Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. पहले स्थान के लिए (n) विकल्प होते हैं/There are (n) choices for the first position
Explanation
Simple Explanation
पहले स्थान पर (n) अलग वस्तुओं में से कोई भी आ सकती है। परीक्षा में स्थानों को क्रम से भरकर सोचें। / Any one of the (n) distinct objects can occupy the first position. In exams think by filling positions one by one.
क्योंकि (r) स्थान भरने हैं इसलिए (r) गुणनखंड आते हैं। परीक्षा में गुणनखंडों की संख्या को स्थानों की संख्या से जोड़ें। / Since (r) positions are to be filled there are (r) factors. In exams connect the number of factors with the number of positions.
क्रम वाले चयन में (n!) से बाकी ((n-r)!) भाग हटता है। परीक्षा में permutation के हर में ((n-r)!) याद रखें। / In ordered selection the remaining ((n-r)!) part is removed from (n!). In exams remember ((n-r)!) in the denominator for permutation.
D. क्योंकि क्रम को हटाना होता है/Because order has to be removed
Explanation
Simple Explanation
Combination में क्रम नहीं गिना जाता इसलिए चुनी गई (r) वस्तुओं के (r!) क्रम हटते हैं। परीक्षा में combination को बिना क्रम का चयन मानें। / In combination order is not counted so (r!) orders of selected objects are removed. In exams treat combination as selection without order.
पहले (r) वस्तुएँ चुनी जाती हैं और फिर उन्हें (r!) तरीकों से जमाया जाता है। परीक्षा में पहले चयन फिर व्यवस्था का विचार रखें। / First (r) objects are chosen and then arranged in (r!) ways. In exams keep the idea of choose first and arrange later.
B. \(^{n}P_r\) को (r!) से भाग देना/Dividing \(^{n}P_r\) by (r!)
Explanation
Simple Explanation
Combination में permutation से अतिरिक्त क्रम हटाए जाते हैं। परीक्षा में \(^{n}P_r\) लिखकर (r!) से भाग दें। / In combination extra orders are removed from permutation. In exams write \(^{n}P_r\) and divide by (r!).
D. (r) वस्तुएँ चुनना उतना ही है जितना (n-r) वस्तुएँ छोड़ना/Choosing (r) objects is same as leaving (n-r) objects
Explanation
Simple Explanation
जब (r) चुने जाते हैं तब (n-r) वस्तुएँ अपने आप छूटती हैं। परीक्षा में चयन और त्याग का संबंध याद रखें। / When (r) are chosen the (n-r) objects are automatically left. In exams remember the connection between choosing and leaving.
संबंध \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) से (k=10-3=7) होगा। परीक्षा में समान combination में पूरक सूचकांक देखें। / By \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) we get (k=10-3=7). In exams check the complementary index in equal combinations.
A. क्योंकि कोई वस्तु न चुनने का केवल (1) तरीका है/Because there is only (1) way to choose no object
Explanation
Simple Explanation
शून्य वस्तुओं का चयन खाली चयन है और वह एक ही तरह से होता है। परीक्षा में खाली चयन को भी एक तरीका मानें। / Selecting zero objects is an empty selection and it happens in one way. In exams count empty selection as one way.
D. सभी वस्तुएँ चुनने का केवल (1) तरीका है/There is only (1) way to choose all objects
Explanation
Simple Explanation
सभी (n) वस्तुओं को चुनना एक निश्चित चयन है। परीक्षा में सभी चुनी गई स्थिति को (1) तरीका समझें। / Choosing all (n) objects is one fixed selection. In exams understand the all selected case as (1) way.
D. शून्य वस्तुओं की व्यवस्था का एक खाली तरीका/One empty way to arrange zero objects
Explanation
Simple Explanation
शून्य स्थान भरने का एक खाली arrangement माना जाता है। परीक्षा में (0!=1) का उपयोग ध्यान रखें। / Filling zero positions is counted as one empty arrangement. In exams remember the use of (0!=1).
D. \(^{n}C_n=\frac{n!}{n!0!}=1\) सही रखने के लिए (0!=1) चाहिए/To keep \(^{n}C_n=\frac{n!}{n!0!}=1\) we need (0!=1)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र में \(^{n}C_n=1\) तभी मिलता है जब (0!=1) हो। परीक्षा में सीमा मामलों से factorial समझें। / The formula gives \(^{n}C_n=1\) only when (0!=1). In exams understand factorial using boundary cases.
