi}{5} \) radians
Explanation
Simple Explanation
मिनट सुई (60) मिनट में \(2\pi\) घूमती है इसलिए (18) मिनट में \( \frac{18}{60}\cdot2\pi=\frac{3\pi}{5} \) है। समय का अनुपात पूर्ण चक्कर से लगाएं। / The minute hand turns \(2\pi\) in (60) minutes, so in (18) minutes it turns \( \frac{18}{60}\cdot2\pi=\frac{3\pi}{5} \). Use the time fraction of one full revolution.
(4:40) पर मिनट सुई \(240^\circ\) और घंटे सुई \(140^\circ\) पर होती है इसलिए अंतर \(100^\circ\) है। घंटे सुई हर मिनट \(0.5^\circ\) चलती है। / At (4:40), the minute hand is at \(240^\circ\) and the hour hand is at \(140^\circ\), so the difference is \(100^\circ\). The hour hand moves \(0.5^\circ\) per minute.
सहसमापी होने पर अंतर \(360^\circ\) हो सकता है इसलिए \(5x+20^\circ=x+380^\circ\) से \(x=90^\circ\) है। रैखिक समीकरण बनाएं। / For coterminal angles the difference can be \(360^\circ\), so \(5x+20^\circ=x+380^\circ\) gives \(x=90^\circ\). Form a linear equation.
(3\theta+45^\circ-\(\theta-135^\circ\)=360^\circ) से \(2\theta+180^\circ=360^\circ\) और \( \theta=90^\circ \) है। अंतर को \(360^\circ\) का गुणज रखें। / (3\theta+45^\circ-\(\theta-135^\circ\)=360^\circ) gives \(2\theta+180^\circ=360^\circ\) and \( \theta=90^\circ \). Keep the difference as a multiple of \(360^\circ\).
पूरक कोणों का योग \( \pi \) होता है इसलिए \( \pi-\frac{7\pi}{12}=\frac{5\pi}{12} \) है। रेडियन में \(180^\circ\) की जगह \( \pi \) लें। / Supplementary angles sum to \( \pi \), so \( \pi-\frac{7\pi}{12}=\frac{5\pi}{12} \). In radians use \( \pi \) instead of \(180^\circ\).
संपूरक कोणों का योग \( \frac{\pi}{2} \) होता है इसलिए \( \frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{18}=\frac{2\pi}{9} \) है। समान हर बनाकर घटाएं। / Complementary angles sum to \( \frac{\pi}{2} \), so \( \frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{18}=\frac{2\pi}{9} \). Use a common denominator before subtracting.
\( -\frac{23\pi}{10}+\frac{40\pi}{10}=\frac{17\pi}{10} \) है जो \( \frac{3\pi}{2} \) और \(2\pi\) के बीच है। पहले मुख्य कोण निकालें। / \( -\frac{23\pi}{10}+\frac{40\pi}{10}=\frac{17\pi}{10} \), which lies between \( \frac{3\pi}{2} \) and \(2\pi\). First find the principal angle.
A. \( \frac{5\pi}{12} \) और तृतीय चतुर्थांश/\( \frac{5\pi}{12} \) and third quadrant
Explanation
Simple Explanation
\( \frac{17\pi}{12} \) \( \pi \) और \( \frac{3\pi}{2} \) के बीच है और संदर्भ कोण \( \frac{17\pi}{12}-\pi=\frac{5\pi}{12} \) है। चतुर्थांश के अनुसार सूत्र बदलता है। / \( \frac{17\pi}{12} \) lies between \( \pi \) and \( \frac{3\pi}{2} \), and the reference angle is \( \frac{17\pi}{12}-\pi=\frac{5\pi}{12} \). The formula changes by quadrant.
\( \frac{5}{3}\times\frac{180^\circ}{3}=100^\circ \) है। दिए गए \( \pi \) के अनुमान का ही उपयोग करें। / \( \frac{5}{3}\times\frac{180^\circ}{3}=100^\circ \). Use the approximation of \( \pi \) given in the question.
दर (6) रेडियन प्रति सेकंड है इसलिए (3) सेकंड में (18) रेडियन यानी \(18\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3240^\circ}{\pi}\) है। / The rate is (6) radians per second, so in (3) seconds it turns (18) radians, which is \(18\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3240^\circ}{\pi}\).
\(225^\circ=\frac{5\pi}{4}\) और \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{25\pi}{5\pi/4}=20\) है। कोण को पहले रेडियन में बदलें। / \(225^\circ=\frac{5\pi}{4}\) and \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{25\pi}{5\pi/4}=20\). Convert the angle to radians first.
