Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
बाकी गुणनखंड ((n-r)!) जोड़ने से ऊपर (n!) बनता है। परीक्षा में factorial रूप बनाते समय missing tail पहचानें। / Adding the remaining factor ((n-r)!) makes the numerator (n!). In exams identify the missing tail while forming factorial form.
A. चुनी गई (r) वस्तुओं के अंदरूनी क्रम/Internal orders of selected (r) objects
Explanation
Simple Explanation
Combination में चुनी वस्तुओं का क्रम अलग नहीं माना जाता। परीक्षा में unordered selection में internal order हटाएँ। / In combination the order of selected objects is not considered different. In exams remove internal order in unordered selection.
(10) चुनना (3) छोड़ने जैसा है। परीक्षा में बड़े lower index को complement से छोटा करें। / Choosing (10) is the same as leaving (3). In exams reduce a large lower index using its complement.
पहले चयन \(^{n}C_r\) और फिर हर चयन की (r!) व्यवस्थाएँ होती हैं। परीक्षा में choose then arrange को multiply करें। / First there are \(^{n}C_r\) selections and then (r!) arrangements for each selection. In exams multiply for choose then arrange.
चार क्रमबद्ध स्थानों के लिए विकल्प (9), (8), (7), (6) हैं। परीक्षा में बिना पुनरावृत्ति हर अगला विकल्प एक कम होता है। / For four ordered positions the choices are (9), (8), (7), (6). In exams each next choice decreases by one without repetition.
B. हर unordered pair दो orders में गिना गया है/Each unordered pair is counted in two orders
Explanation
Simple Explanation
(AB) और (BA) एक ही unordered pair हैं। परीक्षा में direction न हो तो (2!) से divide करें। / (AB) and (BA) are the same unordered pair. In exams divide by (2!) when there is no direction.
Factorial form से सरल करने पर \(\frac{n}{r}\) factor आता है। परीक्षा में adjacent upper index identities को ratio से जाँचें। / Simplifying the factorial form gives the factor \(\frac{n}{r}\). In exams check adjacent upper index identities by ratio.
दोनों combinations में lower index (r) है। परीक्षा में formula पढ़ते समय upper और lower index अलग-अलग देखें। / The lower index is (r) in both combinations. In exams read upper and lower indices separately.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=8) और (r=4) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) कम होता है। / Put (n=8) and (r=4) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
हर वस्तु के लिए शामिल या अलग दो विकल्प होते हैं। परीक्षा में total subsets के लिए \(2^n\) याद रखें। / Each object has two options include or exclude. In exams remember \(2^n\) for total subsets.
कुल selections \(2^6\) हैं और खाली selection हटता है। परीक्षा में non-empty के लिए (1) घटाएँ। / Total selections are \(2^6\) and the empty selection is removed. In exams subtract (1) for non-empty selections.
A. (b) को (r) brackets से चुनना/Choosing (b) from (r) brackets
Explanation
Simple Explanation
(n) brackets में से (r) brackets में (b) चुनने के \(^{n}C_r\) तरीके हैं। परीक्षा में binomial coefficient को selection मानें। / There are \(^{n}C_r\) ways to choose (b) from (r) of the (n) brackets. In exams treat a binomial coefficient as selection.
(x) को (7) brackets में से (2) बार चुनना है। परीक्षा में ((1+x)^n) में \(x^r\) का coefficient \(^{n}C_r\) होता है। / We choose (x) twice from (7) brackets. In exams the coefficient of \(x^r\) in ((1+x)^n) is \(^{n}C_r\).
एक समूह में (r) चुनी वस्तुएँ और दूसरे में (n-r) बाकी वस्तुएँ होती हैं। परीक्षा में group sizes का योग (n) जाँचें। / One group has (r) chosen objects and the other has (n-r) remaining objects. In exams check that group sizes add to (n).
(5) की समिति चुनते ही बाकी (7) विद्यार्थी तय हो जाते हैं। परीक्षा में complement group खुद तय हो तो केवल एक combination लगाएँ। / Once the committee of (5) is chosen the remaining (7) students are fixed. In exams use only one combination when the complement group is fixed automatically.
पहले किताबें चुनें फिर display order दें। परीक्षा में selection के बाद order हो तो (r!) से गुणा करें। / First choose the books and then assign display order. In exams multiply by (r!) when order follows selection.
तीनों पद अलग हैं इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है। परीक्षा में अलग posts के लिए permutation चुनें। / The three posts are different so order is important. In exams choose permutation for different posts.
