Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
जोड़ी चुनने के तरीके \(\binom{15}{2}=105\) हैं। जोड़ी में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways is \(\binom{15}{2}=105\). Order is not counted in a pair.
\(\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28\) होता है। अधिक चुनना हो तो न चुने गए लोगों को गिनना आसान होता है। / \(\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28\). When many are selected, counting those not selected is easier.
सेट बनाने में क्रम का महत्व नहीं होता। इसलिए \(\binom{9}{3}=84\) सही है। / Order is not important while making a set. Hence \(\binom{9}{3}=84\) is correct.
यह चयन है इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) नहीं बल्कि सही मान \(\binom{11}{4}=330\) है। विकल्पों में सही उत्तर (330) है। / This is selection, so the value is \(\binom{11}{4}=330\). The correct option is (330).
तीन पेन चुनने के तरीके \(\binom{12}{3}=220\) हैं। चयन में पेन का क्रम नहीं देखा जाता। / The number of ways is \(\binom{12}{3}=220\). The order of pens is not considered in selection.
\(\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120\) है। पूरक चयन से गणना जल्दी होती है। / \(\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120\). Complementary selection makes calculation faster.
तरीके \(\binom{5}{2}\binom{4}{2}=10\cdot6=60\) हैं। अलग वर्गों से चयन में गुणा करते हैं। / The ways are \(\binom{5}{2}\binom{4}{2}=10\cdot6=60\). Multiply selections from different groups.
तरीके \(\binom{6}{2}\binom{5}{1}=15\cdot5=75\) हैं। रंग अलग हों तो चयन अलग-अलग करें। / The ways are \(\binom{6}{2}\binom{5}{1}=15\cdot5=75\). Select separately when colors are different.
तरीके \(\binom{7}{1}\binom{3}{2}=7\cdot3=21\) हैं। प्रत्येक शर्त को अलग संयोजन से लिखें। / The ways are \(\binom{7}{1}\binom{3}{2}=7\cdot3=21\). Write each condition as a separate combination.
तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\) हैं। अलग विषयों के चयन में गुणा नियम लगता है। / The ways are \(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=4\cdot10=40\). The multiplication rule applies to selections from different subjects.
एक वृत्त (3) बिंदुओं से निर्धारित होता है। इसलिए \(\binom{9}{3}=84\) सही है। / A circle is determined by (3) points. Hence \(\binom{9}{3}=84\) is correct.
प्रत्येक हाथ मिलाना (2) व्यक्तियों की जोड़ी है। कुल \(\binom{14}{2}=91\) होंगे। / Each handshake is a pair of (2) persons. The total is \(\binom{14}{2}=91\).
प्रत्येक मैच (2) टीमों की जोड़ी है। इसलिए \(\binom{16}{2}=120\) मैच होंगे। / Each match is a pair of (2) teams. Hence there will be \(\binom{16}{2}=120\) matches.
निश्चित सदस्य पहले से चुना है इसलिए बाकी (3) सदस्य (9) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{9}{3}=84\) हैं। / The fixed member is already selected, so choose the remaining (3) from (9). The ways are \(\binom{9}{3}=84\).
एक सदस्य हटाने पर (8) सदस्य बचते हैं। इसलिए \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। / After excluding one member, (8) members remain. Therefore there are \(\binom{8}{3}=56\) ways.
दो विशेष विद्यार्थी पहले से चुने गए हैं। तीसरा विद्यार्थी शेष (5) में से \(\binom{5}{1}=5\) तरीकों से चुनेगा। / The two special students are already selected. The third student is chosen from the remaining (5) in \(\binom{5}{1}=5\) ways.
कुल \(\binom{8}{4}=70\) और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। इसलिए (70-15=55) तरीके बचेंगे। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\), and ways with both special students are \(\binom{6}{2}=15\). Thus (70-15=55) ways remain.
\(\binom{13}{2}=\frac{13\cdot12}{2}=78\) है। दो वस्तुओं के चयन में आधा गुणनफल लें। / \(\binom{13}{2}=\frac{13\cdot12}{2}=78\). For choosing two objects, take half of the product.
