Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. दोनों पक्षों में (4) जोड़ने पर/adding (4) to both sides
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने से असमानता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में चिह्न केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में उलटता है। / Adding the same number to both sides does not change the inequality sign. In exams the sign reverses only for multiplication or division by a negative number.
(3x+2>11) से (3x>9), इसलिए (x>3)। परीक्षा में अंतिम भाग धनात्मक हो तो चिह्न वही रहता है। / From (3x+2>11), (3x>9), so (x>3). In exams the sign stays same when the final division is positive.
\(-4x\ge 12\) और (-4) से भाग देने पर \(x\le -3\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग से चिह्न उलटना न भूलें। / We get \(-4x\ge 12\), and dividing by (-4) gives \(x\le -3\). In exams do not forget to reverse the sign on negative division.
(2x<6) से (x<3), इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (2) है। परीक्षा में खुले चिह्न (<) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / From (2x<6), (x<3), so the greatest integer is (2). In exams a strict sign (<) does not include the boundary value.
A. (x>-2) पर खुला वृत्त/open circle at (x=-2) with right shading
Explanation
Simple Explanation
(5-2x<9) से (-2x<4), इसलिए (x>-2)। परीक्षा में (>) के लिए दाईं ओर छाया और खुला वृत्त होता है। / From (5-2x<9), (-2x<4), so (x>-2). In exams (>) means right shading and an open circle.
सभी भागों से (1) घटाने पर \(-3\le 3x<9\), इसलिए \(-1\le x<3\)। परीक्षा में संयुक्त असमानता में तीनों भाग साथ रखें। / Subtracting (1) from all parts gives \(-3\le 3x<9\), so \(-1\le x<3\). In exams keep all three parts together in compound inequalities.
\(x\ge 4\) में (4) शामिल है, इसलिए बायाँ ब्रैकेट बंद होगा। परीक्षा में \(\infty\) के साथ हमेशा खुला ब्रैकेट आता है। / In \(x\ge 4\), (4) is included, so the left bracket is closed. In exams infinity always uses an open bracket.
(x<-1) में (-1) शामिल नहीं और \(x\ge5\) में (5) शामिल है। परीक्षा में या का अर्थ प्रायः \(\cup\) होता है। / In (x<-1), (-1) is not included, and in \(x\ge5\), (5) is included. In exams or usually means \(\cup\).
\(2x+3\le x-4\) से \(x\le -7\) मिलता है। परीक्षा में (x) पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ रखें। / From \(2x+3\le x-4\), we get \(x\le -7\). In exams keep (x)-terms on one side and constants on the other side.
(3) धनात्मक है, इसलिए चिह्न नहीं बदलेगा और \(x-1\ge6\) से \(x\ge7\)। परीक्षा में हर का चिह्न पहले देखें। / Since (3) is positive, the sign does not change, and \(x-1\ge6\) gives \(x\ge7\). In exams first check the sign of the denominator.
(-4) से गुणा करने पर चिह्न उलटेगा और (2-x>-12), इसलिए (x<14) नहीं बल्कि (x<14) होता है। / Multiplying by (-4) reverses the sign and gives (2-x>-12), so (x<14).
\(2x\le8\) से \(x\le4\), और \(x\in\mathbb{N}\) लेने पर ({1,2,3,4}) मिलता है। परीक्षा में डोमेन अवश्य देखें। / From \(2x\le8\), \(x\le4\), and with \(x\in\mathbb{N}\) we get ({1,2,3,4}). In exams always check the domain.
(-3) शामिल नहीं है और (2) शामिल है। परीक्षा में खुले और बंद छोर अलग-अलग जांचें। / The value (-3) is not included and (2) is included. In exams check open and closed endpoints separately.
दोनों शर्तें साथ चाहिए, इसलिए (2<x<8)। परीक्षा में और का अर्थ प्रायः प्रतिच्छेद \(\cap\) होता है। / Both conditions are required together, so (2<x<8). In exams and usually means intersection \(\cap\).
\(-3x\le -6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge2\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटें। / \(-3x\le -6\), and dividing by (-3) gives \(x\ge2\). In exams reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
A. (p+r<q+r) हर वास्तविक (r) के लिए/(p+r<q+r) for every real (r)
Explanation
Simple Explanation
समान वास्तविक संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में गुणा या भाग में संख्या का चिह्न जरूरी होता है। / Adding the same real number does not change the direction of inequality. In exams the sign of the multiplier or divisor matters.
ऋणात्मक (r) से गुणा करने पर (>) चिह्न (<) में बदलता है। परीक्षा में (r<0) वाले विकल्पों में उलटाव देखें। / Multiplying by negative (r) changes (>) into (<). In exams watch for reversal in options containing (r<0).
