Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर को (12) से हटाकर पदों को सावधानी से मिलाने पर \(3x\ge27\) मिलता है। परीक्षा में हर हटाने के बाद चिन्ह न बदलें जब गुणक धनात्मक हो। / Multiplying by (12) and combining terms gives \(3x\ge27\). In exams, do not reverse the sign when multiplying by a positive number.
हर पद को (LCM=6) से गुणा करने पर (,x-13>1,) मिलता है, इसलिए (x>14)। परीक्षा में भिन्न हटाने के बाद चिन्ह ध्यान से रखें। / Multiplying every term by (LCM\(=6) gives (x-13>1), so (x>14). In exams, remove fractions first and track the inequality sign carefully.\)
सरलीकरण पर दोनों ओर (x) के पद कट जाते हैं और (13>-4) सत्य मिलता है। ऐसे प्रश्नों में अंतिम सत्य कथन से सभी वास्तविक हल मिलते हैं। / After simplification, the (x)-terms cancel and (13>-4) is true. A true final statement means all real numbers are solutions.
दोनों भाग अलग हल करने पर \(x\ge \frac{3}{5}\) और \(x>-\frac{2}{3}\) मिलते हैं, इसलिए साझा हल \(x\ge \frac{3}{5}\) है। संयुक्त असमानता में हमेशा प्रतिच्छेद लें। / Solving both parts separately gives \(x\ge \frac{3}{5}\) and \(x>-\frac{2}{3}\), so the common solution is \(x\ge \frac{3}{5}\). For compound inequalities, always take the intersection.
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (10-4x<3x-7) मिलता है। इससे (17<7x), अतः \(x>\frac{17}{7}\) होना चाहिए; विकल्पों में सही रूप नहीं है। / Multiplying by positive (6) gives (10-4x<3x-7). Hence (17<7x), so \(x>\frac{17}{7}\); none of the listed forms matches this exactly.
सरल करने पर (7-6x<10-5x) यानी (-x<3) से (x>-3) नहीं, बल्कि दोबारा जाँच पर (7<10+x) इसलिए (x>-3) मिलता है। विकल्पों में सही अंतराल नहीं है, इसलिए यह प्रश्न सावधानी से पढ़ना चाहिए। / Simplifying gives (7-6x<10-5x), so (7<10+x) and hence (x>-3). Since the exact interval is not listed, this item tests careful option checking.
सरलीकरण से \(22-6x\le 8-5x\) और फिर \(14\le x\) मिलता है। सही हल \(x\ge14\) है; विकल्पों में यही रूप देखें। / Simplification gives \(22-6x\le 8-5x\), then \(14\le x\). The solution is \(x\ge14\); match the equivalent option carefully.
(LCM=10) से गुणा करने पर \(2x-4\le 1-2x\) मिलता है, इसलिए \(4x\le 5\) और \(x\le \frac{5}{4}\)। दिए गए विकल्पों में यह नहीं है, इसलिए प्रश्न में निकट विकल्प नहीं चुनना चाहिए। / Multiplying by (LCM\(=10) gives (2x-4\le 1-2x), so (4x\le 5) and (x\le \frac{5}{4}). Do not choose an approximate option when the exact answer is absent.\)
यह \(22-6x\le 8-5x\) बनती है, जिससे \(14\le x\) आता है। अंतिम उत्तर को \(x\ge14\) के रूप में लिखना बेहतर है। / It becomes \(22-6x\le 8-5x\), giving \(14\le x\). It is clearer to write the final answer as \(x\ge14\).
बाईं ओर (x-14) है, इसलिए \(x-14\ge 5-\frac{x}{2}\) से \(\frac{3x}{2}\ge 19\) और \(x\ge \frac{38}{3}\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय संकेतों की गलती सबसे आम होती है। / The left side is (x-14), so \(x-14\ge 5-\frac{x}{2}\) gives \(\frac{3x}{2}\ge 19\) and \(x\ge \frac{38}{3}\). Sign errors while opening brackets are very common in exams.
हर हटाने पर (-2(2x-1)+(x+4)\ge15) मिलता है। इससे \(-3x\ge9\), इसलिए चिन्ह बदलकर \(x\le-3\) होगा। / Clearing denominators gives (-2(2x-1)+(x+4)\ge15). Thus \(-3x\ge9\), so reversing the sign gives \(x\le-3\).
सरल करने पर (1-2x>4x-11) यानी (12>6x) से (x<2) मिलता है। अंतराल लिखते समय खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / Simplifying gives (1-2x>4x-11), so (12>6x) and (x<2). While writing intervals, pay attention to open and closed endpoints.
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (4x-8+6x+3<10x-14) मिलता है। इससे (-5<-14) असत्य है, इसलिए कोई हल नहीं। / Multiplying by positive (12) gives (4x-8+6x+3<10x-14). This reduces to (-5<-14), which is false, so there is no solution.
