Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह क्रमबद्ध चयन है इसलिए विकल्प (9) फिर (8) फिर (7) होते हैं। परीक्षा में स्थान वाले प्रश्न में क्रम महत्वपूर्ण मानें। / This is ordered selection so the choices are (9) then (8) then (7). In exams treat position based questions as order important.
तीन स्थानों के लिए गुणनखंड (n), (n-1), (n-2) होते हैं। परीक्षा में अंतिम factor के लिए (n-r+1) लगाएँ। / For three positions the factors are (n), (n-1), (n-2). In exams use (n-r+1) for the last factor.
(^{n}C_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}) से ऊपर (n(n-1)(n-2)) और नीचे (6) बचता है। परीक्षा में (3!=6) याद रखें। / From (^{n}C_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}) the numerator becomes (n(n-1)(n-2)) and denominator (6). In exams remember (3!=6).
A. क्योंकि हर जोड़ा (2!) क्रमों में गिना जाता है/Because each pair is counted in (2!) orders
Explanation
Simple Explanation
जोड़ा (AB) और (BA) समान माना जाता है इसलिए (2!) से भाग देते हैं। परीक्षा में unordered शब्द आते ही दोहराव हटाएँ। / The pair (AB) and (BA) is considered same so we divide by (2!). In exams remove overcounting when unordered appears.
पहले (3) वस्तुएँ चुनकर उन्हें (3!) तरीकों से जमाते हैं। परीक्षा में क्रमबद्ध चयन को चयन गुणा व्यवस्था लिखें। / First choose (3) objects and arrange them in (3!) ways. In exams write ordered selection as selection times arrangement.
Permutation में (3!) आंतरिक क्रम extra गिने जाते हैं। परीक्षा में combination पाने के लिए इन क्रमों से भाग दें। / Permutation counts (3!) internal orders extra. In exams divide by these orders to get combination.
A. क्योंकि (n-1) चुनना एक वस्तु छोड़ने जैसा है/Because choosing (n-1) is like leaving one object
Explanation
Simple Explanation
(n-1) वस्तुएँ चुनने का अर्थ है (1) वस्तु छोड़ना और उसके (n) विकल्प हैं। परीक्षा में पूरक चयन से सोचें। / Choosing (n-1) objects means leaving (1) object and there are (n) choices for that. In exams think by complementary selection.
\(^{n}P_{n-1}=\frac{n!}{1!}=n!\) होता है। परीक्षा में ((n-(n-1))!=1!) को ध्यान से लिखें। / \(^{n}P_{n-1}=\frac{n!}{1!}=n!\). In exams write ((n-(n-1))!=1!) carefully.
क्योंकि (3!=6) और \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\) होता है। परीक्षा में (r!) को तुरंत निकालें। / Because (3!=6) and \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\). In exams find (r!) quickly.
(9) चुनना (3) छोड़ने जैसा है इसलिए \(^{12}C_9=^{12}C_3\) है। परीक्षा में बड़े सूचकांक को (n-r) से बदलें। / Choosing (9) is same as leaving (3) so \(^{12}C_9=^{12}C_3\). In exams replace a large index by (n-r).
A. एक विशेष वस्तु को शामिल या अलग करने से/By including or excluding one special object
Explanation
Simple Explanation
कुल चयन को एक विशेष वस्तु के आने और न आने के दो मामलों में बाँटते हैं। परीक्षा में fixed object method याद रखें। / The total selection is split into two cases according to whether one special object appears or not. In exams remember the fixed object method.
सूत्र में (n=7) और (r=3) रखने पर \(^{6}C_3+^{6}C_2\) मिलता है। परीक्षा में पहले ऊपर का सूचक (1) घटाएँ। / Putting (n=7) and (r=3) gives \(^{6}C_3+^{6}C_2\). In exams first reduce the upper index by (1).
A. क्योंकि (n) वस्तुओं में से (r) वस्तुएँ चुनना असंभव है/Because choosing (r) objects from (n) objects is impossible
Explanation
Simple Explanation
उपलब्ध वस्तुओं से अधिक वस्तुएँ नहीं चुनी जा सकतीं। परीक्षा में (r>n) दिखे तो मान (0) लें। / More objects than available cannot be chosen. In exams if (r>n) appears take the value as (0).