(x+2<x+1) से (2<1) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में (x) कटने के बाद बचे कथन को जांचें। / From (x+2<x+1), we get (2<1), which is false. In exams check the remaining statement after cancelling (x).
A. \(x\le -3\) या \(x\ge3\)/\(x\le -3\) or \(x\ge3\)
Explanation
Simple Explanation
\(|x|\ge3\) में (0) से दूरी कम से कम (3) है। परीक्षा में बड़ा वाला निरपेक्ष मान दो बाहरी भाग देता है। / In \(|x|\ge3\), the distance from (0) is at least (3). In exams a greater-than absolute value gives two outer parts.
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए \(x^2\ge0\) सदैव सत्य है। परीक्षा में वर्ग का मूल गुण याद रखें। / The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge0\) is always true. In exams remember the basic property of squares.
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा में असंभव असमानता के लिए \(\varnothing\) लिखें। / For real (x), \(x^2\) is never negative. In exams write \(\varnothing\) for an impossible inequality.
\(x^2\le0\) और \(x^2\ge0\) दोनों तभी संभव हैं जब (x=0)। परीक्षा में बराबरी का मामला अलग जांचें। / Both \(x^2\le0\) and \(x^2\ge0\) are possible only when (x=0). In exams check the equality case separately.
गुणनफल धनात्मक तब है जब दोनों गुणनखंड समान चिह्न के हों। परीक्षा में शून्य बिंदु (-3) और (2) को खुला रखें। / The product is positive when both factors have the same sign. In exams keep the zero points (-3) and (2) open.
ऊपर खुलने वाले गुणनफल में (1) और (4) के बीच मान \(\le0\) हैं। परीक्षा में \(\le\) होने से दोनों शून्य भी शामिल होंगे। / For the upward product, values between (1) and (4) are \(\le0\\). In exams \(\le\\) includes both zeros.
भिन्न धनात्मक है जब अंश और हर समान चिह्न के हों। परीक्षा में (x=-1) हर को शून्य करता है, इसलिए शामिल नहीं होगा। / The fraction is positive when numerator and denominator have the same sign. In exams (x=-1) makes the denominator zero, so it is excluded.
(x=3) पर हर (0) हो जाता है, इसलिए भिन्न अपरिभाषित है। परीक्षा में हर को शून्य करने वाले मान हमेशा हटाएं। / At (x=3), the denominator becomes (0), so the fraction is undefined. In exams always exclude values that make the denominator zero.
(x) हटाने पर (2>-5) मिलता है, जो सदैव सत्य है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में सभी वास्तविक संख्याएं उत्तर हो सकती हैं। / After cancelling (x), we get (2>-5), which is always true. In exams such questions may have all real numbers as the answer.
(x) हटाने पर \(-6\ge1\) मिलता है, जो असत्य है। परीक्षा में असत्य स्थिर कथन का अर्थ कोई हल नहीं है। / After cancelling (x), we get \(-6\ge1\), which is false. In exams a false constant statement means no solution.
तीनों भागों में (3) जोड़ने पर \(4<2x\le12\), इसलिए \(2<x\le6\)। परीक्षा में हर चरण तीनों भागों पर करें। / Adding (3) to all three parts gives \(4<2x\le12\), so \(2<x\le6\). In exams apply each step to all three parts.
(5) घटाने पर (-3<3x<12), इसलिए (-1<x<4)। परीक्षा में खुले चिह्न खुले ही रहते हैं। / Subtracting (5) gives (-3<3x<12), so (-1<x<4). In exams strict signs remain strict.
अधिक या बराबर का गणितीय रूप \(m\ge40\) है। परीक्षा में शब्द बराबर आए तो \(\ge\) या \(\le\) पर ध्यान दें। / Greater than or equal to is written as \(m\ge40\). In exams when the word equal appears, look for \(\ge\) or \(\le\).
अधिकतम (500) का अर्थ है (500) तक अनुमति है। परीक्षा में अधिकतम शब्द सामान्यतः \(\le\) देता है। / Maximum (500) means values up to (500) are allowed. In exams the word maximum usually gives \(\le\).
तीन गुना का अर्थ (3x) और कम है का अर्थ (<) है। परीक्षा में शब्दों को सीधे बीजगणित में बदलें। / Three times means (3x), and less than means (<). In exams translate words directly into algebra.
कम से कम (13) का अर्थ \(2x+5\ge13\), इसलिए \(x\ge4\)। परीक्षा में at least का अर्थ \(\ge\) याद रखें। / At least (13) means \(2x+5\ge13\), so \(x\ge4\). In exams remember that at least means \(\ge\).