प्रतिनिधियों में कोई अलग पद नहीं है इसलिए क्रम नहीं गिना जाएगा। परीक्षा में only selection हो तो combination लगाएँ। / There are no different posts among the representatives so order is not counted. In exams use combination for only selection.
दो क्रमबद्ध स्थानों के लिए choices (n) और (n-1) हैं। परीक्षा में \(^{n}P_2\) को ordered pair formula मानें। / For two ordered positions the choices are (n) and (n-1). In exams treat \(^{n}P_2\) as the ordered pair formula.
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2!}) और (2!=2) होता है। परीक्षा में small factorial values याद रखें। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2!}) and (2!=2). In exams remember small factorial values.
A. (r)वें स्थान के विकल्प/Choices for the (r)th position
Explanation
Simple Explanation
पहले (r-1) स्थान भरने के बाद (r)वें स्थान पर (n-r+1) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में recurrence को next-place idea से जोड़ें। / After filling the first (r-1) positions (n-r+1) choices remain for the (r)th position. In exams connect recurrence with the next-place idea.
Factorial formula को divide करने पर \(\frac{n-r}{r+1}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent combinations के लिए ratio से तेजी आती है। / Dividing the factorial formulas gives \(\frac{n-r}{r+1}\). In exams ratios make adjacent combinations faster.
Equal combinations में lower indices समान या पूरक होते हैं। यहाँ अलग indices हैं इसलिए (r+(r+2)=n) होगा। / In equal combinations the lower indices are equal or complementary. Here the indices are different so (r+(r+2)=n).
पूरक index (14-5=9) है। परीक्षा में equal combination में दूसरा index (n-r) देखें। / The complementary index is (14-5=9). In exams look for (n-r) as the second index in equal combinations.
\(^{n}C_n=^{n}C_0\) और दोनों का मान (1) है। परीक्षा में all selected और none selected दोनों boundary cases याद रखें। / \(^{n}C_n=^{n}C_0\) and both have value (1). In exams remember both all selected and none selected boundary cases.
खास वस्तु चुन ली गई तो बाकी (r-1) वस्तुएँ (n-1) में से चुननी हैं। परीक्षा में included case में lower index (1) घटता है। / If the special object is selected the remaining (r-1) objects are chosen from (n-1). In exams the lower index decreases by (1) in the included case.
खास वस्तु हटाने के बाद (n-1) वस्तुओं में से पूरे (r) चुनने हैं। परीक्षा में excluded case में lower index वही रहता है। / After removing the special object all (r) objects are chosen from (n-1). In exams the lower index remains the same in the excluded case.
एक fixed object को include या exclude करने से \(^{9}C_3\) और \(^{9}C_4\) मिलते हैं। परीक्षा में Pascal split में upper index (1) घटता है। / Including or excluding one fixed object gives \(^{9}C_3\) and \(^{9}C_4\). In exams the upper index decreases by (1) in a Pascal split.
हर स्थान पर (4) विकल्प बार-बार उपलब्ध हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो power formula \(n^r\) लगाएँ। / Each position has (4) choices again and again. In exams use the power formula \(n^r\) when repetition is allowed.
बिना पुनरावृत्ति ordered code के लिए \(4\times3\times2\) तरीके हैं। परीक्षा में code में order होता है। / For an ordered code without repetition there are \(4\times3\times2\) ways. In exams a code has order.
तीन लाल balls समान हैं इसलिए उनके (3!) अंदरूनी क्रम अलग नहीं हैं। परीक्षा में केवल repeated group के factorial से भाग दें। / The three red balls are identical so their (3!) internal orders are not different. In exams divide by the factorial of the repeated group only.
दो repeated groups के internal orders हटाने के लिए (2!3!) से भाग देते हैं। परीक्षा में हर repeated letter का factorial denominator में रखें। / To remove internal orders of two repeated groups divide by (2!3!). In exams put the factorial of each repeated letter in the denominator.
A. क्योंकि एक व्यक्ति को fixed मानकर rotations हटाते हैं/Because one person is fixed to remove rotations
Explanation
Simple Explanation
वृत्त में केवल घूमना नई seating नहीं बनाता। परीक्षा में circular arrangement में one fixed method लगाएँ। / A mere rotation in a circle does not make a new seating. In exams use the one fixed method in circular arrangement.