\(144^\circ=\frac{4\pi}{5}\) और \(40\pi=\frac{1}{2}r^2\cdot\frac{4\pi}{5}\) से (r=10) है। क्षेत्रफल सूत्र में कोण रेडियन में रखें। / \(144^\circ=\frac{4\pi}{5}\) and \(40\pi=\frac{1}{2}r^2\cdot\frac{4\pi}{5}\) gives (r=10). Keep the angle in radians in the area formula.
\(2\theta=\frac{22\pi}{9}\) और \( \frac{22\pi}{9}-2\pi=\frac{4\pi}{9} \) है। गुणा करने के बाद \(2\pi\) घटाएं। / \(2\theta=\frac{22\pi}{9}\) and \( \frac{22\pi}{9}-2\pi=\frac{4\pi}{9} \). After multiplying, subtract \(2\pi\).
\( \alpha+\beta=\frac{20\pi}{10}=2\pi \) है जो (0) के साथ सहसमापी है। मुख्य कोण में \(2\pi\) को (0) माना जाता है। / \( \alpha+\beta=\frac{20\pi}{10}=2\pi \), which is coterminal with (0). In principal angle form, \(2\pi\) is taken as (0).
\(875^\circ-720^\circ=155^\circ\) और संदर्भ कोण \(180^\circ-155^\circ=25^\circ\) है। मुख्य कोण के बाद संदर्भ कोण निकालें। / \(875^\circ-720^\circ=155^\circ\), and the reference angle is \(180^\circ-155^\circ=25^\circ\). Find the principal angle before the reference angle.
\( -1190^\circ+1440^\circ=250^\circ \) और संदर्भ कोण \(250^\circ-180^\circ=70^\circ\) है। / \( -1190^\circ+1440^\circ=250^\circ \), and the reference angle is \(250^\circ-180^\circ=70^\circ\).
\( -\theta=-\frac{5\pi}{4} \) और \( -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4} \) है। ऋणात्मक कोण में \(2\pi\) जोड़ें। / \( -\theta=-\frac{5\pi}{4} \), and \( -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4} \). Add \(2\pi\) to a negative angle.
\(995^\circ-720^\circ=275^\circ\) है। विकल्पों में से \(360^\circ\) के गुणज घटाकर जांचें। / \(995^\circ-720^\circ=275^\circ\). Check options by subtracting multiples of \(360^\circ\).
\( \frac{41\pi}{6}-\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} \) है जो द्वितीय चतुर्थांश में है। / \( \frac{41\pi}{6}-\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} \), which lies in the second quadrant.
\( \theta-\pi=\frac{14\pi}{5}-\frac{5\pi}{5}=\frac{9\pi}{5} \) है और यह (0) से \(2\pi\) में है। पहले घटाव करें फिर सीमा देखें। / \( \theta-\pi=\frac{14\pi}{5}-\frac{5\pi}{5}=\frac{9\pi}{5} \), and it is in (0) to \(2\pi\). First subtract and then check the range.
\(3\theta=\frac{15\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}\) और इसका मुख्य कोण \( \frac{\pi}{2} \) है। इसलिए अंतिम भुजा धनात्मक (y)-अक्ष पर है। / \(3\theta=\frac{15\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}\), and its principal angle is \( \frac{\pi}{2} \). Hence the terminal side lies on the positive (y)-axis.
\( \frac{7\pi}{18}\times\frac{180^\circ}{\pi}=70^\circ \) है। रेडियन से डिग्री में \( \frac{180^\circ}{\pi} \) से गुणा करें। / \( \frac{7\pi}{18}\times\frac{180^\circ}{\pi}=70^\circ \). Multiply by \( \frac{180^\circ}{\pi} \) to convert radians to degrees.
B. \( \frac{23\pi}{24} \) रेडियन/\( \frac{23\pi}{24} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(137^\circ30'=137.5^\circ\) और \(137.5^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{55\pi}{72}\) है। / \(137^\circ30'=137.5^\circ\), and \(137.5^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{55\pi}{72}\).
\( \frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{\pi}{4} \) है। \(2\pi\) घटाकर सहसमापी मानक कोण पाएं। / \( \frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{\pi}{4} \). Subtract \(2\pi\) to find the coterminal standard angle.
तीसरे चतुर्थांश में मुख्य कोण \(180^\circ+35^\circ=215^\circ\) होगा। चतुर्थांश के अनुसार संदर्भ कोण जोड़ें या घटाएं। / In the third quadrant the principal angle is \(180^\circ+35^\circ=215^\circ\). Add or subtract the reference angle according to the quadrant.