B. क्योंकि बिना पुनरावृत्ति (n) से अधिक स्थान नहीं भरे जा सकते/Because more than (n) positions cannot be filled without repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना पुनरावृत्ति (n) अलग वस्तुओं से अधिक positions नहीं भरी जा सकतीं। परीक्षा में availability condition पहले जाँचें। / Without repetition more than (n) positions cannot be filled using (n) distinct objects. In exams check the availability condition first.
A. क्योंकि (r) बार दूसरा पद चुनने के तरीके \(^{n}C_r\) होते हैं/Because there are \(^{n}C_r\) ways to choose the second term (r) times
Explanation
Simple Explanation
((a+b)^n) में (n) brackets से (b) को (r) बार चुनने के तरीके \(^{n}C_r\) हैं। परीक्षा में coefficient को selection से जोड़ें। / In ((a+b)^n) the ways to choose (b) from (r) of the (n) brackets are \(^{n}C_r\). In exams connect coefficient with selection.
(x) को (r) brackets से चुनने के \(^{n}C_r\) तरीके होते हैं। परीक्षा में ((1+x)^n) में coefficient सीधे combination होता है। / There are \(^{n}C_r\) ways to choose (x) from (r) brackets. In exams the coefficient in ((1+x)^n) is directly a combination.
द्विपद विस्तार में सभी coefficients का योग \(2^n\) हो जाता है। परीक्षा में total subsets के लिए भी यही पहचान उपयोग करें। / In binomial expansion the sum of all coefficients becomes \(2^n\). In exams use the same identity for total subsets.
A. सम सूचकांक coefficients और विषम सूचकांक coefficients का अंतर (0) है/Difference between even indexed and odd indexed coefficients is (0)
Explanation
Simple Explanation
((1-1)^n=0) से even और odd combination sums बराबर होते हैं। परीक्षा में alternating sum को (0) से जोड़ें। / From ((1-1)^n=0) the even and odd combination sums are equal. In exams connect alternating sum with (0).
A. हर वस्तु के लिए लेना या न लेना दो विकल्प होते हैं/Each object has two options include or exclude
Explanation
Simple Explanation
हर वस्तु स्वतंत्र रूप से शामिल या अलग हो सकती है। परीक्षा में subset questions को दो विकल्प प्रति वस्तु से सोचें। / Each object can independently be included or excluded. In exams think of subset questions as two choices per object.
कुल selections \(2^{10}\) हैं और खाली selection हटाना है। परीक्षा में कम से कम एक के लिए empty case घटाएँ। / Total selections are \(2^{10}\) and the empty selection must be removed. In exams subtract the empty case for at least one.
A. क्योंकि समान अक्षरों की आपसी अदला-बदली नई व्यवस्था नहीं बनाती/Because interchanging identical letters does not make a new arrangement
Explanation
Simple Explanation
एक जैसे अक्षरों की अंदरूनी व्यवस्था अलग नहीं दिखाई देती। परीक्षा में repeated letters पहचानकर उनके factorial से भाग दें। / Internal arrangements of identical letters are not visibly different. In exams identify repeated letters and divide by their factorials.
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (A) के (3!) अंदरूनी क्रम समान हैं। परीक्षा में repeated object का factorial denominator में रखें। / In total (7!) arrangements the (3!) internal orders of (A) are identical. In exams put the factorial of the repeated object in the denominator.
वृत्त में घुमाव समान होता है इसलिए एक व्यक्ति स्थिर करके (4!) तरीके मिलते हैं। परीक्षा में circular seating में one fixed rule लगाएँ। / Rotations are same in a circle so fixing one person gives (4!) ways. In exams use the one fixed rule in circular seating.
A. हर रैखिक व्यवस्था (n) rotations के रूप में वही वृत्तीय व्यवस्था देती है/Each linear arrangement gives the same circular arrangement through (n) rotations
Explanation
Simple Explanation
वृत्त में केवल घुमाना नई व्यवस्था नहीं बनाता। परीक्षा में rotations को extra count मानें। / Only rotating a circle does not make a new arrangement. In exams treat rotations as extra count.
