Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो बैज चुनने के तरीके \(\binom{18}{2}=153\) हैं। चयन में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways is \(\binom{18}{2}=153\). Order is not counted in selection.
टीम चुनना संयोजन है इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) होगा। पद न दिए हों तो क्रम नहीं देखें। / Selecting a team is a combination, so \(\binom{10}{5}=252\). If posts are not assigned, do not consider order.
\(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}=84\) है। पूरक चयन से गणना आसान होती है। / \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}=84\). Complementary selection makes calculation easier.
तरीके \(\binom{6}{3}\binom{5}{1}=20\cdot5=100\) हैं। अलग वर्गों से चयन में गुणा करें। / The ways are \(\binom{6}{3}\binom{5}{1}=20\cdot5=100\). Multiply selections from different groups.
चयन \(\binom{8}{2}\binom{7}{2}=28\cdot21=588\) है। हर रंग के लिए अलग संयोजन लगाएं। / The selection is \(\binom{8}{2}\binom{7}{2}=28\cdot21=588\). Use a separate combination for each color.
तरीके \(\binom{7}{2}\binom{4}{1}=21\cdot4=84\) हैं। शर्तों को अलग-अलग गिनें। / The ways are \(\binom{7}{2}\binom{4}{1}=21\cdot4=84\). Count each condition separately.
तरीके \(\binom{5}{2}\binom{6}{3}=10\cdot20=200\) हैं। अलग विषयों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{5}{2}\binom{6}{3}=10\cdot20=200\). Multiply selections from different subjects.
हर हाथ मिलाना (2) व्यक्तियों की एक जोड़ी है। इसलिए \(\binom{20}{2}=190\) होगा। / Each handshake is a pair of (2) persons. Therefore \(\binom{20}{2}=190\).
हर मैच (2) टीमों की जोड़ी से बनता है। कुल मैच \(\binom{11}{2}=55\) होंगे। / Each match is formed by a pair of (2) teams. The total matches are \(\binom{11}{2}=55\).
क्रम नहीं देखना है इसलिए \(\binom{8}{4}=70\) है। केवल बुलाना चयन है। / Order is not considered, so \(\binom{8}{4}=70\). Merely calling them is selection.
चार कार्ड चुनने के तरीके \(\binom{16}{4}=1820\) हैं। कार्डों की व्यवस्था नहीं पूछी गई है। / The ways to choose four cards are \(\binom{16}{4}=1820\). Arrangement of cards is not asked.
कुल चयन \(2^6=64\) हैं। (0) और (1) चयन हटाने पर (64-1-6=57) तरीके बचते हैं। / Total selections are \(2^6=64\). Removing (0) and (1) selections leaves (64-1-6=57) ways.
अधिकतम (2) का अर्थ (0), (1) या (2) चयन है। इसलिए \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=16\) है। / At most (2) means selecting (0), (1), or (2). Hence \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=16\).
ठीक (4) चुनने के तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। ठीक शब्द आने पर एक ही (r) मान लें। / The ways to choose exactly (4) are \(\binom{9}{4}=126\). When exactly is given, use only one (r) value.
एक कर्मचारी पहले से चुना है इसलिए बाकी (4) कर्मचारी (11) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{11}{4}=330\) हैं। / One employee is already selected, so choose the remaining (4) from (11). The ways are \(\binom{11}{4}=330\).
एक सदस्य हटाने पर (10) सदस्य बचते हैं। इसलिए \(\binom{10}{4}=210\) तरीके हैं। / After excluding one member, (10) members remain. Therefore there are \(\binom{10}{4}=210\) ways.
दो विशेष विद्यार्थी पहले से चुने हैं। बाकी (2) विद्यार्थी (7) में से \(\binom{7}{2}=21\) तरीकों से चुने जाएंगे। / The two special students are already selected. The remaining (2) students are chosen from (7) in \(\binom{7}{2}=21\) ways.
कुल \(\binom{10}{5}=252\) और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। इसलिए (252-56=196) नहीं बल्कि सही बचा (196) है। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\), and ways with both special players are \(\binom{8}{3}=56\). Thus the valid ways are (196).
मामले हैं (2) लड़कियां, (3) लड़कियां या (4) लड़कियां। कुल \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}+\binom{4}{3}\binom{6}{1}+\binom{4}{4}=115\) नहीं, सही गणना (90+24+1=115) है। / The cases are (2), (3), or (4) girls. The correct count is \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}+\binom{4}{3}\binom{6}{1}+\binom{4}{4}=115\).