A. क्योंकि (n) अलग वस्तुओं को सभी (n) स्थानों पर जमाना है/Because (n) distinct objects are arranged in all (n) places
Explanation
Simple Explanation
सभी वस्तुओं की व्यवस्था (n(n-1)\cdots1=n!) होती है। परीक्षा में पूरी व्यवस्था को factorial से जोड़ें। / Arranging all objects gives (n(n-1)\cdots1=n!). In exams connect complete arrangement with factorial.
पहले स्थान के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प होंगे। परीक्षा में पुनरावृत्ति न हो तो विकल्प घटते हैं। / There are (5) choices for the first place and (4) for the second. In exams choices decrease when repetition is not allowed.
पदों पर बैठाना क्रम पर निर्भर करता है इसलिए permutation लगेगा। परीक्षा में पद सीट या rank आने पर order देखें। / Seating in positions depends on order so permutation is used. In exams when position seat or rank appears check order.
टीम में क्रम नहीं होता इसलिए combination लगेगा। परीक्षा में समूह या समिति शब्दों पर order हटाएँ। / A team has no order so combination is used. In exams remove order for words like group or committee.
पहले (2) वस्तुएँ चुनें और फिर उन्हें (2!) तरीकों से जमाएँ। परीक्षा में permutation को combination गुणा व्यवस्था समझें। / First choose (2) objects and then arrange them in (2!) ways. In exams understand permutation as combination times arrangement.
Combination पाने के लिए ordered arrangements को (2!) से भाग दिया जाता है। परीक्षा में internal orders हटाने के लिए भाग दें। / To get combination ordered arrangements are divided by (2!). In exams divide to remove internal orders.
एक वस्तु चुनने के लिए (n) विकल्प होते हैं। परीक्षा में single selection को सीधे (n) मानें। / There are (n) choices to select one object. In exams take single selection directly as (n).
एक स्थान भरना है इसलिए (n) विकल्प मिलते हैं। परीक्षा में (r=1) पर permutation और combination दोनों (n) होते हैं। / Only one position is to be filled so there are (n) choices. In exams for (r=1) permutation and combination both equal (n).
Combination formula में ((n-2)!) कटने पर (n(n-1)) बचता है। परीक्षा में \(^{n}C_2\) को जोड़े बनाने का सूत्र मानें। / In the combination formula after cancelling ((n-2)!) the term (n(n-1)) remains. In exams remember \(^{n}C_2\) as the pair-making formula.
C. दो क्रमबद्ध स्थान भरना/Filling two ordered positions
Explanation
Simple Explanation
पहले स्थान के लिए (n) और दूसरे के लिए (n-1) विकल्प होते हैं। परीक्षा में ordered pair में multiplication principle लगाएँ। / There are (n) choices for the first place and (n-1) for the second. In exams use the multiplication principle for ordered pairs.
संबंध \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) से \(^{9}C_7=^{9}C_2\) है। परीक्षा में calculation घटाने के लिए छोटा index लें। / By \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) we get \(^{9}C_7=^{9}C_2\). In exams use the smaller index to reduce calculation.
A. विशेष वस्तु को न चुनना/Not choosing the special object
Explanation
Simple Explanation
एक निश्चित वस्तु को छोड़कर बाकी (n-1) में से (r) चुनना \(^{n-1}C_r\) है। परीक्षा में मामलों को शामिल और अलग में बाँटें। / Choosing (r) from remaining (n-1) after excluding one fixed object is \(^{n-1}C_r\). In exams split cases into included and excluded.
C. विशेष वस्तु को चुनकर बाकी (r-1) चुनना/Choosing the special object and then choosing remaining (r-1)
Explanation
Simple Explanation
यदि विशेष वस्तु चुनी गई है तो बाकी (r-1) वस्तुएँ (n-1) में से चुननी होंगी। परीक्षा में included case को अलग लिखें। / If the special object is chosen the remaining (r-1) objects must be chosen from (n-1). In exams write the included case separately.