अधिकतम (9) का अर्थ \(4x-7\le9\), इसलिए \(x\le4\)। परीक्षा में at most का अर्थ \(\le\) होता है। / At most (9) means \(4x-7\le9\), so \(x\le4\). In exams at most means \(\le\).
असमानता का हल (x>5) है, इसलिए (x=6) संतुष्ट करता है। परीक्षा में सीमा (5) खुद शामिल नहीं है। / The solution is (x>5), so (x=6) satisfies it. In exams the boundary (5) itself is not included.
\(5-4x\ge-7\) से \(x\le3\), इसलिए (x=4) हल में नहीं है। परीक्षा में नहीं संतुष्ट करता शब्द पर ध्यान दें। / From \(5-4x\ge-7\), \(x\le3\), so (x=4) is not in the solution. In exams notice the phrase does not satisfy.
\(x+3\ge2x-1\) से \(4\ge x\), अर्थात \(x\le4\)। परीक्षा में \(4\ge x\) को \(x\le4\) में बदलते समय दिशा समझें। / From \(x+3\ge2x-1\), \(4\ge x\), that is \(x\le4\). In exams understand the direction when rewriting \(4\ge x\) as \(x\le4\).
सभी भागों को धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(-2\le x<8\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा से चिह्न नहीं बदलते। / Multiplying all parts by positive (2) gives \(-2\le x<8\). In exams positive multiplication does not change signs.
(-2) से भाग देने पर दोनों चिह्न उलटते हैं और \(3>x\ge-5\), यानी \(-5\le x<3\)। परीक्षा में संयुक्त असमानता को क्रम में फिर से लिखें। / Dividing by (-2) reverses both signs and gives \(3>x\ge-5\), that is \(-5\le x<3\). In exams rewrite compound inequalities in increasing order.
\(3x-6\le2x+10) से (x\le16\)। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलें और फिर समान पदों को मिलाएं। / From \(3x-6\le2x+10\), we get \(x\le16\). In exams first expand brackets and then combine like terms.
कोष्ठक खोलने पर (10x-5<3x+16), इसलिए (7x<21) और (x<3)। परीक्षा में पहले कोष्ठक सही खोलें। / Expanding gives (10x-5<3x+16), so (7x<21) and (x<3). In exams expand brackets carefully first.
धनात्मक (3) से गुणा करने पर \(-12<x+2\le6\), इसलिए \(-14<x\le4\)। परीक्षा में खुले और बंद चिह्न अलग-अलग बनाए रखें। / Multiplying by positive (3) gives \(-12<x+2\le6\), so \(-14<x\le4\). In exams preserve open and closed signs separately.
हल \(-1\le x<\frac{11}{3}\) है, इसलिए पूर्णांक ({-1,0,1,2,3}) मिलते हैं। परीक्षा में अंतिम उत्तर डोमेन के अनुसार लिखें। / The solution is \(-1\le x<\frac{11}{3}\), so the integers are ({-1,0,1,2,3}). In exams write the final answer according to the domain.
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (3(2x-5)>4(x+1)), इसलिए (2x>19)। परीक्षा में एलसीएम धनात्मक हो तो चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying by positive (12) gives (3(2x-5)>4(x+1)), so (2x>19). In exams the sign does not change when the LCM is positive.
\(-3x-6\ge2x-1\) से \(-5x\ge5\), इसलिए \(x\le-1\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटें। / From \(-3x-6\ge2x-1), we get \(-5x\ge5\), so \(x\le-1\). In exams reverse the sign while dividing by a negative coefficient.
धनात्मक (d) से गुणा करने पर असमानता की दिशा वही रहती है। परीक्षा में गुणक का चिह्न पहले पहचानें। / Multiplying by positive (d) keeps the direction of the inequality unchanged. In exams identify the sign of the multiplier first.
भिन्न ऋणात्मक तब होता है जब अंश और हर विपरीत चिह्न के हों। परीक्षा में (x=-2) हर को शून्य करता है और (x=4) पर मान (0) है, इसलिए दोनों शामिल नहीं हैं। / The fraction is negative when numerator and denominator have opposite signs. In exams (x=-2) makes the denominator zero and (x=4) gives (0), so both are excluded.
कम से कम नहीं बल्कि कम है लिखा है, इसलिए (p<350) होगा। परीक्षा में less than और at most में अंतर रखें। / It says less than, not at most, so the inequality is (p<350). In exams distinguish less than from at most.
सरलीकरण से \(6x-8-5x\ge7\), यानी \(x-8\ge7\) और \(x\ge15\)। परीक्षा में समान पदों को सावधानी से मिलाएं। / Simplifying gives \(6x-8-5x\ge7\), that is \(x-8\ge7\) and \(x\ge15\). In exams combine like terms carefully.