कुल \(\binom{10}{3}=120\) और केवल पुरुष \(\binom{5}{3}=10\) हैं। इसलिए (120-10=110) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{3}=120\), and all-men selections are \(\binom{5}{3}=10\). Hence (120-10=110) ways.
ठीक (1) वाणिज्य विद्यार्थी के लिए \(\binom{3}{1}\binom{7}{2}=3\cdot21=63\) तरीके हैं। ठीक शब्द पर वही संख्या लें। / For exactly (1) commerce student, the ways are \(\binom{3}{1}\binom{7}{2}=3\cdot21=63\). Use that exact number when exactly is given.
\(\binom{15}{2}=\frac{15\cdot14}{2}=105\) है। दो वस्तुओं के चयन में (2) से भाग दें। / \(\binom{15}{2}=\frac{15\cdot14}{2}=105\). Divide by (2) when choosing two objects.
\(\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560\) है। छोटे (r) के लिए सीधा सूत्र उपयोगी है। / \(\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560\). Direct formula is useful for small (r).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{7}{3}\) नहीं, सही \(\binom{7}{3}\) है। / By Pascal's identity, \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the correct expression is \(\binom{7}{3}\).
क्योंकि \(\binom{n}{0}=1\) और \(\binom{n}{n}=1\) होते हैं। यह संयोजन की सीमा पहचान है। / Because \(\binom{n}{0}=1\) and \(\binom{n}{n}=1\). This is a boundary identity of combinations.
विशेष मिठाई पहले से चुनी है। बाकी (2) मिठाइयां (5) में से \(\binom{5}{2}=10\) तरीकों से चुनेंगे। / The special sweet is already selected. Choose the remaining (2) sweets from (5) in \(\binom{5}{2}=10\) ways.
टूटे खिलौने को हटाने पर (7) खिलौने बचते हैं। इसलिए \(\binom{7}{3}=35\) तरीके हैं। / After removing the broken toy, (7) toys remain. Hence there are \(\binom{7}{3}=35\) ways.
ठीक (2) हरी और (1) नीली चाहिए। तरीके \(\binom{6}{2}\binom{4}{1}=15\cdot4=60\) हैं। / Exactly (2) green and (1) blue are needed. The ways are \(\binom{6}{2}\binom{4}{1}=15\cdot4=60\).
तरीके \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{5}{1}=60\) हैं। तीन अलग समूहों के चयन को गुणा करें। / The ways are \(\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{5}{1}=60\). Multiply selections from the three different groups.
पहले (2) प्रश्न तय हैं इसलिए बाकी (2) प्रश्न (10) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{10}{2}=45\) हैं। / The first (2) questions are fixed, so choose the remaining (2) from (10). The ways are \(\binom{10}{2}=45\).
(3) प्रश्न हटाने पर (12) प्रश्न बचते हैं। इसलिए \(\binom{12}{5}=792\) तरीके हैं। / After removing (3) questions, (12) questions remain. Therefore there are \(\binom{12}{5}=792\) ways.
खास पोस्टर पहले से चुना है। दूसरा पोस्टर शेष (6) में से \(\binom{6}{1}=6\) तरीकों से चुनेगा। / The particular poster is already selected. The second poster is chosen from the remaining (6) in \(\binom{6}{1}=6\) ways.
एक खास पुरस्कार हटाने पर (8) पुरस्कार बचते हैं। इसलिए \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। / After removing one particular prize, (8) prizes remain. Hence there are \(\binom{8}{3}=56\) ways.
सभी काली गेंदें चाहिए इसलिए \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। बाकी सफेद गेंदों का प्रयोग नहीं होगा। / All balls must be black, so there are \(\binom{7}{4}=35\) ways. The white balls are not used.
कोई गणित पुस्तक नहीं का अर्थ (3) अंग्रेजी पुस्तकें चुनना है। तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। / No mathematics book means choosing (3) English books. The ways are \(\binom{6}{3}=20\).
एक खास चाबी हटाने पर (7) चाबियां बचती हैं। इसलिए \(\binom{7}{2}=21\) तरीके हैं। / After removing one particular key, (7) keys remain. Hence there are \(\binom{7}{2}=21\) ways.
कुल \(\binom{10}{3}=120\) हैं और दोनों खास फोटो साथ हों तो \(\binom{8}{1}=8\) तरीके हैं। इसलिए (120-8=112) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{3}=120\), and ways with both particular photos are \(\binom{8}{1}=8\). Thus (120-8=112) ways.