पहले rotations हटाकर ((n-1)!) मिलता है फिर reflection same होने से (2) से भाग देते हैं। परीक्षा में necklace में rotation और reflection दोनों देखें। / First removing rotations gives ((n-1)!) and then same reflection makes us divide by (2). In exams check both rotation and reflection in necklaces.
क्योंकि (r!) केवल (r=0) और (r=1) पर (1) होता है। परीक्षा में equality के लिए relation \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) देखें। / Because (r!) is (1) only for (r=0) and (r=1). In exams check \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) for equality.
A. क्योंकि combination में (r!) orders को एक ही selection माना जाता है/Because in combination (r!) orders are treated as one selection
Explanation
Simple Explanation
Permutation एक ही group के कई orders गिनता है। परीक्षा में (r>1) पर (P) और (C) का अंतर साफ रखें। / Permutation counts many orders of the same group. In exams keep the difference between (P) and (C) clear when (r>1).
A. जब extra repeated orders हटाने हों/When extra repeated orders must be removed
Explanation
Simple Explanation
Permutation से combination बनाते समय एक ही selection (r!) बार गिना जाता है। परीक्षा में overcounting दिखे तो division principle लगाएँ। / When making combination from permutation the same selection is counted (r!) times. In exams use division principle when overcounting appears.
हर shirt के साथ (4) pants जुड़ सकते हैं इसलिए \(3\times4\) choices हैं। परीक्षा में independent choices साथ चाहिए तो multiply करें। / Each shirt can pair with (4) pants so there are \(3\times4\) choices. In exams multiply when independent choices are needed together.
यह या वाली स्थिति है इसलिए (5+6) choices मिलते हैं। परीक्षा में or शब्द पर addition principle देखें। / This is an or situation so there are (5+6) choices. In exams look for the addition principle when the word or appears.
समिति में सदस्यों का क्रम नहीं बदलता। परीक्षा में committee या group पर combination लगाएँ। / In a committee the order of members does not change the committee. In exams use combination for committee or group.
Rank बदलने से result बदल जाता है इसलिए order important है। परीक्षा में rank या post दिखे तो permutation लगाएँ। / Changing rank changes the result so order is important. In exams use permutation when rank or post appears.
B. न चुनी गई वस्तुओं की संख्या/Number of unchosen objects
Explanation
Simple Explanation
(r) वस्तुएँ चुनने के बाद (n-r) वस्तुएँ बचती हैं। परीक्षा में complement counting के लिए यह अर्थ याद रखें। / After choosing (r) objects (n-r) objects remain. In exams remember this meaning for complement counting.
क्योंकि (2!=2) और \(^{n}P_2=^{n}C_2\times2!\) है। परीक्षा में (r=2) पर factor (2) याद रखें। / Because (2!=2) and \(^{n}P_2=^{n}C_2\times2!\). In exams remember the factor (2) when (r=2).
कोई वस्तु न चुनने का एक empty selection होता है। परीक्षा में empty case को valid count (1) मानें। / Choosing no object gives one empty selection. In exams treat the empty case as valid count (1).
B. सभी (n) objects को क्रम में जमाना/Arranging all (n) objects in order
Explanation
Simple Explanation
(r=n) पर सभी वस्तुओं की व्यवस्था हो रही है इसलिए count (n!) है। परीक्षा में full arrangement को factorial मानें। / When (r=n) all objects are being arranged so the count is (n!). In exams treat full arrangement as factorial.
A. chosen group और rejected group/chosen group and rejected group
Explanation
Simple Explanation
हर selection का एक unique rejected group होता है। परीक्षा में complementary pair बनाकर identity समझें। / Each selection has a unique rejected group. In exams understand the identity by forming a complementary pair.
A. क्योंकि शुरुआत में (n) वस्तुओं को क्रम में जमाकर गिना जा सकता है/Because initially (n) objects can be counted by arranging in order
Explanation
Simple Explanation
(n!) से ordered arrangements की बड़ी गिनती बनती है जिसे (r!(n-r)!) से सही किया जाता है। परीक्षा में overcounting correction समझें। / (n!) creates a larger ordered count which is corrected by (r!(n-r)!). In exams understand the overcounting correction.
Line segment दो points का unordered pair है। परीक्षा में segment में endpoints का order नहीं गिनें। / A line segment is an unordered pair of two points. In exams do not count the order of endpoints in a segment.
Directed arrow में start और end बदलने से arrow बदल जाता है। परीक्षा में direction हो तो ordered pair यानी permutation लगाएँ। / In a directed arrow changing start and end changes the arrow. In exams use ordered pair or permutation when direction exists.