सूत्र \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=6) और (r=2) रखें। परीक्षा में (n) दोनों पदों में (1) कम होता है। / Put (n=6) and (r=2) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams (n) decreases by (1) in both terms.
B. हर वस्तु को लेना या न लेना दो विकल्प होते हैं/Each object has two choices take or not take
Explanation
Simple Explanation
हर वस्तु के लिए दो विकल्प होते हैं इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। परीक्षा में subsets को include या exclude से सोचें। / Each object has two choices so total subsets are \(2^n\). In exams think of subsets using include or exclude.
D. क्योंकि कुल \(2^n\) selections में से खाली selection हटता है/Because the empty selection is removed from total \(2^n\) selections
Explanation
Simple Explanation
सभी selections में खाली selection भी शामिल होता है। परीक्षा में at least one आने पर empty case घटाएँ। / All selections include the empty selection too. In exams subtract the empty case when at least one appears.
उपसमुच्चय में क्रम नहीं होता इसलिए \(^{n}C_r\) सही है। परीक्षा में subset को unordered selection मानें। / A subset has no order so \(^{n}C_r\) is correct. In exams treat a subset as unordered selection.
दो स्वतंत्र selections साथ-साथ चाहिए इसलिए गुणन सिद्धांत लगेगा। परीक्षा में and शब्द आने पर अक्सर multiply करें। / Two independent selections are needed together so the multiplication principle applies. In exams the word and often means multiply.
पहले (3) विद्यार्थी चुनें और फिर (3!) तरीकों से जमाएँ। परीक्षा में चयन के बाद व्यवस्था हो तो multiplication करें। / First choose (3) students and then arrange them in (3!) ways. In exams multiply when arrangement follows selection.
वृत्त में घुमाव समान माना जाता है इसलिए एक वस्तु स्थिर करके ((n-1)!) व्यवस्थाएँ मिलती हैं। परीक्षा में circular arrangement में (1) वस्तु स्थिर करें। / Rotations are considered same in a circle so fixing one object gives ((n-1)!) arrangements. In exams fix (1) object in circular arrangement.
A. क्योंकि हर वृत्तीय व्यवस्था (n) घुमावों में गिनी जाती है/Because each circular arrangement is counted in (n) rotations
Explanation
Simple Explanation
वृत्त में घुमाने से व्यवस्था नई नहीं मानी जाती इसलिए (n!) को (n) से भाग देते हैं। परीक्षा में rotation को duplicate count समझें। / Rotating a circle does not create a new arrangement so (n!) is divided by (n). In exams treat rotation as duplicate counting.
A. क्योंकि समान अक्षरों के अंदरूनी क्रम अलग नहीं दिखते/Because internal orders of identical letters are not different
Explanation
Simple Explanation
समान अक्षरों की अदला-बदली से नया शब्द नहीं बनता। परीक्षा में identical letters के factorial से भाग दें। / Interchanging identical letters does not create a new word. In exams divide by the factorial of identical letters.
B. जब दो प्रकार की वस्तुएँ क्रमशः (p) और (q) बार समान हों/When two types of objects are identical (p) and (q) times respectively
Explanation
Simple Explanation
दो समानता समूहों की अदला-बदली अलग नहीं गिनी जाती इसलिए (p!q!) से भाग देते हैं। परीक्षा में हर repeated group का factorial हर में रखें। / Interchanges inside two identical groups are not counted separately so we divide by (p!q!). In exams place the factorial of each repeated group in the denominator.
हर स्थान पर (n) विकल्प स्वतंत्र रूप से मिलते हैं इसलिए गुणन \(n\times n\times\cdots\times n=n^r\) होता है। परीक्षा में repetition allowed हो तो विकल्प घटते नहीं हैं। / Each position independently has (n) choices so the product is \(n\times n\times\cdots\times n=n^r\). In exams choices do not decrease when repetition is allowed.
A. क्योंकि हर अगले स्थान पर विकल्प घटते हैं/Because choices decrease at each next position
Explanation
Simple Explanation
बिना पुनरावृत्ति एक वस्तु दोबारा नहीं ली जा सकती। परीक्षा में allowed और not allowed शब्दों पर ध्यान दें। / Without repetition one object cannot be taken again. In exams pay attention to allowed and not allowed words.