पास्कल पहचान \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) है। इसलिए उत्तर \(\binom{6}{3}\) है। / Pascal's identity is \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{6}{3}\).
कम से कम (1) चयन के तरीके \(2^6-1=63\) हैं। खाली चयन को घटाना न भूलें। / The ways for at least (1) selection are \(2^6-1=63\). Do not forget to subtract the empty selection.
तरीके \(\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=6+4+1=11\) हैं। कम से कम में सभी मान जोड़ें। / The ways are \(\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=6+4+1=11\). Add all possible values in at least questions.
अधिकतम (1) का अर्थ (0) या (1) चयन है। इसलिए \(\binom{7}{0}+\binom{7}{1}=1+7=8\) है। / At most (1) means selecting (0) or (1). Hence \(\binom{7}{0}+\binom{7}{1}=1+7=8\).
क्रम महत्वपूर्ण नहीं है इसलिए \(\binom{9}{2}=36\) है। यही संयोजन की पहचान है। / Order is not important, so \(\binom{9}{2}=36\). This is the key idea of combination.
अक्षर केवल चुने जा रहे हैं इसलिए \(\binom{10}{4}=210\) होगा। व्यवस्था न पूछी जाए तो संयोजन लगाएं। / Letters are only being selected, so \(\binom{10}{4}=210\). Use combination when arrangement is not asked.
दो चित्र चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। लगाने की जगह न दी हो तो केवल चयन मानें। / The ways to choose two pictures are \(\binom{6}{2}=15\). If positions are not given, consider only selection.
तीन स्वादों का चयन \(\binom{7}{3}=35\) तरीकों से होगा। स्वादों का क्रम सामान्यतः नहीं गिना जाता। / The (3) flavors can be selected in \(\binom{7}{3}=35\) ways. The order of flavors is usually not counted.
दोनों पुस्तकें हिंदी होनी हैं इसलिए \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। शर्त पढ़कर सही समूह चुनें। / Both books must be Hindi, so there are \(\binom{3}{2}=3\) ways. Read the condition and choose the correct group.
तरीके \(\binom{4}{2}\binom{5}{1}=6\cdot5=30\) हैं। अलग श्रेणियों का चयन गुणा से जुड़ता है। / The ways are \(\binom{4}{2}\binom{5}{1}=6\cdot5=30\). Selections from different categories are multiplied.
तरीके \(\binom{5}{1}\binom{6}{3}=5\cdot20=100\) हैं। पहले शर्तों को अलग करें फिर गुणा करें। / The ways are \(\binom{5}{1}\binom{6}{3}=5\cdot20=100\). Separate the conditions first and then multiply.
स्थान तय नहीं है इसलिए केवल रंगों का चयन है। तरीके \(\binom{9}{2}=36\) हैं। / Positions are not fixed, so only colors are selected. The ways are \(\binom{9}{2}=36\).
कुल तरीके \(\binom{10}{0}+\binom{10}{1}=1+10=11\) हैं। (0) चयन को भी शामिल करें। / Total ways are \(\binom{10}{0}+\binom{10}{1}=1+10=11\). Include the (0) selection too.
छोड़ने के लिए (2) प्रश्न चुनने हैं। इसलिए \(\binom{11}{2}=55\) तरीके हैं। / We need to choose (2) questions to leave out. Hence there are \(\binom{11}{2}=55\) ways.
\(\binom{12}{9}=\binom{12}{3}\) होता है। (9) चुनना (3) न चुनने के बराबर है। / \(\binom{12}{9}=\binom{12}{3}\). Selecting (9) is the same as not selecting (3).
कुल \(\binom{8}{3}=56\) हैं और केवल लड़के \(\binom{5}{3}=10\) हैं। इसलिए (56-10=46) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{8}{3}=56\), and all-boy selections are \(\binom{5}{3}=10\). Therefore (56-10=46) ways.