चतुर्थ चतुर्थांश में \( \theta=2\pi-\frac{\pi}{9}=\frac{17\pi}{9} \) है। रेडियन में पूर्ण चक्कर \(2\pi\) होता है। / In the fourth quadrant \( \theta=2\pi-\frac{\pi}{9}=\frac{17\pi}{9} \). A full revolution in radians is \(2\pi\).
\( \frac{7\pi}{9}=140^\circ \) है जो \(90^\circ\) से बड़ा है इसलिए धनात्मक संपूरक कोण संभव नहीं है। पहले इकाई समान करें। / \( \frac{7\pi}{9}=140^\circ \), which is greater than \(90^\circ\), so no positive complementary angle is possible. First make the units same.
\( \frac{11\pi}{6}=330^\circ \) और दूसरा कोण \(330^\circ-275^\circ=55^\circ\) है। पहले दोनों कोणों की इकाई समान करें। / \( \frac{11\pi}{6}=330^\circ \), and the other angle is \(330^\circ-275^\circ=55^\circ\). First make the units of both angles the same.
\(765^\circ-720^\circ=45^\circ\) है इसलिए अंतिम भुजा प्रथम चतुर्थांश में है। / \(765^\circ-720^\circ=45^\circ\), so the terminal side lies in the first quadrant.
\(r=\frac{s}{\theta}=\frac{12\pi}{3\pi/4}=16\) सेमी है। \(s=r\theta\) को उल्टा लगाएं। / \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{12\pi}{3\pi/4}=16\) cm. Use \(s=r\theta\) in reverse.
\( -\frac{13\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} \) और संदर्भ कोण \( \frac{\pi}{6} \) है। ऋणात्मक कोण को पहले (0) से \(2\pi\) में लाएं। / \( -\frac{13\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} \), and the reference angle is \( \frac{\pi}{6} \). First bring the negative angle into (0) to \(2\pi\).
\( \frac{4\pi}{3}+3\pi=\frac{13\pi}{3} \) और \( \frac{13\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi}{3} \) है। \(2\pi\) के गुणज घटाएं। / \( \frac{4\pi}{3}+3\pi=\frac{13\pi}{3} \), and \( \frac{13\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi}{3} \). Subtract multiples of \(2\pi\).
\(-75^\circ+360^\circ=285^\circ\) है। सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का गुणज होता है। / \(-75^\circ+360^\circ=285^\circ\). Coterminal angles differ by a multiple of \(360^\circ\).
\(250^\circ=\frac{25\pi}{18}\) है इसलिए (x=25) है। डिग्री को रेडियन में बदलकर तुलना करें। / \(250^\circ=\frac{25\pi}{18}\), so (x=25). Convert degrees to radians and compare.
\( \frac{23\pi}{20}\times\frac{180^\circ}{\pi}=207^\circ\) है। \(180^\circ\div20=9^\circ\) लेकर गुणा करें। / \( \frac{23\pi}{20}\times\frac{180^\circ}{\pi}=207^\circ\). Use \(180^\circ\div20=9^\circ\) and multiply.
त्रिज्यखंड क्षेत्रफल \( \frac{1}{2}rs=\frac{1}{2}\times6\times9=27 \) है। चाप लंबाई दी हो तो यह छोटा सूत्र लगाएं। / Sector area is \( \frac{1}{2}rs=\frac{1}{2}\times6\times9=27 \). Use this short formula when arc length is given.
अंतर \( \frac{29\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}=2\pi \) है इसलिए वे सहसमापी हैं। रेडियन में सहसमापी अंतर \(2\pi\) का गुणज होता है। / The difference \( \frac{29\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}=2\pi \), so they are coterminal. In radians, coterminal angles differ by a multiple of \(2\pi\).
पूरक कोण \(180^\circ-112^\circ30'=67^\circ30'\) है। मिनट वाले घटाव में उधार लेने का ध्यान रखें। / The supplementary angle is \(180^\circ-112^\circ30'=67^\circ30'\). Be careful with borrowing in minute subtraction.
संपूरक कोण \(90^\circ-38^\circ45'=51^\circ15'\) है। \(90^\circ\) को \(89^\circ60'\) मानकर घटाएं। / The complementary angle is \(90^\circ-38^\circ45'=51^\circ15'\). Treat \(90^\circ\) as \(89^\circ60'\) while subtracting.