C. पहले क्रमबद्ध गिनती फिर अतिरिक्त (r!) क्रम हटाना/Count ordered arrangements first then remove extra (r!) orders
Explanation
Simple Explanation
Combination को permutation से (r!) आंतरिक क्रम हटाकर निकाला जाता है। परीक्षा में पहले ordered count बनाकर फिर divide करें। / Combination is obtained by removing (r!) internal orders from permutation. In exams make the ordered count first and then divide.
(r-1) रखने पर हर ((n-r+1)!) बनता है। परीक्षा में substitution करते समय signs ध्यान से देखें। / Putting (r-1) makes the denominator ((n-r+1)!). In exams watch signs carefully while substituting.
B. \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)
Explanation
Simple Explanation
Factorial formula से सरल करने पर अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent combinations में ratio method उपयोगी है। / Simplifying the factorial formula gives the ratio \(\frac{n-r+1}{r}\). In exams ratio method is useful for adjacent combinations.
(r)वें स्थान के लिए (n-r+1) विकल्प जुड़ते हैं। परीक्षा में next position का factor अलग पहचानें। / For the (r)th position (n-r+1) choices are added as a factor. In exams identify the factor of the next position.
A. एक chosen object को चिह्नित करके double counting करना/Double counting by marking one chosen object
Explanation
Simple Explanation
हर (r)-selection में (r) chosen objects में से एक चिह्नित हो सकता है। परीक्षा में marked object वाली counting से यह relation समझें। / In each (r)-selection one of the (r) chosen objects can be marked. In exams understand this relation through marked object counting.
B. Adjacent combination ratio से/From adjacent combination ratio
Explanation
Simple Explanation
यह \(^{n}C_r\) और \(^{n}C_{r-1}\) के अनुपात को सरल करके मिलता है। परीक्षा में consecutive (C) terms पर ratio लगाएँ। / It is obtained by simplifying the ratio of \(^{n}C_r\) and \(^{n}C_{r-1}\). In exams use ratio for consecutive (C) terms.
पहले (r) वस्तुएँ चुनने के \(^{n}C_r\) तरीके हैं और फिर (r!) व्यवस्थाएँ हैं। परीक्षा में ordered selection को choose and arrange लिखें। / There are \(^{n}C_r\) ways to choose (r) objects and then (r!) arrangements. In exams write ordered selection as choose and arrange.
(4) चुनने का अर्थ (3) छोड़ना है इसलिए \(^{7}C_4=^{7}C_3\) है। परीक्षा में chosen और not chosen दोनों देखें। / Choosing (4) means leaving (3) so \(^{7}C_4=^{7}C_3\). In exams look at both chosen and not chosen.
तीन स्थानों के factors (12), (11), (10) होंगे। परीक्षा में (n-r+1) को last factor के रूप में देखें। / The three position factors are (12), (11), and (10). In exams see (n-r+1) as the last factor.
क्योंकि \(^{11}C_8=^{11}C_{3}\) और (3) छोटा index है। परीक्षा में बड़े (r) को (n-r) से बदलें। / Because \(^{11}C_8=^{11}C_{3}\) and (3) is the smaller index. In exams replace large (r) by (n-r).
सभी (6) अलग पुस्तकों की पंक्ति व्यवस्था \(^{6}P_6=6!\) होती है। परीक्षा में all distinct arrangement को factorial से जोड़ें। / The row arrangement of all (6) distinct books is \(^{6}P_6=6!\). In exams connect all distinct arrangement with factorial.
ऊपर से नीचे लगाने में क्रम महत्वपूर्ण है इसलिए चुने हुए (3) रंगों को (3!) तरीकों से लगाया जाएगा। परीक्षा में positions दिखें तो arrangement जोड़ें। / Order is important when placing from top to bottom so the chosen (3) colours are arranged in (3!) ways. In exams add arrangement when positions appear.
चुनी गई और न चुनी गई वस्तुओं की कुल संख्या (n) होती है इसलिए बाकी (n-r) हैं। परीक्षा में यही विचार \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) से जुड़ता है। / Chosen and not chosen objects together make (n) so the remaining number is (n-r). In exams this idea connects to \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\).