हर स्थान पर (4) विकल्प फिर से मिलते हैं इसलिए \(4^3\) तरीके हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो options घटाएँ नहीं। / Each position again has (4) choices so the number of ways is \(4^3\). In exams do not decrease options when repetition is allowed.
बिना पुनरावृत्ति विकल्प (4), (3), (2) होते हैं इसलिए \(^{4}P_3\) सही है। परीक्षा में no repetition पर permutation लगाएँ। / Without repetition the choices are (4), (3), (2) so \(^{4}P_3\) is correct. In exams use permutation when there is no repetition.
A. \(^{n}P_r\) में पुनरावृत्ति नहीं और \(n^r\) में पुनरावृत्ति allowed होती है/\(^{n}P_r\) has no repetition and \(n^r\) allows repetition
Explanation
Simple Explanation
Permutation में चुनी गई वस्तु दोबारा नहीं आती लेकिन \(n^r\) में हर स्थान पर सभी विकल्प मिलते हैं। परीक्षा में repetition condition जरूर पढ़ें। / In permutation a chosen object does not appear again but in \(n^r\) every position has all choices. In exams always read the repetition condition.
A. क्योंकि यह केवल चयन की संख्या बताता है/Because it counts only selections
Explanation
Simple Explanation
Combination में समूह वही रहता है चाहे क्रम बदले। परीक्षा में चयन और व्यवस्था को अलग रखें। / In combination the group remains the same even if order changes. In exams keep selection and arrangement separate.
A. व्यक्ति (A) से (B) और (B) से (A) एक ही handshake है/Person (A) to (B) and (B) to (A) is the same handshake
Explanation
Simple Explanation
Handshake unordered pair है इसलिए (AB) और (BA) अलग नहीं गिने जाते। परीक्षा में pair की दिशा न हो तो combination लगाएँ। / A handshake is an unordered pair so (AB) and (BA) are not counted separately. In exams use combination when a pair has no direction.
पूरक पहचान से (m=10-4=6) होगा। परीक्षा में \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) तुरंत लगाएँ। / By the complementary identity (m=10-4=6). In exams apply \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) quickly.
A. चुने गए और न चुने गए समूहों के अंदर क्रम महत्वहीन होता है/Order inside chosen and not chosen groups is irrelevant
Explanation
Simple Explanation
(n!) में चुने और छोड़े दोनों समूहों के अंदरूनी क्रम extra गिने जाते हैं। परीक्षा में group division को factorial denominator से जोड़ें। / In (n!) internal orders inside chosen and unchosen groups are counted extra. In exams connect group division with factorial denominators.
A. एक चुनी हुई वस्तु को चिह्नित करके दो तरह से गिनना/Counting in two ways by marking one chosen object
Explanation
Simple Explanation
Marked selection को (n) तरीके से शुरू करके बाकी (r-1) चुना जा सकता है। परीक्षा में double counting identities पहचानें। / A marked selection can start by choosing one of (n) objects and then choosing the remaining (r-1). In exams identify double counting identities.
Factorial रूपों को भाग देने पर \(\frac{n-r+1}{r}\) बचता है। परीक्षा में adjacent terms के लिए ratio formula उपयोग करें। / Dividing the factorial forms leaves \(\frac{n-r+1}{r}\). In exams use the ratio formula for adjacent terms.
(r)वें स्थान को जोड़ने पर नया factor (n-r+1) होता है। परीक्षा में consecutive permutations का ratio last factor देता है। / When the (r)th position is added the new factor is (n-r+1). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
A. पहले चुनो फिर चुनी वस्तुओं को जमाओ/First choose then arrange the chosen objects
Explanation
Simple Explanation
Permutation में selection और arrangement दोनों शामिल होते हैं। परीक्षा में (P) को (C) से जोड़ने के लिए (r!) गुणा करें। / Permutation includes both selection and arrangement. In exams multiply by (r!) to connect (P) with (C).
पहले (3) पुस्तकें चुनें और फिर (3!) तरीकों से क्रम दें। परीक्षा में ordered placement हो तो चयन के बाद व्यवस्था जोड़ें। / First choose (3) books and then order them in (3!) ways. In exams add arrangement after selection when ordered placement appears.