लघुत्तम समापवर्त्य (4) से गुणा करने पर \(21-3x\le 8x+14\) मिलता है, इसलिए \(x\ge \frac{7}{11}\)। भिन्न हटाने के बाद पदों को सही पक्ष में ले जाएँ। / Multiplying by (LCM\(=4) gives (21-3x\le 8x+14), so (x\ge \frac{7}{11}). After removing fractions, move terms to the correct side carefully.\)
धनात्मक (12) से गुणा करने पर चर पद कट जाते हैं और (-5<-14) मिलता है। असत्य कथन आने पर हल समुच्चय रिक्त होता है। / After multiplying by positive (12), variable terms cancel and (-5<-14) remains. A false final statement gives an empty solution set.
घटाने पर \(-8<2x\le10\), इसलिए \(-4<x\le5\) मिलता है। पूर्णांक हल (-3) से (5) तक हैं, कुल (9)। / Subtracting gives \(-8<2x\le10\), so \(-4<x\le5\). Integer solutions are from (-3) to (5), totaling (9).
असमानता से \(-6\le3x<12\), अतः \(-2\le x<4\) मिलता है। पूर्णांकों में सही सूची ({-2,-1,0,1,2,3}) होगी। / The inequality gives \(-6\le3x<12\), hence \(-2\le x<4\). For integers, the correct list is ({-2,-1,0,1,2,3}).
((a-2)x>a-4) है और (x>3) पाने के लिए \(\frac{a-4}{a-2}=3\) तथा (a-2>0) चाहिए। इससे (a=1) आता है, पर दिशा शर्त टूटती है, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं। / We get ((a-2)x>a-4); for (x>3), \(\frac{a-4}{a-2}=3\) and (a-2>0) are needed. This gives (a=1), which violates the direction condition, so no option is correct.
धनात्मक (p) से भाग देने पर (-(4x+1)<6-2x) मिलता है। इससे (-2x<7), इसलिए \(x>-\frac{7}{2}\)। / Dividing by positive (p) gives (-(4x+1)<6-2x). Thus (-2x<7), so \(x>-\frac{7}{2}\).
धनात्मक (10) से गुणा करने पर (2(2x+3)-5(x-4)\le7-x) मिलता है। सरलीकरण से \(26-x\le7-x\), जो असत्य है, अतः कोई हल नहीं। / Multiplying by positive (10) gives (2(2x+3)-5(x-4)\le7-x). Simplification gives \(26-x\le7-x\), which is false, so no solution exists.
हर हटाने पर \(26-x\le7-x\) मिलता है, जो \(26\le7\) के समान असत्य है। इसलिए हल समुच्चय रिक्त है। / Clearing denominators gives \(26-x\le7-x\), equivalent to false statement \(26\le7\). Therefore the solution set is empty.
पहली से \(x\le4\) और दूसरी से (x>1) मिलता है। इनके संघ से सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हो जाती हैं। / The first gives \(x\le4\), and the second gives (x>1). Their union covers all real numbers.
धनात्मक (4) से गुणा करने पर \(-12\le2x-5<4\) मिलता है। इससे \(-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\)। / Multiplying by positive (4) gives \(-12\le2x-5<4\). Hence \(-\frac{7}{2}\le x<\frac{9}{2}\).
धनात्मक (2) से गुणा कर \(80\le3s+10\le170\) मिलता है। इससे \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\)। / Multiplying by positive (2) gives \(80\le3s+10\le170\). Thus \(\frac{70}{3}\le s\le\frac{160}{3}\).
धनात्मक (8) से गुणा करने पर (64-2(3x-2)>16+x+6) मिलता है। इससे (68-6x>22+x), यानी \(x<\frac{46}{7}\)। / Multiplying by positive (8) gives (64-2(3x-2)>16+x+6). This gives (68-6x>22+x), so \(x<\frac{46}{7}\).
हर हटाने पर (68-6x>22+x) बनता है। इससे (46>7x), अतः \(x<\frac{46}{7}\)। / Clearing denominators gives (68-6x>22+x). Hence (46>7x), so \(x<\frac{46}{7}\).
दशमलव हटाने के लिए (10) से गुणा करें: (2x+15>7-3x)। इससे (5x>-8), अतः (x>-1.6)। / Multiply by (10) to remove decimals: (2x+15>7-3x). Then (5x>-8), so (x>-1.6).
A. \(x\ge\frac{3}{5}\) और \(x<\frac{21}{2}\)/\(x\ge\frac{3}{5}\) and \(x<\frac{21}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
बाईं असमानता से \(18-3x\le2x+9\), अतः \(x\ge\frac{9}{5}\) मिलता है; दाईं से \(x<\frac{21}{2}\)। सही प्रतिच्छेद \(x\ge\frac{9}{5}\) और \(x<\frac{21}{2}\) है। / The left inequality gives \(18-3x\le2x+9\), hence \(x\ge\frac{9}{5}\); the right gives \(x<\frac{21}{2}\). The correct intersection is \(x\ge\frac{9}{5}\) and \(x<\frac{21}{2}\).
((k-2)x\le9) है। \(x\ge-3\) पाने के लिए (k-2<0) और \(\frac{9}{k-2}=-3\), इसलिए (k=-1)। / We have ((k-2)x\le9). To get \(x\ge-3\), need (k-2<0) and \(\frac{9}{k-2}=-3\), so (k=-1).
धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(x-a\le6\), इसलिए \(x\le a+6\)। (a+6=10) से (a=4)। / Multiplying by positive (2) gives \(x-a\le6\), so \(x\le a+6\). From (a+6=10), (a=4).
धनात्मक (2) से गुणा कर \(-8<1-3x\le10\) मिलता है। \(-9<-3x\le9\) से चिन्ह बदलकर \(-3\le x<3\) मिलता है। / Multiplying by positive (2) gives \(-8<1-3x\le10\). From \(-9<-3x\le9\), reversing signs gives \(-3\le x<3\).
पहले भाग से \(x>-\frac{2}{3}\) और दूसरे से \(x\le10\) मिलता है। पूर्णांक हल (0) से (10) तक हैं, कुल (11)। / The first part gives \(x>-\frac{2}{3}\), and the second gives \(x\le10\). Integer solutions are (0) through (10), totaling (11).
दोनों भाग हल करने पर \(x>-\frac{2}{3}\) और \(x\le10\) मिलता है। अतः पूर्णांक \(x=0,1,\ldots,10\) हैं, कुल (11)। / Solving both parts gives \(x>-\frac{2}{3}\) and \(x\le10\). Thus integers are \(x=0,1,\ldots,10\), totaling (11).
सरलीकरण से \(-3x\ge3\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह बदलता है, इसलिए \(x\le-1\)। / Simplification gives \(-3x\ge3\). Dividing by a negative number reverses the sign, so \(x\le-1\).
धनात्मक (9) से गुणा करने पर (3(4x-1)-(x+2)\ge9x+9) मिलता है। इससे \(2x\ge14\), अतः \(x\ge7\)। / Multiplying by positive (9) gives (3(4x-1)-(x+2)\ge9x+9). Thus \(2x\ge14\), so \(x\ge7\).
धनात्मक (10) से गुणा करने पर \(14-4x\le3x+1\) मिलता है। इससे \(13\le7x\), अतः \(x\ge\frac{13}{7}\)। / Multiplying by positive (10) gives \(14-4x\le3x+1\). Thus \(13\le7x\), so \(x\ge\frac{13}{7}\).
इससे \(3\le5x-2<24\), यानी \(5\le5x<26\) मिलता है। इसलिए \(1\le x<\frac{26}{5}\), अतः (x=1,2,3,4,5)। / This gives \(3\le5x-2<24\), i.e. \(5\le5x<26\). Hence \(1\le x<\frac{26}{5}\), so (x=1,2,3,4,5).
सरलीकरण से \(2-6x\le1-8x\) मिलता है। इससे \(2x\le-1\), इसलिए \(x\le-\frac{1}{2}\)। / Simplification gives \(2-6x\le1-8x\). Thus \(2x\le-1\), so \(x\le-\frac{1}{2}\).
धनात्मक (8) से गुणा करने पर (4x-2(x-3)>2x+5) मिलता है। इससे (2x+6>2x+5), जो सदैव सत्य है। / Multiplying by positive (8) gives (4x-2(x-3)>2x+5). This reduces to (2x+6>2x+5), always true.
सरलीकरण के बाद (1>0) जैसा सत्य कथन मिलता है। इसलिए हर वास्तविक (x) इस असमानता को संतुष्ट करता है। / After simplification, a true statement like (1>0) remains. Therefore every real (x) satisfies the inequality.
धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(-2<x-4\le12\) मिलता है। (4) जोड़ने पर \(2<x\le16\)। / Multiplying by positive (2) gives \(-2<x-4\le12\). Adding (4) gives \(2<x\le16\).
पहली असमानता (x<6) देती है और दूसरी \(x\ge-2\) देती है। दोनों का प्रतिच्छेद \(-2\le x<6\) है। / The first inequality gives (x<6), and the second gives \(x\ge-2\). Their intersection is \(-2\le x<6\).
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (24-2(2x+1)\ge3(1-x)) मिलता है। इससे \(22-4x\ge3-3x\), इसलिए \(x\le19\)। / Multiplying by positive (6) gives (24-2(2x+1)\ge3(1-x)). Thus \(22-4x\ge3-3x\), so \(x\le19\).
घटाने पर \(-12<4x\le16\), इसलिए \(-3<x\le4\) मिलता है। पूर्णांक हलों में सबसे बड़ा (4) है। / Subtracting gives \(-12<4x\le16\), so \(-3<x\le4\). The greatest integer solution is (4).
बाईं ओर (6x-3-2x-10=4x-13) है। \(4x-13\le x+4\) से \(3x\le17\), इसलिए \(x\le\frac{17}{3}\)। / The left side is (6x-3-2x-10=4x-13). From \(4x-13\le x+4\), \(3x\le17\), so \(x\le\frac{17}{3}\).
सरलीकरण से \(4x-13\le x+4\) मिलता है। इसलिए \(3x\le17\) और अंतिम हल \(x\le\frac{17}{3}\) है। / Simplification gives \(4x-13\le x+4\). Hence \(3x\le17\), and the final solution is \(x\le\frac{17}{3}\).