कप्तान और उपकप्तान अलग पद हैं इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है। परीक्षा में अलग-अलग posts के लिए permutation लगाएँ। / Captain and vice captain are different posts so order is important. In exams use permutation for different posts.
सदस्य चुनने में पद या क्रम नहीं है इसलिए combination लगेगा। परीक्षा में only select शब्द पर order न गिनें। / There is no post or order in choosing members so combination is used. In exams do not count order when the phrase only select appears.
पहले स्थान के लिए (n) फिर (n-1) और अंत तक (1) विकल्प मिलते हैं। परीक्षा में complete arrangement को factorial से जोड़ें। / The choices are (n) for the first position then (n-1) down to (1). In exams connect complete arrangement with factorial.
हर स्थान के choices पिछले चयन पर निर्भर होकर घटते हैं और साथ-साथ गुणा होते हैं। परीक्षा में arrangement में multiplication principle उपयोग करें। / Choices for each position decrease after previous selection and are multiplied together. In exams use the multiplication principle in arrangement.
A. (n) vertices में unordered pair of vertices की संख्या/Number of unordered pairs of vertices among (n) vertices
Explanation
Simple Explanation
एक edge दो vertices के unordered pair से बनता है। परीक्षा में pair without direction के लिए \(^{n}C_2\) लगाएँ। / An edge is formed by an unordered pair of two vertices. In exams use \(^{n}C_2\) for pairs without direction.
A. (n) वस्तुओं से (2) का ordered pair/Ordered pair of (2) from (n) objects
Explanation
Simple Explanation
Directed pair में (AB) और (BA) अलग होते हैं इसलिए permutation लगता है। परीक्षा में direction या order दिखे तो (P) चुनें। / In a directed pair (AB) and (BA) are different so permutation is used. In exams choose (P) when direction or order appears.
दो चुनी वस्तुओं के (2!) क्रम permutation में extra गिने जाते हैं। परीक्षा में (r=2) पर divide factor (2!) होता है। / The (2!) orders of two selected objects are counted extra in permutation. In exams the divide factor for (r=2) is (2!).
चार चुनी वस्तुओं के (4!) internal orders हटाने होते हैं। परीक्षा में \(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\) लगाएँ। / The (4!) internal orders of four selected objects must be removed. In exams apply \(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\).
चुनी हुई चार वस्तुओं को (4!) तरीकों से क्रम दिया जा सकता है। परीक्षा में (C) से (P) जाने पर (r!) गुणा करें। / The four chosen objects can be ordered in (4!) ways. In exams multiply by (r!) when going from (C) to (P).
A. चुने गए समूह से न चुना गया समूह तय हो जाता है/The unchosen group is fixed by the chosen group
Explanation
Simple Explanation
एक (r)-selection अपने साथ एक ((n-r))-rejection तय कर देता है। परीक्षा में choose and reject को जोड़ी की तरह देखें। / An (r)-selection fixes an ((n-r))-rejection with it. In exams view choose and reject as a pair.
(8) चुनना (3) छोड़ना है इसलिए दोनों combinations बराबर हैं। परीक्षा में बड़े (r) को छोटे पूरक से बदलें। / Choosing (8) means leaving (3) so both combinations are equal. In exams replace large (r) with the smaller complement.
\(^{n}C_0=\frac{n!}{0!n!}\) होता है और इसका मान (1) है। परीक्षा में (0!=1) याद रखें। / \(^{n}C_0=\frac{n!}{0!n!}\) and its value is (1). In exams remember (0!=1).
(^{n}P_n=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!) होता है। परीक्षा में (0!) को (1) मानें। / (^{n}P_n=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!). In exams take (0!) as (1).
A. पहले (r) का समूह चुनते ही दूसरा समूह अपने आप तय हो जाता है/Once the group of (r) is chosen the other group is automatically fixed
Explanation
Simple Explanation
(r) वस्तुओं का चयन बाकी (n-r) वस्तुओं को तय कर देता है। परीक्षा में group division को combination से जोड़ें। / Choosing (r) objects fixes the remaining (n-r) objects. In exams connect group division with combination.
